12.8总体、样本与随机变量
《总体和样本》课件
2
随机抽样方法
随机抽样是一种完全随机的抽样方法，每个个体都有相等的机会被选入样本中， 确保样本的代表性。
3
非随机抽样方法
非随机抽样是根据研究者的主观判断或特定条件选择样本的方法，可以提高效率， 但可能引入偏差。
总体和样本的统计推断
1
参数估计
参数估计是通过样本数据推断总体的参数。可以使用点估计和区间估计方法来对总体 本 中各个值的出现可能性，帮 助我们对总体进行推断和估 计。
样本统计量的概率 分布
样本统计量的概率分布描述 了不同样本统计量的取值可 能性，用于估计总体参数和 进行统计推断。
总体和样本的抽样方法
1
抽样的定义
抽样是从总体中选择样本的过程。它需要严格的抽样方法，以保证样本的代表性 和可靠性。
《总体和样本》PPT课件
在本课件中，我们将深入了解总体和样本的概念和关系，概率分布，抽样方 法以及统计推断的重要性。
什么是总体和样本
总体
总体是指我们研究的整个群体或对象的集合。可以是人群、动物种群或其他感兴趣的对象。
样本
样本是从总体中选取的具有代表性的一部分。通过对样本进行研究和分析，我们可以了解总 体的特性。
总体和样本的区别
1 含义
2 关系
3 特点
总体是整个群体的集合， 而样本是总体的一个子 集。
样本是从总体中抽取的， 可以用来推断总体的特 征和属性。
总体是研究的对象，而 样本是我们可以直接观 察和收集数据的部分。
总体和样本的概率分布
总体的概率分布
总体的概率分布描述了总体 中各个值出现的可能性，并 帮助我们理解总体的统计特 征。
2 总体和样本的概率分布
总体是整个群体，样本是总体的一部分， 样本可以用来推断总体的特征和属性。
统计学中的样本与总体的概念与应用
统计学中的样本与总体的概念与应用统计学是研究数据收集、分析和解释的科学领域。
在统计学中，样本与总体是两个重要的概念，它们在实际数据分析中有着广泛的应用。
本文将详细介绍样本与总体的概念，并阐述它们在统计学中的应用。
一、样本的概念与表示方法样本是从总体中选取的一部分观察对象或单位，用来代表总体的特征和属性。
在实际应用中，我们通常无法对整个总体进行观察和数据收集，因此通过对样本的研究和分析，可以获得对总体的估计和推断。
样本的表示方法通常用符号表示，如n表示样本容量，x表示样本观察值或样本数据，其中x1、x2、...、xn表示不同观察单位或对象的观察值。
二、总体的概念与特点总体是指研究对象的全体，也称为统计对象的全体。
在统计学中，总体通常具有以下特点：1. 总体是一个完整的集合，包含了研究对象的全部个体或单位。
2. 总体是一个统计学意义下的概念，它可以是有限的也可以是无限的。
3. 总体的大小和分布通常是我们研究的目标。
在实际应用中，我们通常通过对样本的研究和分析来推断总体的特征和属性。
三、样本与总体的关系样本与总体有着密切的关系，样本是总体的一个部分，通过对样本的研究和分析，可以得到对总体的估计和推断。
样本的选取必须具有合理性和代表性，以保证对总体做出准确的推断。
样本与总体之间的关系可以用如下公式表示：总体参数=样本统计量±抽样误差其中，总体参数是对总体特征的总结和刻画，样本统计量是对样本数据的总结和刻画，抽样误差是由于样本选取的随机性导致的误差。
四、样本与总体的应用样本与总体的概念在统计学中有着广泛的应用，主要体现在下面几个方面：1. 总体参数估计：通过对样本数据的分析，可以对总体的特征和属性进行估计。
样本的选取要具有代表性，估计方法要科学合理，才能保证估计结果的准确性。
2. 假设检验：在统计学中，我们常常需要对某个假设进行验证。
通过对样本数据的研究和分析，可以得出对总体假设的推断，进而对假设的成立与否进行检验。
样本与总体知识点总结
样本与总体知识点总结什么是样本与总体？在统计学中，样本与总体是两个非常重要的概念。
总体是指研究者想要研究的全部对象或者个体的集合，而样本则是从总体中抽取出来的一部分个体。
研究者通常通过对样本进行研究来推断总体的特征和规律。
在实际研究中，由于总体通常是巨大而复杂的，对其做出全面的研究是不切实际的。
因此，研究者通常会通过抽样的方式从总体中选取一部分个体作为样本进行研究。
通过对样本的研究，研究者可以推断总体的特征和规律，从而得出对总体的认识和结论。
样本与总体的关系样本与总体的关系是统计学中非常重要的一个概念。
样本是对总体的一种描述和代表，通过对样本的研究可以推断总体的特征和规律。
因此，在统计学中，样本与总体的关系是密不可分的。
研究者通常通过对样本的研究来推断总体的特征和规律。
在实际研究中，由于总体通常是巨大而复杂的，对其做出全面的研究是不切实际的。
因此，研究者通常会通过抽样的方式从总体中选取一部分个体作为样本进行研究。
通过对样本的研究，研究者可以推断总体的特征和规律，从而得出对总体的认识和结论。
抽样方法在进行抽样时，研究者通常会利用各种抽样方法来选择样本，常用的抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。
通过这些抽样方法，研究者可以有效地选择出具有代表性的样本，从而进行更加有效和准确的研究。
简单随机抽样是指从总体中随机地选择n个个体作为样本。
这种抽样方法简单易行，对总体的代表性较好，但是在抽样的过程中需要注意避免抽取到不具代表性的样本。
系统抽样是指按照一定的规则从总体中选择样本，例如每隔k个个体选择一个个体作为样本。
这种抽样方法能够有效地避免了主观性和随意性，但是对总体的代表性可能较差。
分层抽样是指将总体分成若干层，然后从每一层中分别选择样本。
这种抽样方法能够有效地保证了总体的代表性，但是需要对总体进行详细的分层，制定相应的抽样计划和方法。
整群抽样是指将总体划分成若干个群体，然后从这些群体中选择若干群作为样本。
《总体与样本》 讲义
《总体与样本》讲义在我们的日常生活和各种研究领域中，经常会听到“总体”和“样本”这两个词。
那么，它们到底是什么意思呢？又为什么如此重要呢？接下来，就让我们一起来深入了解一下总体与样本。
首先，我们来谈谈什么是总体。
总体，简单来说，就是我们研究中所关注的全部对象的集合。
比如说，我们要研究某个城市所有居民的收入情况，那么这个城市的所有居民就构成了总体。
再比如，要研究某一批产品的质量，这一批产品的全体就是总体。
总体具有一些特点。
其一，总体的范围是明确界定的。
我们必须清楚地知道哪些对象属于总体，哪些不属于。
其二，总体中的个体可能具有各种各样的特征和属性。
然而，在大多数实际情况中，要对整个总体进行研究往往是不现实的。
这可能是因为总体规模太大，要获取所有个体的信息需要耗费大量的时间、人力和物力；也可能是因为对总体进行全面研究在技术上存在困难。
这时候，样本就派上用场了。
样本，是从总体中抽取出来的一部分个体。
通过对样本的研究，我们可以推断总体的情况。
比如说，我们不可能去调查一个城市所有居民的收入，但是可以随机抽取一部分居民进行调查，这部分被抽取的居民就是样本。
样本的抽取需要遵循一定的原则和方法，以确保样本具有代表性。
代表性意味着样本能够反映总体的特征和规律。
如果样本不具有代表性，那么基于样本得出的结论就可能是不准确的，甚至是错误的。
为了抽取具有代表性的样本，我们常常采用随机抽样的方法。
随机抽样有多种方式，比如简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
简单随机抽样，就是从总体中随机地抽取个体，每个个体被抽取的概率相等。
这就好像从一个装满球的盒子里，蒙上眼睛随机摸出几个球。
分层抽样则是先将总体按照某些特征分成不同的层次或类别，然后从每个层次中分别进行随机抽样。
比如说，要研究一个学校学生的成绩情况，可以先按照年级分层，然后从每个年级中随机抽取一定数量的学生。
系统抽样是先将总体中的个体按照某种顺序排列，然后按照一定的间隔抽取个体。
概率与统计中的样本与总体的概念与关系
概率与统计中的样本与总体的概念与关系概率与统计是一门重要的数学学科，它研究了随机事件的发生规律以及对这些规律进行预测和推断的方法。
在概率与统计中，样本与总体是两个基本概念，它们之间存在密切的关系。
本文将介绍样本与总体的概念以及它们之间的关系。
一、总体的概念总体是概率与统计中的重要概念之一，它指的是我们要研究的对象或者现象的全体。
在实际应用中，总体可以是任何一个我们感兴趣的群体，例如全国人口、某一大型企业的员工、一批产品的质量等。
总体通常是由一定数量的个体组成，每个个体都具有一些共同特征或者性质。
在统计学中，我们通常通过抽样的方式来研究总体。
而样本则是从总体中选取出来的一部分个体。
下面我们将详细介绍样本的概念与特点。
二、样本的概念样本是总体的一个子集，它是我们从总体中选取的一部分观察值。
通过对样本的研究和分析，我们可以对总体做出一些推断和预测。
选择一个好的样本具有很大的重要性，因为样本应该能够充分代表总体的特征，从而使得我们对总体的推断具有一定的科学性和准确性。
样本有以下几个重要的特点：1. 随机性：样本应该是随机选取的，即每个个体都有同等机会被选入样本。
通过随机抽样的方法，我们可以尽可能避免主观因素对样本选择的影响，使得样本更具有代表性。
2. 独立性：样本中各个个体之间应该是相互独立的，即每个个体的选择不会对其他个体的选择产生影响。
独立样本的选取可以保证样本的观察结果具有一定的独立性，从而使得我们的统计分析结果更为准确。
3. 数量适当：样本的数量应该适中，既不能太小以至于不具有代表性，也不能太大以至于过于繁琐。
通过适当的样本容量，我们可以在保证样本的代表性的同时，提高研究的效率。
三、样本与总体的关系样本是总体的一部分，通过对样本的研究和分析，我们可以对总体做出一些推断和预测。
样本与总体之间的关系可以通过以下几个方面来描述：1. 代表性：样本应该具有代表性，即样本中的个体应该能够很好地反映总体的特征。
总体和样本的关系
总体和样本的关系在我们日常生活和各种研究领域中，“总体”和“样本”是两个经常被提及的概念。
它们之间存在着密切而又独特的关系，理解这种关系对于我们进行有效的观察、研究和决策具有至关重要的意义。
总体，简单来说，就是我们所关注的研究对象的全部集合。
比如说，我们想要研究某个城市所有居民的收入情况，那么这个城市的全体居民就构成了总体。
总体具有完整性和全面性的特点，但在实际操作中，要获取总体的所有信息往往是不现实的，甚至是不可能的。
这就引出了样本的概念。
样本则是从总体中抽取出来的一部分个体。
还是以研究城市居民收入为例，我们可能随机抽取了 1000 名居民来进行调查，这 1000 名居民就组成了一个样本。
样本的作用在于，它能够在一定程度上代表总体的特征和规律。
那么，总体和样本之间到底是怎样的一种关系呢？首先，样本是总体的一个缩影。
一个好的样本应该能够反映总体的基本特征。
这就要求在抽取样本的时候，要遵循一定的原则和方法，以确保样本的代表性和随机性。
如果样本的抽取不科学，就可能导致样本偏差，从而无法准确地推断总体的情况。
比如，在调查某个地区居民的健康状况时，如果只抽取了在医院就诊的人群作为样本，那么这个样本很可能会高估该地区居民的健康问题，因为在医院的人群本身就是健康存在问题的一部分，不能代表整个地区居民的真实健康状况。
其次，总体决定了样本的特征范围。
总体的性质和特点会在很大程度上影响样本的分布和特征。
如果总体是均匀分布的，那么抽取的样本也更有可能呈现出均匀的特征；如果总体存在明显的差异和分层，那么在抽取样本时就需要考虑分层抽样等方法，以保证样本能够涵盖总体的各个层次。
同时，样本可以用来推断总体。
通过对样本进行详细的观察、测量和分析，我们可以根据统计学的方法和原理，对总体的情况进行估计和推断。
但需要注意的是，这种推断是存在一定误差的，误差的大小与样本的大小、抽样方法以及总体的特征等因素有关。
样本容量的大小对于总体和样本的关系也有着重要的影响。
初中数学知识归纳统计与概率的基本概念
初中数学知识归纳统计与概率的基本概念初中数学知识归纳——统计与概率的基本概念统计学和概率论是数学中非常重要的分支，它们与我们日常生活息息相关。
在初中数学中，我们也需要学习和掌握一些统计与概率的基本概念。
本文将系统地介绍初中数学中与统计与概率相关的基本概念。
一、统计的基本概念1. 总体与样本统计研究的对象是所关心的某一群体，这个群体叫做总体。
总体中的个体就是样本。
2. 调查与统计通过对样本的调查，我们可以得到有关总体的一些信息。
对样本的调查可以有两种方式：抽样调查和全面调查。
而对得到的数据进行分析和总结的过程叫做统计。
3. 随机性与规律性样本调查的结果往往具有一定的随机性，即结果可能会有一定的误差。
但是，当我们进行大量的样本调查时，总体之间也会表现出一些规律性的特征。
二、统计学中的常见参数统计学中，我们常用一些参数来描述总体的某些特征。
下面介绍几个常见的参数。
1. 频数与频率统计过程中，我们常常统计某个事件或数值出现的次数，这个次数叫做频数；频数与总样本容量的比值称为频率。
2. 平均数与中位数平均数是一组数据的总和除以数据的个数；中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处在中间位置的数值。
3. 众数与极差众数是一组数据中出现次数最多的数值；极差指的是最大值与最小值之间的差距。
三、概率的基本概念1. 随机试验与样本空间概率与统计学一样，也是研究随机现象的一门学科。
随机试验是指在相同的条件下可以进行多次的试验，但每次试验的结果是不确定的。
样本空间是指所有可能结果的集合。
2. 事件与概率事件是样本空间的一个子集，它包含了我们感兴趣的部分。
事件的概率可以用事件发生的次数与随机试验的次数之比来近似表示。
3. 事件间的关系与计算概率论提供了一系列的公式和方法，用于计算复杂事件之间的概率。
例如，联合事件、互斥事件、相互独立事件等。
结语统计与概率是数学中重要的概念，在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
通过本文的介绍，我希望大家对初中数学中关于统计与概率的基本概念有了更加清晰的认识。
应用数理统计—总体和样本
=F(x1) F(x2) … F(xn) 若总体 X 的概率密度为f(x)，则其简单随机样 本X1, X2,…, Xn的联合分布密度为
f(x1, x2, …,xn)= f X1 (x1) f X2 (x2 ) f Xn (xn )
f (x1,..., xn ) f (x1)... f (xn ) x1 1... xn 1
( )n(x1...xn ) 1 ,0 x1 1,...,0 xn 1
例2 设总体 X 服从参数为 p 的二点分布， X1, X2, …, Xn为取自该总体的样本，求X1, X2, …, Xn的联合 分布律
再如，我们从某班大学生中欲抽取10人测量身
高，用 X1, X2, …, X10分别表示欲抽取的10个人的身 高。此时，样本为（X1, X2, …, X10）。进行试验后 ，得到10个数， (x1, x2,…,x10)，它们是样本取到的 值，即样本值.
由于抽样的目的是为了研究总体的分布特性， 因而要求抽取的样本能够较好地反映总体的有关信 息，这就必须对抽样方法提出一定的要求。
解： 由于X的概率函数为
f (x) P( X x) pxq1x, x 0,1
所以X1, X2,…, Xn的联合概率函数为
f (x1,..., xn ) P(X1 x1,...Байду номын сангаас Xn xn) P( X1 x1)...P( Xn xn )
n
n
f (x1)... f (xn )
px1q1x1... pxn q1xn
)
x 1,
0，
0 x 1: 0}
其他
样本分布族为
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分组计算算术平均数应注意
注意 如果在n个数据中,x1出 个数据中,
⋯ 次， 次, 现n1次，x2出现n2次, ,xk出现 nk 次(其中n1 + n2 + ⋯ + nk = n), 那么这n个数据的算术平均 数为: 数为:
x1n1 + x2n2 +⋯+ xk nk x= . n
思考
某校高三年级11000进行一次英 语测验,抽取了60人，算得其平均 成绩120分；为准确起见,，后来又 抽取了40人，算得其平均成绩123 分. 试用两次抽样的结果，估计这 次英语测验的总体期望值. 解：
统 40 x= =121.2 60 + 40
答：总体期望值为121.2 .
总体期望值的估计
概念
总体期望值的计算，一般在其 个体较少时，进行直接计算. 但在其个体较多或无限时，难 以计算.这时常通过抽取样本，用样 . 本的算术平均数来推断总体期望值 (总体的算术平均数), 这种方法称为 对“总体期望值的估计”.
例题
某校高三年级共100人，在一次 英语测验中, 其中60人的平均成绩 120分；另40人的平均成绩123分. 求这次英语测验的总体期望值. 解： 120×60 +123× 40
x= 60 + 40 =121.2
答：总体期望值为121.2 .
评注： (1) 读作“ . 评注： x 读作“x拔” 120 +123 评注： (2) = 121.5的错误. 评注： 注意防止x = 2
390 422 409 448 427 379 397 407 420 392 382 410 397 387 389 437 438 419 432 380
试估计哪个品种的水稻更优秀？
x甲 = 408.1 x乙 = 408.1 2 2 s 甲 = 357.49 s 乙 = 508.49 甲更优秀
思考
总体方差的估计
概念
总体方差的计算，在其个体较少时，易算； 但在其个体较多或无限时，难以计算.这时常通 过抽取样本，用样本的方差来推断总体方差， 这种方法称为对“总体方差的估计”. 一般在两组数据较多时，采用如下方 法比较其稳定性： (1)分别抽取样本； (2)计算出两个样本的方差； (3)比较样本方差； (4)推断总体方差，并比较两组数据的优劣.
复习 目标
掌握总体期望值和方差的概念. 掌握总体期望值和方差的计算 公式及其他们在实际问题中的 应用功能. 能较熟练地应用样本的算术平 均数和样本的方差估计总体期 望和方差，并能结合实际问题 对数据进行剖析.
总体期望值
概念 总体中所有观察值的总和除以 个体总数所得的商称为总体期望值. 即“总体期望值”为“总体的算术平均值” 功能 总体期望值能反映总体分布中 大量数据向某一数值集中的情况，利 用总体期望值可以对两个总体的差异 进行比较.
2 （ .7 − 3.3 2 + (3.8 − 3.3 2 + (3.0 − 3.3 2 + (3.7 − 3.3 2 + (3.5 − 3.3 2 + (3.1 − 3.3 2 ） ） ） ） ） ） S甲 ＝ 2
＝0.15， 乙的速度方差是
2 S乙 ＝
6
＝0.127， 2 2 ∴ S 乙 ＜ S甲 ． ∴ 乙的速度方差小，成绩更稳定． ∴ 乙的成绩更优秀．
试估计哪个品种的水稻更优秀？
x甲 = 408.1 x乙 = 408.1
数据的方差
⋯ 概念 设在一组数据x1，x2， ，xn中，各 数据的算术平均数为 x ，那么用 s2 = 1 [( x1 − x)2 + ( x2 − x)2 +⋯+ ( xn − x)2 ]来衡 n 2 量这组数的波动大小,并把 s 叫做这组 数据的方差 数据的方差. 功能 方差则描述一组数据的波动情况，
例题
被誉为“杂交水稻之父” 被誉为“杂交水稻之父”的中国科学院院士袁隆 为了得到良种水稻，进行了大量试验， 平，为了得到良种水稻，进行了大量试验，下表是 10个试验点对甲 乙两个品种的对比试验结果： 个试验点对甲、 在10个试验点对甲、乙两个品种的对比试验结果： 品 各 试 验 点 亩 产 量 (kg) 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 乙
．解 根据以上数据，得 甲的平均速度是 x 甲 ＝ 2.7 + 3.8 + 3.0 + 3.7 + 3.5 + 3.1＝3.3， 乙的平均速度是 x 乙 ＝ ∴甲、乙的平均速度一样大．
2.9 + 3.9 + 3.8 + 3.4 + 3.6 + 2.8 6
6
＝3.3，
分析： 分析：他们的平均速度一样大，应比较他们的速度哪个更稳定． 又甲的速度方差是
甲 乙
––
有甲、乙两名运动员，上一赛季教 练给他们的打分是：
101 101 109 98 103 98 105 101 108 115 90 85 75 115 110 102
为了迎接下一赛季的比赛进行调整队 员，如果在甲、乙两名运动员中选择 一位，请问你倾向选谁？为什么？
思考
已知两个样本如下： 甲：89.9 90.2 89.8 90.1 89.8 90 90.2 乙：90.1 89.6 90 90.4 89.7 90.9 90.3 试估计其总体期望值并比较他们的波动性大小？ 解：
即偏离算术平均数的大小，或者说数据的 稳定性
大 差
小 . 方差越大,数据的稳定性越差; 好 方差越小,数据的稳定性越好!
数据方差的功能
功能
由于总体方差是描述一个总 体的稳定性的特征量，因此可以 通过计算其方差的计算确定其稳 定性，同样也可以对两个总体的 方差进行大小比较，来确定两个 总体的波动情况，并进一步推断 这两个总体的优劣.
例题
被誉为“杂交水稻之父”的中国科学院院士 袁隆平，为了得到良种水稻，进行了大量试 验，下表是在10个试验点对甲、乙两个品种 的对比试验结果：
品 种 甲 乙 各 试 验 点 亩 产 量 (kg)
1 390 422 2 409 448 3 427 379 4 397 407 5 420 392 6 382 410 7 397 387 8 389 437 9 438 419 10 432 380
（ .9 − 3.3 2 + (3.9 − 3.3 2 + (3.8 − 3.3 2 + (3.4 − 3.3 2 + (3.6 − 3.3 2 + (2.8 − 3.3 2 2 ） ） ） ） ） ） 6
对总体 的研究
数据较 少时直 接研究 数据较 多时抽 样研究
抽样 方法 总体 估计 总体期 望估计 数据方 差估计
x甲=90， x乙 =90
2 甲 2 乙
s ≈ 0.02, s ≈ 0.07
答：他们的总体期望值都是90， 甲的波动性较小.
例7．为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩，在相同 的条件下对他们进行了6次测验，测得他们的平均速度 （m/s）分别如下： 甲：2．7 3．8 3．0 3．7 3．5 3．1 乙：2．9 3．9 3．8 3．4 3．6 2．8 试根据以上数据，判断他们谁更优秀． 分析：要根据他们6次测验速度比较谁更优秀， 分析：要根据他们6次测验速度比较谁更优秀，首先应比 较他们的平均速度哪个大．如果平均速度一样大，应比较 较他们的平均速度哪个大．如果平均速度一样大， 他们的速度哪个更稳定． 他们的速度哪个更稳定．