(完整版)偏导数的定义及其计算法(精)
偏导数的定义及其计算法
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
连续.
12
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
2010年4月19日10时44 分
偏导数(27)
13
几何意义:
( y ≠ 0)
x 1 =− 2 sgn 2 x +y y
∂z 不存在． ≠0 ∂y x = 0 y
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
9
例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂ p ∂V ∂ T ⋅ ⋅ = −1. （ R 为常数） ，求证： ∂V ∂T ∂ p
RT ∂p RT ⇒ =− 2; 证 p= V ∂V V RT ∂V R ∂T V pV V= ⇒ = ; = ; T= ⇒ p ∂T p ∂p R R ∂p ∂V ∂T RT R V RT = − 1. ⋅ ⋅ =− 2 ⋅ ⋅ =− ∂V ∂T ∂p V p R pV
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) , f x ( x , y , z ) = lim ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) , f y ( x , y , z ) = lim ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27) 5
偏导数的定义及其计算法
∴
RT R V p V T RT = = = 1 2 p R V T p pV V
例6
求下列各函数在指定点的偏导数：
xy x2 + y2 0
2
( x 2 + y 2 ≠ 0)
(1)f(x,y)=
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
π (2) z = sin( xy ) cos ( xy )在点P0 (0, )处; 2
= 2 x( x 2 + 2 y ) x 1
例4 求 r = x + y + z 的偏导数. 解：把y和z都看作常量，对x求导, 得
r 1 = 2x = x 2 x 2 + y 2 + z 2 x x2 + y2 + z 2
x = r
2
2
2
由于所给函数关于自变量是对称的，所以
r = y
r = z
= [ f ( x0 , y )]'| y = y
L
M
0
固定 x = x0 得交线 :
L： z = f ( x, y) x = x0 z = f ( x0 , y ) 即 x = x0
由一元函数导数的几何意义：
z y
x= x 0 x= y 0
= [ f ( x 0 , y )]' = tan β
z = x y ln x. y
∴
x y 1 1 y = yx + x ln x y ln x
= xy + xy = 2x y
= 2z
例3 解
z = ( x 2 + 2 y ) x , ( y > 0) z = ( x + 2 y)
偏导数的定义及其计算法
f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0 偏导函数的符号
f z z f ( x , y ) >>> , , , 或 . x x x x
偏导函数
f ( x x , y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 . f ( x , y ) lim x 0 0 x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
其中(x, y, z)是函数uf(x, y, z)的定义域的内点.
偏导函数
f ( x x , y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 . f ( x , y ) lim x 0 0 x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
二、高阶偏导数
二阶偏导数 如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数. 函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个
其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.
f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
存在, 则称此极限为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
2 2 z z z z ( ) f ( x , y ) , , ( ) f ( x , y ) xy xx 2 y x x y x x x 类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上的变化率的一种度量，它描述了函数在其中一方向上的变化速率。
偏导数的定义非常简单，它是将函数的其他自变量视为常数，而对其中一自变量求导得到的导数。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以用∂f/∂xi 或者 fxi 来表示，其中∂表示偏导数的符号，xi 表示自变量 xi 的偏导数。
偏导数的计算方法基本与一元函数的导数计算类似，但在计算过程中需要将其他的自变量视为常数。
举个例子来说明偏导数的计算：假设有一个二元函数f(x1,x2)=x1^2+x2^2，我们要计算该函数关于自变量x1的偏导数∂f/∂x1在计算过程中，我们将x2视为常数，即f(x1,x2)=x1^2+C^2，其中C 表示x2的常数值。
然后我们对f(x1,x2)关于x1求导数，得到f'(x1,x2)=2x1、最后得到∂f/∂x1=f'x1=2x1，即关于x1的偏导数。
在实际应用中，偏导数常常用于优化算法、极值问题的求解等方面。
在多元函数中，偏导数的大小和符号可以用于判断函数的变化趋势和极值点的位置。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数。
高阶偏导数描述的是函数对自变量一次、二次、三次...的变化率。
例如，二元函数的二阶偏导数就是对一阶偏导数再次求导，即∂^2f/∂x1^2，表示f(x1,x2)对x1的变化率的变化率。
对于多元函数而言，偏导数的计算可以推广到n阶偏导数，并且可以使用偏导数的混合形式。
例如，对于三元函数f(x1,x2,x3)，我们可以计算∂^2f/∂x1∂x2，表示对x1求偏导后再对x2求偏导。
总结来说，偏导数是多元函数关于其中一自变量的变化率的度量。
计算偏导数的方法与一元函数的导数计算类似，但需要将其他自变量视为常数。
偏导数在实际应用中具有广泛的用途，如优化算法、极值问题的求解等。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数和混合偏导数。
求偏导数的公式法
求偏导数的公式法偏导数是多元函数在其中一点的偏倚率，是研究多元函数的导数性质的重要工具。
求解偏导数可以使用公式法，这是一种简洁而有效的方法。
在本篇文章中，我们将详细介绍偏导数的公式法，以便读者能够深入了解和掌握该方法。
一、偏导数的定义和意义偏导数是多元函数在其中一点关于一些自变量的导数。
对于具有n个自变量的函数f(x1,x2,...,xn)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂xi其中，∂表示偏导数的符号，f表示被求导的函数，xi表示自变量中的第i个。
偏导数描述了函数在该点沿着xi方向的变化率。
偏导数的意义是研究多元函数在其中一点的局部变化情况。
通过分别计算各个自变量的偏导数，我们可以了解到函数在不同自变量方向上的变化特征，进而研究函数的极值、拐点等重要性质。
偏导数的公式法是求解偏导数的一种便捷方法。
它通过使用一些常用函数的导数公式和运算规则，将多元函数的偏导数转化为一元函数的导数问题。
以下是常见的多元函数和它们的偏导数公式：1. 常数函数：对于f(x1,x2,...,xn) = C（C为常数），其所有偏导数都为0，即∂f/∂xi = 0。
2. 一次线性函数：对于f(x1,x2,...,xn) = a1x1+a2x2+...+anxn （a1, a2, ..., an为常数），其偏导数为∂f/∂xi = ai。
3. 幂函数：对于f(x1,x2,...,xn) = x^a（a为常数），其偏导数为∂f/∂xi = a * x^(a-1)，即对指数a进行减1操作，并将其作为系数乘到x的a-1次幂上。
4. 指数函数：对于f(x1,x2,...,xn) = exp(x)（自然指数函数），其偏导数为∂f/∂xi = exp(x)（自然指数函数本身的值）。
5. 对数函数：对于f(x1,x2,...,xn) = ln(x)（自然对数函数），其偏导数为∂f/∂xi = 1/x。
6.三角函数：对于正弦函数和余弦函数，其偏导数规则如下：∂sin(x)/∂xi = cos(x)，∂cos(x)/∂xi = -sin(x)。
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。
对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。
在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。
1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。
以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。
高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。
1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。
二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
存在，则称
此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 x的
偏导数，记为
z x
， f xx0 x
y y0
xx0 ， zx
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f x
lim
xx0 x0
f ( x0 x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) .
y y0
导数
z x
、
z y
必存在，且函数
z
f (x, y)
在点(x, y)的全微分为
dz
z x
x
z y
y.
dz
( x, y) 可微分， Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)的全微分，记为dz ，即
dz Ax By.
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数 在 D 内可微分.
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则函数在该 点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
求
f y
时， 只要把 y
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
例 求 z x2 3xy y2在点(1, 2)处的偏导数．
解
z x
2x 3 y;
z y
3x2y.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
z x
x1 21 32 8,
偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x、 y的函数，
它就称为函数z f (x, y)对自变量 x的偏导数，记作
z x
，
f x
，
z
x
或
fx(x, y).
同理可定义函数z f ( x, y)对自变量 y的偏导数，记作
z y
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
二元函数 对 x和对 y的偏增量
二元函数 对 x和对 y的偏微分
全增量的概念
如果函数z f (x, y)在点(x, y)的某邻域内有定义， 设 P( x x, y y)为这邻域内的任意一点，则称 这两点的函数值之差 f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y的全增量， 记为z，即
0
lim f ( x x, y y)
x0
y0
lim [ f ( x, y) z]
0
f (x, y)
故函数 z f ( x, y) 在点 ( x, y) 处连续.
二、可微的条件
定理 1（可微分必要条件） 如果函数z f ( x, y)在
点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏
同理可定义函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 y的偏导
数为
lim
y0
f ( x0 , y0 y) y
f
( x0 , y0 )
记为
z y
， f xx0 y
y y0
xx0 ， z yy y0xx0 或来自f y ( x0 , y0 ).
y y0
如果函数z f (x, y)在区域 D内任一点(x, y)处对 x的
x2 y2 0, ,
x2 y2 0.
依定义知在(0, 0)处， f x (0, 0) f y (0, 0) 0.
但函数在该点处并不连续.
偏导数存在
连续.
偏导数的几何意义
设 M0( x0, y0, f ( x0, y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点,
如图
z f ( x0, y)
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
lim
z0
f
( x, y,zz) z
f
(x, y,z) .
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。
求
f x
时， 只要把 x
定理 如果函数z f (x, y)的两个二阶混合偏导数
2z yx
及
2z xy
在区域
D 内连续，那末在该
区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
2u x 2
x2
x
y2
x
(x2 y2) x 2x ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u y2
x2
y
y2
y
(x2 y2) y ( x2 y2 )2
z f ( x x, y y) f ( x, y).
全微分的定义
如果函数z f (x, y)在点(x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)
可以表示为 z Ax By o( )，
其中 A, B不依赖于x、y而仅与 x、y有关，
(x)2 (y)2 ，则称函数 z f ( x, y) 在点
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Ty对 y轴的斜率.
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
y2
z y
x1 31 22 7.
y2
例 2 求 z x2sin2 y的偏导数．
解
z x
2
xsin 2
y;
z y
2
x
2
cos2
y
.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导
连续。
多元函数中在某点偏导数存在
连续。
例如，函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
,
0,
2y
x2 y2 ( x2 y2 )2
.
于是，
2u x 2
2u y2
y2 x2 ( x2 y2 )2
x2 y2 ( x2 y2)2
0.
全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y) f ( x, y) f x ( x, y)x
f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y)y
偏导数的定义及其计算法
定义
设函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻域内有
定义，当 y固定在 y0而 x在 x0处有增量x时，
相应地函数有增量
函数对 x 的偏增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim
x0
f
( x0 x, y0 ) x
f
( x0 , y0 )