高中数学 样本空间与事件 范例例题

个。
解■ 设（a , b , c）表示每一次出现的点数情形 (1) 2 a 6，2 b 6，2 c 6
∴n（A）＝5×5×5＝125（个）
(2) 三次中至少出现一次 1 点
＝（全部样本点）－（三次都没有出现 1 点）
＝63－53＝216－125＝91
即 n（B）＝91（个）
范例 5 事件的计数
(2) 基本事件：｛绿｝，｛黄｝，｛红｝ 必然事件为 S＝｛绿 , 黄 , 红｝
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例题 6 事件(二)
连续投掷一颗公正的骰子两次，依序观察出现奇数或偶数的情形， 试写出： (1) 两次皆为偶数的事件。 (2) 两次之中至少有一次偶数的事件。 解■ 样本空间为 S＝｛（奇 , 奇) , (奇 , 偶) , (偶 , 奇) , (偶 , 偶）｝
选择，故所有事件（子集）共有 26＝64（个） (2) 因 A X，即｛ 1 , 2 , 3 ｝ X
4，5，6 三个样本点都有要或不要两种选择， 共有 2×2×2＝8 种情形 每一种情形对应于一个集合 X， 故满足 A X 的事件 X 共有 8 个
例题 8 子集合的个数
已知一试验的样本空间 S＝｛ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ｝，且 X，Y 均为 S 中的 事件，试问： (3) 若 B＝｛ 2 , 4 , 5 , 6 ｝，则与事件 B 互斥的事件 Y 有多少个？ 解■ (3) 因事件 Y 与 B 互斥，即 Y∩B＝
S 中扣除 2，4，5，6，只剩 1，3 两个样本点， 每个样本点都有要或不要两种选择， 共有 2×2＝4 种情形，每一种情形对应于一个集合 Y， 故与事件 B 互斥的事件 Y 共有 4 个
上一题
主题 1 样本空间
范例 1 样本空间（投掷硬币）
(1) 投掷一枚均匀的硬币一次，观察正面或反面出现的情形，试写出 此试验的样本空间，并计算有几个样本点？
例题 8 子集合的个数
已知一试验的样本空间 S＝｛ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ｝，且 X，Y 均为 S 中的 事件，试问： (1) S 中的所有事件共有多少个？ (2) 若 A＝｛ 1 , 2 , 3 ｝，则满足 A X 的事件 X 有多少个？ 解■ (1) 样本空间 S 共有 6 个样本点，每个样本点都有要或不要两种
共有 36 个样本点
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例题 3 样本空间(三)
普通骰子的 1、4 点为红色，其余点数为黑色，今同时投掷六颗公正 的骰子，观察有几个红色面朝上。试写出此试验的样本空间。共有几 个样本点？ 解■ 红色面可能有 0，1，2，3，4，5，6 个
故样本空间为 S＝｛0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6｝， 共有 7 个样本点
范例 1 样本空间（投掷硬币）
(3) 投掷一枚均匀的硬币三次，观察正面或反面出现的情形，试写出 此试验的样本空间，并计算有几个样本点？
解■ (3) 以（a , b , c）表示样本点，其中 a 表第一次投掷的结果 b 表第二次投掷的结果 c 表第三次投掷的结果
∴S＝｛（正 , 正 , 正） , （正 , 正 , 反） , （正 , 反 , 正） , （反 , 正 , 正） , （正 , 反 , 反） , （反 , 正 , 反） , （反 , 反 , 正） , （反 , 反 , 反）｝，共有 8 个样本点（23＝8）
投掷一颗公正的骰子三次，观察每次出现的点数，则： (3) 若三次中出现点数和为 15 的事件为 C，则 n（C）＝ 解■ (3) a＋b＋c＝15
a665 b655 c345 32！！＋3！＋1＝3＋6＋1＝10 即 n（C）＝10（个）
个。
上一题
(4) A ∩ B＝｛ 1 , 3 , 5 ｝
(5) A ∪ B＝｛ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ｝
(6) A－B＝
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范例 5 事件的计数
投掷一颗公正的骰子三次，观察每次出现的点数，则：
(1) 若三次都没有出现 1 点的事件为 A，则 n（A）＝
个。
(2) 若三次中至少出现一次 1 点的事件为 B，则 n（B）＝
(2) 投掷一枚均匀的硬币两次，观察正面或反面出现的情形，试写出 此试验的样本空间，并计算有几个样本点？
解■ (1) S＝｛正 , 反｝，共有 2 个样本点（21＝2） (2) 以（a , b）表示样本点，其中 a 表第一次投掷的结果 b 表第二次投掷的结果 ∴S＝｛（正 , 正） , （正 , 反） , （反 , 正） , （反 , 反）｝， 共有 4 个样本点（22＝4）
(2) 一次取一球，取后不放回，连取两次。
(3) 一次取两球，取一次。
解■ (1) C15 C15＝25（個）
(2) C15 C14＝20（個）
(3)
C25＝15
4＝10（個） 2
（亦可用穷举法逐一列出样本空间）
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主题 2 事 件
范例 4 样本空间与事件
设 S 是投掷一颗骰子的样本空间，A 表示出现奇数点的事件，B 表示
点数不超过 5 的事件，则：
(1) A＝
。
(2) A'＝
。
(3) B＝
。
(4) A ∩ B＝
。
(5) A ∪ B＝
。
(6) A－B＝
。
解■ S＝｛ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ｝ (1) A＝｛ 1 , 3 , 5 ｝
(2) A'＝｛ 2 , 4 , 6 ｝
(3) B＝｛ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ｝
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例题 4 样本空间(四)
袋中有三颗球，颜色分别为红、白、蓝，分别依下列规定取球并观察 颜色，试写出下列三个试验的样本空间： (1) 一次取一球，取后不放回，连取两次。
解■ 用（a , b）表示第一次取出颜色为 a 的球，第二次取出颜色为 b 的球 (1) 因为取后不放回，第一次和第二次取到的颜色不同，相当于从 红、白、蓝三色中取两种颜色的排列 故共有 P32＝6 种可能 得样本空间 S＝｛(红 , 白）,（红 , 蓝）,（白 , 红）,（白 , 蓝）, (蓝 , 红）,（蓝 , 白)｝
（3 , 1） , （3 , 2） , （3 , 3） , （3 , 4） , （3 , 5） , （3 , 6） ,
（4 , 1） , （4 , 2） , （4 , 3） , （4 , 4） , （4 , 5） , （4 , 6） ,
（5 , 1） , （5 , 2） , （5 , 3） , （5 , 4） , （5 , 5） , （5 , 6） ,
(1) ｛（偶 , 偶）｝ (2) ｛（奇 , 偶） , （偶 , 奇） , （偶 , 偶）｝
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例题 7 和事件与积事件
连续投掷一颗公正的骰子两次，依序观察点数出现的情形，若 A 表示 点数和为 5 的事件，B 表示点数乘积为 6 的事件，试写出： (1) A 与 B 的和事件。 (2) A 与 B 的积事件。 解■ A＝｛（1 , 4） , （2 , 3） , （3 , 2） , （4 , 1）｝
S＝｛（正 , 正 , 正）,（正 , 正 , 反）,（正 , 反 , 正）,
（反 , 正 , 正）,（正 , 反 , 反）,（反 , 正 , 反）, （反 , 反 , 正）,（反 , 反 , 反）｝
共有 8 个样本点
下一题
例题 2 样本空间(二)
连续投掷一颗公正的骰子两次，依序观察出现的点数，试写出此试验
(2) 以（a , b）表示样本点，其中 a 表第一次出现的点数
b 表第二次出现的点数
∴S＝｛（1 , 1） , （1 , 2） , （1 , 3） , （1 , 4） , （1 , 5） , （1 , 6） ,
（2 , 1） , （2 , 2） , （2 , 3） , （2 , 4） , （2 , 5） , （2 , 6） ,
（6 , 1） , （6 , 2） , （6 , 3） , （6 , 4） , （6 , 5） , （6 , 6）｝
共有 36 个样本点（62＝36）
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范例 3 样本空间（取球问题）
一个箱子中有五颗球，编号 1，2，3，4，5，试求下列条件的样本空间
之样本点个数：
(1) 一次取一球，取后放回，连取两次。
例题 4 样本空间(四)
袋中有三颗球，颜色分别为红、白、蓝，分别依下列规定取球并观察 颜色，试写出下列三个试验的样本空间： (2) 一次取一球，取后放回，连取两次。
解■ 用（a , b）表示第一次取出颜色为 a 的球，第二次取出颜色为 b 的球 (2) 因为取后放回，第一次和第二次可能取到相同的颜色，相当于 从红、白、蓝三色中取两种颜色的重复排列，故共有 3×3＝9 种可能 得样本空间 S＝｛(红 , 红）,（红 , 白）,（红 , 蓝）,（白 , 红）, (白 , 白）,（白 , 蓝）,（蓝 , 红）,（蓝 , 白）, (蓝 , 蓝)｝
的样本空间 S。共有几个样本点？
解■ 以（a , b）来表示样本点，其中 a 表示第一次投掷的点数，b 表示 第二次投掷的点数，所以此试验的样本空间为
S＝｛（1 , 1）,（2 , 1）,（3 , 1）,（4 , 1）,（5 , 1）,（6 , 1）,
（1 , 2）,（2 , 2）,（3 , 2）,（4 , 2）,（5 , 2）,（6 , 2）,
下一题
范例 2 样本空间（投掷骰子）
(1) 投掷一颗公正的骰子一次，观察出现的点数情形，试写出其样本
空间，并计算有几个样本点？
(2) 投掷一颗公正的骰子两次，观察出现的点数情形，试写出其样本
空间，并计算有几个样本点？ 解■ (1) S＝｛ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ｝，共有 6 个样本点