12.8总体、样本与随机变量

（ .9 − 3.3 2 + (3.9 − 3.3 2 + (3.8 − 3.3 2 + (3.4 − 3.3 2 + (3.6 − 3.3 2 + (2.8 − 3.3 2 2 ） ） ） ） ） ） 6
对总体 的研究
数据较 少时直 接研究 数据较 多时抽 样研究
抽样 方法 总体 估计 总体期 望估计 数据方 差估计
总体方差的估计
概念
总体方差的计算，在其个体较少时，易算； 但在其个体较多或无限时，难以计算.这时常通 过抽取样本，用样本的方差来推断总体方差， 这种方法称为对“总体方差的估计”. 一般在两组数据较多时，采用如下方 法比较其稳定性： (1)分别抽取样本； (2)计算出两个样本的方差； (3)比较样本方差； (4)推断总体方差，并比较两组数据的优劣.
120×60 +123× 40 x= =121.2 60 + 40
答：总体期望值为121.2 .
总体期望值的估计
概念
总体期望值的计算，一般在其 个体较少时，进行直接计算. 但在其个体较多或无限时，难 以计算.这时常通过抽取样本，用样 . 本的算术平均数来推断总体期望值 (总体的算术平均数), 这种方法称为 对“总体期望值的估计”.
2 （ .7 − 3.3 2 + (3.8 − 3.3 2 + (3.0 − 3.3 2 + (3.7 − 3.3 2 + (3.5 − 3.3 2 + (3.1 − 3.3 2 ） ） ） ） ） ） S甲 ＝ 2
＝0.15， 乙的速度方差是
2 S乙 ＝
6
＝0.127， 2 2 ∴ S 乙 ＜ S甲 ． ∴ 乙的速度方差小，成绩更稳定． ∴ 乙的成绩更优秀．
即偏离算术平均数的大小，或者说数据的 稳定性
大 差
小 . 方差越大,数据的稳定性越差; 好 方差越小,数据的稳定性越好!
数据方差的功能
功能
由于总体方差是描述一个总 体的稳定性的特征量，因此可以 通过计算其方差的计算确定其稳 定性，同样也可以对两个总体的 方差进行大小比较，来确定两个 总体的波动情况，并进一步推断 这两个总体的优劣.
例题
被誉为“杂交水稻之父”的中国科学院院士 袁隆平，为了得到良种水稻，进行了大量试 验，下表是在10个试验点对甲、乙两个品种 的对比试验结果：
品 种 甲 乙 各 试 验 点 亩 产 量 (kg)
1 390 422 2 409 448 3 427 379 4 397 407 5 420 392 6 382 410 7 397 387 8 389 437 9 438 419 10 432 380
x甲=90， x乙 =90
2 甲 2 乙
s ≈ 0.02, s ≈ 0.07
答：他们的总体期望值都是90， 甲的波动性较小.
例7．为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩，在相同 的条件下对他们进行了6次测验，测得他们的平均速度 （m/s）分别如下： 甲：2．7 3．8 3．0 3．7 3．5 3．1 乙：2．9 3．9 3．8 3．4 3．6 2．8 试根据以上数据，判断他们谁更优秀． 分析：要根据他们6次测验速度比较谁更优秀， 分析：要根据他们6次测验速度比较谁更优秀，首先应比 较他们的平均速度哪个大．如果平均速度一样大，应比较 较他们的平均速度哪个大．如果平均速度一样大， 他们的速度哪个更稳定． 他们的速度哪个更稳定．
例题
被誉为“杂交水稻之父” 被誉为“杂交水稻之父”的中国科学院院士袁隆 为了得到良种水稻，进行了大量试验， 平，为了得到良种水稻，进行了大量试验，下表是 10个试验点对甲 乙两个品种的对比试验结果： 个试验点对甲、 在10个试验点对甲、乙两个品种的对比试验结果： 品 各 试 验 点 亩 产 量 (kg) 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 乙
统计 结构
390 422 409 448 427 379 397 407 420 392 382 410 397 387 389 437 438 419 432 380
试估计哪个品种的水稻更优秀？
x甲 = 408.1 x乙 = 408.1 2 2 s 甲 = 357.49 s 乙 = 508.49 甲更优秀
思考
分组计算算术平均数应注意
注意 如果在n个数据中,x1出 个数据中,
⋯ 次， 次, 现n1次，x2出现n2次, ,xk出现 nk 次(其中n1 + n2 + ⋯ + nk = n), 那么这n个数据的算术平均 数为: 数为:
x1n1 + x2n2 +⋯+ xk nk x= . n
思考
某校高三年级11000进行一次英 语测验,抽取了60人，算得其平均 成绩120分；为准确起见,，后来又 抽取了40人，算得其平均成绩123 分. 试用两次抽样的结果，估计这 次英语测验的总体期望值. 解：
甲 乙
––
有甲、乙两名运动员，上一赛季教 练给他们的打分是：
101 101 109 98 103 98 105 101 108 115 90 85 75 115 110 102
为了迎接下一赛季的比赛进行调整队 员，如果在甲、乙两名运动员中选择 一位，请问你倾向选谁？为什么？
思考
已知两个样本如下： 甲：89.9 90.2 89.8 90.1 89.8 90 90.2 乙：90.1 89.6 90 90.4 89.7 90.9 90.3 试估计其总体期望值并比较他们的波动性大小？ 解：
．解 根据以上数据，得 甲的平均速度是 x 甲 ＝ 2.7 + 3.8 + 3.0 + 3.7 + 3.5 + 3.1＝3.3， 乙的平均速度是 x 乙 ＝ ∴甲、乙的平均速度一样大．
2.9 + 3.9 + 3.8 + 3.4 + 3.6 + 2.8 6
6
＝3.3，
分析： 分析：他们的平均速度一样大，应比较他们的速度哪个更稳定． 又甲的速度方差是
复习 目标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
掌握总体期望值和方差的概念. 掌握总体期望值和方差的计算 公式及其他们在实际问题中的 应用功能. 能较熟练地应用样本的算术平 均数和样本的方差估计总体期 望和方差，并能结合实际问题 对数据进行剖析.
总体期望值
概念 总体中所有观察值的总和除以 个体总数所得的商称为总体期望值. 即“总体期望值”为“总体的算术平均值” 功能 总体期望值能反映总体分布中 大量数据向某一数值集中的情况，利 用总体期望值可以对两个总体的差异 进行比较.
试估计哪个品种的水稻更优秀？
x甲 = 408.1 x乙 = 408.1
数据的方差
⋯ 概念 设在一组数据x1，x2， ，xn中，各 数据的算术平均数为 x ，那么用 s2 = 1 [( x1 − x)2 + ( x2 − x)2 +⋯+ ( xn − x)2 ]来衡 n 2 量这组数的波动大小,并把 s 叫做这组 数据的方差 数据的方差. 功能 方差则描述一组数据的波动情况，
例题
某校高三年级共100人，在一次 英语测验中, 其中60人的平均成绩 120分；另40人的平均成绩123分. 求这次英语测验的总体期望值. 解： 120×60 +123× 40
x= 60 + 40 =121.2
答：总体期望值为121.2 .
评注： (1) 读作“ . 评注： x 读作“x拔” 120 +123 评注： (2) = 121.5的错误. 评注： 注意防止x = 2