中考最值专题--将军饮马
中考数学专题《将军饮马模型》
是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是( B )
A.(0，4 ) B.(0，5 ) C.(0,2) D.(0，10 )
3
3
3
河边
y
A
C
E E
Bห้องสมุดไป่ตู้
DO
D´ x
针对训练
将军饮马---两定一动
知识点二
如图:已知⊙O的直径CD为2,︵AC的度数为60º,点B是A︵C的中点,在直
径CD上作出点P,使BP＋AP的值最小,则BP＋AP的最小值为__2___
图形特征：两定一动；适用模型：将军饮马 ；
基本策略：同侧化异侧、折线化直线；
基本方法：N个动点N条河,N次对称跑不脱；
基本原理：两点之间线段最短；
P
A´ PA+PB=_P_A_´_+_P_B_=_A_´_B_.
典例精讲
将军饮马---两定一动
知识点二
【例2】如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E
O 河流 C
N
A2
将军沿A-B-C-A走路程最短
典例精讲
将军遛马---两定两动
知识点三
【例3-1】如图,点A(a,3)B(b,1)都在双曲线 y = 3 上,点C,D分别 x
是x轴,y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为( B )
A.5 2 B.6 2 C.2 10 +2 2 D.8 2
河边
A＇ y A
D
B
D
草地
O CC
x
B＇
典例精讲
将军遛马---两定两动
知识点二
【例3-2】如图,∠AOB=45º,点P是∠AOB内一点且OP= 2 ,若点M、N
2020中考数学复习 最值问题 将军饮马问题 51张
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【假装不存在的正方形】
如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在
边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA
上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
A．（ 2，2）
B．（
最值问题之“将军饮马”
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李 颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常 有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
01、什么是“将军饮马” ？
【问题描述】 如图，将军在图中点 A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军
营，问：将军怎么走能使得路程最短？
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
01、什么是“将军饮马” ？
? 【问题简化】 ? 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
? 【问题分析】 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关
于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最 短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分 别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为________．
2023年中考数学总复习专题12二次函数与线段和(将军饮马型)最值问题(学生版)
专题12二次函数与线段和（将军饮马型）最值问题二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有：模型1：当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．作点B 关于直线l 的对称点B '，连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB ' 模型2：当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点，PA PB -的最大值为AB 模型3：当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB '模型4：点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得△PCD 周长最小．lABll ABllABlB分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P ′、P ″，连接P ′P ″，交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．△PCD 周长的最小值为P ′P ″模型5：点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得PD ＋CD 最小．作点P 关于OB 的对称点P ′，过P ′作P ′C ⊥OA 交OB ，PD ＋CD 的最小值为P ′C【例1】（2022•黑龙江）如图，已知抛物线y ＝（x ﹣2）（x +a ）（a ＞0）与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH +EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．【例2】（2022•甘肃）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝（x +3）（x ﹣a ）与x 轴交于A ，B （4，0）两点，点C 在y 轴上，且OC ＝OB ，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点（点D ，E 不与点A ，B ，C 重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE 并延长交抛物线于点P ，当DE ⊥x 轴，且AE ＝1时，求DP 的长；（3）连接BD ．POADCP'POA①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．【例3】．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【例4】．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【例5】（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．1．（2022•滨城区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．2．（2022•淮北模拟）已知抛物线l1：y＝ax2+bx﹣2和直线l2：y＝﹣x﹣均与x轴相交于点A，抛物线l1与x轴的另一个交点为点B（3，0）．（1）求a，b的值；（2）将抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，求h的值；（3）设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段AD的下方（点P不与点A，D重合），过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线l2于点M，N，记W＝PM+PN，求W的最大值．3．（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．①当△POQ与△P AQ的面积之比为1：3时，求m的值；②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值．4．（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标；（3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值．5．（2022•成都模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），且经过点C（﹣2，3），P为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；（2）平面内一动点H自点C出发，先到达x轴上的某点M，再到达y轴上某点N，最后运动到点P，求使点H运动的总路径最短的点M，点N的坐标，并求出这个最短总路径的长；（3）如图2，过点C的直线l与抛物线有唯一的公共点，将直线l向下平移交抛物线于D，E两点，连BD交y轴正半轴于F，连BE交y轴负半轴于G，试判断|OF﹣OG|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．6．（2022•沈阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的“衍生直线”为y＝﹣ax+b，有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在“衍生直线”上的三角形为该抛物线的“衍生三角形”．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与其“衍生直线”交于A，D两点（点A在点D的左侧），与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，点P为抛物线的顶点．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为；B的坐标为；D的坐标为．（2）如图1，动点E在线段AB上，连接DE，DB，将△BDE以DE所在直线为对称轴翻折，点B的对称点为F，若三角形△DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，求点F坐标．（3）抛物线的“衍生直线”上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝，连接PM，CN，当PM+MN+CN最短时，请直接写出此时点N的坐标．7．（2022•沈阳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）经过点A（3，2）和点B（4，﹣），且与y轴交于点C．（1）分别求抛物线和直线BC的解析式；（2）在x轴上有一动点G，抛物线上有一动点H，是否存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值．8．（2022•沈河区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（点B在A的右侧），与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当△BOD≌△COA时，求点P的坐标；（3）连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且CE＝BQ，当OE+CQ的值最小时，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•邵阳县模拟）如图，直线l：y＝﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、C的抛物线C：与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E．（1）求抛物线C的对称轴．（2）将直线l向右平移得到直线l1．①如图①，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线l1的解析式．②如图②，直线l1与直线BC相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•越秀区校级二模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022•立山区一模）已知点A（﹣2，0），B（3，0），抛物线y＝ax2+bx+4过A，B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段AC上一动点（不与C点重合），作PQ⊥BC交抛物线于点Q，PH⊥x轴于点H．①连结CQ，BQ，PB，当四边形PCQB的面积为时，求P点的坐标；②直接写出PH+PQ的取值范围．12．（2021•招远市一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．（4）设点M的坐标为（3，m），直接写出使MN+MD的和最小时m的值．13．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．14．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．15．（2020•朝阳）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．16．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G 到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．17．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ 周长的最小值及点Q的坐标．18．（2018•贺州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），P A、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．19．（2018•烟台）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y ＝kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2018•湘潭）如图，点P为抛物线y＝x2上一动点．（1）若抛物线y＝x2是由抛物线y＝（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．。
初中数学58种模型之12、“将军饮马”三种模型详解
当两淀点A 、R 在克罐/何侧时，在亞线』上携一点几便|阳一户创最大°将军饮马”三种模型"将军饮马"问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
晋两定点A.U 在点线F 异創时-在肖践f 上找一点Pt 使PA+PB 锻小*述接也交h 纱/于点P.点卩閒为所求作的点.肖两远点上B 在直雜I 同测时,在直刻上拥一点P,使PA+PB 最小'作庖U 芸于宜线F 的对称点V ■连楼AB'交直线于点P.点P 即为用求作的点"―二I \PA-P^\荊卩址大值洵丽。
连接班并延长交直戦』十点几点卩即为所求作的点。
当两定点仏k 在直找门司侧时，在直线』上找一点人使PA-PB\^扎作点B 关于直统』的对称点B'h 谨接恋’井延快交宜鏡于点巴点F 即为所求作的点。
皓论PAPI1的颯小°PA-PB 的盘小值为AB'□冋-卿的最大值为上的动点，则户创的圮大值是多少？A ■B ■\A\PA-PB\的 1当两定点限廿在宜线/同删时，在直线丿上找--点片使f4-砂|最小“ 叫连接馭作■-朋的垂直平分钱交直线f 于点P ，点卩即沟所求作的点-最小值为叽模型实例例1一如图"止厅形的面积是1氛是等边三博形，点E 在止方刑ABCI ）内“在对角纯蚯上有一点卩*则PD+FE 的艮小值为°^12.如圜已S11AABC 为辱展宜角匸角形…怔-氏=4”ZBCD 15".P 拘匚D热搜掃练I.如虱^AABC 中「ZACB-fJO 3，乃是就边的中点，II 是屈边b -动直+则LCIED 的最小悄是°])2・如图.点C的坐标为（3,y）,当△ABC的周长最短时，求丿的值。
3.如图.正方形ABCD中,AB-7,M是DCI：的一点，且DM-3,N是AC上的一动点.求|DN-MN|的嚴小值与战大值.△PCD 周氏最小为点P 在ZAOB 的内部，在0B 上找点D,在0A 上找点C,使得△PCD 周长最小。
专题07 最值模型之将军饮马精讲练(11大模型)(解析版)
专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。
模型精讲一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。
例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.图1-2lPABP'lAB图1-1反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A 和定点B 在定直线l 的同侧 要求：在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 值最小 。
作法：图1-41.作A 关于直线CD 对称点A’。
2.连A’B 。
3.交点P 就是要求点。
连线长A’B 就是PA+PB 最小值。
【证明】：图1-5在l 上任取异于点P 的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB ，即AP´+BP´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时，PA+PB 最小.二、造桥选址，移花接木。
2020中考数学总复习：将军饮马型最值问题-解题技巧总结精选全文
图T3-13
1
10
3
3
(3)∵y=- x2+ x,∴抛物线的对称轴为直线 x=5.
∵A,O 两点关于对称轴对称,∴PA=PO,
当 P,O,D 三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△ PAD 的周长最小.
如图,OD 与对称轴的交点即为满足条件的点 P,
由(2)可知 D 点坐标为(10,5).
1
1
1
∵S△ PAB=3S 矩形 ABCD,∴2AB·h=3AB·AD,
2
∴h=3AD=2,∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的线段 l 上,如图,作点 A
关于直线 l 的对称点 A',连接 AA',BA',则 BA'即为所求的最短距离.在 Rt△ ABA'中,
AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'= 2 + '2 = 42 + 42 =4 2,即 PA+PB 的最小值为
)
D.80°
[答案]D
[解析]分别作A关于直线BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于E,交CD于F,则
A'A″长即为△AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.
又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=
图T3-4
.
[答案] 2 5
[解析]如图,在 CB 上截取 CM=CA,连接 DM.
= ,
在△ CDA 与△ CDM 中, ∠ = ∠,
2023年中考数学几何模型之动点最值之将军饮马模型(讲+练)(解析版)
专题11动点最值之将军饮马模型模型一、两定一动模型例题1.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P 到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵SPAB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，△∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故答案为：2．【变式训练1】如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF 外，在对角线BF上有一点P，使PC＋PE最小，则这个最小值的平方为（）A. B. C.12 D.【答案】B【解析】连接AC、AE，过点C作CG⊥AB，如图所示：∵正方形ABEF，∴AE⊥BF,OA＝OE，即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EP＋CP的值最小，EP＋CP＝AC，∵正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，在Rt△BCG中，∠CBG＝90º－60º＝30º，BC＝2，∴CG＝1，，，，即这个最小值的平方为.【变式训练2】如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接PB、PC、PA，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，∵PB+PC＝PA+PB≥AB，∴当P与E重合时，PA+PB最小，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴DE＝＝，故选：B．【变式训练3】如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？【答案】∠ECF＝30º【解析】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30º.模型二、一定两动例.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M′、N′，连接OC、OD、PM′、PN′．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴当M、N与M′、N′重合时，△PMN周长最小＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4，选B．【变式训练1】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．【变式训练2】如图，在菱形ABCD中，AB，∠A＝120º，点P,Q,K分别为线段BC,CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为.【解答】【解析】过点C作CE⊥AB，如图所示：∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120º，∴∠ABC＝60º，BC＝2，BD平分∠ABD，∴BE＝，CE＝BE＝，∵BD平分∠ABD，∴在AB上作点P关于BD的对称点P'，∴PK＋QK＝P'K＋KQ，当P',K,Q三点共线且P'Q⊥AB时，PK＋QK有最小值，即最小值为平行线AB,CD的距离，则最小值为.【变式训练3】如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB＋NM＋BM＝6，故选C.【变式训练4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，∴∠PAQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，∴∠PAQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．模型三、两段之差模型例.如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（）A.12B.8C.6D.2【解答】B【解析】∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，∴BC＝20－12＝8，在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC，∴PA－PB＝PC－PB，在△PBC中PC－PB＜BC当P、B、C共线时（PC－PB）有最大值，此时PC－PB＝BC＝8，故选B.【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N 在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为.【解答】2【解析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN',MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM－PN＝PM－PN'≤MN'，当P,M,N'三点共线时，取“＝”,∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，∴AC＝6，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝3，∵AN＝2，∴ON＝1，∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4，，∴CM＝AB－BM＝6－4＝2，，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60º，∵∠N'CM＝60º，∴△N'CM为等边三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM－PN的最大值为2.【变式训练2】如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN 的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于10．【答案】10【解答】解：延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，故答案为：10．模型四、特殊型例1.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝故答案为：．【变式训练】如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，）B．（，）C．（0，0）D．（1，1）【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0），连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ，∴四边形APQA'是平行四边形，∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝，∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0），∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1∴Q点坐标（，），故选：A．∴x＝﹣x+1，即x＝，课后训练1.如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】D【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，选D．2.如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150º，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是()A.12B.15C.16D.18【答案】D【解析】如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，∵∠B＋∠C＝150º，∴∠BEC＝30º，∴∠BEF＝60º，∴△BEF是等边三角形，连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，∴BP＋QP＝FP＋PQ，当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP＋PQ的最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合，∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE，∴Rt△QEF中，FQ＝AE＝18，∴BP＋PQ最小值值为18，故选D.3.如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A．3B．2C．D．4【解答】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，设等边△ABC的边长为x，则高为x，∵等边△ABC的面积为4，∴x×x＝4，解得x＝4，∴等边△ABC的高为x＝2，即PE＝2，故选：B．4.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x 轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．5.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，，则PC＋PD的最小值为.【解析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设AM ＝，∵四边形ABC都是矩形，AB//CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，，∴＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC，∴PD＋PC，∴PD＋PC.6.如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为（4，6）．【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，连接E′F′交AB与点N．∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，∴E′C＝12，CF′＝9．∵AB∥CE′，∴△F′NB∽△F′E′C．∴＝＝，即＝，解得BN＝4，∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案为：（4，6）．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D 作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE（1）说明：AE＝CE＝BE；（2）若DA⊥AB,BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB＋PC最小，并求出此时PB＋PC的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，∴DF垂直平分线段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠ACB＝90º，∴∠ACE＋∠BCE＝90º＝∠CAE＋∠B＝90º，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝EB，∴AE＝CE＝BE；（2）连接PA,PB,PC，如图所示：∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90º，∵∠DAC＝60º，∴∠CAB＝30º，∴∠B＝60º，∴BC＝AE＝EB＝CE＝6.∴AB＝12，∵DE垂直平分AC，∴PC＝AP，∴PC＝PB＋PA，∴当PB＋PC最小时，也就是PB＋PA最小，即P,B,A共线时最小，∴当点P与点E共点时，PB＋PC的值最小，最小值为12.8.已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N.（1）求证：PE＝EM；（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK＋KG＋PG的最小值.【答案】（1）见解析；（2）BP2＋NC2＝PN2；（3）【解析】（1）证明：过P作PQ⊥AD于Q，则PQ＝AB，如图所示：∵AD＝2AB，E为AD中点，∴AD＝2DE，∴PQ＝DE，∵PE⊥EM，∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90º，∴∠QPE＋∠PEQ＝∠PEQ＋∠DEM＝90º，∴∠QPE＝∠DEM，∴△PQE≌△EDM（ASA），∴PE＝EM；（2）三者的数量关系是：BP2＋NC2＝PN2①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；③证明：连接BE、CE，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E为AD中点，∴∠A＝∠ABC＝90º，AB＝CD＝AE＝DE，∴∠AEB＝45º，∠DEC＝45º，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∠BEC＝90º，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45º，∴∠EBC ＝∠ECD，又∵∠BEC＝∠PEM＝90º，∴∠BEP＝∠MEC，∠EBP＝∠ECM在△BEP和△CEM中，，∴△BEP≌△CEM（ASA），∴BP＝MC，PE＝ME，∵EN平分∠PEM，∴∠PEN＝∠MEN＝45º，在△EPN和△EMN中，∴△EPN≌△EMN（SAS），∴PN＝MN，在Rt△MNC中有：MC2＋NC2＝MN2，∴BP2＋NC2＝PN2；（3）连接PM，如图所示：由（2），可得PN＝MN，PE＝ME，∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，∵K为EM中点，D＝90º，，由（2），可得△PEM为等腰直角三角形，根据勾股定理，可得，∴当ME取得最小值时，DK＋GK＋PG取得最小值，即当ME ＝DE ＝6时，DK ＋GK ＋PG 有最小值，最小值为.。
2024成都中考数学二轮复习专题：将军饮马求最小值1-对称【含答案】
将军饮马求最值1--对称内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’例题演练题组1：两定点一动点问题例1．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，抛物线的顶点为D．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，若点E是AB上一动点（点A、B除外），连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求△BDE的面积；【解答】解：（1）由题意A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）设C（m，0），则B（m，m+1），把点B坐标代入抛物线的解析式得到：m+1＝m2﹣2m﹣3，解得m＝4或﹣1（舍弃），∴C（4，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+1．（2）如图1中，如图作点C关于直线AB的对称点C′，连接OC′交直线AB于E，连接EC、EO，此时EO+EC的值最小．∵C（4，0），CC′关于直线AB对称，∴C′（﹣1，5），∴直线OC′的解析式为y＝﹣5x，由，解得，∴E（﹣，），∵D（1，﹣4），＝9×（4+）﹣×3×9﹣×（1+）（4+）﹣×（4+）（5﹣）＝12.5．∴S△BDE练1.1如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣∴S△FBC2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．题组2：两动点一定点问题例2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．（1）求抛物线和直线AB的解析式．（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．∴，，解得，，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+4，直线y解析式为＝﹣x+9．（2）如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E（0，9），F（9，0），连接PE、PF、PO．当PQ最大时，△PEF的面积最大，设P（m，﹣m2+5m+4）＝S△POE+S△POF﹣S△EOF＝×9×m+×9×（﹣m2+5m+4）﹣×9×9＝﹣（m﹣3）∵S△PEF2+18，∵﹣＜0，∴m＝3时，△PEF的面积最大值为18，此时P（3，10），作点P关于y轴的对称点P′，B关于x轴的对称点B′，连接P′B，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小．理由：四边形PNMB周长＝PN+MN+MB+PB＝P′N+MN+MB′+PB＝P′B′+PB，∵PB是定长，两点之间线段最短，∴此时四边形PNMB周长最小．∵P′（﹣3，10），B′（5，﹣4），∴P′B′＝＝2，∵PB＝＝2，∴四边形PNMB周长的最小值为2+2．练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y 轴交于C点，顶点为D．（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；（2）在（1）的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣x2+x+3，令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或6，∴B（﹣2，0），A（6，0），∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线顶点D坐标为（2，4），对称轴x＝2，设直线AD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，∵AR⊥AD，∴直线AR的解析式为y＝x﹣2，∴点R坐标（2，﹣）．（2）如图1中，设P（m，﹣m2+m+3），则Q（m，m﹣2），M（m，﹣m2+m+），由（1）可知tan∠DAB＝＝，∴∠DAB＝60°，∵∠DAQ＝90°，∴∠BAQ＝30°，∴平行四边形MNRQ周长＝2（﹣m2+m+﹣m+2）+2（2﹣m）÷cos30°＝﹣m2﹣m+，∴m＝﹣时，平行四边形MNRQ周长最大，此时P（﹣，），如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴于E，此时PE+EF+AF最小．理由：PE+EF+AF＝EM+FE+AF＝FM+AF＝FN+AF＝AN，根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+AF最小．∵M（，），N（﹣，），∴直线AN的解析式为y＝﹣x+，∴点F坐标（0，），∴直线FM的解析式为y＝x+，∴点E坐标（2，）．题组3：线段之差的最大值问题例3．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F．（1）当△PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BH﹣PH|的值最大，求点H的坐标和|BH﹣PH|的最大值；【解答】解：（1）设点P（m，﹣m+1），则点E（m，0），联立两个函数表达式得，解得，即点A、B的坐标分别为（0，1）、（6，﹣5），由抛物线的表达式知，点C（2，3），由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣2x+7，当y＝﹣2x+7＝﹣m+1时，x＝，故点F（，﹣m+1），△PEF面积＝×PE•PF＝×（m﹣1）（﹣m）＝﹣（m﹣1）（m﹣6），∵﹣＜0，故△PEF面积有最大值，此时m＝（1+6）＝，故点P（，﹣），当P、B、H三点共线时，|BH﹣PH|的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，故点H（1，0），则|BH﹣PH|的最大值＝BH﹣PH＝BP＝＝；练3.1已知抛物线ω：y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，点E的横坐标为﹣5．（1）如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积．（2）如图2，连接AE，以AB，AE为边作▱AEFB，将抛物线w与▱AEFB一起先向右平移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w′和▱A′E′F′B′，在向上平移的过程中▱AEFB与▱A′E′F′B′重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，E′F′与BF交于点Q，在直线A′B′上有两动点P，H，且PH＝2（P在H的右边），当|PQ﹣HC|取得最大值时，求点P的坐标．【解答】解：（1）令﹣x2﹣x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0）当x＝﹣＝﹣1时，y＝，即D（﹣1，），当x＝﹣5时，y＝，即E（﹣5，﹣）＝S△AOE+S△AOD＝•AD•（y D﹣y E）＝×4×（）＝16；∴S四边形AEOD（2）如图1，延长FE′交x轴于点H，由平移可知：F（1，），FH⊥x轴，FE′＝m，FH＝，∴BH＝1，△FHB∽FE′Q，∴＝，即＝，∴E′Q＝，由平移可知，重叠部分四边形为平行四边形，S重叠四边形＝E′Q•HE′＝（）＝m2+m，当m＝＝时，平行四边形的面积有最大值，此时y Q＝﹣当y＝﹣时，即Q是线段FB的中，∴x Q＝＝，即Q（，）．如图2，作点Q关于直线A′B′的对称点Q′，将线段CH向右平移两个单位使点H与点P重合，点C的对应点为C′，延长Q′C′交直线A′B′于点N，当P在N点时，|PQ﹣HC|取得最大值．则＝，则Q′（，），C′（2，4），y Q′C′＝﹣，当y＝时，解得x＝，所以当P（，）时，|PQ﹣HC|取得最大值；练3.2如图1，二次函数y＝的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线l是它的对称轴．（1）求直线l与直线AC交点的坐标；（2）如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当△PEF的周长最大时，在对称轴l 上找点M，使得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；【解答】解：（1）在y＝中，令y＝0，则＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1∴A（﹣4，0），B（1，0）令x＝0，得y＝，∴C（0，）设直线AC解析式为y＝kx+b，则，解得∴直线AC解析式为y＝x+，∵直线l解析式为x＝﹣，将x＝﹣代入y＝x+中，得y＝×（﹣）+＝，∴直线l与直线AC交点的坐标为（﹣，）；（2）∵PD⊥OA，PF⊥AC∴∠EDA＝∠PFE＝90°；∵∠PEF＝∠AED∴∠EAD＝∠EPF∵OC＝，OA＝4∴tan∠EPF＝tan∠EAD＝；∴∠EPF＝30°∴sin∠EPF＝，cos∠EPF＝，∴EG＝PE，PF＝PE，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE∴当PE取得最大值时，△PEF的周长最大；设点P（t，﹣t2﹣t+），则点E（t，t+），∵点P在点E的上方，∴PE＝﹣t2﹣t+﹣（t+）＝﹣t2﹣t＝﹣（t+2）2+，∴当t＝﹣2时，PE取得最大值，此时△PEF的周长取得最大值；∴P（﹣2，2），E（﹣2，）；∵B（1，0）与A（﹣4，0）关于直线l对称，连接AM，AP，∴AM＝BM|BM﹣PM|的值最大，即|AM﹣PM|的值最大，当P、M、A三点共线时，|AM﹣PM|＝AP最大，∵AP＝＝＝4∴|BM﹣PM|的最大值＝4；设直线AP解析式为y＝k′x+b′，将A（﹣4，0），P（﹣2，2）代入得解得：∴直线AP解析式为y＝x+4，令x＝﹣，得y＝，∴M（﹣，）；练3.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解方程得：x＝6或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0），又y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，又顶点C（2，4），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，代入B、C两点坐标得：，解得：，∴y＝﹣x+6；（2）如图1，∵点E（m，0），F（m+2，0），∴E′（m，﹣m2+m+3），F′（m+2，﹣m2+4），∴E′M＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+6）＝﹣m2+2m﹣3，F′N＝﹣m2+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m，∴E′M+F′N＝﹣m2+2m﹣3+（﹣m2+m）＝﹣m2+3m﹣3，当m＝﹣＝3时，E′M+F′N的值最大，∴此时，E′（3，）F′（5，），∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，∴R（0，），根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6，∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；。
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【例1】【两点间距离】
如图，一个底面圆周长为24cm ，高为5cm 的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A 到点B 的最短路线长为_______
【练习1】
如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺， 有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则葛藤的最短长度是＿＿＿尺．
【例2】【两定一动】
如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝1
3S 矩形ABCD ，则PA ＋PB 的最小值为_______
模型总结：
【练习2】
（1）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC
上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为_________
方法提炼
（2）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，
点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为.
【例3】【两定两动】
已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．M、N分别是直线a,b上的动点，且MN⊥a，当满足AM+MN+NB的长度和最短时，AM+NB=
模型总结：
已知直线
3
:
3
l y x
=，CD是该直线上的一条动线段，且CD=2，点A()
23,1
+，连接AC、AD，
则△ACD周长的最小值为___________
【例4】【一定两动】
如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是
模型总结：
如图所示，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．分别在BC、线段AB和AC上选取
点P、E、F，则PE＋EF＋FP的最小值为____________．
【例5】【一定两动】
如图，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是
线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值为____________．
模型总结：
【练习5】
已知△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，则BM+MN的最小值最小为_______
实战演练
1．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，
连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，
再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，
故BP+AP的最小值为．
（2）实践运用
如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，
点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
（3）拓展迁移
如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标
与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
③在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点N，使得NC NB
最大，求此最大值和对应点N的坐标
2．（1）知识再现
如图（1）：若点A，B在直线l同侧，A，B到l的距离分别是3和2，AB=4．现在直线l上找一点P，
使AP+BP的值最小，做法如下：作点A关于直线L的对称点A′，连接BA′，与直线l的交点就是所求的点P，
线段BA′的长度即为AP+BP的最小值．请你求出这个最小值．
（2）实践应用
①如图（2），⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，
则PA+PC的最小值是；
②如图（3），Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），
点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为．
③如图（4），菱形ABCD中AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，
则PK+QK的最小值为．
④如图（5），在R△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=，将△ABC沿直线AD翻折，
使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．
（3）拓展延伸
如图（6），在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．
3.如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，
点C坐标为（0，﹣2）．
（1）求a值及A，B两点坐标；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；
（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？
若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD、BE（如图①），点O为其交点．
（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．
①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值=．。