傅里叶变换推导
傅里叶变换常用公式推导
傅里叶变换常用公式推导
傅里叶变换是信号处理中非常重要的数学工具，可以将一个信号从时域转换到频域。
在信号处理和通信领域，傅里叶变换广泛应用于频谱分析、滤波、调制解调等方面。
傅里叶变换的常用公式包括正向变换和逆向变换。
正向变换将一个时域信号转换为频域信号，逆向变换则将频域信号恢复回时域信号。
首先，我们来看正向傅里叶变换的常用公式。
设时域信号为x(t)，
其傅里叶变换为X(f)，则公式可以表示为：
X(f) = ∫[x(t) * e^(-j2πft)] dt
其中，∫表示积分运算，e为自然对数的底数，j为虚数单位。
这个
公式表示的是在时域上的函数与指数函数的乘积的积分。
公式的意义是将时域信号分解成一系列的正弦和余弦函数，每个正弦和余弦函数对应一个频率分量。
逆向傅里叶变换则是将频域信号还原为时域信号。
设频域信号为X(f)，其逆向傅里叶变换为x(t)，则公式可以表示为：
x(t) = ∫[X(f) * e^(j2πft)] df
逆向傅里叶变换的公式与正向变换的公式非常相似，只是积分的变量从时间t变为频率f，并且指数函数的符号发生了变化。
这个公式的意义是将频域信号合成为一个时域信号。
傅里叶变换的常用公式还包括一些性质和定理，如平移性、尺度性、线性性等。
这些公式和定理使得傅里叶变换成为一种非常灵活和强大的工具，可以方便地对信号进行分析和处理。
总结起来，傅里叶变换的常用公式推导了信号从时域到频域的转换过程，以及从频域到时域的逆向转换过程。
这些公式和定理为信号处理和通信领域提供了重要的数学基础，使得我们可以更好地理解和分析信号。
傅里叶变换推导
2.3 快速傅立叶变换问题1) 问题背景在数值电路的传输中，为了避免信号干扰，需要把一个连续信号 x(t)先通过取样离散化为一列数值脉冲信号x(0), x(1), …… ,然后再通过编码送到传输电路中。
如果取样间隔很小，而连续信号的时间段又很长，则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。
因此，传输这个编码信号就需要长时间的占用传输电路，相应地也需要付出昂贵的电路费用。
那么能否经过适当处理是使上述的数值脉冲序列变短，而同时又不会丧失有用的信息？的经过研究，人们发现，如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理：(1)则所得到的新序列X(0), X(1) , ……将非常有序，其值比较大的点往往集中在某一很狭窄的序列段内，这将非常有利于编码和存储，从而达到压缩信息的目的。
公式（1）就是所谓的离散傅立叶变换，简称DFT。
现在我们来分析一下计算DFT所需要的工作量。
如果我们不考虑公式（7.1）中指数项的运算，那么计算其每一个点X (n) 需要N次复数乘法和N-1次的复数加法。
显然当N很大时，这个工作量也非常巨大。
正是由于这个原因，使得DFT的应用范围在过去很长的时间里受到了严格的限制。
注意到公式（1）是非常有规律性的，那么能否利用这种规律性来降低DFT的计算时间？1965年，凯莱和塔柯的提出了一种用于计算DFT的数学方法，大大减少了DFT的计算时间，同时又特别适用于硬件处理，这就是所谓的快速傅里叶变换，简称FFT。
鉴于DFT的数据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得，亦可通过三角插值得到，而本质上又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系。
下面我们从傅立叶级数级数和傅立叶积分入手，导出DFT结构的来源和FFT的工作原理。
2）傅立叶变换如果x(t)是定义在整个实轴上的实值或复值函数，则其傅立叶变换可由下式给出：（2）若对任意参数f，上述积分都存在，则（2）式确定了一个函数X(f)，称为x(t) 的傅立叶变换。
如果已知X(f) 则利用如下的傅立叶逆变换，还可复原x(t) ：（3）若x(t) 和 X(f) 同时满足（2）、（3）式，则称他们是一个傅立叶变换对，记为。
傅里叶变换概念及公式推导
傅里叶变换概念及公式推导傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域。
傅里叶变换的基本概念是，任何一个周期性函数都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以将原始信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波。
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的函数，与f(t)相对应。
为了推导傅里叶变换的公式，我们首先将复数e^(−iωt)展开为正弦和余弦函数的形式：e^(−iωt) = cos(ωt) − i sin(ωt)然后将这个展开式代入变换公式中，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) (cos(ωt) − i sin(ωt)) dt为了求解这个积分，我们可以利用欧拉公式，将复数表示为以指数函数的形式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt将第一个积分的积分变量由t替换为−t，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(−t) sin(ωt) dt由于f(t)是一个偶函数（即f(−t)=f(t)）F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t)sin(ωt) dt记F(ω)的实部为Re[F(ω)]，虚部为Im[F(ω)]，我们可以将公式进一步简化为：Re[F(ω)] = ∫[−∞,+∞] f(t) cos(ωt) dtIm[F(ω)] = − ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt这就是傅里叶变换的实部和虚部的计算公式，也称为余弦分量和正弦分量的公式。
通过计算这两个积分，我们可以得到函数在不同频率上的分量。
这些频率分量相当于原始函数在频域中的表现，有助于我们理解原始函数的频率特征。
要注意的是，以上推导过程是针对连续时间信号的傅里叶变换。
sin和cos的傅里叶变换推导
sin和cos的傅里叶变换推导傅里叶变换是一种非常重要的信号处理技术，它最初是用来描述定义在时间域上的信号的频域表示的。
傅里叶变换主要用来研究可积或者指数可积连续函数，比如可以用来分析sin(x)和cos(x)这样的函数，它把函数的信息，根据频率分解，并画成以周期性变化的图形。
首先，我们可以推导出sin(x)的傅里叶变换，sin(x)属于广义函数，可以用以下式来定义：sinx=∫-∞ ∞f(t)ei2πixtdt通过计算积分，可以得到f (t)的傅立叶变换：F(ω)=∫-∞ ∞f(t)e-iωt dt由积分的定义，我们得出：F(ω)=∫-∞ ∞ sin (x)ei2πixtdt=∫-∞ ∞ sin(x) e -iωt dt=π(δ(ω-2πi)+δ(ω+2πi))其中，δ (ω)是希尔伯特函数，表示δ函数的概念，表示ω等于i2π时取值1，其余时候取值为0。
在上面的结果中，δ(ω-2πi)和δ(ω+2πi)表示ω取值为2πi和-2πi时取值1，其余取值为0。
因此，我们可以得到sin (x)的傅里叶变换：F(ω)=π(δ(ω-2πi)+δ(ω+2πi))同理，我们可以推导出cos(x)的傅里叶变换：cosx=∫-∞ ∞f(t)ei2πixtdt由此可以得到，cos(x)的傅里叶变换为：F(ω)=π(δ(ω-2πi)-δ(ω+2πi))上述结果表明，sin(x)和cos(x)的傅里叶变换的形状相似，都由两个δ函数组成，只是在正负号上有差异。
上述两组式子也可以用下面的形式表达：Cos(x)=π(δ(ω)+δ(ω-4πi))Sin(x)=π(δ(ω)-δ(ω-4πi))通过傅里叶变换，我们可以用很简单的方法来求解sin(x)和cos(x)，因此傅里叶变换非常实用，它在许多科学研究领域都有重要的作用。
傅里叶变换推导详解
傅里叶变换推导详解三角函数标准形式为公式2.1所示f\left( t \right) = Asin\left( \omega t + \varphi\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.1)\ \在物理意义上这个函数又称之为正弦信号(正弦波),其中的t为时间变量,A为波幅, ω为角速度, φ为相位，我们可以通过公式2.2求得这个正弦波的频率。
f = \frac{\omega}{2\pi}\ (2.2)根据等式2.2，角速度和正弦波的频率是正相关的。
同时，因为三角函数是周期函数，其在-π到π的积分必定为0，由此性质可写出式2.3，2.4\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.3)}}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.4)}}设某三角函数为f\left( x \right) = \sin\left( \text{nx} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.5)在式2.5两边同时乘以 \sin\left( \text{mx} \right) 同时,对两边在-π到π内进行积分,得出\int_{- \pi}^{\pi}{f\left( x \right)sin(mx)dx} =\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx}\right)sin(mx)dx}\ \ \ \ \ (2.6)由三角函数的积化和差公式,上式可变形为\int_{- \pi}^{\pi}{f( x )\sin( \text{mx} )\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack - \cos\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} - \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.7)依据上述推导方法我们可以继续推导出下列公式:\int_{-\pi}^{\pi}{\cos( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack + \cos\lbrack ( m + nx ) \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ (2.8)\int_{-\pi}^{\pi}{\sin( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \sin\lbrack ( m - n )x \rbrack + \sin\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.9)因为三角函数在-π到π内的积分为0,因此当 m \neq n 时,式2.7、2.8、2.9的结果必定为0，因此可以得出以下结论，频率不同的三角函数相乘在一个周期内(-π到π)的积分必定为0。
如何由傅里叶逆变换推导傅里叶变换
如何由傅里叶逆变换推导傅里叶变换如何由傅里叶逆变换推导傅里叶变换1. 前言傅里叶变换是数学和工程领域中一项重要的技术，它将一个函数分解成一系列基础频率的正弦和余弦函数的叠加。
这一变换的应用非常广泛，从信号处理到图像处理，都离不开傅里叶变换。
然而，要深入理解傅里叶变换，我们首先需要了解其逆变换，即傅里叶逆变换。
在本文中，我们将通过推导傅里叶逆变换来揭示傅里叶变换的本质和原理。
2. 傅里叶变换的定义在开始推导傅里叶逆变换之前，我们先来回顾一下傅里叶变换的定义。
给定一个连续函数f(x)，其傅里叶变换F(k)可以表示为：F(k) = ∫[ -∞, +∞ ] f(x) e^(-2πikx) dx (1)其中，k表示频率，e是自然对数的底数，i是虚数单位。
傅里叶变换将函数从时域转换到频域，将函数在不同频率上的振幅和相位信息展现出来。
3. 傅里叶逆变换的定义傅里叶逆变换是傅里叶变换的逆运算，用于将频域的函数转换回时域。
给定一个频域函数F(k)，其傅里叶逆变换f(x)可以表示为：f(x) = (1/L) ∫[ -∞, +∞ ] F(k) e^(2πikx) dk (2)在公式中，L代表频域函数的长度。
傅里叶逆变换将函数从频域转换回时域，还原出原始函数在不同位置上的振幅和相位信息。
4. 傅里叶逆变换推导的基本思路为了推导傅里叶逆变换，我们首先将傅里叶变换的定义（公式1）进行变换，再进行一系列代数化简和变量替换的操作。
具体步骤如下：（1）将公式1中的e^(-2πikx)拆分成cos(2πkx)和sin(2πkx)的形式；（2）利用欧拉公式将cos(2πkx)和sin(2πkx)表示为复数形式，即e^(2πikx)和e^(-2πikx)；（3）将公式1中的f(x)表示为复数形式，即F(k)的共轭，即f*(x)；（4）应用线性性质，将复数形式的傅里叶逆变换表示为实数形式；（5）将公式中的k替换为-u，重新对公式进行整理和变量替换。
几种常见函数的傅里叶变换及推导
几种常见函数的傅里叶变换及推导傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。
在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。
本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。
1. 方波函数的傅里叶变换方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。
方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。
假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。
根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。
根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。
傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。
2. 高斯函数的傅里叶变换高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。
高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。
假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。
根据高斯函数的定义，可以得到：f(t) = e^(-αt^2)其中，α是常数。
根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。
3. 矩形函数的傅里叶变换矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。
矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。
傅里叶变换数学推导
傅里叶变换数学推导傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
它可以将一个函数表示成频域上的复指数函数的线性组合，从而方便进行频域分析。
本文将从数学推导的角度，介绍傅里叶变换的基本概念和推导过程。
傅里叶变换基本概念傅里叶变换的基本概念是将一个信号函数表示成频域上的复指数函数的线性组合。
假设一个连续函数f(t)的时域表示为：f(t) = A*cos(ωt + φ)其中，A表示信号的幅度，ω表示信号的角频率，φ表示信号的相位。
根据欧拉公式，可以将cos函数表示为复指数函数的形式：f(t) = Re{A*e^(j(ωt + φ))}其中，e^(jx)表示复指数函数cos(x) + jsin(x)。
通过将函数f(t)表示成复指数函数的线性组合，可以方便地进行频域分析。
傅里叶变换的定义对于一个连续函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)] dt其中，∫表示积分运算，e^(-jωt)表示复指数函数。
傅里叶变换F(ω)表示了函数f(t)对于不同频率的分量的贡献。
傅里叶变换的逆变换傅里叶变换的逆变换表示了频域上的复指数函数的线性组合如何反变换到时域上的函数。
对于一个频域上的复指数函数F(ω)，其逆变换f(t)定义为：f(t) = (1/2π) * ∫[F(ω)*e^(jωt)] dω其中，(1/2π)是归一化系数，确保了逆变换的结果在时域上的幅度与原始函数一致。
傅里叶变换的性质傅里叶变换具有多种重要的性质，包括线性性、位移性、尺度性、卷积性等。
这些性质使得傅里叶变换成为分析和处理信号的有力工具。
线性性是指傅里叶变换对线性运算的保持。
例如，对两个函数的线性组合进行傅里叶变换，等于对每个函数分别进行傅里叶变换，并且将结果线性组合。
位移性是指傅里叶变换对信号的时移不变性。
即，对于一个函数f(t)进行傅里叶变换后得到F(ω)，若将函数f(t)进行时间位移，即变为f(t - θ)，则其傅里叶变换结果为e^(-jωθ)*F(ω)。
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2.3 快速傅立叶变换问题1) 问题背景在数值电路的传输中，为了避免信号干扰，需要把一个连续信号 x(t)先通过取样离散化为一列数值脉冲信号x(0), x(1), …… ,然后再通过编码送到传输电路中。
如果取样间隔很小，而连续信号的时间段又很长，则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。
因此，传输这个编码信号就需要长时间的占用传输电路，相应地也需要付出昂贵的电路费用。
那么能否经过适当处理是使上述的数值脉冲序列变短，而同时又不会丧失有用的信息？的经过研究，人们发现，如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理：∑-=--=-==10/21,1,...,1,0,)()(N k N nki i N n e k x n X π (1)则所得到的新序列X(0), X(1) , ……将非常有序，其值比较大的点往往集中在某一很狭窄的序列段内，这将非常有利于编码和存储，从而达到压缩信息的目的。
公式（1）就是所谓的离散傅立叶变换，简称DFT 。
现在我们来分析一下计算DFT 所需要的工作量。
如果我们不考虑公式（7.1）中指数项的运算，那么计算其每一个点X (n) 需要N 次复数乘法和N-1次的复数加法。
显然当N 很大时，这个工作量也非常巨大。
正是由于这个原因，使得DFT 的应用范围在过去很长的时间里受到了严格的限制。
注意到公式（1）是非常有规律性的，那么能否利用这种规律性来降低DFT 的计算时间？1965年，凯莱和塔柯的提出了一种用于计算DFT 的数学方法，大大减少了DFT 的计算时间，同时又特别适用于硬件处理，这就是所谓的快速傅里叶变换，简称FFT 。
鉴于DFT 的数据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得，亦可通过三角插值得到，而本质上又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系。
下面我们从傅立叶级数级数和傅立叶积分入手，导出DFT 结构的来源和FFT 的工作原理。
2） 傅立叶变换如果x(t)是定义在整个实轴上的实值或复值函数，则其傅立叶变换可由下式给出：⎰∞∞---==1,)()(/2i dt e t x f X T nift （2）若对任意参数f ，上述积分都存在，则（2）式确定了一个函数X(f)，称为x(t) 的傅立叶变换。
如果已知X(f) 则利用如下的傅立叶逆变换，还可复原x(t) ：⎰∞∞--==1,)()(/2i df e f X t x T nift （3）若x(t) 和 X(f) 同时满足（2）、（3）式，则称他们是一个傅立叶变换对，记为)()(f X t x ⇔。
通常X(f) 是一个复函数，因此可以写成如下两部分：i f I f R f X )()()(+= ， 1-=i （4）式子中R(f) ，I(f) 分别是X(f) 的实部和虚部。
将上式表示为指数形式：)()()(f i e f X f X φ= 1-=i （5）其中)()()(22f I f R f X += （6）))()(()(1f R f I tg f -=φ工程技术中，常将x(t) 看成一时间信号，相应的空间，称为时间域和空域；将其傅立叶变换X(f) 看成频率函数，相应的空间称为频域。
)(f X 称为x(t) 的傅立叶谱，而)(f φ称为其相角，这在物理上是有良好背景的。
的譬如此频率的的含义可以这样来理解：应用欧拉公式可将指数项表示成正弦-余弦的形式，如果把（2）式解释成离散项和的极限，则显然X(f)是包含了无限项正弦-余弦的和，而且f 的每一个值确定了所对应的正弦-余弦的频率。
在以后的叙述中，我们不妨用t 表示时间，用f 表示频率；同时用小写字母表示时间函数，并用相应的大写字母表示其傅立叶变换。
傅立叶变换可很容易地推广到二维情形。
假设x(t , s)是连续的和可积的，且X(f , g)是可积的，则相应的傅立叶变换对如下：⎰⎰∞∞-∞∞-+--==1,),(),(/)(2i dtds e s t x g f X T gs ft ni （7）⎰∞∞-+-==1,),(),(/)(2i dfdg e g f X s t x T gs ft ni （8）3） 离散傅立叶变换尽管傅立叶级数和傅立叶变换具有非常优美的数学结构，但并不实用，并为他们都无法用有限字长的计算机作逻辑上的运算。
为此，我们必须建立傅立叶变换的数值方法，并由此导出DFT 数据结构的来源。
a. 傅立叶积分的离散化由于傅立叶变换无法用数字计算机进行逻辑运算，工程分析中，通常采用抽样的方法，观测x(t)的一些离散值，然后利用数值积分将傅立叶变换离散化。
函数抽样是函数插值的逆过程，假定用取2N+1 个互相间隔为 t ∆的节点的方法，当一个连续函数x(t) 离散化为的一个序列：}),(),...,(),0(),(),...,({t N x t x x t x t N x ∆∆∆-∆-于是当N 充分大时，有：⎰∆∆--≈tN tN nift dte t xf X 2)()( （9）现在我们把（9）式中的求积函数当成周期为t N ∆2的函数，以N j t j ±±±=∆,...2,1,0,为节点，对（9）式用复化梯形公式做数值积分得∑-=∆-∆∆≈NNn tnifn et n x tf X 12)()( （10）对f 进行离散化，取1,...2,1,0),/(-=∆=N j t N j f ， 则上式可改写：∑-=--=∆∆≈∆NN n N nijn N j e t n x t t N j X 1/21,...,1,0,)()( （11）这就是一维傅立叶积分的离散表达式。
b 离散傅立叶变换在上面，我们普便的遇到了带有复指数乘积项的和式。
实际上，这种特殊的数据结构可利用以下更为一般的方式定义。
给定N 个实或复的数列{x(0), x(1),……x(N-1)}，定义∑-=--=-==10/21,1,...,1,0,)()(N k N nki i N n e k x n X π （12）为{x(k)}的离散傅立叶变换，简称DFT 。
我们指出，（11）式可以转化成上述一般形式。
这说明（12）式与傅立叶变换之间存在内在的联系，渴望获得与连续傅立叶变换相类似的性质，事实上确实如此。
下面我们就来做这件事。
首先说明，由（12）式确定的序列{X(n)}可以恢复为原序列{x(k)}。
事实上，在（12）式两边同乘以Nnijn e /2，并对n 从0 到n-1求和得：∑∑∑-=--=-==1/)(211/2)()(N k Ni k j n N n N n Nnji e k x en X ππ∑∑-=--==1/)(210][)(N n nN i k j n N k e k x πN i k j n ik j n N jk k e e k x j Nx /)(2)(21,011)()(---≠=--+=∑ （13） 注意到（13）式的和式中分子部分为0，从而∑-=-==1/21,...,1,0,)(1)(N n Nnji N j e n X Nj x π（14）今后我们称（14）式是（12）式的逆变换，并称{x(k)}和{X(n)}为离散傅立叶变换对，简记为)()(n X k x ⇔离散傅立叶变换的这种可恢复性质，在工程技术中有着极为重要的应用。
因为，可以通过抽样获得一组的离散值，并利用DFT 转换为另一组数据，通过对变换数据的修改以及逆变换，达到对原数据的修正。
这也正是DFT 最具魅力的地方。
应用DFT 作数值分析，抽样也变得相当简单。
这时，可以抽取函数的任一片断，而无需象傅立叶变换离散化那样做对称抽样。
4) 快速傅里叶变换本节我们将把注意力集中在如何计算DFT 上。
如果我们不考虑（12）式中的复指数部分的运算，则求解（12）式共需要N * N 次乘法和N * (N-1)次加法。
显然当N 很大时，其工作量是相当可观的。
为此，凯莱和卡柯提出了一种专门用于处理DFT 的快速算法(FFT), 大大减少了DFT 的计算时间。
充分理解FFT 的工作原理，这并不需要高深的数学知识，只要时刻的盯住DFT 的数据结构即可。
为了便于理解，我们先从最简单的情形入手。
a FFT 直观发展注意到（12）式可以表示成一个矩阵运算，而FFT 实际上是一个矩阵分解算法，它对N 的要求有一定的限制，通常N 取成r2，其中r 是正整数。
为了更加直观，这里我们假定r=2, N =4 ，并引进记号1,/2-==-i e W N i N π （15）则（12）式可改写为如下的矩阵形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)3()2()1()0()3()2()1()0(94643404644424043424140404040404x x x x W W W W W W W W W W W W W W W W X X X X （16）注意到1=knN W ，k 为整数，则（16）式还可简化为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)3()2()1()0(1111111)3()2()1()0(142434240424342414x x x x W W W W W W W W W X X X X （17） 上式以及以后的式子中没有把04W 写成1 ，完全是为了以后推广的需要。
第二步我们要做的是，把上述矩阵分解为两个矩阵的乘积：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)3()2()1()0(010001010001100100001001)3()2()1()0(2424040434142404x x x x W W W W W W W W X X X X （18）上述分解基于以后要讲到的FFT 算法理论，其中第一行和第二行的位置做了变换，，这是FFT 本身所要求的。
以后将会看到，这种交换有利于数据存储，成为输出倒置。
今引进⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)3()2()1()0(010001010001)3()2()1()0(242404041111x x x x W W W W x x x x （19）则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)3()2()1()0(100100001001)3()2()1()0()3()2()1()0(1111341424042222x x x x W W W W x x x x X X X X （20） 于是求解X(n)分成了两次矩阵运算。
下面我们来分析一下这个过程的工作量。
计算)0(1x 需要的一个复数乘法和一个复数加法，即)2()0()0(041x W x x += 这里没有用1代替04W 是因为在一般情况下这一项通常不为1。