初高中衔接数学专题八三角形“四心”定义与性质(可编辑修改版)

三角形“四心”定义与性质
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心
定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

的外心一般用字母表示。

ABC ∆O
性 质：
1．外心到三顶点等距，即。

OC OB OA ==2．外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即
OE BC OD ⊥⊥,3.。

AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=
∠2
1,21,21二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

的内心一般用字母表示，它具有如下性质：
ABC ∆I 性 质：
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝三角形的周长内切圆的半径．⨯2
1⨯3.；
CE CD BD BF AF AE ===,,三角形的周长的一半。

=++CD BF AE 4.，。

,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 C AIB ∠+=∠2
190 三、三角形的垂心
定 义：三角形三条高的交点叫垂心。

的垂心一般用字母表示。

ABC ∆H 性 质：
1、顶点与垂心连线必垂直对边，
即。

AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,四、三角形的“重心”：
定
义：三角形三条中线的交点叫重心。

的重心一般用字母表
ABC ∆G 示。

性 质：
1.顶点与重心的连线必平分对边。

G 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。

2即GF
GC GE GB GD GA 2,2,2===三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重
心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知 D 、E 、F 分别为三边BC 、CA 、AB 的中点，
ABC V
求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.
证明：
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.
三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.
例2 已知的三边长分别为，I 为的内心，且I 在的边
ABC ∆,,BC a AC b AB c ===ABC ∆ABC ∆上的射影分别为，求证：.BC AC AB 、、D E F 、、2b c a AE AF +-==
证明
例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O 为三角形ABC 的重心和内心.
求证 三角形ABC 为等边三角形.
证明
正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.。