最值问题之将军饮马
初二数学：最值问题最常考的一种：将军饮马
初二数学：最值问题最常考的一种：将军饮马！一、知识点回顾最值问题其实考察的知识点还是比较简单的：①两点之间直线最短②点到直线的距离垂线段最短③圆外一点到圆上最短距离与最长距离④几何转化为解析式求最大最小值今天我们要讲的是两点之间直线最短类型中最常考的一种：将军饮马！二、模型讲解首先我们来了解一下到底什么是将军饮马模型？传说有一个将军牵着一匹马在A点，他们目标是要去B地，但由于马渴了，要先去L这条河喝一下水，问在哪个点喝水能使得马和将军走的路最少？这个点我们应该怎么找？为什么这么确定的P点到A点和到B点的距离之和是最短？因为点A与A’关于L对称，也就是说L垂直平分AA’。
那在L上任意一点到A与到A’的距离都是相等的，那么A到直线一点的距离转换为A’到直线上的距离，又由两点之间线段最短，可以得到A’B即为最小值。
刚刚我们给的是一条边，两个点，求两点之间的最短距离；现在把条件换一下，换成一个点两条边我们应该怎么办？如图：现题目变成这样，在OA、OB上分别取两点M、N，连接MN，MC，NC，要求这三条线段之和最小。
如何定确定 M、N这两点？总结将军饮马最主要用到的就是中垂线定理，也就是垂直平分线的一点到两端点的距离相等。
下面我们一起来看一看具体的题目。
三、真题演练四、整体总结将军饮马模型是最值问题中出现频率较高的一种，而且在平时的考试中也经常会出现，因此掌握好将军饮马模型对我们解决最值问题还是有很大的帮助。
将军饮马的本质是中垂线上的一点到两端点的距离相等。
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将军饮马系列---最值问题
实用标准“将军饮马”系列最值问题1. 两点之间，线段最短.2. 点到直线的距离，垂线段最短.3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边.-知识讲解古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题: 饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索, 作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.F 面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题. 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短.若A 、B 在河流的异侧，直接连接 AB , AB 与I 的交点即为所求.若A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解.4. A B 分别为同一圆心0半径不等的两个圆上的一点，如图，将军从A 出发到河边海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质:把一个图形沿某一条直线折叠， 如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 这时我们就说这个图形关于这条直线 （或轴）对称.如等腰 ABC 是轴对称图形.把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就是说这两个图形关于这条 直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如下图，ABC 与 A'B'C'关于直线I 对称，I 叫做对称轴.A 和A , B 和B' , C 和C'是对称点.轴对称的两个图形有如下性质:① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ② 对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.线段垂直平分线:垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等;到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.AP-aP^A B实用标准当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况, 对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精讲)
最值模型之将军饮马(11个常考模型)模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。
模型精讲一.两动一定型(2种模型)：两定点到直线上一动点的距离和最小。
1如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
1.1如图1-3，如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 。
作法：图1-41.作A关于直线CD对称点A'。
2.连A'B。
3.交点P就是要求点。
连线长A'B就是PA+PB最小值。
【证明】：图1-5在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.二.造桥选址，移花接木。
1已知：如图2-1，直线a∥b,A、B分别为a上方和b下方的定点，(直线AB不与a垂直)要求：在a、b之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。
中考重难点易错专题 最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精讲)
最值模型之将军饮马(11个常考模型)模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。
模型精讲一.两动一定型(2种模型)：两定点到直线上一动点的距离和最小。
1如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
1.1如图1-3，如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 。
作法：图1-41.作A关于直线CD对称点A'。
2.连A'B。
3.交点P就是要求点。
连线长A'B就是PA+PB最小值。
【证明】：图1-5在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.二.造桥选址，移花接木。
1已知：如图2-1，直线a∥b,A、B分别为a上方和b下方的定点，(直线AB不与a垂直)要求：在a、b之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。
最值系列之将军饮马(一)
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB （折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
初中数学最值问题01专题-将军饮马模型与最值问题(含答案)
初中数学最值问题专题1 将军饮马模型与最值问题【模型导入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB 当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）B 将军军营河P【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
初中数学最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
最值问题----将军饮马(二)
----之将军饮马（二）
什么是将军饮马？
【问题描述】： 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河 边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】： 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】：这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结 果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段 最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
因为M、N皆为动点， 所以过点C作AB的垂线， 可得最小值．
08 菱形、矩中的将军饮马。
【问题描述】：如图，在菱形ABCD中，AC为6倍根号2，BD=6，E是BC的中点，P、M 分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是____________．
【问题解析】：此处P为 折点，作点M关于AC的对 称点M'，恰好在AD上， 化折线EP+PM为EP+PM'．
本节课你的收获是什么？
【问题解析】：对称点并不一 定总是在已知图形上．
07角分线系列之点到点。
【问题描述】：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠ACB，点 F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为________．
【问题解析】：此处E 点为折点，可作点C关 于AD的对称，对称点C' 在AB上且在AB中点， 化折线段CE+EF为 C'E+EF，当C'、E、F 共线时得最小值，C'E为 CB的一半．
【问题解析】：M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的 最小值．过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7.
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最值问题之将军饮马学生姓名：年级：
科目： .
任课教师：日期：
时段： .
将军饮马问题
模型1两定一动
例：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点
则DN+MN的最小值为（）
A:6 B:8 C:2 D:10
解析：第一步—找：找定点、动点、动点所在的直线
第二步—作：作定点关于动点所在直线的对称点（从对称性入手）
第三步—连：连接对称点与另一个点
第四步—求：求解（一般勾股定理求解）
模型2一定两动
例：如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）
A．10 B．8 C．5 D．6
解析：第一步—找：找定点、动点、动点所在的直线
第二步—作：作定点关于动点所在直线的对称点（从对称性入手）
第三步—连：连接对称点与另一个点
第四步—造：构造垂直
第五步—求：求解（一般等积法或相似求解）
模型3求四边形的周长最小值
例：如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
解析：本题要求四边形周长最小值。
因为AB、PN是定长，问题转化为求PA+NB的最小值，跟模型1类似，所以我们需要平移确定交点，转换成模型1去讲解
模型4 一定点、两定直线
例：点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小？
解析：第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2
第二步：联结P1P2，交OM、ON于点A、点B
跟踪练习
1.如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN的周长的最小值为．
2.已知，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为．
3.点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标
PA-的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB 系如图所示．若P是x轴上使得PB
的值最小的点，则OQ
OP•＝.
4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．
5.如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，点D、E分别为AM、AB的动点，则BD＋DE的最小值是
6.五边形ABCDE 中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ，使得△AMN 的周长最小，则△AMN 周长的最小值为 。
7.如图,平面直角坐标系中,分别以点A （2,3）,点B （3,4）为圆心,1、3为半径作⊙A 、⊙B,M,N 分别是⊙A ,⊙B 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM+PN 的最小值为（ ）
A 、4-25
B 、 1-17
C 、6-22
D 、17
8.如图，∠MON=30°，A 在OM 上，OA=2，D 在ON 上，OD=4，C 在OM 上的任意一点，B 是ON 上的任意一点，则折线ABCD 的最短长度为 .
9.如图1，等边△ABC的边长为6，AD，BE是两条边上的高，点O为其交点．
P，N分别是BE，BC上的动点．
（1）当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
（2）如图2，若点Q在线段BO上，BQ＝1，求QN＋NP＋PD的最小值．
10.如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,D、E.F分别是边AB、BC、AC上的动点则DE+EF+FD的最小值为( )
A. 4.8
B. 6
C. 10
D. 无法确定
课堂检测测试题成绩
教学需要加快（）保持（）放慢（）
课堂反馈◇非常满意◇满意◇一般◇差。