中考数学复习指导：一次函数在实际生产生活中的应用举例
一次函数在实际生活中的应用
一次函数在实际生活中的应用例1某房地产开发公司计划建A B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：分析：设AA型住房的总成本是__________ 万元；B型住房的总成本是______________ 万元；80套住房的总成本是 ______________万丿元。
A型住房的总售价是___________ 万元；B型住房的总售价是___________ 万元；80套住房的总售价是_______________ 万元。
A型住房的总利润是___________ 万元；B型住房的总利润是___________ 万元；80套住房的总利润是_______________ 万元。
依据所筹资金情况可列不等式组彳-----------不等式组的解集是____________ ,故有_________ 种建房方案。
依据总利润的解析式，当x= _________ 套时总利润最大，最大利润为__________ 万元•终上所述，共有 _____ 种建房方案；当建A型房________ 套，B型住房____ 套时，总利润最大，最大利润是_________ 万元。
例2塑料厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为y i元和y2元，分别求y i和屮关于x的函数解析式（注: 利润=总收入-总支出）；（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？例3某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。
设购进A种饮料x箱,且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元.⑴求y关于x的函数关系式？⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。
一次函数的实际应用
一次函数的实际应用在我们的日常生活和学习中，数学知识无处不在，而一次函数作为数学中的重要概念，具有广泛的实际应用。
一次函数的表达式通常为 y ＝ kx ＋ b （其中 k 不为 0），它能够帮助我们解决许多与变量之间线性关系相关的问题。
先来说说行程问题。
假设小明以每小时 5 千米的速度匀速行走，行走的时间为 x 小时，行走的路程为 y 千米。
那么，路程 y 与时间 x 之间的关系就可以用一次函数来表示，即 y ＝ 5x 。
通过这个函数，我们可以很容易地算出小明在给定时间内行走的路程，或者根据路程计算出所需的时间。
再看购物中的打折问题。
商场在进行促销活动时，常常会有“满减”的优惠政策。
比如，购买商品总价达到 200 元，可享受 8 折优惠。
设购买商品的原价为 x 元，实际支付的金额为 y 元。
当x ≤ 200 时，y ＝x ；当 x ＞ 200 时，y ＝ 08x 。
这就是一个分段的一次函数，通过这个函数，我们能清晰地了解到购买商品时的价格变化规律，从而做出更明智的消费决策。
在成本与利润的计算中，一次函数也发挥着重要作用。
假设一家工厂生产某种产品，每件产品的成本为 10 元，售价为 x 元，销售量为 y 件。
总利润 z 等于销售收入减去成本，即 z ＝ y(x 10) 。
如果销售量 y 与售价 x 之间存在线性关系，比如 y ＝－2x ＋ 100 ，那么总利润 z 就可以表示为 z ＝（－2x ＋ 100)（x 10) ，这是一个二次函数，但其中包含了一次函数的成分。
通过对这个函数的分析，厂家可以确定最优的售价，以实现利润最大化。
水电费的计算也是一次函数的常见应用场景。
比如，某地区的水费收取标准为：每月用水量不超过 10 吨时，每吨水收费 2 元；超过 10 吨的部分，每吨水收费 3 元。
设每月用水量为 x 吨，水费为 y 元。
那么当x ≤ 10 时，y ＝ 2x ；当 x ＞ 10 时，y ＝ 2×10 ＋ 3(x 10) ，即 y ＝3x 10 。
一次函数在生活中的具体应用
一次函数在生活中的具体应用一次函数是数学中的一个基本概念，也是我们在生活中经常会遇到的数学模型。
这种函数的特点是其自变量的最高次数为1，在数学中以y=ax+b的形式来表示。
一次函数在生活中有着诸多具体的应用，下面我们将从不同的角度来探讨一次函数在生活中的具体应用。
我们来看一次函数在经济学中的应用。
在经济学中，成本、收入和利润都是非常重要的概念，而这些概念通常可以用一次函数来建模。
假设某公司的总成本是由固定成本和每单位生产的变动成本组成，可以用一次函数C(x) = ax + b来表示，其中x是生产的数量，a是变动成本的斜率，b是固定成本。
这个函数模型可以帮助公司合理安排生产数量，以获得最大的利润。
同样地，对于销售收入和利润来说，都可以用一次函数来建模，以帮助企业做出更加明智的经营决策。
一次函数在物理学中也有着广泛的应用。
在物理学中，速度、位移和力等概念都可以用一次函数来表示。
假设一个物体在匀速直线运动，其位移随时间的变化可以用一次函数来描述。
设物体的位移为y，时间为x，则位移函数可以表示为y=ax+b，其中a代表物体的速度，b代表物体的初始位置。
这样的一次函数模型可以帮助物理学家更好地理解物体的运动规律，并且应用于工程技术中，例如建筑工程和交通运输等领域。
一次函数在市场营销中也有着重要的应用。
在市场营销中，销售额、利润和市场份额等概念可以用一次函数来表示。
假设一个公司的销售额随着广告投入的增加而变化，可以用一次函数来建立广告投入和销售额之间的关系。
这样的函数模型可以帮助市场营销人员合理安排广告投入，以达到最大化销售额的目标。
一次函数在工程学中也有着广泛的应用。
在工程学中，压力、温度和电压等物理量都可以用一次函数来描述。
假设一个材料的承受力随着温度的变化而变化，可以用一次函数来表示这种变化规律。
这样的函数模型可以帮助工程师更好地设计材料的使用条件，以确保其安全性和稳定性。
一次函数在生活中的日常应用也是非常广泛的。
一次函数与生活实例
一次函数与生活实例一次函数在数学中是一个非常常见的函数形式，通常可以表示为y= ax + b的形式，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数在生活中也有着广泛的应用，下面将通过几个生活实例来展示一次函数的应用。
1. 购买水果假设某水果摊上正在出售苹果，价格为每个2元。
如果你购买了x个苹果，那么你需要支付的费用可以表示为y = 2x的关系。
这个关系就是一个一次函数，其中a = 2，b = 0。
当你购买不同数量的苹果时，费用会随之线性增加。
2. 打车费用在某城市打车的费用可以表示为每公里x元，同时还有起步价b元。
如果你打车了y公里，那么你需要支付的费用可以表示为y = ax + b的关系。
这同样是一个一次函数，其中a为每公里的价格，b为起步价。
3. 人力资源一家公司的员工数量通常会随着时间的推移而发生变化。
假设某公司每个月会有a名员工离职，同时会有b名员工入职。
那么公司员工数量随时间变化的关系可以表示为y = ax + b的一次函数关系，其中a为离职率，b为入职率。
4. 燃料消耗一辆汽车在行驶过程中，燃料消耗通常和行驶的里程成正比。
假设一辆汽车每行驶x公里需要消耗y升汽油，那么燃料消耗和行驶里程的关系可以表示为y = ax的一次函数关系，其中a为单位里程消耗的汽油量。
通过以上几个生活实例的展示，我们可以看到一次函数在生活中的广泛应用。
无论是购买物品、计算费用、人力资源管理还是燃料消耗，一次函数都能够清晰地描述各种实际情况，帮助我们更好地理解和应用数学知识。
希望通过这些例子，能够帮助大家更好地理解和应用一次函数的概念。
中考第一轮复习第三节一次函数的实际应用
第三节一次函数的实际应用命噩点一次函数的实际应用1. (2019贵阳*II拟)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的是2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示.当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7 200元.(1)根据图象，求y与x之间的函数关系式；(2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价.250=50k+b. k=- 1, 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由函数图象，得100=200k+b,解得b= 300.，y 与x之间的函数关系式为y=—x+300; (2) •./= —x+300; .•.当x=120时，y=180,设甲品牌的进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元，由题意，得120a+180X2a = 7 200,解得a=15, .••甲品牌的进货单价是15元，乙品牌的进货单价是30元.答：甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15 元、30元.2. (2019贵阳模拟)李明乘车从市区到某景区旅游，同时王红从该景区返回市区，线段OB表示李明离市区的路程S1(km)与时间t(h)的函数关系；线段AC表示王红离市区的路程S2(km)与时间t(h)的函数关系，已知行驶1 h,李明、王红离市区的路程分别为100 km、280 km,王红从景区返回市区用了4.5h.(假设两人所乘的车在同一线路上行驶)(1 )分别求S1, S2关于t的函数表达式；(2)当t为何值时，他们乘坐的两车相遇；(3)当李明到达景区时，王红离市区还有多远？解：(1)设S1 = k1t,将点(1 , 100)代入S1=k1t 中，解得匕=100,1=100t ,设S2=k2t+b,将点k2+b = 280,(1 , 280) , (4.5 , 0)代入S2=k2t + b 中得，4.5k2+b=0.解得k2=- 80, b= 360, s 2= —80t + 360; (2)由题意得100t = —80t+360,解得t=2, .•.当t=2时，两车相遇；(3)由S2= — 80t + 360可知从市区到景区的路程为360 km,二.李明的速度为100 km/h，，李明到达景区时的时间t =360+100= 3.6(h),当李明到达景区，王红离市区S2=— 80X 3.6 + 360=72 (km).答：当李明到达景区时，王红离市区还有72 km.中考考点清单) 考点一次函数的实际应用1.用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)设定实际问题中的自变量与因变量；(2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用函数性质解决问题；(5)检验所求解是否符合实际意义；(6)答.2.方案最值问题对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案.【方法点拨】求最值的本质为求最优方案，解法有两种：①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较.显然，第② 种方法更简单快捷.中考重难点突破)类型一次函数的实际应用【例】(河南中考)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台A型和10 台B型电脑的禾1J润为3 500元.(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2 倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m< 100)元，且限定商店最多购进A型电脑70 台.若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.【解析】［信息梳理］设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元.解：(1)设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，则有10a+20b=4 000 , a=100,20a+10b= 3 500.解得b= 150.答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150 元；(2)①根据题意y= 100x+ 150(100 —x),即y=— 50x+ 15 000.②根据题意得，100—xW2x,1解得x>333.二.在y=- 50x+ 15 000中，一50V0,，y随x的增大而减小.二x为正整数，，当x=34 时，y取得最大值，此时100 —x = 66.即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最1大；(3)根据题意得y= (100+m)x+ 150(100 —x),即y = (m-50)x + 15 000.其中333WxW70.①当0V m< 50时，m- 50<0, y随x的增大而减小.，当x = 34时，y取得最大值.即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大禾1J 润.②当m= 50时，m- 50=0, y= 15 000.即商店购进A型电脑数量满1足333WxW70的整数时，获得的利润为 1 500元.③当50Vm< 100时，m- 50>0, y随x的增大而增1大，又333WxW70, .♦.当x = 70时，y取得最大值，即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑，能获最大利润.料时训练1.(2019山西中考)我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在 2 000 kg〜5 000 kg(含2 000 kg 和5 000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案)：方案A:每千克5.8元，由基地免费送货.方案B:每千克5元，客户需支付运费2 000元.(1)请分别写出按方案A,方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式；(2)求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；(3)某水果批发商计划用20 000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案.y = 5.8x ,方案B:函数表达式为y = 5x+2 000 ; (2)由题意，得解：(1)方案A:函数表达式为5.8x<5x +2 000 ,解不等式得x<2 500, •••当购买量x的取值范围为2 000 < x<2 500时，选用方案A比方案B付款少；(3)他应选择方案B.2.(2019孝感中考)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升.某校计划购进A, B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元.(1)求A种，B种树木每棵各多少元？(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.一、一一. __ ____________ _ ________ 一一一2a +5b=600, 一一a=100, ,, 一.解：(1)设A种，B种树木每棵分别为a兀，b兀，则3a+b=380,解得b = 80.答：A种，B种树木每棵分别为100元，80;(2)设购买A种树木为x棵，则购买B种种木为(100—x)棵，则x> 3(100 - x) ,，x> 75.设实际付款总金额为y 元，贝U y=0.9[100x + 80(10 0—x)] , y= 18x+7 200. / 18>0, y 随x的增大而增大，，x= 75时，y最小.即x=75, y最小值= 18X 75+ 7 200 = 8 550(元)，，当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8 550元.3.(2019广安中考)某水果基地积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售(每辆汽车规定满载，并且只装一种水果).如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润.(1)用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？(2)水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售(每种水果不少于一车)，假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？(结果用m表示)(3)在第(2)问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？一一一一，E, ，一，一 x x+y=8' j ,rX=2'入八、一一一，，E解：(1)设装运乙、丙水果的车分别为x辆，y辆，得：2x+3y=22,解得y= 6.答：装运乙种水果的车有2辆，丙种水果的汽车有6辆；(2)设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，得：vm- a+b=20, a=m— 12,4m+ 2a+3b= 72,解得b= 32 —2m.答：装运乙种水果的汽车是(m—12)辆，丙种水果的汽车是(32 - 2m)m—12> 1,辆；(3)设总利润为w 千元，w= 4X5m+ 2X 7(m—12)+4X 3(32 — 2m)=10m+ 216.「32—2m> 1, /.13<15.5 , -. m 为正整数，，m= 13, 14, 15,在w= 10m+ 216中，w随x的增大而增大，，当m= 15 时，W最大=366千元.答：当运甲水果的车15辆，运乙水果的车为3辆，运丙水果的车为2辆时，利润最大，最大利润为366千元.2019-2020 学年数学中考模拟试卷一、选择题1.在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y （千米）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）# , [ -100s ---- 不70 M .d 03 L75三,时）A.乙先出发白^时间为0.5小时B.C.甲出发0.5小时后两车相遇D.2.-5的相反数是（）A. - 5B. 5C. 甲的速度是80千米/小时. ..... .. …1…甲到B地比乙到A地早一小时121 D 15 . 50（0 , 0） , A（0, 3） , B（4 , 0）,按以下步骤作图:T（程）①以点0为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC, OB于点1 ........ 一…，一 ,于一DE的长为半径作弧，两弧在/ BOC内父于点F;③作射线2为（）川Of / 3 IA （4 , 4） B. （4 , 4） C. （5,4）3 3 34.已知关于x的一元二次方程x2+x—m + 9- 0没有实数根4A. m<2B. m < -2C. m>—25.只用卜列一种止多边形/、能镶嵌成平面图案的是（）A.正三角形B.止方形C.正五边形6.已知在四边形ABC邛，AD// BC,对角线AC与BD相交十点0,就能判定这个四边形是菱形的是（）D, E;②分别以点D, E为圆心，大OF,交边BC于点G,则点G的坐标D. （4 ,-）3,则实数m的取值范围是（）D. m>2D.正六边形A0= CO如果添加卜列一个条件后，A.BO= DOB.AB= BCC.AB=CDD.AB// CDJ 1 1 AA. m -1B. m _ -1C. m _ -1D. m ：： -1x, y 满足xv 59 - 1 < y,则这两个整数是（A. 1 和 2B, 2 和 3 C. 3 和 4 D, 4 和 512 .如图，正方形 ABCD 勺边长为8,分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面A. 32B. 2 兀C. 10 71+2 D, 8兀 +1二、填空题13 .为了了解一批圆珠笔芯的使用寿命，宜采用 方式进行调查；为了了解某班同学的身高，宜采用 方式进行调查.（填“抽样调查”或“普查”）14 .分解因式：巾二4 =.15 .如图，在矩形 ABCD43,有一个小正方形 EFGH 其中顶点E, F, G 分别在AB, BC, FD 上.连接 DH 如果 BC=13 BF=4, AB=12,则 tan / HDG 勺值为.7.实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a b cA. |a|=|b|B. a+c>0C. a = -1ba+b=0,那么下列结论错误的是D. abc>08.如图，在口 ABCD 中，点E 在BC 边上, DC 、AE 的延长线交于点 F ,下列结论错误的是（）A . AF FE BCCE B . CE _ CBE F - AEEF CE AEAB C . AF CB D. EFCF9.港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额 1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（ A. 1.269 X10 10B. 1.269 X 10 11C. 12.69X10 10D. 0.1269 X10 1210.若不等式组x-2 1-2x有解，则m 的取值范围是（）11.若两个连续整数积之和是（）16 .抛掷一枚质地均匀的硬币，连续3次都是正面向上，则关于第 4次抛掷结果，P （正面向上）P（反面向上）.（填写或“=”）17 .计算：2#-回=.18 .在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1, 2, 3,这些卡片除数字不同外其余均相同，从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上数字 之和为奇数的概率是 . 三、解答题onio 「1L O19 .（1） -12019+|--|V3-2| -2sin60. x 2x -1x - 4 ...........（2）化简：.x2- 2 一卜工^ ,并从owxv 5中选取合适的整数代入求值.x 2-2x x 2-4x 4 x20 .如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都是1,点P 、Q 都在格点上.（2）在图中画出一个以 P 、Q 为其中两个顶点的格点平行四边形，且面积等于（ 1）中的k 的值.21 .计算:22 .甲、乙两人在笔直的道路 AB 上相向而行，甲骑自行车从A 地到B 地，乙驾车从 B 地到A 地，假设他们分别以不同的速度匀速行驶，甲先出发6分钟后，乙才出发，乙的速度为旦千米/分，在整个过程2中，甲、乙两人之间的距离y （千米）与甲出发的时间x （分）之间的部分函数图象如图.（1）A 、B 两地相距千米，甲的速度为千米/分；（2）求线段EF 所表示的y 与x 之间的函数表达式;（1）若点P 的坐标记为（-1,1 ）,反比例函数ky =一的图像的一条分支经过点 xQ 求该反比例函数解析4 18.24 .设a, b, c 为互不相等的实数，且满足关系式： b 2+c 2= 2a 2+16a+14①bc=a 2-4a-5②.求a 的取值25 .如图，已知正方形 ABC 邛，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上一点，且 CE= CF.若/ BEC=题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DB AA CB D BBDCA、填空题13 .抽样调查普查(m+2 ( m- 2).1 22B?2a -1,并从0, 1, B 2四个数中，给a 选取一个恰当***14.15. 16. 17.(3)当乙到达终点 A 时，甲还需多少分钟到达终点 的数进行求值.60° ,求/ EFD 的度数.B、选择题三、解答题19. (1) 1; (2) 1.【解析】 【分析】(1)按顺序先分别进行乘方的运算、负整数指数哥的运算、绝对值的化简、代入特殊角的三角函数值， 然后再按运算顺序进行计算即可；(2)括号内先进行分式的减法运算，然后再进彳T 分式的除法运算，化简后再从0Wxv 5中选取使分式有意义的整数值代入进行计算即可. 【详解】x 2 X-2-XX-1 X=2s7x x -2x -41=2 ,X-2从0Wxv 5可取x= 1,1此时原式=2=1.1-2(1)本题考查了实数的运算，熟悉乘方、负整数指数哥、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值是解题 的关键. (2)本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的，法则是解答此题的关键.420. (1) y =—；⑵详见解析.x【解析】⑴.12019 ・ 12 .2-|、,3 -2| -2sin=-1+4+* - 2-2X =-1+4+ 耶-2 -乖(1)建立平面直角坐标第，确定Q点坐标，即可求出反比例函数解析式;(2)由(1)得k=4,画出面积为4的平行四边形即可.【详解】(1)如图1 ,建立平面直角坐标系k k由题意得Q (2,2 ),把Q (2,2 )代入y =—得2 = 3 ,解得k=44・♦.该反比例函数解析式为y =-x(2)如图所示本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，解此题的关键是根据点P的坐标确定平面直角坐标系, 同时还考查了平行四边形的画法.21•【解析】【分析】根据绝对值，特殊角的三角函数值和负指数哥进行计算即可【详解】原式=-J2-1-,/2+4 =3【点睛】此题考查绝对值，特殊角的三角函数值和负指数哥，掌握运算法则是解题关键22. (1)24 ,［；(2)y =- 11x+33; (3)当乙到达终点A时，甲还需50分钟到达终点B.3 6【解析】【分析】(1)观察图象知A、B两地相距为24km,由纵坐标看出甲先行驶了2千米，由横坐标看出甲行驶2千米用____ . 、一2 一，了6分钟，则甲的速度是 -千米/分钟；6(2)列方程求出相遇时的时间，求出点F的坐标，再运用待定系数法解答即可；(3)根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案【详解】解：(1)观察图象知A B两地相距为24km,•••甲先行驶了2千米，由横坐标看出甲行驶2千米用了6分钟，……1 2 1・.甲的速度TE —=—千米/分钟；6 3 (1)故答案为：24, -；3(2)设甲乙经过a分钟相遇，根据题意得，3, 一1 ……一(a -6) + — a =24 ,解答a=18, 2 3••F(18, 0),设线段EF表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b,根据题意得，110=18x b k--11\ ，解得《 6 ,22=6k bb =33「•线段EF表示的y与x之间的函数表达式为y= - -' x+33;6⑶相遇后乙到达A地还需：(18 X1)+3 = 4(分钟)，3 2相遇后甲到达B站还需：(12 X ° ) + , = 54(分钟)2 3当乙到达终点A时，甲还需54- 4= 50分钟到达终点B.【点睛】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键.注意求出相遇后甲、乙各自的路程和时间.23.-£-2.a -2【解析】【分析】根据分式的运算，将分式化简后，再选中能使分式有意义的a的值代入求值即可.【详解】564Ei a(a -1) a 2-1 -2a 1原式=——2 ----- ------------(a -1) a -1 a(a -1) a -12-(a -1)2a(a -2)1------ ,a -2• aw 。
数学知识：一次函数知识的现实应用举例
一次函数知识的应用我们学过一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，还学过一次函数的性质．直线是最简单、最常见的几何图形，也是线段、射线的概念的基础，而两点确定一条直线、两点之间线段最短，于是，与直线或线段有关的最大或最小值问题，最多或最少等问题，必然反映到现实生活、生产实践或商品经济大潮中，摘选几例，予以说明．[例1] 如图所示，两村的坐标位置各为A(－3，3)、B(5，1)．x轴表示一条运河，两村拟在河旁合建一座扬水站C，使C到两村所用的管道最省，试确定点C 的位置(坐标单位：千米)．点B关于x轴的对称点)．解：作点B(5，1)关于x的对称点B′(5，－1)．由两点A、B′之间线段最短，连结AB′交x轴于点C，且CB′＝CB．设直线AB′为y＝kx＋b，则点A、B′在这条直线上，于是即扬水站建在图中的点C(3，0)处，可使C到两村所铺设的管道最省．[例2] 已知A市和B市各存机床12台和6台，现运往C市10台、D市8台．若从A市运一台到C市、D市各需4万元和8万元，若从B市运一台到C 市、D市各需3万元和5万元．(1)设B市运往C市x台，求总费用y关于x的函数关系式．(2)若总费用不超过95万元，问共有几种调运方法？(3)求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？解：(1)由题意，得B市运往D市(6－x)台，A市运往C市(10－x)台，A市运往D市[12－(10－x)]台，于是y＝3x＋(6－x)×5＋(10－x)×4＋(2＋x)×8，即y＝2x+86(0≤x≤6)．(2)根据题意，得2x＋86≤95．解得x≤4．5，由实际意义，应取x≤4．结合原函数的x取值范围，得0≤x≤4．所以x可取0，1，2，3，4这五个数，即总费用不超过95万元的调运方法共有五种．(3)由一次函数y＝2x＋86的性质知，y随x的增大而增大，而0≤x≤4，所以x＝0时，y取最小值86．即最低费用是86万元，调运方法是B市运往D市6台，A 市运往C市10台、运往D市2台．说明：本题用到了某个范围内的一次函数的最值的性质：当m≤x≤n(m＜n)、k＞0时，若x＝m，则y＝kx＋b取得最小值km＋b；若x＝n，则y＝kx＋b取最大值kn＋b．当m≤x≤n(m＜n)、k＜0时，若x＝m，则y＝kx＋b取得最大值km ＋b；若x＝n，则y＝kx+b取最小值kn＋b．下面给出练习思考题：(1)在边防沙漠区，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车装载供行驶14天的汽油．现有5辆巡逻车同时由驻地A出发，完成任务再返回A．为让其余3辆尽可能向更远距离巡逻(然后一起返回)，甲、乙两车行至途中B后，仅留足自己返回A必须的汽油，将多余的油给另3辆用，问另3辆行驶的最远距离是多少千米．(2)30名劳力承包75亩地，这些地可种蔬菜、玉米和杂豆．每亩蔬菜需0.5个劳力，预计亩产值2000元；每亩玉米需0.25个劳力，预计亩产值800元；每亩杂豆需0.125个劳力，预计亩产值550元．怎样安排种植计划，才能使总产值最大？最大产值是多少元？提示与略解：(1)设巡逻车行至B处用x天，从B到最远处用y天，则2[3(x＋y)＋2x]＝14×5，即又x＞0，y＞0，14×5－(5＋2)x≤14×3，所以x＝4时，y取最大值5．另三辆车行驶最远距离：(4＋5)×200＝1800(千米)．(2)设种蔬菜、玉米、杂豆各x、y、z亩，总产量u元．则所以45≤x≤55，即种蔬菜55亩，杂豆20亩，最大产值为121000元．。
中考数学总复习训练 一次函数的实际应用含解析
一次函数的实际应用一、利用函数的解析式解决问题1．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元）15 20 25 …y （件）25 20 15 …若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．3．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？4．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码）鞋长（cm） 16 19 21 24鞋码（号） 22 28 32 38（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上；（2）求x、y之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？5．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费．设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时y与x的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x 的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式．（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油．求A加油站到甲地的距离．7．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？二、利用函数的增减性解决问题8．某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？甲乙每千克饮料果汁含量果汁A 0.5千克0.2千克B 0.3千克0.4千克9．某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8：00～12：00，下午14：00～18：00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分）10 10 35030 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分；（2）小王该月最多能得多少元此时生产甲、乙两种产品分别多少件．10．“5.12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元．（1）该经销商先捐款元，后捐款元；（用含x的式子表示）（2）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）该经销商两次至少共捐助多少元？11．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220 200 200运往E县的费用（元/吨）250 220 210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？12．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？13．“5•12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；C D 总计A 200吨B x吨300吨总计240吨260吨500吨（2）设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．14．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A型利润B型利润甲店200 170乙店160 150（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W 关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？一次函数的实际应用参考答案与试题解析一、利用函数的解析式解决问题1．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=﹣24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=﹣3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24x2+21600x+2400000=﹣24（x﹣450）2+7260000，∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元）15 20 25 …y （件）25 20 15 …若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题；图表型．【分析】（1）已知日销售量y是销售价x的一次函数，可设函数关系式为y=kx+b（k，b 为常数，且k≠0），代入两组对应值求k、b，确定函数关系式．（2）把x=30代入函数式求y，根据：（售价﹣进价）×销售量=利润，求解．【解答】解：（1）设此一次函数解析式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）．（1分）则．（2分）解得k=﹣1，b=40（4分）即一次函数解析式为y=﹣x+40（5分）（2）当x=30时，每日的销售量为y=﹣30+40=10（件）（6分）每日所获销售利润为（30﹣10）×10=200（元）（8分）【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．3．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？【考点】一次函数的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）可设y=kx+b，因为由图示可知，x=4时y=10.5；x=7时，y=15，由此可列方程组，进而求解；（2）令x=4+7，求出相应的y值即可．【解答】解：（1）设y=kx+b（k≠0）．（2分）由图可知：当x=4时，y=10.5；当x=7时，y=15．（4分）把它们分别代入上式，得（6分）解得k=1.5，b=4.5．∴一次函数的解析式是y=1.5x+4.5（x是正整数）．（8分）（2）当x=4+7=11时，y=1.5×11+4.5=21（cm）．即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．（10分）【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．而它通过所有学生都熟悉的摞碗现象构造问题，将有关数据以直观的形象呈现给学生，让人耳目一新．从以上例子我们看到，数学就在我们身边，只要我们去观察、发现，便能找到它的踪影；数学是有用的，它可以解决实际生活、生产中的不少问题．4．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码）鞋长（cm） 16 19 21 24鞋码（号） 22 28 32 38（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上；（2）求x、y之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题；图表型．【分析】（1）可利用函数图象判断这些点在一条直线上，即在一次函数的图象上；（2）可设y=kx+b，把两个点的坐标代入，利用方程组即可求解；（3）令（2）中求出的解析式中的y等于44，求出x即可．【解答】解：（1）如图，这些点在一次函数的图象上；（2）设y=kx+b，由题意得，解得，∴y=2x﹣10．（x是一些不连续的值．一般情况下，x取16、16.5、17、17.5、26、26.5、27等）；（3）y=44时，x=27．答：此人的鞋长为27cm．【点评】本题首先利用待定系数法确定一次函数的解析式，然后利用函数实际解决问题．5．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费．设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时y与x的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？【考点】一次函数的应用．【专题】应用题．【分析】（1）因为月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费，所以当0≤x≤20时，y与x 的函数表达式是y=2x；因为月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费，所以当x＞20时，y与x的函数表达式是y=2×20+2.6（x﹣20），即y=2.6x ﹣12；（2）由题意可得：因为四月份、五月份缴费金额不超过40元，所以用y=2x计算用水量；六月份缴费金额超过40元，所以用y=2.6x﹣12计算用水量．【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是：y=2x；当x＞20时，y与x的函数表达式是：y=2×20+2.6（x﹣20）=2.6x﹣12；（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，故0≤x≤20，此时y=2x，六月份的水费超过40元，x＞20，此时y=2.6x﹣12，所以把y=30代入y=2x中得，2x=30，x=15；把y=34代入y=2x中得，2x=34，x=17；把y=42.6代入y=2.6x﹣12中得，2.6x﹣12=42.6，x=21．所以，15+17+21=53．答：小明家这个季度共用水53m3．【点评】本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x 的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式．（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油．求A加油站到甲地的距离．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）可根据待定系数法来确定函数关系式；（2）可依照（1）得出的关系式，得出结果；（3）要根据图象中自变量的3种不同的取值范围，分类讨论；（4）根据（3）中得出的函数关系式，根据自变量的取值范围分别计算出A加油站到甲地的距离．【解答】解：（1）y1=60x（0≤x≤10），y2=﹣100x+600（0≤x≤6）（2）当x=3时，y1=180，y2=300，∴y2﹣y1=120，当x=5时y1=300，y2=100，∴y1﹣y2=200，当x=8时y1=480，y2=0，∴y1﹣y2=480．（3）当两车相遇时耗时为x，y1=y2，解得x=，S=y2﹣y1=﹣160x+600（0≤x≤）S=y1﹣y2=160x﹣600（＜x≤6）S=60x（6＜x≤10）；（4）由题意得：S=200，①当0≤x≤时，﹣160x+600=200，∴x=，∴y1=60x=150．②当＜x≤6时160x﹣600=200，∴x=5，∴y1=300，③当6＜x≤10时，60x≥360不合题意．即：A加油站到甲地距离为150km或300km．【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．注意自变量的取值范围不能遗漏．7．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；分段函数．【分析】（1）由图中可知，10吨水出了15元，那么a=15÷10=1.5元，用水8吨，应收水费1.5×8元；（2）由图中可知当x＞10时，有y=b（x﹣10）+15．把（20，35）代入一次函数解析式即可．（3）应先判断出两家水费量的范围．【解答】解：（1）a=15÷10=1.5．（1分）用8吨水应收水费8×1.5=12（元）．（2分）（2）当x＞10时，有y=b（x﹣10）+15．（3分）将x=20，y=35代入，得35=10b+15．b=2．（4分）故当x＞10时，y=2x﹣5．（5分）（3）∵假设甲乙用水量均不超过10吨，水费不超过46元，不符合题意；假设乙用水10吨，则甲用水14吨，∴水费是：1.5×10+1.5×10+2×4＜46，不符合题意；∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．（6分）设甲、乙两家上月用水分别为x吨，y吨，则甲用水的水费是（2x﹣5）元，乙用水的水费是（2y﹣5）元，则（8分）解得：（9分）故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．（10分）【点评】本题主要考查了一次函数与图形的结合，应注意分段函数的计算方法．二、利用函数的增减性解决问题8．某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？甲乙每千克饮料果汁含量果汁A 0.5千克0.2千克B 0.3千克0.4千克【考点】一元一次不等式组的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）由题意可知y与x的等式关系：y=4x+3（50﹣x）化简即可；（2）根据题目条件可列出不等式方程组，推出y随x的增大而增大，根据实际求解．【解答】解：（1）依题意得y=4x+3（50﹣x）=x+150；（2）依题意得解不等式（1）得x≤30解不等式（2）得x≥28∴不等式组的解集为28≤x≤30∵y=x+150，y是随x的增大而增大，且28≤x≤30∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y最小，即y最小=28+150=178元．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题的不等关系为：甲种果汁不超过19，乙种果汁不超过17.2．9．某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8：00～12：00，下午14：00～18：00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分）10 10 35030 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分；（2）小王该月最多能得多少元此时生产甲、乙两种产品分别多少件．【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题；阅读型；图表型．【分析】（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y的值．（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．【解答】解：（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．由题意得：（2分）即：解这个方程组得：答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（4分）（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分．则生产甲种产品件，生产乙种产品件．（5分）∴w总额===0.1x+1680﹣0.14x=﹣0.04x+1680（7分）又，得x≥900，由一次函数的增减性，当x=900时w取得最大值，此时w=0.04×900+1680=1644（元）此时甲有（件），乙有：（件）（9分）答：小王该月最多能得1644元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．【点评】通过表格当中的信息，我们可以利用列方程组来求出生产甲、乙两种产品的时间，然后利用列函数关系式表示出小王得到的总钱数，然后利用一次函数的增减性求出钱数的最大值．10．“5.12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元．（1）该经销商先捐款元，后捐款元；（用含x的式子表示）（2）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）该经销商两次至少共捐助多少元？【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可直接得出经销商先捐款50x•70%=35x元，后捐款35（5000﹣x）•80%或（140000﹣28x）元；（2）根据题意可列出式子为y=7x+140000，根据“50x﹣20000≥0”，“5000﹣x＞0”求出自变量取值范围为400≤x＜5000；（3）当x=400时，y最小值=142800．【解答】解：（1）50x•70%或35x，35（5000﹣x）•80%或（140000﹣28x）；（2）y与x的函数关系式为：y=7x+140000，由题意得解得400≤x＜5000，∴自变量x的取值范围是400≤x＜5000；（3）∵y=7x+140000是一个一次函数，且7＞0，400≤x＜5000，∴当x=400时，y最小值=142800．答：该经销商两次至少共捐款142800元．【点评】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值．11．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220 200 200运往E县的费用（元/吨）250 220 210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨，得到一个二元一次方程组，求解即可．（2）根据题意得到一元二次不等式，再找符合条件的整数值即可．（3）求出总费用的函数表达式，利用函数性质可求出最多的总费用．【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．（1分）由题意，得（2分）解得（3分）答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨．（4分）（2）由题意，得（5分）解得即40＜x≤45．∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．（6分）则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．。
一次函数在生活中的应用
一次函数在生活中的应用所谓一次函数在生活中的应用，就是指运用一次函数的有关概念、性质去解决实际问题。
它的基本思路是通过对题目的阅读理解，抽象出实际问题中的函数关系，将文字语言转化为数学语言，再运用函数的思想方法来建立实际问题中的变量间的函数关系。
下面，以中考题为例说明，希望能够对大家有所帮助。
例1 我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售。
按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。
根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。
分析：利用题中数量关系，先确定y 与x 之间的函数关系式，再分类讨论。
（1）根据题意，装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，那么装运C 种脐橙的车辆数为()y x --20，则有：()10020456=--++y x y x 整理得：202+-=x y（2）由（1）知，装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、202+-x 、x ，由题意得：⎩⎨⎧≥+-≥42024x x ，解得：4≤x ≤8，因为x 为整数，所以x 的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种。
方案一：装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车；方案二：装运A 种脐橙5车，B 种脐橙10车，C 种脐橙5车；方案三：装运A 种脐橙6车，B 种脐橙8车，C 种脐橙6车；方案四：装运A 种脐橙7车，B 种脐橙6车，C 种脐橙7车；方案五：装运A 种脐橙8车，B 种脐橙4车，C 种脐橙8车；（3）设利润为W （百元）则：()160048104162025126+-=⨯+⨯+-+⨯=x x x x W∵048<-=k ∴W 的值随x 的增大而减小要使利润W 最大，则4=x ，故选方案一1600448+⨯-=最大W ＝1408（百元）＝14.08（万元）答：当装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车时，获利最大，最大利润为14.08万元。
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一次函数在实际生产生活中的应用举例
运用函数知识解决简单的实际问题，体会函数是解决实际问题的数学模型和方法，既是新课程标准的要求，也是中考命题的热点，近几年的中考试题对一次函数的考查力度呈加大
趋势，热点问题集中在一次函数的实际应用上，应该引起同学们的关注．现就应用一次函数
知识在生活、生产实际中解决实际问题举几例说明．
1在日常生活中的应用
一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛．例如，当我们购物、租车、住宿、缴水电
费时，会为我们提供两种或多种优惠方案，这些问题往往可利用一元一次函数解决．例1为加强公民的节水意识，某市制定如下的用水标准：每月每户用水未超过7 m3时，每立方米收 1.0元并加收0.2元污水处理费；超过7 m3时，超过部分每立方米收 1.5元并加收0.4元污水费，设某户每月的用水为x m3，应交水费y元．
(1)写出y与x之间的函数关系式．
(2)若某单元所在小区共有50户，某月共交水费541.6元，且每户用水均未超过10 m3，这个月用水未超过7 m3的用户最多可能有多少户？
解(1)由题意可知，当0≤x≤7时，y＝1.2x．
当x>7时，y＝1.9（x－7）＋7×1.2＝1.9（x－7）＋8.4．
所以y与x之间的函数关系式为
(2)设月用水量未超过7 m3共有x户．
因为月用水7 m3的应交水费8.4元，用水10 m3的应交水费(5.7＋8.4)元，
根据题意，得
(50－x)(5.7＋8.4)＋8.4x＝541.6．
解得x≈28. 67．
若x＝29时，交费的最大额数为29×8.4＋21×14.1＝539.7<541.6．
所以x＝28（户）．即月用水量未超过7 m3的用户最多有28户．
2在市场经济中的应用
随着市场经济体制的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩．买与卖，
存款与保险，股票与债券,,都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，
利息与利率，统计与概率，运筹与优化等，都将在数学课程中呈现出来．
例2某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100 t到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以
下问题：
(1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B，种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
(2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？写出每种
安排方案；
(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．
解(1)根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为（20－x－y），则有
6x＋5 y＋4（20－x－y）＝100．
整理，得y＝－2x＋20．
(2)由(1)知，装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、－2x ＋20、x ，根据题意，得
4220
4
x x
，解得4≤x ≤8．因为x 为整数，所以x 的值为4、5、6、7、8，所以安排方
案共有5种，
方案一：装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车；方案二：装运A 种脐橙5车，B 种脐橙10车，C 种脐橙5车；方案三：装运A 种脐橙6车，B 种脐橙8车，C 种脐橙6车；方案四：装运A 种脐橙7车，B 种脐橙6车，C 种脐橙7车；方案五：装运
A 种脐橙8车，
B 种脐橙4车，
C 种脐橙8车．
(3)设利润为W(百元)，根据题意，得
W ＝6x ×12＋5(－2x ＋20)×16＋4x ×10＝－48x ＋1 600．因为k ＝－48<0，所以W 的值随x 的增大而减小，要使利润W 最大，x 取最小值4，
故选方案一．
W 最大＝－
48×4＋1 600＝1 408（百元）＝14.08(万元)．
3
在工程问题中的应用
下面这道题看似平常却是别有新意的好题，
本题突破了传统的工程问题的模式，
将工程
问题与一次函数图像相联系，进一步加强了传统经典习题与现实生活的联系，
在新的时代背景中更好地学习和掌握数学知识．
例3
某县在实施“村村通”工程中，决定在
P 、Q 两村之
间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从P 、Q 两村同时相向
开始修筑．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．如图1是甲、乙两个工程队所修
道路的长度y(m)与修筑时间
x （天）之间的函数图像，请根据图
像所提供的信息，求该公路的总长．
解由乙图像可知，A(12，840)．设y
乙＝kx(0≤x ≤12)，因为
840＝12k ，所以k ＝70．解
得y
乙＝70x ．
当x ＝8时，y 乙＝560，所以C(8，560)．
设y 甲＝mx ＋n(4≤x ≤16)，将B(4，360)、C(8，560)代入，得
43608560
m n m n
，解得
50160
m n
．
所以y 甲＝50x ＋160．当x ＝16时，y
甲＝50×16＋160＝960．
由此可得乙修筑公路长840 m ，甲修筑公路长960 m ．故该公路全长为1800 m ．
4在行程问题中的应用
行程问题是一个常规的问题，而新课程下的行程问题，往往与图像、图形、表格等结合
在一起，不仅考查了我们对知识的理解，而且考查了识图能力和数形结合的数学思想．
例4
甲、乙两人骑自行车前往
A 地，他们距A 地的路程 5 (km)与行驶时间t(h)之间的
关系如图2所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)甲、乙两人的速度各是多少？(2)写出甲、乙两人距
A 地的路程s 与行驶时间t 之间的
函数关系式（任写一个）．(3)在什么时间段内乙比甲离A 地更近？
解
(1)由图像知，甲
2.5 h 行驶50 km ，
所以V
甲＝
502.5
＝20(km/h)．
乙2h行驶60 km，所以V乙＝60
2
＝30(km/h)．
(2)s甲＝50－20t或s乙＝60－30t．
(3)当1<t<2.5时，s乙的图像在s甲的图像的下面，说明在同一时刻，s乙<s甲，即乙离A 地距离小于甲离A地距离，乙比甲离A地更近，
以上四例说明，一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛，内容十分丰富，上述题
目联系实际和时代的热点，较为自然地考查了一次函数模型的实际问题，同时也考查了同学们利用函数思想和方程、不等式、最值等知识解决问题的能力，希望同学们能从中得到启示，善于运用数学去分析身边周围的现象，学会用数学知识分析和解决生产、生活中的一些实际问题．。