“将军饮马”解决线段最值问题
最值问题----将军饮马(一)
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【问题解析】 △PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处 M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P'、P''， 化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M．当P'、N、M、P''共线时， 得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、OP''， 可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
【问题解析】：此处点P为折点，可以作点D关于折点P 所在直线OA的对称： 也可以作点C的对称：
05 正方形中的将军饮马。
【问题描述】：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，
DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【问题解析】：作点C关于P点 所在直线AB的对称点C'，当C'、 P、D共线时，PC+PD最小， 最小值为5，故选B．
05 正方形中的将军饮马。
【问题描述】：如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上 的一动点，则△DMN周长的最小值是________。
【问题解析】：考虑DM为定值， 故求△DMN周长最小值即求 DN+MN最小值．点N为折点， 作点D关于AC的对称点，即点B， 连接BN交AC于点N，此时 △DMN周长最小．
04 将军饮马模型系列“一定两动”之点到线。
【问题描述】：在OA、OB上分别取点M、N，使得PM+MN最小。
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
(2017.27；针对几何图形操作探究型问题和二次函数综合题设置此微专题)
模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点)
类型一 异侧线段和最小值问题 问题： 两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 解决思路
根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交直线l 于点P，点P 即为所求．
13 一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为____2____．
第4题图
类型四 异侧差最大值问题 问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 解决思路 将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．
针对训练 5. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD 上的动点，则|PA－PB|的最大值为___4_____．
针对训练 7. 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D， M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___2__2___．
第7题图
模型三 “两点两线”型(两动点+两定点)
问题：点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边 形PQNM的周长最小． 解决思路
第5题图
模型二 “一点两线”型(两动点+一定点)
类型一 周长最小型 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 的周长最小． 解决思路 要使△PMN的周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条 线段转化到同一直线上即可．
针对训练 6. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB， 且OP＝6，则△PMN周长的最小值为____6____．
将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练
化同侧为异侧——轴对称变换 1.知识方面： 化折线为直线——“两点之间、线段最短”
轴对称变换
两点之间 线段最短 轴对称变换 平移变换 平移变换
“引圆”法解决最值问题。
2.数学思想： “转化”思想、“数形结合”思想。
图9
图10
2．如图11，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠， 使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3． （1）求MP的值； （2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时， △MEF的周长最小？ （3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当 四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）
两点之间线段最短轴对称变换平移变换轴对称变换平移变换化同侧为异侧轴对称变换化折线为直线两点之间线段最短2
将军饮马问题 ----两线段和最小值专题
L/O/G/O
1、平移
2、旋转
3、轴对称
L/O/G/O 三种变换的本质相同：
都是转化为全等，进而有对应边相等、对应角相等。
(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一 位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马， 然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？ 在图2中呢？
10
6
8 图3
(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一 位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马， 然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？ 在图2中呢？
图1
（“过桥问题”—北师大版数学教材八年级下册第90页第18题改编.） 如图4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁A处与B 处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路 线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计） 转化思想
将军饮马题型
“将军饮马”类型题一．求线段和最值（一）两定一动型例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B 最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．分析：考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.（二）一定两动型例2：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝4，P 为AD上任意一点，E为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C 关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝4.8变式：如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，△ABC的面积为20，求EF＋CF的最小值________．分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C 的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．解答：如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB 于E’’，当点E’ 与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C ＝5.（三）两定两动型例3：如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点．解答：作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’．CF ＋EF＋DE＝C’F＋EF＋D’E，当C’，F，E，D’四点共线时，CF ＋EF＋DE＝C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．变式：如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD 边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F 关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．解答：作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF 长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M ＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则Rt△E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．（二）求角度例1:P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN 周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．解答：（1）法1：如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．再分析：考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．解答：（1）法2：易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°（2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．变式：如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为________．分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE 的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置．解答：如图，∵∠BAE＝136°，∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°由对称性知，∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，∠AMN＋∠ANM＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°思考题：1.如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．2.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．P为矩形ABCD内一点，若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为________．。
2020中考数学总复习：将军饮马型最值问题-解题技巧总结精选全文
图T3-13
1
10
3
3
(3)∵y=- x2+ x,∴抛物线的对称轴为直线 x=5.
∵A,O 两点关于对称轴对称,∴PA=PO,
当 P,O,D 三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△ PAD 的周长最小.
如图,OD 与对称轴的交点即为满足条件的点 P,
由(2)可知 D 点坐标为(10,5).
1
1
1
∵S△ PAB=3S 矩形 ABCD,∴2AB·h=3AB·AD,
2
∴h=3AD=2,∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的线段 l 上,如图,作点 A
关于直线 l 的对称点 A',连接 AA',BA',则 BA'即为所求的最短距离.在 Rt△ ABA'中,
AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'= 2 + '2 = 42 + 42 =4 2,即 PA+PB 的最小值为
)
D.80°
[答案]D
[解析]分别作A关于直线BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于E,交CD于F,则
A'A″长即为△AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.
又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=
图T3-4
.
[答案] 2 5
[解析]如图,在 CB 上截取 CM=CA,连接 DM.
= ,
在△ CDA 与△ CDM 中, ∠ = ∠,
将军饮马等8类常见最值问题(原卷版)
将军饮马等8类常见最值问题题型一 两定一动型（线段和差最值问题） 题型二 双动点最值问题（两次对称）题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 题型四 垂线段最短题型五 相对运动平移型将军饮马 题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 题型七 化斜为直，斜大于直 题型八 构造二次函数模型求最值一、单动点问题【问题1】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小问题解决：连接AB ，与l 交点即为P ，两点之间线段最短PA ＋PB 最小值为AB【问题2】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小lA l问题解决：作B 关于l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，则PA ＋PB ＝PA ＋PB '，当A ，P ，B '共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA ＋PB 最小值为AB '【问题3】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大 问题解决：连接AB ，当A ，B ，P 共线时取最大原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB 'P 中，|PA －PB '|≤AB '【问题4】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大问题解决：作B 关于直线l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，|PA －PB |＝|PA －PB '| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB '，在△AB 'P 中|PA －PB '|≤AB 'llllll二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使△PMN 周长最小问题解决：分别作点P 关于两直线的对称点P ’和P ''，PM ＝P 'M ，PN ＝P ''N ，原理：两点之间线段最短，P '，P ''，与两直线交点即为M ，N ，则AM ＋MN ＋PN 的最小值为线段P 'P ''的长【问题6】P ，Q 为定点，在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使四边形PQMN 周长最小 问题解决：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点P ’和Q '，PM ＝P 'M ，QN ＝Q 'N原理：两点之间线段最短，连接P 'Q '，与两直线交点即为M ，N ，则PM ＋MN ＋QN 的最小值为线段P 'Q '的长，周长最小值为P 'Q '＋PQl 1l 1l 1l 1【问题7】A ，B 分别为1l ，2l 上的定点，M ，N 分别为1l ，2l 上的动点，求AN MN BM ＋＋最小值 问题解决：分别作A ，B 关于1l ，2l 的对称点'A ，'B ，则'AN A N ＝，'BM B M ＝，''A B 即所求 原理：两点之间距离最短，A '，N ，M ，B '共线时取最小，则AN ＋MN ＋BM ＝A 'N ＋MN ＋B 'M ≤A 'B '三、动线段问题（造桥选址）【问题8】直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M ，N ，使MN ⊥m ，且AM ＋MN ＋BN 的最小值 问题解决：将点B 向上平移MN 的长度单位得B '，连接B 'M ，当AB 'M 共线时有最小值 原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM ＋MN ＋BN ＝AM ＋MN ＋B 'M ≤AB '＋MNl 2l 2n mn m【问题9】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM MN BN ＋＋的最小值问题解决：将B 点向左移动a 个单位长度，再作B '关于直线l 的对称点B ''，当''AB M 共线有最小值原理：通过平移构造平行四边''''BB MN BN B M B M ⇒＝＝，''''AM MN BN AM MN B M AB ≤＋＋＝＋＋四、垂线段最短【问题10】在直线1l ，2l 上分别求点A ，B ，使PB ＋AB 最小问题解决：作P 关于2l 的对称点'P ，作1'P A l ⊥于A ，交2l 于B ，'P A 即所求 原理：点到直线，垂线段最短，''PB AB P B AB P A ≤＋＝＋lll1l 1五、相对运动，平移型将军饮马【问题11】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM ＋AN 的最小值问题解决：相对运动或构造平行四边形 策略一：相对运动思想过点A 作MN 的平行线，相对MN ，点A 在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨【问题12】如图，点P 在直线BC 上运动，将点P 绕定点A 逆时针旋转90°，得到点Q ，求Q 点轨迹？问题解决：当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．llA''Q 2Q 1ABC原理：由手拉手可知12ABC AQ Q △≌△，故21CB AQ Q A =∠∠,故Q 点轨迹为直线七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：AD 是Rt ABC △斜边上的高 （1）求ADBC的最大值；（2）若2AD =，求BC 的最大值问题解决：取BC 中点M ，（1）则12AD AM BC BC ≤=；（2）224BC AM AD =≤= 八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．【问题14】正方形ABCD 的边长为6，点Q 在边CD 上，且3CD CQ =，P 是边BC 上一动点，连接PQ ，过点P 作EP PQ ⊥交AB 边于点E ，设BP 的长为x ，则线段BE 长度的最大值为 .问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到∽△△PCQ EBP ，进而根据相似比得到()219322BE x =−−+，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案 【详解】易知∽△△PCQ EBP ∴，QC PCBP BE ∴=， 3CD CQ =，6CD =，∴2QC =，26x x BE−∴=， ∴()()()()221119663062222BE x x x x x x =−=−−=−−+≤≤，BB102−< ，∴()219322BE x =−−+在3x =时有最大值，最大值为92题型一 两定一动型（线段和差最值问题）2．透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm 的点A 处．求蚂蚁吃到饭点C 的坐标为（1，0），且∠AOB =30°点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（ ）4．如图，点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，已知4CD =，5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．动点P 满足S △PBC ＝S 矩形ABCD ．则点P 到B ，C 两点距离之和PB+PC 的最小值为 。
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
巧用“将军饮马”模型求解最值问题
解法探究２０２４年１月下半月㊀㊀㊀巧用 将军饮马 模型求解最值问题◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李传煜㊀㊀摘要:最值问题是初中数学常见的问题类型,其题型灵活多变,很多地区的中考试卷中有关动点最值的问题都涉及到 将军饮马 ,因此结合中考试题对最值问题加以探究,解读 将军饮马 基本模型,探究典型的考题类型．关键词:将军饮马;最值;线段和㊀㊀最值问题是近几年中考的热点,这类问题涉及到的知识很多,题型多样,通常需要找到特殊情况,再结合特定的数学模型进行解决．本文中以全国各地中考题为例,对如何构建 将军饮马 模型求解最值问题进行了探讨．１将军饮马 模型基本模型:两定点＋一动点．图１已知两定点A ,B 在直线l 同一侧,在直线l 上找一点P ,使得P A ＋P B 最小．解法:如图１,作点B 关于直线l 的对称点B ᶄ,连接A B ᶄ与定直线l 的交点P 即为所求的点,且P A ＋P B 的最小值就等于A B ᶄ的长,其基本原理是 两点之间线段最短 ．２模型应用２．１求线段和的最值图２例１㊀(２０２２年山东德州)如图２,正方形A B C D 的边长为６,点E 在B C 上,C E ＝２,M 是对角线B D 上的一个动点,求E M ＋C M 的最小值．分析:由题可知C ,E 是定点,B D 为定直线,M 是B D 上一动点,且定点C ,E 在BD 的同侧．根据以上分析,可以联想到 两定点＋一动点 的 将军饮马 模型．此类问题常通过平移㊁翻折㊁旋转等方法转化为 两点之间线段最短 来求出最小值．本题定点C 比定点E 更容易找到其对称点,进而将同侧两定点转化为异侧两定点,求出E M ＋C M 的最小值．图３解析:如图３,由正方形的性质,可知点A ,C 关于直线B D 对称．连接AM ,根据对称性可知AM ＝C M ．所以(E M ＋C M )m i n ＝(AM ＋E M )m i n ．根据两点之间线段最短,当A ,M ,E 三点共线时,AM ＋E M 取最小值,即为线段A E 的长．因为B E ＝４,A B ＝６,所以A E ＝A B ２＋B E ２＝６２＋４２＝２１３．所以E M ＋C M 的最小值为２１３．２．２求几何图形周长的最值图４例２㊀(２０２３年四川宜宾)如图４,在平面直角坐标系x O y 中,等腰直角三角形A B C 的直角顶点C (３,０),顶点A ,B (６,m )恰好落在反比例函数y ＝kx第一象限的图象上．(１)分别求反比例函数的表达式和直线A B 所对应的一次函数的表达式．(２)在x 轴上是否存在一点P ,使әA B P 的周长最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由．分析:此处只分析第(２)问,要求әA B P 周长的最小值,即求线段A P ＋B P ＋A B 的最小值．由于A ,B 为定点,P 为x 轴上一动点,且定点A ,B 在x 轴的同侧,因此可联想到 两定点＋一动点 的 将军饮马 模型．由题意可知A B 的长为定值,因此只需要求A P ＋B P 的最小值即可．４７２０２４年１月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀解析:(２)由(１)可知,反比例函数的解析式为y ＝６x．图５如图５,过点A 和点B 分别作x 轴的垂线,交x 轴于点D ,E ．因为A C ＝B C ,øA D C ＝øC E B ,øD A C ＝øE C B ,ìîíïïïï所以әA D C ɸәC E B ．所以C E ＝A D ．又O E ＝６,O C ＝３,所以C E ＝A D ＝３．所以y A ＝６x A ＝３,即x A ＝２,则A (２,３)．因为y B ＝６６＝１,所以B (６,１)．所以A B ＝(６－２)２＋(１－３)２＝２５．作点A 关于x 轴的对称点A ᶄ,连接A ᶄP ．所以(A P ＋B P )m i n ＝(A ᶄP ＋B P )m i n ．根据两点之间线段最短,当A ᶄ,P ,B 三点共线时,A ᶄP ＋B P 取最小值,即为线段A ᶄB 的长．由题意得A ᶄ(２,－３),所以A ᶄB ＝(６－２)２＋(１＋３)２＝４２．所以әA B P 周长的最小值为４２＋２５．２．３求抛物线背景下的线段最值及点的坐标图６例３㊀(２０２２年天津)如图６,已知抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c(a ,b ,c 是常数,a ＞０)的顶点为P ,与x 轴相交于点A (－１,０)和点B ．(１)若b ＝－２,c ＝－３,①求点P 的坐标;②直线x ＝m (m 是常数,１＜m ＜３)与抛物线相交于点M ,与B P 相交于点G ,当M G 取得最大值时,求点M ,G 的坐标．(２)若３b ＝２c ,直线x ＝２与抛物线相交于点N ,E 是x 轴的正半轴上的动点,F 是y 轴的负半轴上的动点,当P F ＋F E ＋E N 的最小值为５时,求点E ,F的坐标．分析:此处只分析第(２)小问,由于P ,N 为抛物线上的定点,E 为x 轴上的动点,F 是y 轴上的动点,E F 为定长,根据以上分析可联想到 两定点＋两动点 的 将军饮马 模型．由题意可知E F 为定值,因此只需要求P F ＋E N 的最小值,再通过题意求出直线E F 的方程,进而求出点E ,F 的坐标．解析:(２)由抛物线与x 轴交于A (－１,０),可知a －b ＋c ＝０,又３b ＝２c ,则b ＝－２a ,c ＝－３a ,所以抛物线的解析式为y ＝a x ２－２a x －３a (a ＞０)．所以由抛物线y ＝a (x －１)２－４a ,得P (１,－４a )．图７如图７,作点P 关于y 轴的对称点P ᶄ,连接P ᶄF ．根据对称性,可知P ᶄF ＝P F ．作点N 关于x 轴的对称点N ᶄ,连接N ᶄE ．根据对称性,得N ᶄE ＝N E ．所以(P F ＋F E ＋E N )m i n ＝(P ᶄF ＋F E ＋N ᶄE )m i n ．根据两点之间线段最短,当P ᶄ,F ,E ,N ᶄ四点共线时,P ᶄF ＋F E ＋N ᶄE 取最小值,即为线段P ᶄN ᶄ的长．将x ＝２代入抛物线解析式,可得y N ＝－３a ,则点N 坐标为(２,－３a ),所以N ᶄ(２,３a )．又点P ᶄ坐标为(－１,－４a ),所以P ᶄN ᶄ＝(２＋１)２＋(７a )２＝５．解得所以a ２＝１６４９,即a ＝４７,或a ＝－４７(舍)．所以P ᶄ(－１,－１６７),N ᶄ(２,１２７)．设直线P ᶄN ᶄ的解析式为y ＝k x ＋b ．将点P ᶄ,N ᶄ的坐标代入,可得－１６７＝－k ＋b ,１２７＝２k ＋b ．ìîíïïïï解得k ＝４３,b ＝－２０２１．所以直线P ᶄN ᶄ:y ＝４３x －２０２１．分别令x ,y ＝０,可得E (５７,０),F (０,－２０２１)．解决 将军饮马 问题,究其本质就是利用 两点之间线段最短 或 垂线段最短 的基本原理,用几何变换将若干原本彼此分离的线段组合到一起,即 化折为直 [１],进而解决问题．参考文献:[１]丁力．初中数学几何最值问题探究 以 将军饮马 问题模型的解题策略为例[J ]．数学教学通讯,２０２０(１４):７９Ｇ８０．Z５７。
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微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为_2__5___1_0_．
第8题图
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一 点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为( A ) A. 13 B. 13 C. 7 D.3
2
第4题图
类微型专4 题异侧利差用最“大将值军问饮题 马”解决线段最值问题
利用“将军饮马”解决线段最值问题
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题 模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点)
类型1 异侧线段和最小值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．
【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交 直线l 于点P，点P即为所求．
且AC＝12.点P在正菱方形形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是( D )
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
类型微3 专同题侧差利最用大“值将问军题饮马”解决线段最值问题
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点 共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的 交点即为点P.
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练
7. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，
且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
A. 4
B. 5
C.6
D.7
第6题图
模型微三专题 “利两用点“两将线军”饮型马(”两解动决点线＋段两最定值点问) 题
A. 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2
第三节 图形的对称、平移、旋转与位似
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3.（2017安徽10题4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝
1 S矩形ABCD.则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为 （ D ） 3 A. 29
B. 34
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小． 【解决思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型1即可解决．可作点B关于l的对 称点B′，接连AB′.
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
2. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB边上的一点，且 AE＝1，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为C( )
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB 边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2
第1题图
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
类型2 同侧线段和最小值问题
A. 3
B. 4
C.5
D. 5
第5题图
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题 模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 周长最小． 【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短， 将三条线段转化到同一直线上即可．
【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得的|PA-PB|值最大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧，同类型3即可解决．
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练
6. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的 动点，则|PA－PB|的最大值为( B )
C.5 2 D. 41
ห้องสมุดไป่ตู้
第3题图
如图，矩形ABCD中，AB=4，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°,E为BD上任意点，F
为AE中点，则FO+FB的最小值为（
）
A. 2 7
B. 2 2 3
C. 5
D. 3 3
第三节 图形的对称、平移、旋转与位似
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4.（2019安徽14题4分）如图，在正菱方形形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，∠B＝60°
【问题】点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形
PQNM周长最小． 【解决思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小 值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P 关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．