将军饮马专题(学生版)
初中数学 几何最值之将军饮马(学生版+解析版)
几何最值之将军饮马一．选择题（共14小题）1．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为4√3，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）A．3B．4√2C．2√3D．4√32．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB 的最小值为（）A．3B．4C．5D．2√53．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．√6B．2√3C．3D．2√64．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2B．2√3C．4D．2√3+25．如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E 在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（）A．2√10B．4√2C．6D．86．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，∠B+∠C＝150°．CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是（）A．12B．15C．16D．187．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB=12S△PCD，则PC+PD的最小值是（）A．4√3B．4√5C．2√13D．2√298．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．5B．6C．8D．109．如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM＝1，N是AC边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且AC CB =13，点D为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（52，52）C ．（83，83）D ．（3，3）11．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝3，DC ＝1，点P是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝6√2，BD ＝6，E 是BC 边的中点，P ，M 分别是AC ，AB上的动点，连接PE ，PM ，则PE +PM 的最小值是（ ）A ．6B ．3√3C ．2√6D ．4.513．如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（﹣4，5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A ．（0，43）B ．（0，53）C ．（0，2）D ．（0，103）14．如图，在等边△ABC 中，AB ＝9，N 为AB 上一点，且AN ＝3，BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是（ ）A ．6√2B ．9√32C ．10√73D ．3√7二．填空题（共4小题）15．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为 ．16．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE +PF 的最小值，则这个最小值是 ．17．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．18．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝度．三．解答题（共3小题）19．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．20．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．21．如图，河两岸有甲、乙两村庄，现准备建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短？请作出图形，并说明理由．几何最值之将军饮马参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为4√3，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）A．3B．4√2C．2√3D．4√3【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC＝2，连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∴PE+PC的最小值是√AC2−EC2=√42−22=2√3．故选：C．2．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB 的最小值为（）A．3B．4C．5D．2√5【解答】解：连接DE，交AC于点P，连接BD．∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵AB＝4，E是BC的中点，∴CE＝2，在Rt△CDE中，DE=√CD2+CE2=√42+22=2√5．故选：D．3．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．√6B．2√3C．3D．2√6【解答】解：连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2√3，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2√3，故所求最小值为2√3．故选：B．4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2B．2√3C．4D．2√3+2【解答】解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，∵AB＝4，∠A＝120°，∴点P′到CD的距离为4×√32=2√3，∴PK+QK的最小值为2√3，故选：B．5．如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E 在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（）A．2√10B．4√2C．6D．8【解答】解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴BD⊥AC，∵AM⊥AC，∴AM∥BD，∴AM∥EF，∵AM＝EF，AM∥EF，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AE＝FM，∴AE+CF＝FM+FC＝CM，根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°∴BC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，在Rt△CAM中，CM=√AM2+AC2=√22+62=2√10∴AE+CF的最小值为2√10．故选：A．6．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，∠B+∠C＝150°．CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是（）A．12B．15C．16D．18【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，∵∠B+∠C＝150°，∴∠BEC＝30°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等边三角形，连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，∴BP+QP＝FP+PQ，∴当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP+PQ的最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合，∵DA⊥AB．DA＝6cm，∴AE＝6√3cm，∴Rt△QEF中，FQ=√3AE＝18，∴BP+PQ最小值值为18，故选：D．7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB=12S△PCD，则PC+PD的最小值是（）A．4√3B．4√5C．2√13D．2√29【解答】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC 都是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝6，∵S △P AB =12S △PCD ，∴12×4×x =12×12×4×（6﹣x ）， ∴x ＝2，∴AM ＝2，DM ＝EM ＝4，在Rt △ECD 中，EC =√CD 2+DE 2=4√5，∵PM 垂直平分线段DE ，∴PD ＝PE ，∴PC +PD ＝PC +PE ≥EC ，∴PD +PC ≥4√5，∴PD +PC 的最小值为4√5．故选：B ．8．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB ＝30°，OP ＝8，点M 和点N 分别是射线OA和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【解答】解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点D 、C ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OP 、OC 、OD 、PM 、PN ．∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，∴PM ＝CM ，OP ＝OC ，∠COA ＝∠POA ；∵点P 关于OB 的对称点为C ，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝8．∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，故选：C．9．如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM＝1，N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，在Rt△BCM中，BM=√CM2+BC2=√32+42=5，故△DMN周长的最小值＝5+1＝6，故选：D．10．如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且AC CB =13，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（52，52）C ．（83，83）D ．（3，3）【解答】解：∵在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），∴AB ＝OB ＝4，∠AOB ＝45°，∵AC CB =13，点D 为OB 的中点，∴BC ＝3，OD ＝BD ＝2，∴D （2，0），C （4，3），作D 关于直线OA 的对称点E ，连接EC 交OA 于P ，则此时，四边形PDBC 周长最小，E （0，2），∵直线OA 的解析式为y ＝x ，设直线EC 的解析式为y ＝kx +b ，∴{b =24k +b =3，解得：{k =14b =2， ∴直线EC 的解析式为y =14x +2，解{y =x y =14x +2得，{x =83y =83，∴P （83，83），故选：C ．11．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P 是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．∵BD＝3，DC＝1∴BC＝4，∴BD＝3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝4，根据勾股定理可得DC′=√BC′2+BD2=√32+42=5．故选：B．12．如图，在菱形ABCD中，AC＝6√2，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A．6B．3√3C．2√6D．4.5【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M使PE+PM取得最小值，PE+PM＝PE′+PM＝E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵AC＝6√2，BD＝6，∴AB=√(3√2)2+32=3√3，由S菱形ABCD=12AC•BD＝AB•E′M得12×6√2×6＝3√3•E′M，解得：E′M＝2√6，即PE+PM的最小值是2√6，故选：C．13．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A ．（0，43）B ．（0，53）C ．（0，2）D ．（0，103）【解答】解：作A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′D 交y 轴于E ，则此时，△ADE 的周长最小，∵四边形ABOC 是矩形，∴AC ∥OB ，AC ＝OB ，∵A 的坐标为（﹣4，5），∴A ′（4，5），B （﹣4，0），∵D 是OB 的中点，∴D （﹣2，0），设直线DA ′的解析式为y ＝kx +b ，∴{5=4k +b 0=−2k +b， ∴{k =56b =53， ∴直线DA ′的解析式为y =56x +53，当x ＝0时，y =53，∴E （0，53）， 故选：B ．14．如图，在等边△ABC 中，AB ＝9，N 为AB 上一点，且AN ＝3，BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是（ ）A ．6√2B ．9√32C ．10√73D ．3√7【解答】解：连接CN ，与AD 交于点M ．则CN 就是BM +MN 的最小值．取BN 中点E ，连接DE ，∵等边△ABC 的边长为9，AN ＝3，∴BN ＝AC ﹣AN ＝9﹣3＝6，∴BE ＝EN ＝AN ＝3，又∵AD ⊥BC ，∴DE 是△BCN 的中位线，∴CN ＝2DE ，CN ∥DE ，又∵N 为AE 的中点，∴M 为AD 的中点，∴MN 是△ADE 的中位线，∴DE ＝2MN ，∴CN ＝2DE ＝4MN ，∴CM =34CN ．在直角△CDM 中，CD =12BC ＝4.5，DM =12AD =9√34， ∴CM =√CD 2+MD 2=9√74，∴CN ＝3√7．∵BM +MN ＝CN ，∴BM +MN 的最小值为3√7．故选：D ．二．填空题（共4小题）15．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为2√5+2．【解答】解：过B作BO⊥AC于O，延长BO至B′，使BO＝B′O，连接B′D，交AC 于E，连接BE、B′C，∴AC为BB′的垂直平分线，∴BE＝B′E，B′C＝BC＝4，此时△BDE的周长为最小，∵∠B′BC＝45°，∴∠BB′C＝45°，∴∠BCB′＝90°，∵D为BC的中点，∴BD＝DC＝2，∴B′D=√B′C2+CD2=√42+22=2√5，∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝B′E+DE+BD＝DB′+DB＝2√5+2，故答案为：2√5+2．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE +PF 的最小值，则这个最小值是 5 ．【解答】解：AC 交BD 于O ， 作E 关于AC 的对称点N ，连接NF ，交AC 于P ，则此时EP +FP 的值最小， ∴PN ＝PE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠DAB ＝∠BCD ，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ，∵E 为AB 的中点，∴N 在AD 上，且N 为AD 的中点，∵AD ∥CB ，∴∠ANP ＝∠CFP ，∠NAP ＝∠FCP ，∵AD ＝BC ，N 为AD 中点，F 为BC 中点，∴AN ＝CF ，在△ANP 和△CFP 中{∠ANP =∠CFP AN =CF ∠NAP =∠CFP，∴△ANP ≌△CFP （ASA ），∴AP ＝CP ，即NF 过O 点，∵AN∥BF，AN＝BF，∴四边形ANFB是平行四边形，∴NF＝AB，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=12AC＝3，BO=12BD＝4，由勾股定理得：AB=√AO2+BO2=5，故答案为：5．17．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是2√2．【解答】解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2√2，即DQ+PQ的最小值为2√2，故答案为：2√2．18．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝30度．【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30．三．解答题（共3小题）19．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．【解答】解：设∠POA＝θ，则∠POB＝30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM 延长一倍到E，即ME＝PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF＝PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ＝QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR＝RP，∴△PQR的周长＝EF．∵OE＝OF＝OP＝10，且∠EOF＝∠EOP+∠POF＝2θ+2（30°﹣θ）＝60°，∴△EOF是正三角形，∴EF＝10，即在保持OP＝10的条件下△PQR的最小周长为10．故答案为：10．20．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC＝4√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BC•cos45°＝4√2×√22=4．故CM+MN的最小值为4．21．如图，河两岸有甲、乙两村庄，现准备建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短？请作出图形，并说明理由．【解答】解：设桥为CD，则这个问题中的路线为AC、CD、DB三条线段之和．怎样转化为两点间的一条线段呢？经观察，不难发现其中的线段CD是定值，因此只需要考虑使AC+DB最短．它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移DB到CB′，此时连接AB′交l于P，得桥址．。
第13讲.轴对称及“将军饮马”问题.学生版
板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；能运用轴对称进行图案设计轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称． 如下图，ABC ∆是轴对称图形．两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点．知识点睛中考要求第十三讲 轴对称及“将军饮马”问题对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．如图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA PB ．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 成轴对称的两个图形的主要性质： ①成轴对称的两个图形全等②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．轴对称变换应用时有下面两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；轴对称图形 两个图形轴对称区别 图形的个数 1个图形 2个图形 对称轴的条数 一条或多条 只有1条联系 二者都的关于对称轴对称的⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．重、难点重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的利用轴对称的知识来解决题目难点：运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用例题精讲板块一、轴对称与轴对称图形的认识【例 1】下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是( )A．B．C．D．【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是()【例 2】(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是()【巩固】(2003吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形__________；理由是__________．【例 3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．【例 4】(09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【巩固】(2004北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．等腰三角形B．等腰梯形C．正方形D．平行四边形【例 5】(2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是()【例 6】(2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是()A．1；B．2；B．3；D．4【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是()A．1B．2C．3D．4⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有()A．1个B．2个C．3个D．4个【例 7】(上海)正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．【巩固】(2003河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是()【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是⑵下列图形中对称轴最多的是()A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段【例 8】作出下图所示的图形的对称轴：【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：【例 9】求作线段AB的垂直平分线BA【例10】已知：如图，ABC∠及两点M、N．求作：点P，使得PM PN=，且P点到ABC∠两边所在的直线的距离相等．NM CBA【例11】(2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．【例12】 (2004河南)如图，直线L 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD =，有下面的结论：①AB CD ∥ ②AC BD ⊥ ③AO OC = ④AB BC ⊥，其中正确的结论有_______．lODCBA【巩固】(2003安徽)如图，L 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD BC ∥，有下列结论：①AB CD ∥ ②AB BC = ③AB BC ⊥ ④AO OC =．其中正确的结论是_________．(•把你认为正确的结论的序号都填上)【例13】 (2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．板块二、轴对称的应用【例14】 如图，ABC ∆和'''A B C ∆关于直线l 对称，且90B ∠=︒，''6cm A B =，求'B ∠的度数和AB 的长．L C'B'A'CBA【例15】 如图，有一块三角形田地，10cm AB AC ==，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得ABC ∆的周长为17m ，请你替测量人员计算BC 的长．【巩固】如图，ABC ∆中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，5BE =厘米，BCE ∆的周长是18厘米，则BC 等于多少厘米？【例16】 如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，求ACB ∠的度数．CAD【例17】 (2004陕西)已知：如图，在ABC ∆中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，BC 平行于x 轴，点B •的坐标是(3,1)-．⑴画出ABC∆；A B C∆关于y轴对称的'''⑵求以点A、B、'B、'A为顶点的四边形的面积．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例18】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．【例19】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？Ba【巩固】若此题改成，在a上找到M、N两点，且10MN=，M在N的左边，使四边形ABMN的周长最短．Ba【例20】(”五羊杯”邀请赛试题)如图，45AOB∠=︒，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O 点)，求作Q、R，使得PQR∆的周长的最小．POBA【巩固】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．NMCB【例21】 (2000年全国数学联赛)如图，设正ABC ∆的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA PM +的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22s t -的值．MPA【例22】 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．OMBA【例23】 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【巩固】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．【例24】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A【巩固】例题中的条件不变，求DN MN -的最小值与最大值．【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一个动点，则DN MN +的最小值是CBA【例25】 (2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l 上连接一个分支线路同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电，分支点为M ，已知居民小区A 、B 到主干线l 的距离分别为12AA =千米，12BB =千米，且114A B =千米．⑴ 居民小区A 、B 在主干线l 的两旁如图⑴所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？⑵ 如果居民小区A 、B 在主干线l 的同旁，如图⑵所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？此时分支点M 与1A 距离多少千米？l (1)ABA 1B 1l (2)ABA 1B 1【例26】 (09山东临沂)如图，A ，B 是公路l (l 为东西走向)两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离1km AC =，B 村到公路l 的距离2km BD =，B 村在A 村的南偏东45︒方向上． ⑴ 求出A ，B 两村之间的距离；⑵ 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．【习题1】(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是北东BACDl家庭作业【习题2】⑴(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．⑵(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )⑶(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )【习题3】如图，ABC ∆中，90A ∠=︒，BD 为ABC ∠的平分线，DE BC ⊥，E 是BC 的中点，求C ∠的度数．EDCBA【习题4】(四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【习题5】在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDCB A【备选1】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼【备选3】(2008年荆门市中考题)如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点M 、N 分别是变AB 、BC的中点，在对角线AC 求作一点P 使得PM PN 的值最小．PNMDCBA月测备选。
专题33 将军饮马模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
4.如图，在直线 两侧各有一个定点，分别是点 A、B，怎样在直线 l 上找到一点 P，使得
的值最大？
构图：作点 B 关于直线 l 的对称点 B’，连接 AB’并延长与 l 的交点即为点 P，如图所示：
5.如图，在直线 同侧有 A、B 两个定点，怎样在直线 上找到一点 P，使得
的
值最小？
构图：连接 AB，作 AB 的垂直平分线与直线 l 交于点 P，此时
12．如图，等边 ABC 的边长为 4，点 E 是 AC 边的中点，点 P 是 ABC 的中线 AD 上的动点， 则 EP CP 的最小值是_____．
13．如图，等边三角形 ABC 的边 BC 上的高为 6， AD 是 BC 边上的中线，M 是线段 AD 上的 -一个动点，E 是 AC 中点，则 EM CM 的最小值为_________．
一、单选题 1．如图，点 M 是菱形 ABCD 的边 BC 的中点，P 为对角线 BD 上的动点，若 AB＝2，∠A ＝120°，则 PM＋PC 的最小值为（ ）
A．2
B． 3
C． 2
D．1
2．已知线段 AB 及直线 l，在直线 l 上确定一点 P ，使 PA PB 最小，则下图中哪一种作图方
法满足条件（ ）．
构图：分别作点 P、Q 关于 OA、OB 的对称点 P’、Q’，连接 P’Q’分别交 OA、OB 于点 C、 D，此时△PCD 的周长最小值为 PQ＋P’Q’，如图所示：
【模型 3】两点两线 在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使得 PA＋PQ＋QB 的值最小. 1.A、B 两点都在直线的外侧
2.一个点在内侧，一个点在外侧
14．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上且 DM＝2，N 是 AC 上的一动点，则 DN＋MN 的最小值是______．
将军饮马18道典型习题
将军饮马18道典型习题将军饮马"是一个古希腊数学问题，源于2000多年前。
当时，一位将军向城里的著名数学家海伦请教：他每天早上都要骑马到河边让马喝水，然后到河岸同一侧的一块草地上让马吃草。
将军想知道，在河岸的哪个具体位置让马喝水，可以让他和马儿走的路程最短。
经过思考，海伦给出了答案，这就是"将军饮马"问题。
以下是"将军饮马"问题的五种常见模型：1.一动两定（和最小）模型：假设点A是将军和马儿居住的营帐，点B是指定的草地，小河L在两点之间流过。
问题是，将军和马儿在哪个具体位置喝水，可以让他们走的路程最短？解决方法是，做A点关于L的对称点A'，连接A'B，与L的交点即为P点。
这时，PA+PB最小。
为什么呢？因为在L 上任意取一点M（不与P重合），根据几何原理，PA+PB=A'P+PB=A'B，AM+MB>A'B，所以动点P在A'B与L 交点处时，PA+PB最小。
2.一定两动模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，草地不是指定的点，而是由L2代表的一片草地。
问题是，在哪个具体位置喝水和吃草，可以让将军和马儿走的路程最短？解决方法是，做A点关于L1的对称点A'，做A点关于L2的对称点A''，连接A'A''，与L1和L2的交点即为P、Q。
这时，AP+PQ+QA的和最小。
为什么呢？因为在L1上取点M（不与P重合），在L2上取点N（不与Q重合），根据几何原理，AP+PQ+AQ=A'P+PQ+A''Q=A'A''，AM+MN+AN>A'A''，所以动点P和Q在A'A''与L1、L2的交点处时，AP+PQ+QA的和最小。
3.两动一定模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，将军要骑马到L2代表的一片草地吃草，然后再回到营帐。
轴对称与将军饮马问题(基础篇)专题练习(学生版)
轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习一、两定点一动点1、如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B’．②连接AB’与直线l相交于点C，则点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）．A. 转化思想B. 三角形的两边之和大于第三边C. 两点之间，线段最短D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角2、如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD的度数是（）．A. 30°B. 45°C. 60°D. 无法确定3、如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）．A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4、如图，PQ为△ABC边上的两个定点，在BC边上求作一点M，使PM+QM最短．（保留作图痕迹，不写作法，无需证明）5、如图，解答下列问题：①画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．②在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短．（保留作图痕迹）6、在平面直角坐标系中，已知点A（2，6），B（4，0），在y轴上求一点P，使△ABP的周长最小．（1）在坐标系中画出A、B两点的位置．（2）画出点P的位置．（3）求出点P的坐标．7、在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B，C的坐标分别是（-4，6），（-2，2），（-1，4）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C的对称点分别为A1，B1，C1．（2）请在y轴上求作一点P，使△PBC的周长最小．8、如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．（1）画出△AOB关于直线x=-1轴对称后图形△A’O’B’．（2）点P在x轴上使△APB周长最小时，在图中画出点P．（请保留作图痕迹）（3）求出△AOB的面积．二、一定点两动点9、如图，∠AOB =a ，点P 是∠AOB 内的一定点，点M 、N 分别在OA 、OB 上移动，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的值为（ ）．A. 90°+a ．B. 90°+12a ．C. 180°-a ．D. 180°-2a ．10、如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是6cm ，则∠AOB 的度数是（ ）．A. 15B. 30C. 45D. 6011、如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，在AB ，BC 上分别找一点E 、F ，使△DEF 的周长最小，此时，∠EDF =（ ）．A. αB. 90°-12αC. 2D. 180°-2α12、如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD =18cm ，则△PMN 的周长为______cm ．13、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是______ cm．14、已知：如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，P1P2=15，则△PMN的周长为______；若∠O=40°，则∠MPN=______°．15、如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC 于点F，垂足为E，若M为BC边上一动点，D为EF上一动点，则BD+MD的最小值为______cm．16、如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC=______．17、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=65°，M、N分别是边BC，CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN=______．18、如图，D是∠ABC内一点，BD=4，∠ABC=30°，设M是射线BA上一点，N是射线BC上一点，则△MND的周长的最小值是______．19、如图，已知钝角三角形ABC的面积为20，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为______．20、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、线段AD上的动点，则MN+BN的最小值是______．21、如图，在锐角△ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．22、如图，∠AOB=30°，OC=2，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得CM+MN最小，求出此最小值．23、如图，已知点A是锐角∠MON内的一点．（1）按要求画图：（不写作法，尺规作图，保留作图痕迹）①分别作点A关于OM，ON的对称点A’，A’’．②试分别在OM、ON上确定点B，点C，使△ABC的周长最小．（2）若∠MON=45°时，试判断△ABC的形状，并说明理由．24、如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．25、某班举行晚会，桌子摆成两条直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．26、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值．。
13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册
13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册一．将军饮马：线段和的最小值例1．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？请你用所学的数学知识在图2中画出．例2．已知x+y＝7，且x，y均为正数，则的最小值是．变式1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，1），点P（x，0）是x轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（）A．3B．C．5D．变式2．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）mC．1000m D．（300+100）m变式4．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．8变式5．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2B．12C．5D．7二．选址造桥例3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．变式1．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．变式2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）三．线段差最大例4．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值为．变式1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）A．12cm B．8cmC．6cm D．2cm四．角中对称问题例5．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A．B．C．D．变式1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，求∠AOB的度数．变式2．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2．连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，求则△PMN的周长．变式3．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值课后练习1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，EF垂直平分BC，P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是．2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC 上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．3．如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是（）A．4B．3C．2D．2+4．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3B．C．D．65．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°6．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC 最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）B．C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）8．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35B．40C．50D．609．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC 的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．6B．8C．10D．1210．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2B．4C．6D．811．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝100°，求∠AOB．12．如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC 和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数13．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，求PM+MN的最小值14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上且BD＝1，AD＝4，点E、F分别为边AC、AB上的动点，求△DEF的周长的最小值为．15．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，点P为边AB上的一定点，连接CP，CP＝4，M，N分别为边AC和BC上的两动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值为；当△PMN周长的最小值时，∠MPN的度数为．16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N 是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，求PM+PN的最小值.17．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接BE，求△ABE周长的最小值。
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针对训练 6. (2018陕西副题14题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC 的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM-PO的最大值为 ________．
第6题图
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(4)异侧线段差最大值问题 模型分析 问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 解题思路：将异侧点转化为同侧，同“3.同侧线段差最大值问题”即可解决．
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针对训练 2. 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、 N分别是AD、AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________．
第2题图
第3题图
3. 如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM
3. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB边上的一点，且AE＝1， 点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为________．
第3题图
第4题图
4. 如图，AB是 e O的直径，AB＝8 cm， ¼AC＝ C»D ＝ B»D ，M是AB上一动点，则CM ＋DM的最小值是________．
(3)同侧线段差最大值问题
模型分析 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大． 解题思路：当A、B、P三点不共线时，根据三角形任意两边之差小于第三边可得|PAPB|<AB，当A、B、P三点共线时，|PA-PB|＝AB，则|PA-PB|的最大值为线段AB的 长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略(学生版)
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】【类型二实际问题中的最短路径问题】【类型三一次函数中线段和最小值问题】【类型四一次函数中线段差最大值问题】【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F 分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是()A.6B.4C.3D.2【变式训练】1(2023春·山东济南·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF 周长的最小值为()A.7B.9C.10D.142(2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点C为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为()A.4B.9C.11D.133(2022春·七年级单元测试)如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AB =4，点E 在BC 上，且BE =2，点P 在∠ABC 的平分线BD 上运动，则PE +PC 的长度最小值为()A.1B.2C.3D.44(2023秋·甘肃·八年级统考期末)如图，∠AOB =15°，M 是边OA 上的一个定点，且OM =12cm ，N ，P 分别是边OA 、OB 上的动点，则PM +PN 的最小值是．5(2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末)如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =7，作AD ⊥BC 于点D ，AD =12AB ，点E 为AC 边上的中点，点P 为BC 上一动点，则PA +PE 的最小值为．6(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，点C ，D 分别是角∠AOB 两边OA 、OB 上的定点，∠AOB =20°，OC =OD =4．点E ，F 分别是边OB ，OA 上的动点，则CE +EF +FD 的最小值是．7(2023春·广东佛山·八年级校考期中)如图，已知△ABC ≌△CDA ，将△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C的位置，点B的对应点为B ，连结BB ．(1)直接填空：B B与AC的位置关系是；(2)点P、Q分别是线段AC、BC上的两个动点(不与点A、B、C重合)，已知△BB C的面积为36，BC=8，求PB+PQ的最小值；(3)试探索：△ABC的内角满足什么条件时，△AB E是直角三角形？8(2023春·广东深圳·七年级统考期末)【初步感知】(1)如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：．【拓展应用】(3)如图3，在等边△ABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二实际问题中的最短路径问题】1(2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中)如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=2km，BD=5km，CD=6km，现在要在河岸CD上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【变式训练】1(2023春·八年级课时练习)如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．(只需作图，不需要证明)(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．2(2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习)如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．3(2023春·全国·七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上是否存在点P，使得PA+PB的值最小？小明的解法如下：如图，作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且PA+ PB的最小值为A B．问题提出：(1)如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，求PB+PE的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池M，从蓄水池M处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为AC=3千米，BD=9千米，CD=9千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【类型三一次函数中线段和最小值问题】1(2023春·山东德州·八年级校考阶段练习)如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x22,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【变式训练】1(2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中)一次函数y=kx+b的图像经过两点A4,0，B0,8．点D m,4在这个函数图像上(1)求这个一次函数表达式；(2)求m的值；(3)点C为OA的中点，点P为OB上一动点，求PC+PD的最小值．2(2023春·湖南长沙·八年级校联考期中)如图，直线l1经过点A4,0，与直线l2：y=x交于点B a,43．(1)求a的值和直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴交于点C，求△BOC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使得PB+PA的值最小，若存在，请求出PB+PA的最小值，若不存在，请说明理由．3(2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中)如图1，直线l1:y=-14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点C的坐标为( -2,0)，点P的横坐标为-45．(1)直接写出点A、P的坐标，并求出直线l2的函数表达式；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，交直线l2于点M，点Q是线段AM上的一动点，连接QD，QC，当△QDC 的周长最小时，求点Q的坐标和周长的最小值．(3)在第(2)问的条件下，若点N是直线AM上的一个动点，以D，Q，N三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点N的坐标．【类型四一次函数中线段差最大值问题】1(2023秋·四川成都·八年级统考期末)如图所示，直线l1:y=x-1与y轴交于点A，直线l2:y=-2x-4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．(1)求点A,C的坐标；(2)点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC=S△ABC且异于点A的点P的坐标；(3)点D(2,0)为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出DQ-BQ的最大值．【变式训练】1如图①，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(-10，0)，与y轴交于点B，与直线y= x交于点C(a，7)．-73(1)求直线AB的表达式；(2)如图②，在(1)的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y=-7x于点F，交直线y=kx+b于点G，若3点E的坐标是(-15，0)，求△CGF的面积；(3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM-PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；2在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=，C B=，∴AC+CB=AC+CB =．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M2,2,N4,-1,MN=13，P是坐标轴上的点，则PM-PN的最大值为，此时P点坐标为．(直接写答案)3如图，在直角坐标系中，直线l：y=43x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x=-2交AB于点C，D是直线x=-2上一动点，且在点C的上方，设D(-2，m)(1)求点O到直线AB的距离；(2)当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E(8，0)，在y轴上找一点M，使|ME-MD|最大，请求出|ME-MD|的最大值以及M点的坐标；(3)在(2)的条件下，将直线l：y=43x+8左右平移，平移的距离为t(t>0时，往右平移；t<0时，往左平移)平移后直线上点A，点B的对应点分别为点A′、点B′，当△A′B′D为等腰三角形时，求t的值．。