高三数学导数的综合应用 教案 教学设计

(3)讨论方程 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数.
于是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：
t
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+ ∞)
3．（06全国II）过点（－1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为
（A）2x+y+2=0（B）3x-y+3=0（C）x+y+1=0（D）x-y+1=0
解：y=2x+1，设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1
于是切线方程为y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.
6.（浙江卷）f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是
即f(x)在 内是增函数,f(x)在 内是减函数.
当 时f(x)在 内有且只有一个极值点,且是极大值点.
当 时,同理可知,f(x)在 内且只有一个极值点,且是极小值点.
当 时,由(1)知f(x)在 内没有极值点.
故所求a的取值范围为
【点晴】三次函数求导后为二次函数，考查导函数的性质，结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转换能力和待定系数法是近年高考的热点题型。
第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。
第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。
【热点透析】
导数综合试题,主要有以下几方面的内容:
1.函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;
2.函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题,这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)=x3-6x，从而g(x)=3x2-6，由此可知，
和 是函数g(x)是单调递增区间；
是函数g(x)是单调递减区间；
g(x)在 时，取得极大值，极大值为 ，g(x)在 时，取得极小值，极小值为 。
★★★高考要考什么
【考点透视】
从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：
解答：（1）证明：用数学归纳法
①n=1时，a1＞a成立
②假设n=k时，ak＞a成立，
则n=k+1时，由于f′(x)>0，∴f(x)在定义域内递增
∴ ，即
∴n=k+1时，命题成立
由①②知，对任意 ，均
（2）解：令 ，则∵ ，∴ ∴ 递减，
∴ 时， ，Leabharlann ，∴猜测 ，下证之①n=1时， 成立
②假设n=k时， 成立
解答：将y=x+a代入y=x2整数得x2－x－a=0①,为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△= (－1)2＋4a＞0，所以a＞－
设此两交点为(α，α2)，(β,β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为y=2αx－α2，y=2βx－β2.
解答：（1）证明：设 ，要证命题成立只需要证明关于t的方程 有两个符号相反的实根。
，且t≠0，t≠1。
设方程 的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m<0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。
（2）设 ，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而
，即线段AB的中点在直线 上。
(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.
解答：(1)∵ = × +(-1)× =0 ∴ ⊥ .
(2)∵ ⊥ ，∴ =0即[ +(t2-3) ]·(-k +t )=0.
整理后得-k +[t-k(t2-3)] +t(t2-3)· =0
∵ =0， =4， =1，
∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k= t(t2-3)
（Ⅱ） （ ），即当 时， ，即 恒成立，由此得
。
【范例3】设函数f(x)与数列{an}满足下列关系：①a1＞a，其中a是方程f(x)=x的实数根；②an+1=f(an) (nN*)；③f(x)的导函数f′(x)∈（0，1）；
⑴证明：an＞a；(nN*)；⑵判断an与an+1的大小，并证明你的结论。
(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；
(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤ 。
解答(1) ∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=-f(x).
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.
故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤ .
【点晴】①若x0点是y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0,反之不一定成立；
②在讨论存在性问题时常用反证法；
③利用导数得到y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键.
【文】设函数
（1）求函数 的单调区间、极值.
（2）若当 时，恒有 ，试确定a的取值范围.
∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. ∴f′(x)=3ax2+c.
∵x=1时,f(x)取极小值- . ∴f′(1)=0且f(1)=- ,
即3a+c=0且a+c=- .解得a= ,c=-1.
(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在
两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点的切线互相垂直，
又 ， AB与直线 垂直。
故A与B关于 对称，
设 ，则
有t2-2mt+m=0①
由 及夹角公式知
，即 ②
由①得 ③
从而
由②知 ，代入③知
因此， 。
【点晴】本题的关键在于实现了导数的几何意义和曲线切线的斜率和谐的沟通。应深切领会导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用
【文】设抛物线y=x2与直线y=x+a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。
第二轮专题复习：导数的综合应用（教师版）
★★★高考在考什么
【考题回放】
2．（06江西卷）对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有（C）
A．f(0)＋f(2)2f(1) B.f(0)＋f(2)2f(1)
C.f(0)＋f(2)2f(1) D.f(0)＋f(2)2f(1)
解：依题意，当x1时，f(x)0，函数f(x)在（1，＋）上是增函数；当x1时，f(x)0，f(x)在（－，1）上是减函数，故f(x)当x＝1时取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故选C
【文】已知函数 （ 、 ）。
（Ⅰ）若 的图像在 部分在 轴的上方，且在点 处的切线与直线 平行，求 的取值范围；
（Ⅱ）当 、 ，且 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。
解答：（Ⅰ） 。依题意，有 ，所以 。
因为 的图像在 部分在 轴上方，所以 在区间 上的最小值大于零。令 ，于是由 ， ， ， 知： 在区间 上的最小值为 ，故有 ；
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
解：f(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f(x)=0可得x＝0或2（2舍去），当－1x0时，f(x)0，当0x1时，f(x)0，所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2。选C
9.（湖南卷）曲线 和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积
是.
解析：曲线 和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是 .
则由f′(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,
且(x12-1)(x22-1)=-1. (*)
∵x1、x2∈[-1,1], ∴x12-1≤0，x22-1≤0
∴(x12-1)(x22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.
(3)证明：∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.
(1)当 时,求证f(x)在(-1,1)内是减函数;
(2)若y=f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点,求a的取值范围.
解答：(1)∵ ∴
∵ ,∴
又∵二次函数f(x)的图象开口向上,
∴在 内f(x)<0,故f(x)在 内是减函数.
(2)设极值点为 则f(x0)=0
当 时,∵
∴在 内f(x)>0,在 内f(x)<0.
（安徽卷）设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR)，已知g(x)=f(x)- f(x)是奇函数。
（Ⅰ）求b、c的值。
（Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。
【专家解答】：（Ⅰ）∵f(x)=x3+bx2+cx，∴f(x)=3x2+2bx+c.从而g(x)=f(x)- f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)＝x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0得c=0，由奇函数定义得b=3；