2018年浙江省高考数学模拟试卷(名校联盟原创卷4月)
2018届浙江省新高考研究联盟高三第四次联考 数学word版含答案
绝密★考试结束前2018届浙江省新高考研究联盟高三第四次联考数学说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：如果事件,A B 互斥, 那么 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 ()()()··P A B P A P B =锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高()()1 0,1,)2,(,kn k n k n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式台体的体积公式2 4S R =π12()13V h S S =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,343V R =πh 表示台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,{|0},{|2},U R A x x B x x ==>=≤-则()U A C B =（ ▲ ）A ．∅B ．{|2}x x >-C ．{|0}x x >D ．{|02}x x x ><-或2．已知i 是虚数单位，,,a b R ∈则“1a b ==”是“2()2a bi i -=-”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．必要不充分条件3．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,,m m n n αβ⊥⊂∥，则αβ⊥C ．若,n αβα⊥⊂，则n β⊥D ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥4. 在二项式251()x x-的展开式中，含7x 的项的系数是（ ▲ ） A ．10-B. 10C. 5-D. 55．已知函数)||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为（ ▲BCB AA ．1()2cos()24f x x π=-B ．1()4sin()24f x x π=-C ．1()2cos()24f x x π=+ D ．)421sin(4)(π+=x x f6. 若实数,x y 满足12121x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则由点P (,)x y x y -+形成的平面区域的面积是（ ▲ ）A. 3B.32 C. 6 D. 347．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S )(*N n ∈，且{}n S 为等差数列，则等比数列{}n a 的公比q （ ▲ ）A ．可以取无数个值B ．只可以取两个值C ．只可以取一个值D ．不存在8．把分别标有数字1,2,3,4,5,6的六个不同小球放入甲、乙、丙三个盒子中，要求每个盒子放入两个小球，1号球不能放入甲盒子，2号球不能放入乙盒子.则不同的放球方法数是（ ▲ ） A ．24B. 30C. 36D. 429．如图所示，已知等腰直角ABC ∆中，090ACB ∠=，斜边2AB =，点D 是斜边AB 上一点（不同于点A 、B ），ACD ∆沿线段CD 折起形成一个三棱锥A CDB '-，则三棱锥A CDB '-体积的最大值是（ ▲ ） A. 1 B.21C.31 D. 6110．动直线l 与抛物线x y 42=交于A 、O 为坐标原点，则OA OB （ ▲ ） A. 无最大值，无最小值 C. 有最大值，无最小值 D. 有最大值，有最小值非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
2018年浙江省五校联考高考数学模拟试卷(理科)
2018年浙江省五校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)已知集合A={（x，y）|y=x-1}，B={（x，y）|y=-x+1}，则A∩B=（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{（1，0）}2．(★)已知复数z= （i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(★)如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x、y的值分别为（）A．7、8B．5、7C．8、5D．7、74．(★)设向量，满足| |=2，| |=1，）=3，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．(★★)若函数f（x）= - x 2+x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（2，）B．[2，）C．（2，）D．[2，）6．(★★)执行如图所示的程序框图，若输出的S=57，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞4B．k＞5C．k＞6D．k＞77．(★★)已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）=（）A．B．C．D．8．(★★)已知函数f（x）= ，则f（2）+f（3-log 27）=（）A．B．C．D．9．(★★)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A．24B．36C．48D．9610．(★)已知抛物线C：y 2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．(★★)中国古代数学专著《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào）．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥P-ADE为鳖臑，且PA⊥平面ABCE，AB=AD=2，ED=1，该鳖臑的外接球的表面积为9π，则阳马的外接球的体积为（）A．B．C．D．12．(★★★★)已知函数f（x）=m（x-1）-（x-2）e x-e，若关于x的不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．(★★)已知平面向量=（），=（- ），则在上的投影= ．14．(★★★)已知（x+2）6=a 0+a 1（x+1）+a 2（x+1）2+..+a 6（x+1）6，则a3= ．15．(★★)在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．16．(★★★)对∀x 1∈R，∃x 2∈[3，4]，使得不等式x 12+x 1x 2+x 22≥2x 1+mx 2+3成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(★★★)已知数列{a n}满足a 1=-2，a n+1=2a n+4．（I）证明数列{a n+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和S n．18．(★★★)如图，已知长方形ABCD中，，，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为19．(★★)四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．（Ⅰ）求条形图中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（Ⅱ）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X，求离散型随机变量X的分布列与数学期望．20．(★★★★)已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF 1|=2，∠F 1AF 2=60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF 2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．21．(★★★★★)已知函数f（x）=xlnx- -x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，已知λ＞0，若不等式e 1+λ＜x 1x 2λ恒成立，求λ的取值范围．请考生在第22，23，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.作答时请写清题号22．(★★★)已知曲线C：ρ= ，直线l：（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点（A在第一象限），当+3 = 时，求α的值．23．(★★)已知函数f（x）=-x 2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范围．。
2018年4月浙江省高三“五校联考”第二次考试数学试题(WORD版,无答案)
2017学年浙江省高三“五校联考”第二次考试数学试题卷命题学校：宁波效实说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{||1|1},{|log 2}A x x B x x =-≤=≤，则R B C A = （ ▲ ） A. [2,4] B. (2,4] C. [0,4] D. (2,4](,0)-∞2．若复数z 满足(1)1z i ii +=-+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 （ ▲ ）A ．12-B ．12 C ．12i D ．12i 3．已知随机变量~(4,)X B p ，若83EX =，则(2)P X == （ ▲ ） A.83 B. 827 C. 23 D. 494．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则“a b ⊥”的一个充分条件是 （ ▲ ）A. ,,a b αβαβ⊥⊥∥B. ,,a b αβαβ⊥⊥∥C. ,,a b αβαβ⊂⊥∥D. ,,a b αβαβ⊂⊥∥ 5．如图，设A 、B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点， 则CO CB ⋅的取值范围是 （ ▲ ）AA ．[1,3]-B ．[1,3]C ．[3,1]--D ．[3,1]-6．64(1(1的展开式中x 的系数是 （ ▲ ） A ．4- B. 3- C. 15或3 D. 4 7．点D 是ABC ∆的边AB 的中点，120ABC ∠=，2CD AB=，若以A 、B 为焦点的双曲线恰好经过点C ，则该双曲线的离心率为 （ ▲ ）B.C. 1D. 18. 若cos sin tan 02παααα⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭，则α∈ （ ▲ ） A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ9．已知ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，有以下四个命题： （1（2）以2,2,2abc为边长的三角形一定存在； （3）以333,,a b c 为边长的三角形一定存在； （4）以,,a b c b c a c a b -+-+-+为边长的三角形一定存在．其中正确命题的个数为（ ▲ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．已知函数2()1,0()21,0x a a x f x x a a x ⎧--+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩的最小值为21a -，则实数a 的取值范围是（ ▲ ）A. 1a =B. 01a ≤≤C. 0a ≤或1a =D. 0a ≤或1a ≥第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分． 11．已知21366log log x =-，则x 的值是 ▲ ．12．若实数x ，y 满足1|21|x y y x -+≤⎧⎨≥-⎩，则x y +的最大值为 ▲ ，22x y +的取值范围为 ▲ ．13. 一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为 ▲ ， 其外接球的体积是 ▲ ．14．点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM xAB =，AN yAC =. 若12x =， 则y = ▲ ，若23AMN ABC S S ∆∆=，则x y += ▲ ．15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5101,,S S -成 等差数列，则1052S S -= ▲ ，1510S S -的最小值为 ▲ ．16．将一个44⨯正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个红色方格，则有 ▲ 种不同的染色方法．17．棱长为36的正四面体A BCD -的内切球上有一动点M ，则13MB MC +的最小值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且22()(2b c a bc +-=，2sin sin cos 2CA B =． （Ⅰ）求角A 和角B 的大小；（Ⅱ）已知当R x ∈时，函数)sin (cos sin )(x a x x x f +=的最大值为32，求a 的值．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是梯形. //,1,BC AD AB BC CD ===2AD =，PB =PA PC == （Ⅰ）证明；AC BP ⊥；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值.B （第14题图） （第13题图）俯视图4320.（本题满分15分）（Ⅰ）求证：()ln 1x x <>；（Ⅱ）设函数()()111ln 1f x x x x =->-(ⅰ)求证：()f x 是减函数；(ⅱ)若不等式11+n ae n +⎛⎫< ⎪⎝⎭对任意n N *∈恒成立（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.21.（本题满分15分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为12，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆切于点P ，OQ l ⊥，垂足为Q ，其中O 为坐标原点.求OPQ ∆面积的最大值．22．（本题满分15分）已知正项数列{}n a 满足14a =，211ln 3n n n a a a n+=-+，n N *∈． （Ⅰ）求证：4n a n ≥； （Ⅱ）求证：（第21题图）。
【全国校级联考word】浙江省金华十校2018年4月高考模拟考试数学试题卷
2018年金华十校高考模拟考试数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,}M a =，{,2}N b =，{2,3}M N =I ，则M N =U （ ） A ．{1,3} B ．{2,3} C ．{1,2} D ．{1,2,3}2.双曲线2214x y -=的离心率为（ ） A ．5 B ．3 C ．52 D ．323.“1x a >>”是“log 0a x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4.已知实数x ，y 满足不等式组123y xx x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则2x y+的取值范围为（ ）A ．[]4,16B ．1,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(,0)x R ω∈>与(0cos(2)g x x ϕ=+的对称轴完全相同.为了得到()cos 3h x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移4π B ．向右平移4π C ．向左平移2π D ．向右平移2π6.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过圆22420x y x y +--=的圆心，则ab 的取值范围是（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)4,+∞C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]0,47.随机变量ξ的分布列如下：ξ -1 0 1Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（ ） A ．23 B ．59 C ．29 D ．348.已知函数2()21x f x -=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 方程的2[()]()0a f x bf x c ++=的解集不可能是（ ）A ．{1,3}B ．{1,2,3}C ．{0,2,4}D ．{1,2,3,4}9.已知平面内任意不共线三点A ，B ，C ，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．以上说法都有可能10.如图，若三棱锥A BCD -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到点A 的距离之比为正常数λ，且动点P 的轨迹是抛物线，则二面角A BC D --平面角的余弦值为（ ）A ．λB ．21λ-C ．1λD ．211λ-非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,1)P --，则tan α= ，cos sin 2παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 12.已知复数11z i =-，121z z i ⋅=+，则复数2z = ，2z = ．13.若56542123()(2)x y x y a x a x y a x y +-=++3324564567a x y a x y a xy a y ++++，则4a = ，1234567a a a a a a a ++++++= ．14.已知函数()4sin sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期T = ，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为 ．15.已知等差数列{}n a 满足：40a >，50a <，数列的前n 项和为n S ，则54S S 的取值范围是 ． 16.3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有 种（用数字作答）．17.若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226x x ax b x ≤++≤(,0)a R b ∈>恒成立，则实数b 的最大值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin sin()2sin 2A B C B =-+，2B π≠.（Ⅰ）求证：2c b =；（Ⅱ）若ABC ∆的面积225S b a =-，求tan A 的值.19.如图，在几何体ABCDE 中，//CD AE ，90EAC ∠=o，平面EACD ⊥平面ABC ，22CD EA ==，2AB AC ==，23BC =，F 为BD 的中点.（Ⅰ）证明：//EF 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值. 20.已知函数3()f x x ax a =+-，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）记()f x 在[1,1]-上最大值为()M a ，若()1M a >，求实数a 的取值范围.21.已知抛物线2y x =和C e ：22(1)1x y ++=，过抛物线上的一点000(,)(1)P x y y ≥，作C e 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.（Ⅰ）若切线PB 过抛物线的焦点，求直线PB 斜率； （Ⅱ）求面积ABP ∆的最小值. 22.已知数列{}n a ，112a =，()2*11124n n n a a a n N +=+∈，设()1n f n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数.设()(1)f n n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T .求证：（Ⅰ）()*112n n a n N a +≤∈； （Ⅱ）当3n >时，327432n T <<.2018年金华十校高考模拟考试数学卷参考答案一、选择题1-5: DCACA 6-10: BADBB二、填空题11.33，0； 12. i ，1； 13. 40，2； 14. π，(0,3]； 15. 5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭； 16. 40 17. 9三、解答题18.解：（Ⅰ）由sin sin()2sin 2A B C B =-+，有sin()sin()4sin cos B C B C B B +=-+，展开化简得，cos sin 2sin cos B C B B =， 又因为2B π≠，所以sin 2sin C B =，由正弦定理得，2c b =；（Ⅱ）因为ABC ∆的面积225S b a =-，所以有221cos 54cos 2bc A b b A =-， 由（Ⅰ）知2c b =，代入上式得222sin 5b A b a =-，①又由余弦定理有222222cos 54cos a b c bc A b b A =+-=-， 代入①得22sin 4cos b A b A =， ∴tan 4A =.19.解：（Ⅰ）取BC 中点G ，连接FG ，AG ， 又∵F 为BD 的中点，2CD EA =，//CD AE ， ∴12FG CD EA ==，且//FG AE ， ∴四边形AGFE 是平行四边形， ∴//EF AG ，而且EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，∴//EF 平面ABC ；（Ⅱ）∵90EAC ∠=o，平面EACD ⊥平面ABC ，且交于AC ， ∴平EA ⊥面ABC ，由（Ⅰ）知//FG AE ，∴FG ⊥平面ABC ， 又∵AB AC =，G 为BC 中点， ∴AG BC ⊥，如图，以GA ，GB ，GF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,3,2)D -，(1,0,1)E ，∴(1,3,0)AB =-u u u r ，(0,23,2)BD =-u u u r ，(1,3,1)BE =-u u u r， 设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =r，则00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r ，即3030z y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 令1y =，得(0,1,3)n =r，∴直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值为34AB n AB n⋅=⋅u u u r r u u u r r . 20.解:（Ⅰ）2'()3f x x a =+，①当0a ≥时，'()0f x ≥恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令'()0f x =，得3ax =±-， ∴,,33a ax ⎛⎫⎛⎫∈-∞---+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 时，'()0f x >； ,33a a x ⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭时，'()0f x <，∴函数()f x 的递增区间有,3a ⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭，,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，递减区间有,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当0a ≥时，函数()f x 在[1,1]-上单调递增，此时()(1)1M a f ==；②当13a -≥即3a ≤-时，[1,1],33a a ⎛⎫-⊂--- ⎪ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[1,1]-单调递减，∴()(1)12M a f a =-=--，∵3a ≤-，∴125a -≥，即()5M a ≥；③当30a -<<时，,[1,1]33a a ⎛⎫---⊂- ⎪ ⎪⎝⎭，而()f x 在1,3a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，,13a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭递增，在,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭上递减，∴()max ,(1)3a M a f f ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=--⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭max ,13a f ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=-- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 由13a f ⎧⎫⎪⎪-->⎨⎬⎪⎪⎩⎭，得2133a a a --->，令3a t =-，则23a t =-，∴322310t t +->，即322(1)3(1)0t t ++->2(1)(21)0t t ⇒+->，∴12t >，∴34a <-. ∴当334a -<<-时，13a f ⎧⎫⎪⎪-->⎨⎬⎪⎪⎩⎭，∴()3a M a f ⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当304a -≤<时，13a f ⎧⎫⎪⎪--<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，∴()(1)1M a f ==.综合①②③得：若()1M a >，则实数a 的取值范围为3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 21.解：（Ⅰ）抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设切线PB 的斜率为k ， 则切线PB 的方程为：14y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即104kx y k --=. ∴21(1)10411k kk ⋅--⋅-=+，解得：43k =±. ∵000(,)(1)P x y y ≥，∴43k =. （Ⅱ）设切线方程为y kx m =+，由点P 在直线上得：00y mk x -=①圆心C 到切线的距离211k m k -+=+，整理得：2210m km --=②将①代入②得：2000(2)20x m y m x +--=③设方程的两个根分别为1m ，2m ，由韦达定理得：012022y m m x +=+，01202x m m x =-+， 从而2121212()4AB m m m m m m =-=+-2002032(2)x x x +=+， 2000020312(2)ABPx x S AB x x x ∆+==+22000020(3)(1)(2)x x x x x +=≥+.记函数222(3)()(1)(2)x x x g x x x +=≥+，则223(21118)'()0(2)x x x g x x ++=>+， min 4()(1)9g x g ==，ABP S ∆的最小值为23，当01x =取得等号. 22.解：（Ⅰ）猜想：102n a <≤.用数学归纳法证明如下：（i ）当1n =时，112a =，结论成立；（ii ）假设n k =时结论成立，即102k a <≤，则2211111124248k k k k a a a a +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，∴1104k a +<≤，则1n k =+时，结论成立. （iii ）由（i ）（ii ）可得，对任意*n N ∈，102n a <≤成立. ∴1111242n n n a a a +=+≤. （Ⅱ）易求得214a =，3332a =，4572048a =，于是(1)2f =，(2)4f =，(3)10f =，(4)35f =， ∴11b a =，22b a =，33b a =，44b a =-，∵()(1)f n n n b a =-，所以n n n a b a -≤≤. ∴12345n n T a a a a b b =++-++⋅⋅⋅+12345n a a a a a a ≥++---⋅⋅⋅-. ∵112n n a a +≤，有112n n a a -≤，∴23453331122n a a a a a a a ⎛⎫---⋅⋅⋅-≥--⋅ ⎪⎝⎭333311022n n a a --⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅-⋅=⋅> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴1234n T a a >+=. 又12345n n T a a a a b b =++-++⋅⋅⋅+12345n a a a a a a ≤++-++⋅⋅⋅+，而2454441122n a a a a a a ⎛⎫-++⋅⋅⋅+≤-++⋅ ⎪⎝⎭444411022n n a a --⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+⋅=-⋅< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴1232732n T a a a <++=. 综上，当3n >时，327432n T <<.。
2018年4月浙江省普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题B(解析版加考试版)
为
A． x 3 x 3 B． x 3 x 2
C． x
【答案】 C
3x2
D． x 1 x 3
【解析】 M x 1 x 2 , N
x1
2．函数 y
的定义域为
ln x
A． 0，
C． ，1 1，
【答案】 D
,M N
B． 1， D ． 0，1 1，
· 1·
，故选 C．
【解析】
3．已知
π
的终边上有一点
1, 2 ，则 sin
5．同时满足下列三个条件的函数为
①在 0 , π 上是增函数；②为 R 上的奇函数；③最小正周期为 π．
2
A ． y tan x
【答案】 A
B． y cosx
x C． y tan
2
D． y sin x
【解析】选项 B, D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项 C 中所给的函数的周期为 2π，不符合 .故
选 A．
6．设 f x
2x , x 0 ,
，则 f 2
f f x 2 ,x 0
A．2 【答案】 A
B．1
1
C．
4
1
D．
2
【解析】
7．已知直线 l : x a y 1 0 的横截距与纵截距相等，则直线 l 的倾斜角为
· 2·
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内， 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
作图时可先使用 2B
选择题部分
一、选择题 （本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合 题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．设全集为实数集 R ，已知集合 M x 1 x 2 , N x x2 3 ，则图中阴影部分所表示的集合
2018学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科试题
2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，（）A.B.C.D.2.双曲线的焦距是（）A.2B.C.D.43.在中，内角所对的边长分别为，已知，，，则（）A.B.C.D.4.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A.B.4C.2D.5.已知函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为，黑球个数为，则（）A.，B.，C.，D.，7.若变量满足约束条件，则（）A.有最小值，无最大值B.有最大值，无最小值C.有最小值，最大值D.无最小值也无最大值8.已知，函数，记的最小值为，则（）A.在上是增函数，在上是减函数B.在上是减函数，在上是增函数C.在R上是奇函数D.在R上是偶函数9.已知公差为的等差数列的前项和为，若存在正整数，对任意正整数，恒成立，则下列结论不一定成立的是（）A.B.有最小值C.D.10.已知，是边（不包括端点）上的动点，将沿直线折起到，使在平面内的射影恰在直线上，则（）A.当时，两点的距离最大B.当时，两点的距离最小C.当时，两点的距离最小D.当时，两点的距离最大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知，，则________，________.12.已知是虚数单位，复数满足，则_________，_________.13.已知展开式第三项的二项式系数为15，则________，含的项的系数是_________.14.已知，，则的最大值为________，的取值范围是_________.15.已知平面向量满足，，若，则的取值范围是_________.16.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_________.17.设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）已知函数的最小正周期为.（1）求的值；浙江高考墙Q Q2754808740（2）求函数在区间上的取值范围.19.（本题满分15分）如图，在三棱锥中，和均为等腰三角形，且，.（1）判断是否成立，并给出证明（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列满足，，设数列满足.（1）求数列的前项和及的通项公式；（2）求证：.21.（本题满分15分）如图所示，已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两点，线段的中垂线交轴于点，若.（1）求点的坐标；（2）求面积的最大值.22.（本题满分15分）已知函数.（1）当时，直线是曲线的切线，求实数的值；（2）若是函数的两个极值点，且，求的取值范围.2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷高三年级数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5B D A B B6-10C A D C C二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）11．，．12．，.13．，14．，．15．16．2017．浙江高考墙Q Q2754808740三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．解：（Ⅰ）------------------2分--------------------------------------------5分由，得；-----------------------------------------7分（Ⅱ），因为，所以，------------------------------10分所以．------------------------------------------------------------14分19．解：（Ⅰ）⊥不成立，证明如下：-------------2分假设⊥，因为，且，所以面，---------5分所以，这与已知矛盾，------7分所以⊥不成立．（Ⅱ）解法1：取中点，中点，连，由已知计算得，------------9分由已知得,且，所以平面，所以平面平面，--------------12分取中点，连，则平面，从而，就是直线与平面所成的角，因为，，所以----------------------15分解法2：如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，-----------------------------------------9分设，由解得：-----------------------------11分，因为平面的法向量是，--------13分由------------15分20．解：I.由得由易得，所以两边取对数得到即……………2分又是以2为公比的等比数列，即……………………6分又………………………7分I I证法一、用数学归纳法证明：当时，左边为=右边，此时不等式成立；………8分假设当时，不等式成立，则当时，左边………10分=右边当时，不等式成立。
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷4(答案+解析)
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷4参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Shh 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{}|21x A y y ==+，{}|ln 0B x x =<，则()U A B =ð（）A ．∅B ．{}|01x x <<C ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <2．已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则（） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．64B ．72C ．80D ．1124．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3A π=，ABC ∆的面积b c +=（） A ．4B ．6C ．8D ．105．设实数,x y 满足 A ．z 有最大值，有最小值 B ．z 有最大值，无最小值 C ．z 无最大值，有最小值D ．z 无最大值，无最小值6．在二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（）A ．80-B ．40-C ．5D ．107．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，若每个数被取到的可能性相同，则这3个数的和恰好能被3整除概率是（） A ．120B ．110C ．310D ．7208．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（） A ．0个B ．1个C ．3个D ．无数个9．已知向量)1=-a ，向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b ，则向量,a b 的夹角可能是（）A ．218πB ．518πC ．718πD ．1118π10．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时（）A ．()f x x m n +<+B ．()f x x m n +>+C ．()0f x x -<D ．()0f x x ->二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则z =___________，zz=___________． 12．设等比数列{}n a 的首项11a =，且1234,2,a a a 成等差数列，则公比q =___________；数列{}n a 的前n 项和n S =___________．13．已知圆C 的方程为22680x y x y +--=,则圆C 的坐标是___________，半径是__________；圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是___________．14．已知函数()211,0,22ln ,0,x x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩则()()1f f -=___________；若函数()y f x a =-有一个零点，则a 的取值范围是___________．15．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有___________种不同的排法． 16．设,a b 为正实数，则2a ba b a b+++的最小值是___________． 17．如图，ABC α⊥平面，且ABCBC α=平面，1AB =，BC 56ABC ∠=π，平面α内一动点P 满足6PAB π∠=，则PC 的最小值是___________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ． （Ⅰ）求()f x ；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．19．（本题满分15分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC C A B A A A ===111，︒=∠90ABC ，︒=∠45BAC ，N M ,分别是B A CC 11,的中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABC ；（Ⅱ）求直线N C 1与平面ABC 所成的角的余弦值．20．（本题满分15分）已知函数()()21504a f x x x x =++>，()ln 4g x x =+，曲线()y g x =在点()14，处的切线与曲线()y f x =相切． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）证明：当0x >时，()()f x g x >．21.（本题满分152个焦点与1 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =，求直线l 的方程．22．（本题满分15分）设数列{}n a 满足113a =，212n n n a a a n +=+，*n ∈N ．证明：（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）数列{}n a 为递增数列；（Ⅲ）212121n n n a n n -≤≤++，*n ∈N ．【参考答案】一、选择题 1．B【解析】因为{}|1A x x =>，所以{}|1U A x x =≤ð，又因为{}|01B x x =<<，所以(){}|01UA B x x =<<ð．2．D【解析】因为0.321a =>，()20.30,1b =∈，0.3log 20c =<，所以c b a <<． 3．C【解析】该几何体为一个正方体与一个四棱锥的组合体，故体积为321443803+⋅⋅=．4．B【解析】由1sin 2S bc A ==8bc =．由2222cos b c bc A a +-=得2212b c bc +-=，所以6b c +=．5．C【解析】不等式组20,240,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域为如图的阴影部分，目标函数示阴影部分中的点与点()0,1-的连线的斜率，故z 有最小值，无最大值．6．A【解析】二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()555315521C 2C 21rr r rrr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，由532r -=得1r =，所以含2x 的项的系数是()1145C 2180⋅⋅-=-．【解析】从10个数中任取3个共有310120C =种取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1,4,7,10中取，共有344C =种取法；第二类：这3个数从2,5,8中取，共有33C 1=种取法；第三类：这3个数从3,6,9中取，共有33C 1=种取法；第四类：这从1,4,7,10中取1个数，从2,5,8中取1个数，从3,6,9中取1个数，共有43336⋅⋅=种取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除概率是41136712020+++=． 8．D【解析】如图，由0FA FB FC ++=得F 为ABC ∆的重心，设点A 坐标为()00,x y ，3AM MF =-，则点M 坐标为003,22x y -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，只要满足点M 在抛物线内部，即2003422y x -⎛⎫⎛⎫-<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，002x ≤<时，直线00034:22x y l y x y -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭与抛物线2:4C y x =的交点,B C 关于点M 对称，此时ABC ∆为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”．9．B【解析】如图，若向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b 的起点为原点，则其终点在射线()()tan 115y x x π=->上，故向量,a b 的夹角的取值范围为11630π⎛⎫π ⎪⎝⎭，．【解析】因为函数2()f x x ax b =++是上凹函数，所以()()()()1f x f m f n f m x mn m--<=---，因此()f x x m n +<+． 二、填空题 11．12i -；1 【解析】12i z =-，1z z z z==． 12．2；21n -【解析】由1234,2,a a a 成等差数列得21344a a a =+，即244q q =+，解得2q =，1212112nn n S -=⋅=--．13．()34，，5；()()225225x y -+-=【解析】由圆C 的方程为()()223425x y -+-=得圆心坐标为()34，，半径为5，圆心()34，关于直线:10l x y --=的对称点的坐标为()52，，所以圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是()()225225x y -+-=． 14．2；10,ln 22⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】()()()112f f f -==；由()22ln f x x x =-得()21414x f x x x x-'=-=，因此()y f x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，故11ln 222f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极小，函数()y f x =的图象如图所示，所以当10,ln 22a ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，函数()y f x a =-有一个零点．15．120【解析】符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，设每一段分别有1234,,,x x x x 个0，则10x ≥，22x ≥，32x ≥，40x ≥且123411x x x x +++=，令222x x '=-，332x x '=-，则12347x x x x ''+++=．因此原问题等价于求方程12347x x x x ''+++=的自然数解的组数，将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有310C 120=组自然数解，故共有120种不同的排法．16．2【解析】令2a b x a b y +=⎧⎨+=⎩，显然,0x y >，则2a y x b x y =-⎧⎨=-⎩，所以22222a b y x x y y xa b a b x y x y--+=+=+-≥++，当x =，即a =时，等号成立．17 【解析】如图，因为射线AP 的轨迹为以AB 为轴，母线与轴夹角为6π的圆锥面，且平面α平行于该圆锥面的一条母线，所以平面α截该圆锥面所得的截线即P 点的轨迹为以BC 为对称轴的抛物线．以BC 为x 轴，以抛物线的顶点为原点O 建立直角坐标系，显然AOB ∆为底角为6π的等腰三角形，所以OB PB ABC ⊥平面时，tan 6PB AB π=⋅=，此时点P 的坐标为⎝⎭，因此抛物线的方程为2y =，点C 的坐标为⎫⎪⎭，所以抛物线上的点到点C 的距离的平方为222216534x y x x ⎛⎛+=+=+ ⎝⎝，故PC ．三、解答题18．（Ⅰ）解：由函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期是π得2ω=．由sin 233y f x x ϕπ⎛π⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象过()0,1点得22,32k k ϕππ+=+π∈Z ．又由0ϕ-π<<得6ϕπ=-．所以函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）解：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得2,666x ππ5π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．19．解：（Ⅰ）如图，设AB 的中点P ，连结PC NP ,，则11//,//AA MC AA NP ，且MC AA NP ==121，故四边形MNPC 为平行四边形，得PC MN //．又⊂PC 平面ABC ，⊄MN 平面ABC ，因此//MN 平面ABC ． （Ⅱ）因为M 为1CC 的中点，所以，1NPMC 是平行四边形， 故MP N C //1．设AC 的中点Q ，连结BQ ．因为︒=∠90ABC ，Q 是AC 的中点，所以，CQ BQ AQ ==，又因为C A B A A A 111==，所以CQ A BQ A AQ A 111∆≅∆≅∆，则︒=∠=∠9011QC A QB A ， 所以BQ Q A CQ Q A ⊥⊥11,，故⊥Q A 1平面ABC ．过M 作AC MH ⊥交AC 的延长线于点H ，连结PM PH BH ,,，则⊥MH 平面ABC ，所以，MPH ∠是直线N C 1与平面ABC 所成的角． 设41=A A ．在APH ∆中，︒=∠==45,5,2BAC AH AP ，故17=PH ． 在MPH Rt ∆中，3,17==MH PH ，所以1085cos =∠MPH ． 因此，直线1CN 与平面ABC20．（Ⅰ）解：由()1g x x'=得()11g '=，所以曲线()y g x =在点()14，处的切线方程为3y x =+． 设曲线()y f x =与直线3y x =+切于点()00,x y ，由()0003()1f x x f x ⎧=+⎪⎨'=⎪⎩得2000020153,4101,a x x x a x x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得01.21.x a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（Ⅱ）证明：令()()()2111354F x f x x x x x =-+=+--，则()()()222215211101x x x F x x x x --+'=--=，所以函数()y F x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当0x >时，()102F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，因此当0x >时，()3f x x ≥+，当且仅当12x =时等号成立． 令()()()31ln G x x g x x x =+-=--，则()111x G x x x-'=-=，所以函数()y G x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()10G x G ≥=，因此当0x >时，()3x g x +≥，当且仅当1x =时等号成立．因为()3f x x ≥+，()3x g x +≥，且等号成立的条件不同，所以()()f x g x >．21．c =，b =由2122S c b =⋅⋅=a =b （Ⅱ）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎪⎨--=⎪⎩得()222213121260k x k x k +-+-=，所以202613k x k =+， ()2122113k AB x x k +=-=+．点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k -=-=-=++．由以线段AB 为直径的圆截直线1x =得2222AB d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22222221311313k k k k ⎤+⎛⎫-⎢⎥-= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+． 22．（Ⅰ）解：2114399a =+=，2342409981a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）证明：（1）1n =时，1103a =>； （2）假设n k =时，0k a >，2120k k k a a a k+=+>； 所以由（1）（2）得0n a >，*n ∈N ． 所以2120n n n a a a n+-=>，即1n n a a +>，数列{}n a 为递增数列． （Ⅲ）证明：由21122n n n n n a a a a a n n ++-=<得221111*********n n a a n n n n +-<<=---+， 所以1111212n a a n -≤--，故2121n n a n -≤+． 由21121n n a n -≤<+得2122n n n n n a a a a a n n +=+<+，所以221n n a n >+，故211221n n n n n a a a a a n n ++-=>+， 所以22111111111n n a a n n n n n +->≥=-+++， 因此11111n a a n -≥-，故21n n a n ≥+．。
浙江省金华十校2018年4月高考模拟考试数学试题含答案汇编
2018年金华十校高考模拟考试数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,}M a =，{,2}N b =，{2,3}MN =，则M N =（ ）A ．{1,3}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．{1,2,3}2.双曲线2214x y -=的离心率为（ ） A3.“1x a >>”是“log 0a x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4.已知实数x ，y 满足不等式组123y xx x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则2x y+的取值范围为（ ）A ．[]4,16B ．1,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(,0)x R ω∈>与(0cos(2)g x x ϕ=+的对称轴完全相同.为了得到()cos 3h x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移4π B ．向右平移4π C ．向左平移2π D ．向右平移2π6.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过圆22420x y x y +--=的圆心，则ab 的取值范围是（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)4,+∞C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]0,47.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（ ） A ．23 B ．59 C ．29 D ．348.已知函数2()21x f x -=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 方程的2[()]()0a f x bf x c ++=的解集不可能是（ ）A ．{1,3}B ．{1,2,3}C ．{0,2,4}D ．{1,2,3,4} 9.已知平面内任意不共线三点A ，B ，C ，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．以上说法都有可能10.如图，若三棱锥A BCD -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到点A 的距离之比为正常数λ，且动点P 的轨迹是抛物线，则二面角A BC D --平面角的余弦值为（ ）A ．λB ．1λD 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1)P -，则tan α= ，cos sin 2παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 12.已知复数11z i =-，121z z i ⋅=+，则复数2z = ，2z = ．13.若56542123()(2)x y x y a x a x y a x y +-=++3324564567a x y a x y a xy a y ++++，则4a = ，1234567a a a a a a a ++++++= ．14.已知函数()4sin sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期T = ，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为 ．15.已知等差数列{}n a 满足：40a >，50a <，数列的前n 项和为n S ，则54S S 的取值范围是 ． 16.3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有 种（用数字作答）．17.若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226x x ax b x ≤++≤(,0)a R b ∈>恒成立，则实数b 的最大值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin sin()2sin 2A B C B =-+，2B π≠.（Ⅰ）求证：2c b =；（Ⅱ）若ABC ∆的面积225S b a =-，求tan A 的值.19.如图，在几何体ABCDE 中，//CD AE ，90EAC ∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，22CD EA ==，2AB AC ==，BC =F 为BD 的中点.（Ⅰ）证明：//EF 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值.20.已知函数3()f x x ax a =+-，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）记()f x 在[1,1]-上最大值为()M a ，若()1M a >，求实数a 的取值范围.21.已知抛物线2y x =和C ：22(1)1x y ++=，过抛物线上的一点000(,)(1)P x y y ≥，作C 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.（Ⅰ）若切线PB 过抛物线的焦点，求直线PB 斜率； （Ⅱ）求面积ABP ∆的最小值.22.已知数列{}n a ，112a =，()2*11124n n n a a a n N +=+∈，设()1n f n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数.设()(1)f n n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T .求证：（Ⅰ）()*112n n a n N a +≤∈； （Ⅱ）当3n >时，327432n T <<.2018年金华十校高考模拟考试数学卷参考答案一、选择题1-5: DCACA 6-10: BADBB二、填空题0； 12. i ，1； 13. 40，2； 14. π，(0,3]； 15. 5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭； 16. 40 17. 9三、解答题18.解：（Ⅰ）由sin sin()2sin 2A B C B =-+，有sin()sin()4sin cos B C B C B B +=-+，展开化简得，cos sin 2sin cos B C B B =， 又因为2B π≠，所以sin 2sin C B =，由正弦定理得，2c b =；（Ⅱ）因为ABC ∆的面积225S b a =-，所以有221cos 54cos 2bc A b b A =-， 由（Ⅰ）知2c b =，代入上式得222sin 5b A b a =-，①又由余弦定理有222222cos 54cos a b c bc A b b A =+-=-， 代入①得22sin 4cos b A b A =， ∴tan 4A =.19.解：（Ⅰ）取BC 中点G ，连接FG ，AG ， 又∵F 为BD 的中点，2CD EA =，//CD AE ， ∴12FG CD EA ==，且//FG AE ， ∴四边形AGFE 是平行四边形， ∴//EF AG ，而且EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，∴//EF 平面ABC ；（Ⅱ）∵90EAC ∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，且交于AC ， ∴平EA ⊥面ABC ，由（Ⅰ）知//FG AE ，∴FG ⊥平面ABC ， 又∵AB AC =，G 为BC 中点， ∴AG BC ⊥，如图，以GA ，GB ，GF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)A，B，(0,2)D ，(1,0,1)E ，∴(AB =-，(0,2)BD =-，(1,BE =， 设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 令1y =，得(0,1,3)n =，∴直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值为34AB n AB n⋅=⋅. 20.解:（Ⅰ）2'()3f x x a =+，①当0a ≥时，'()0f x ≥恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令'()0f x =，得x =， ∴,,3ax ⎛⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎝⎭时，'()0f x >； x ⎛∈⎝时，'()0f x <，∴函数()fx 的递增区间有,⎛-∞⎝，⎫+∞⎪⎪⎭，递减区间有⎛ ⎝. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当0a ≥时，函数()f x 在[1,1]-上单调递增，此时()(1)1M a f ==；1≥即3a ≤-时，[1,1]⎛-⊂ ⎝，∴()f x 在[1,1]-单调递减，∴()(1)12M a f a =-=--，∵3a ≤-，∴125a -≥，即()5M a ≥；③当30a -<<时，[1,1]⎛⊂- ⎝，而()f x在1,⎛- ⎝，⎫⎪⎪⎭递增，在⎛ ⎝上递减，∴()max ,(1)M a f f ⎧⎫⎛⎪⎪= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎩⎭max ,1f ⎧⎫⎛⎪⎪= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎩⎭.由1f ⎧⎪>⎨⎪⎩，得213a ->，令t =23a t =-，∴322310t t +->，即322(1)3(1)0t t ++->2(1)(21)0t t ⇒+->，∴12t >，∴34a <-. ∴当334a -<<-时，1f ⎧⎪>⎨⎪⎩，∴()M a f ⎧⎪=⎨⎪⎩；当304a -≤<时，1f ⎧⎪<⎨⎪⎩，∴()(1)1M a f ==.综合①②③得：若()1M a >，则实数a 的取值范围为3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 21.解：（Ⅰ）抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设切线PB 的斜率为k ， 则切线PB 的方程为：14y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即104kx y k --=.1(1)101k k⋅--⋅-=，解得：43k =±. ∵000(,)(1)P x y y ≥，∴43k =. （Ⅱ）设切线方程为y kx m =+，由点P 在直线上得：00y mk x -=①圆心C1=，整理得：2210m km --=②将①代入②得：2000(2)20x m y m x +--=③设方程的两个根分别为1m ，2m ，由韦达定理得：012022y m m x +=+，01202x m m x =-+，从而12AB m m =-==012ABPS AB x x ∆==01)x =≥.记函数222(3)()(1)(2)x x x g x x x +=≥+，则223(21118)'()0(2)x x x g x x ++=>+， min 4()(1)9g x g ==，ABP S ∆的最小值为23，当01x =取得等号.22.解：（Ⅰ）猜想：102n a <≤.用数学归纳法证明如下：（i ）当1n =时，112a =，结论成立； （ii ）假设n k =时结论成立，即102k a <≤，则2211111124248k k k k a a a a +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，∴1104k a +<≤，则1n k =+时，结论成立. （iii ）由（i ）（ii ）可得，对任意*n N ∈，102n a <≤成立. ∴1111242n n n a a a +=+≤.（Ⅱ）易求得214a =，3332a =，4572048a =，于是(1)2f =，(2)4f =，(3)10f =，(4)35f =， ∴11b a =，22b a =，33b a =，44b a =-，∵()(1)f n n n b a =-，所以n n n a b a -≤≤.∴12345n n T a a a a b b =++-++⋅⋅⋅+12345n a a a a a a ≥++---⋅⋅⋅-. ∵112n n a a +≤，有112n n a a -≤， ∴23453331122n a a a a a a a ⎛⎫---⋅⋅⋅-≥--⋅ ⎪⎝⎭333311022n n a a --⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅-⋅=⋅> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴1234n T a a >+=. 又12345n n T a a a a b b =++-++⋅⋅⋅+12345n a a a a a a ≤++-++⋅⋅⋅+，而2454441122n a a a a a a ⎛⎫-++⋅⋅⋅+≤-++⋅ ⎪⎝⎭444411022n n a a --⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+⋅=-⋅< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴1232732n T a a a <++=. 综上，当3n >时，327432n T <<.。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(数学)试题卷( 时间：120分钟 满分：150分 )参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么 其中S 1、S 2为台体上、下底面积,h 为棱台的高. P (A +B )= P (A )+ P (B )柱体的体积公式 V =Sh如果事件A 、B 相互独立,那么其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高P (A •B )= P (A )•P (B ) 锥体的体积公式 V =13Sh如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 球的表面积公式 S =4πR 2P n (k )=(1)(0,1,2,,)k kn k n C p p k n --= 球的体积公式 V =43πR 3台体的体积公式 V =13(S 112S S S 2) h 其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|1}{|12}S x x T x x =>=-≤，,则S T R= ( )A.(],3-∞B.[]1,1-C.[]1,3-D.[1,)-+∞2.已知抛物线28y x =的焦点与椭圆2222:+1(0)x y C a b a b=>>的右焦点重合,且椭圆C 的短轴长为3,则椭圆C 的的离心率e = ( )A. 1625B.45 C. 21313 D. 4133.已知某几何体的三视图(如图),则该几何体的体积为( )A.33 53 C. 43 D. 234.等比数列{}n a 中,10a <,则“35a a >”是“14a a >”的 ( )A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若不等式对任意恒成立,则的取值范围( )A. B. C. D.6.设m R ∈,实数,x y 满足,2360,3260.x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若|2|18x y +≤,则实数m 的取值范围是( )A.36m -≤≤B.3m ≥-C.6867m -≤≤ D.332m -≤≤ 7.在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点,2()()1213lg1lg 33x xa x ++-≥-(),1x ∈-∞a (],0-∞[)1,+∞(],1-∞[)0,+∞点和5点,3点和4点).开始时,骰子如图1所示摆放,朝上的点数 是2,最后翻动到如图2所示位置.现要求翻动次数最少,则最后 骰子朝上的点数为2的概率为 ( )A.112 B.13 C.16 D.148.在平面内,ABC ∆为边长是4的正三角形,P 为ABC ∆内(含边界)一动点,满足0PB PC ⋅=,又点M 为线段PC 的中点,则MB PC ⋅的最大值是 ( )A.4-B.3-C.2-D.9.已知实数,,a b c 满足22211144a b c ++=,则22ab bc ca ++的取值范围是 ( )A.(,4]-∞B.[4,4]-C. [1,4]-D.[2,4]-10.已知正三棱锥ABC S -,若点P 是底面ABC 内一点,且P 到三棱锥ABC S -的侧面SAB 、侧面SBC 、侧面SAC 的距离依次成等差数列,则点P 的轨迹是 ( )A.一条直线的一部分B.椭圆的一部分C.圆的一部分D.抛物线的一部分二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分. 11.已知复数(1)3i z i +⋅=+，则||z =______，z 的虚部为_______.12.若2(23)nx x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =_____，含3x 项的系数为___. 13.在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对边的长，若423aBC bCA cAB ++=0，则ac=_________，=B cos __________. 14.若非零向量,a b 满足|23|2,|32|1a b a b -=+=，则|5|a b +最大时，||_____||b a =； |5||5|a b a b ++-最大值为______.15.《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积V 的近似公式2136V L h ≈,则此时圆锥体积公式中的圆周率π近似为_______.16.某单位一周要安排6名领导值日（周日休息），每天安排一人，每人值日一天，要求甲必须安排在周一到周四的某一天，乙必须安排在周五或周六的某一天，丙不能安排周三值日，则不同的值日安排有__________种．17.已知函数32()3,f x x x x =--+记(,)M a b 为函数()|()|g x ax b f x =+- (0,)a b R >∈的[2,0]-上的最大值，则(,)M a b 的最小值是________.E三、解答题：本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设函数22()sin(2)sin cos6f x x x xπ=++-.(1)求()f x的单调递增区间；(2)若锐角三角形ABC中,角A满足()1f A=,a=ABC∆,求b c+的值.19.(15分)如图,直角梯形ABCD中,//AB CD,90∠=BCD,2==BC DC,4=AB,四边形CDFE为正方形.(I)若⊥EC BC,求证：⊥AD BF(II)若=AE求AE与平面CDFE所成角的正弦值.20.(15分)函数2()ln[1)],0.f x x x=->若函数()y g x=是()f x的导函数.(1)求()g x的解析式；(2)若1()0g xa-≥对任意(0,1]x∈恒成立,求实数a的取值范围.21.(15分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为22且经过点2). (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的下顶点为P ,如图所示,点()2,,0M t t >为直线2x =上的一个动点,过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ,且与C 交于,A B 两点,与OM 交于点N ,四边形AMBO 和ONP ∆的面积分别为12,S S .求当1223S S =时t 的取值.22.(15分)已知数列{}n a 满足n a 为整数且12212,3,(1)(1)n n n a a a a a ++===-+证明：(1)12n n a a +≤<；(2)2123213n n n a a a a a a ++⋅⋅⋅≤<2018年浙江省普通高等学校招生考试数学卷(余高)参考答案一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分. 1~10 ABDBC ABCDA二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.(11)1- (12) 4,120- (13)311,424-(14)8,(15)3 (16)156 (17) 14(13)【解析】因为423aBC bCA cAB ++=0，所以423()aBC bCA c CB CA ++-=0，所以(43)(2a c BC b -+3)c CA -=0,因为,BC CA 不共线，所以430,230,a cbc -=⎧⎨-=⎩解得33,42c c a b ==，即34a c =，222cos 2a c b B ac +-==222991116432424c c c c c +-=-⨯⨯. 法二：423a b c ==⇒ (17)解析：三、解答题：本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解：(1)1()2cos 2cos 22f x x x x =+-12cos 2sin(2)26x x x π=-=-, …3分 令222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,得63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈. ……5分所以,()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈. ……6分(2)由条件()sin(2)16f A A π=-=,∵0A π<<,∴112666A πππ-<-<,∴262A ππ-=,解得3A π=. ……9分∵1sin 2S bc A ==,∴2bc =. ……11分 又222cos33b c bc π+-=,化简得2()33b c bc +-=,则2()9b c +=,∴3b c +=.…14分19.(1)证明：由已知可得：,,.EC DC EC BC DC BC C ⊥⊥=EC ∴⊥平面ABCD ,而||,FD EC FD ∴⊥平面ABCD .FD AD ∴⊥.又,90.4,.4BC CD BCD DB AB CDB DBA AD π=∠=∴==∠=∠=∴=AD BD ∴⊥,而,,,,面面FD AD DBFD D AD BDF FB BDF AD BF ⊥=∴⊥⊥∴⊥…5分(2)||AB CD ,易得,,面AB BCE AB BE BE ⊥∴⊥∴=.等腰BCE ∆中6BEC π∠=…8分过B 作BG EC ⊥于G ,则BG ……10分||,、AB DC A B ∴到平面CEFD 的距离相等,A ∴到面CEFD距离d = …13分令AE 与平面CEFD 所成角为α,sin d AE α∴=== …15分 20.解：(1)设1),t t =>则2211,1x t x x t +=∴=- 则22(1)1()2ln 2ln (1)()11t t f x t t t h t t t --=--=-->=-+ …..3分则2212()'()'()'()(2)'()2(1)1g x f x h t t x t x x t -==⋅=--⋅=-+=-分(2)11(),(1)m m a x ϕ===≥在[1,)m ∈+∞上恒成立,则min 1()m aϕ≤..10分'()0,()m m ϕϕ>∴在[1,)m ∈+∞上单调递增,min ()(1)m ϕϕ==分1[)(,0)2aa∴≤∈+∞-∞………….15分21.试题解析：(1)因为1,2⎛⎝⎭在椭圆C上,所以221112a b+=,又因为2a=,解得222,1a b==,所以椭圆C的方程为2212xy+=………….4分(2)由(1)可知()1,0F,()()()11222,,,,,M t A x y B x y设,则:2tOM y x=,所以2ABkt=-, 直线AB的方程为()21y xt=--,即220x ty+-=,由()2221220y xtx y⎧=--⎪⎨⎪+-=⎩得()222816820t x x t+-+-=,则()()()()22242164882840t t t t∆=--+-=+>,21212221682,88tx x x xt t-+==++,..8分)2222241888tABt tt+∆===+++,…….10分又OM=,)22122441288t tS OM ABt t++∴=⨯==++, 由()212y xtty x⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,得244NXt=+,所以2221421244St t=⨯⨯=++, ……12分所以21222422843tS St t+===++,解得2t=所以当1223S S=时, 2t=……………….15分22.解：(1)由na为整数…………….1分下面用数学归纳法证明12n n a a +≤<当n=1时,显然有1223a a =<= …………….2分假设当*()n k k N =∈时有11211,110k k k k a a a a ++≤<->-≥>则必有则当1n k =+时211(1)110k k k k k a a a a a +++-=-->->122k k a a ++∴<<…..5分综上,12n n a a +≤<成立 …………………6分 (2)2111(1)(1)1n n n n n n n a a a a a a a ++++=-+=+--由(1)知12n n a a +≤<且n a 为整数,所以11n n a a +-≥ … …………..8分 所以1111n n n n n n a a a a a a ++++--≥ …………….9分 所以21n n n a a a ++≥11n n n a a a +-≥ 12n n n a a a --≥……..321a a a ≥ …………..11分累乘得到221231233n n n a a a a a a a a a +≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,左边得证 ……………12分又11n n a a +-≥,所以11n n a a ++≤所以21111(1)(1)(1)n n n n n a a a a a ++++-+≤-< ……………..14分 即2211(1)(1)n n n n a a a a +++=-+<综上：2123213n n n a a a a a a ++⋅⋅⋅≤< ……………..15分。