高中数学课件 双曲线
例(补充). 已知双曲线的焦点在 y 轴上, 并且双 9 , 5), ( 曲线上两点 P1、P2 的坐标分别为 (3, - 4 2 )、 4 求双曲的的标准方程. 解: ∵ 双曲线的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴ 可设双曲线的方程为 2 - 2 = 1, (待定系数法) a b 又∵ 曲线经过 P1、P2 两点, (-4 2 )2 32 - 2 = 1, 为了运算简便，可设 于是得方程组 2 a b 1 = m, 1 = n, 9 2 52 - ( 4 ) = 1, a2 b2 (换元法) a 2 b2 解得 a2=16, b2=9, y2 x2 ∴ 双曲线的方程为 - = 1. 16 9
3
2 );
解: (1) ∵焦点在 x 轴上, a=4, b=3, x 2 - y 2 = 1. ∴ 双曲线的标准方程为 16 9
练习: (课本48页) 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1) 焦点在 x 轴上, a=4, b=3;
(2) 焦点在 x 轴上, 经过点(- 2 , - 3 ), ( 15 , (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点 (2, -5).
练习: (课本48页) 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1) 焦点在 x 轴上, a=4, b=3;
(2) 焦点在 x 轴上, 经过点(- 2 , - 3 ), ( 15 , (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点 (2, -5).
3
2 );
解: (3) 由题设知 c=6, 焦点在 y 轴上, 2a = | (2 - 0)2 + (-5 + 6)2 - (2 - 0)2 + (-5 - 6)2 |
3
2 );
解: (2) ∵ 双曲线的焦点在 x 轴上, 2 y2 x ∴ 可设其方程为 2 - 2 = 1, a b 将曲线经过的两点坐标代入方程得 (- 2 )2 (- 3 )2 用换元法解得 = 1 a2 b2 1 = 1, 1 = 1 , 2 2 15 3 2 2 a b ( ) ( 2 )2 y 2 3 - 2 =1 得方程为 x - = 1. 2 3 a b
第二章
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 椭圆 2.2 双曲线
2.3 抛物线
第二章 小结
●
2.2.1 双曲线及其标准方程(第一课时 2.2.1 双曲线及其标准方程(第二课时
2.2.2 双曲线的简单几何性质(第一课时) 2.2.2 双曲线的简单几何性质(第二课时)
复习与提高
2.2.1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(第一课时)
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例1. 已知双曲线两个焦点的坐标为 F1(-5, 0), F2(5, 0), 双曲线上一点 P 到 F1、F2 距离差的绝对值 等于 6, 求双曲线的标准方程. 解: 由定点坐标知 c = 5, 且焦点在 x 轴上, 又 2a=6, a=3, 则 a2=9; 而 b2=c2-a2 = 25 -9 = 16. ∴ 双曲线的标准方程为 x 2 - y 2 = 1. 9 16
= 4 5, 得 a = 2 5, 从而得 b2 = c2-a2 = 36-20 = 16, y2 x2 ∴ 双曲线的标准方程为 - = 1. 20 16
【课时小结】
1. 双曲线的定义 到两个定点的距离之差 的绝对值等于定长(小于两 定点的距离) 的点的轨迹叫 做双曲线, 两个定点叫双曲 线的焦点, 两焦点间的距离 叫双曲线的焦距. |MF1|-|MF2|=|EF1|=|A1A2|.
1. 双曲线是怎样定义的? 它是满足什么条件 的点的轨迹? 2. 双曲线的标准方程是怎样的? 方程中有哪 些常数? 它们存在怎样的关系?
问题 1. 请写出椭圆的定义. 若把定义中的 “到 两定点的距离之和” 改为 “到两定点的距离之差”, 请试画一下, 曲线会是怎样? 的绝对值 双曲线定义 椭圆定义: : 到两个定点的距离之 和 差 等于定长( 大 小 于两定点 椭 圆 , 两个定点叫 椭圆 的距离) 的点的轨迹叫做 双曲线 双曲线 椭 圆 的焦距. 的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线
练习: (课本48页) 第 1 题.
练习: (课本48页) 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1) 焦点在 x 轴上, a=4, b=3;
(2) 焦点在 x 轴上, 经过点(- 2 , - 3 ), ( 15 , (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点 (2, -5).
双曲线的标准方程:
x 2 - y 2 = 1 (a 0, b 0). a 2 b2 其中常数 a 是双曲线上的点到两焦点距离差的绝 对值的一半, b2=c2-a2, c是半焦距, 若焦点在 x 轴上, 焦点坐标为 F1(-c, 0), F2(c, 0). 若焦点在 y 轴上, 焦点坐标为 (0, -c), (0, c), 则 双曲线的标准方程为: y2 x2 2 - 2 =1 . a b 问题2. 如果给出一个双曲线的方程, 如何判断它 的焦点在 x 轴上 还是在 y 轴上? 哪个变量的系数为正, 焦点就在哪个轴上.
M F1 F2 2a F1 M
F2
|MF1| + |MF2|=2a (常数)
|MF1| - |MF2|=2a (常数)
类似椭圆的画法, 我们也可用两根细绳 套上铅笔画双曲线.
定点 F1, F2 叫 双曲线的焦点. 两焦点间的距离 |F1F2|叫双曲线的焦距.
F1
2a
F2
【双曲线的标准方程】 y 类比椭圆标准方程的推导, 以F1F2所在直线为 x 轴, F1F2的中点为原点建立坐标系. 设焦距|F1F2|=2c, 两距离差 F1 o 的绝对值为2a, 则焦点为 F1(-c, 0), F2(c, 0), 设双曲线上任一点 M(x, y), 由双曲线的定义有 | |MF1| - |MF2| |=2a,
M
·
x
F2
代入点的坐标得 | ( x + c)2 + y 2 - ( x - c)2 + y 2 |= 2a, 化简整理后得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2), 2 2 2 2 2 y x 令 c 2-a 2=b 2, 两边除以 b2 得 2 - 2 = 1. a -c =b , a b
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双曲线及其性质-高考数学复习课件
左支，
且2 a ＝2，解得 a ＝1，又 c ＝3，
则 b 2＝ c 2－ a 2＝8，
2
所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ ＝1( x ≤－1).
8
2
2
(2)设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 为双曲线右支
4
3
上一点， 1 ＝3 2 ，则∠ F 1 PF 2的大小为( C )
2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ||PF1 | −
|PF2 || = 2a，运用平方的方法，建立与 ｜PF1 ｜·｜PF2 ｜ 的联系.
跟踪训练
1. 已知平面内有两个定点 F 1(－5，0)和 F 2(5，0)，动点 P 满足｜ PF 1｜
－｜ PF 2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是(
双曲线及其性质
[学习要求] 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
以及它的简单几何性质.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 双曲线的定义
满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线：
= 2，
又൞ ＝ 2，
解得 a ＝ 2 ， c ＝2， b ＝ 2 ，
2 ＝ 2 − 2 ，
2
2
∴所求方程为 － ＝1.
2
2
考点三
双曲线的几何性质
◉角度(一) 渐近线
例3
2
2
(1)(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离
且2 a ＝2，解得 a ＝1，又 c ＝3，
则 b 2＝ c 2－ a 2＝8，
2
所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ ＝1( x ≤－1).
8
2
2
(2)设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 为双曲线右支
4
3
上一点， 1 ＝3 2 ，则∠ F 1 PF 2的大小为( C )
2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ||PF1 | −
|PF2 || = 2a，运用平方的方法，建立与 ｜PF1 ｜·｜PF2 ｜ 的联系.
跟踪训练
1. 已知平面内有两个定点 F 1(－5，0)和 F 2(5，0)，动点 P 满足｜ PF 1｜
－｜ PF 2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是(
双曲线及其性质
[学习要求] 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
以及它的简单几何性质.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 双曲线的定义
满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线：
= 2，
又൞ ＝ 2，
解得 a ＝ 2 ， c ＝2， b ＝ 2 ，
2 ＝ 2 − 2 ，
2
2
∴所求方程为 － ＝1.
2
2
考点三
双曲线的几何性质
◉角度(一) 渐近线
例3
2
2
(1)(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离
高中数学新课标选修2课件2.3.1双曲线及其标准方程
2．3.1 双曲线及其标准方程
知识导图
学法指导
1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|” 这一限制条件的几何意义．
2．焦点 F1，F2 的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标 准方程的形式；参数 a，b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定 形条件．
3．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，有 比较才能鉴别，也能更深刻地记忆．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 a，b，c 的关系
_ax_22_－__by_22_＝__1_(a_＞__0_，__b_＞__0_) __ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_＞__0_，__b_＞__0)
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)__
∠F1PF2 ＝
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
方法归纳
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝21×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝21×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积． 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条 件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2 与|PF1|·|PF2| 的关系．
弦定理，得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半 径)．
知识导图
学法指导
1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|” 这一限制条件的几何意义．
2．焦点 F1，F2 的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标 准方程的形式；参数 a，b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定 形条件．
3．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，有 比较才能鉴别，也能更深刻地记忆．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 a，b，c 的关系
_ax_22_－__by_22_＝__1_(a_＞__0_，__b_＞__0_) __ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_＞__0_，__b_＞__0)
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)__
∠F1PF2 ＝
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
方法归纳
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝21×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝21×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积． 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条 件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2 与|PF1|·|PF2| 的关系．
弦定理，得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半 径)．
双曲线及其标准方程 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
l
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
高中数学高二下册-12.5 双曲线的标准方程 课件
判定方程类型，确定基本参数
变式1、
已知M 点 (x,y)到点 F1(3,0)的距离减去 F2(3,0)的距离的差 4，等 求于 M 点,y)与F 点 1(3,0)和F 点 2(3,0)的距 离之差 6，等 求 M 的 于 点轨迹方程
课堂练习
No 1、求焦点x在轴，a 3,c 5的双曲线的标准方 . Image 2、已知双曲线焦点 x轴在，且过(点 2, 3)和
如果你是一名将领在战场上出现了一个比你要小上很多的敌方将领，而你用年龄来评价对方的实力那么我可以准确的告诉你你老的可以退休了 。
学习进步！ 生活中若没有朋友，就像生活中没有阳光一样。
加紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。 最常见的勇气就是在日常生活中做到诚实和正直，能够抵制诱惑，敢于讲真话，表现自己真实的一面，而不要虚伪造作。 自古圣人二致，但其施教，则必因其材而笃信。——朱熹 懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。
( 15, 2)，求双曲线的标准.方程 3
课堂小结
1、双曲线的概念 ①文字叙述 ②数学式表示 2、双曲线的标准方程 ①方程形式②位置特征③数量关系 ④推导方法 3、求双曲线的标准方程 ①判定方程类型②确定基本参数 4、注意与椭圆的类比
学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 很多时候，感情往往能经得起风雨，却经不起平淡；友情往往能经得起平淡，却经不起风雨。 应当在朋友正是困难的时候给予帮助，不可在事情已经无望之后再说闲话。 如果缺少破土面出并与风雪拚搏的气，种子的前途并不比落叶美妙一分。
定义解读
2、如果把括号内的附 加条件改为2a=|F1F2|， 那么轨迹是什么？ 改成2a>|F1F2|呢?
变式1、
已知M 点 (x,y)到点 F1(3,0)的距离减去 F2(3,0)的距离的差 4，等 求于 M 点,y)与F 点 1(3,0)和F 点 2(3,0)的距 离之差 6，等 求 M 的 于 点轨迹方程
课堂练习
No 1、求焦点x在轴，a 3,c 5的双曲线的标准方 . Image 2、已知双曲线焦点 x轴在，且过(点 2, 3)和
如果你是一名将领在战场上出现了一个比你要小上很多的敌方将领，而你用年龄来评价对方的实力那么我可以准确的告诉你你老的可以退休了 。
学习进步！ 生活中若没有朋友，就像生活中没有阳光一样。
加紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。 最常见的勇气就是在日常生活中做到诚实和正直，能够抵制诱惑，敢于讲真话，表现自己真实的一面，而不要虚伪造作。 自古圣人二致，但其施教，则必因其材而笃信。——朱熹 懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。
( 15, 2)，求双曲线的标准.方程 3
课堂小结
1、双曲线的概念 ①文字叙述 ②数学式表示 2、双曲线的标准方程 ①方程形式②位置特征③数量关系 ④推导方法 3、求双曲线的标准方程 ①判定方程类型②确定基本参数 4、注意与椭圆的类比
学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 很多时候，感情往往能经得起风雨，却经不起平淡；友情往往能经得起平淡，却经不起风雨。 应当在朋友正是困难的时候给予帮助，不可在事情已经无望之后再说闲话。 如果缺少破土面出并与风雪拚搏的气，种子的前途并不比落叶美妙一分。
定义解读
2、如果把括号内的附 加条件改为2a=|F1F2|， 那么轨迹是什么？ 改成2a>|F1F2|呢?
高中数学课件第2章 2.3 2.3.1 双曲线的标准方程
答案：- 1
6．如图所示，已知定圆 F1：x2＋y2＋10x＋24＝0， 定圆 F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆 M 与定圆 F1，F2 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
解：圆 F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆 F2：(x－5)2＋y2＝42， ∴F1(－5,0)，半径 r1＝1；F2(5,0)，半径 r2＝4. 设动圆 M 的半径为 R，则 MF1＝R＋1，MF2＝R＋4， ∴MF2－MF1＝3＜F1F2＝10. ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线左支， 且 a＝32，c＝5.￥ ∴b2＝25－94＝941. ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为49x2－49y12＝1(x≤－32)．
双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c 的关系
c2＝a2＋b2
1．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含 x，y 项的平 方差，右边是 1.
2．在双曲线中，a>0 且 b>0，但 a 与 b 的大小关系不确定． 3．在双曲线中 a、b、c 满足 c2＝a2＋b2，与椭圆不同．
莱
顿
布
尼
茨
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场 的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了 科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研 究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。
背景介绍
微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别 从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着 解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现， 此后，微积分得到了广泛应用。
高中数学第八章第6讲双曲线
第6讲双曲线,[学生用书P158])1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双曲线的焦距2a<|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．1.教材习题改编 双曲线y 264－x 216＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．20B ．16C ．12D ．8A [解析] 设P 到另一个焦点的距离为d ， 则|d －4|＝2×8＝16， 所以d ＝20，故选A.2.教材习题改编 双曲线C 的焦点为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 220－y 24＝1B ．x 220－y 216＝1C ．y 220－x 216＝1D ．y 220－x 24＝1B [解析] 2a ＝|（－5＋6）2＋22－|（－5－6）2＋22＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6， 所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.。
高中数学课件第课一时双曲线的简单几何性质
Catalogue
目录
O1 理解教材新知
O3 应用创新演练
O5 考点一
O2 把握热点考向
O4 第二章
O6 考点二
2.3.2 双曲线的简单几何性 质
#O1
有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》， 歌词如下：如果我是双曲线，你就是那 渐近线．如果我是反比例函数，你就是 那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同 一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路 无交点……
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[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1 或ay22－ xb22＝1(a>0，b>0)．
由题意知 2b＝12，ac＝54且 c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1.
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(2)法一：当焦点在 x 轴上时， ba＝32且 a＝3， ∴b＝92. ∴所求的方程为x92－48y12＝1. 当焦点在 y 轴上时， ab＝32且 a＝3， ∴b＝2. ∴所求的方程为y92－x42＝1.
对称性
x轴、y轴
坐标原点 对称轴
， 对称中心
xa22－by22＝1 标 准(－方 程a,0)，(a,0)
ay22－xb22＝1
(a＞0，b (a＞0，b
(0，＞ 0－) a)，(0＞，0a) )
性质
2a
2b
顶 点e＝ac(e＞1)
xa±by＝0轴长
实轴 ＝
长＝xb±ay＝，0虚轴长
y＝±bax离心率 渐近线
化为标准方程
xm2－yn2＝1(m>0，n>0)，
由此可知，半实轴长 a＝ m，
半虚轴长 b＝ n，c＝ m＋n，
焦点坐标为( m＋n，0)，(－ m＋n，0)，
目录
O1 理解教材新知
O3 应用创新演练
O5 考点一
O2 把握热点考向
O4 第二章
O6 考点二
2.3.2 双曲线的简单几何性 质
#O1
有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》， 歌词如下：如果我是双曲线，你就是那 渐近线．如果我是反比例函数，你就是 那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同 一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路 无交点……
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[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1 或ay22－ xb22＝1(a>0，b>0)．
由题意知 2b＝12，ac＝54且 c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1.
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(2)法一：当焦点在 x 轴上时， ba＝32且 a＝3， ∴b＝92. ∴所求的方程为x92－48y12＝1. 当焦点在 y 轴上时， ab＝32且 a＝3， ∴b＝2. ∴所求的方程为y92－x42＝1.
对称性
x轴、y轴
坐标原点 对称轴
， 对称中心
xa22－by22＝1 标 准(－方 程a,0)，(a,0)
ay22－xb22＝1
(a＞0，b (a＞0，b
(0，＞ 0－) a)，(0＞，0a) )
性质
2a
2b
顶 点e＝ac(e＞1)
xa±by＝0轴长
实轴 ＝
长＝xb±ay＝，0虚轴长
y＝±bax离心率 渐近线
化为标准方程
xm2－yn2＝1(m>0，n>0)，
由此可知，半实轴长 a＝ m，
半虚轴长 b＝ n，c＝ m＋n，
焦点坐标为( m＋n，0)，(－ m＋n，0)，
高中数学课件-双曲线公式
6、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
M F1 o F2
7.双曲线的弦长AB=_________ 8.焦点X轴，双曲线中点弦斜率K=________
焦点Y轴，双曲线中点弦斜率K=_________
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
消去y，得: =1
_________
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线_________
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ两个交点）
Δ=0
直线与双曲线_________
Δ<0
直线与双曲线_________
M
F1 O F2 x
有共同渐近线的双曲线方程
y M
F2 x
O
F1
4.焦点在y轴上,双曲线方程_______ 焦点在x轴上,双曲线方程_______
5.双曲线定义: | |MF1| - |MF2| | =______
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ （3）若2a=0,则轨迹是什么？
性
双 曲
质
图象
线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
范围
对称性 顶点 渐近线 a,b,c关系 及离心率
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
2.若双曲线的渐近线方程是y＝ a x，则双曲线标
准方程设为_________
b
3.与可双设曲为线__ax_22__b_y22___1
y
M F1 o F2
7.双曲线的弦长AB=_________ 8.焦点X轴，双曲线中点弦斜率K=________
焦点Y轴，双曲线中点弦斜率K=_________
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
消去y，得: =1
_________
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线_________
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ两个交点）
Δ=0
直线与双曲线_________
Δ<0
直线与双曲线_________
M
F1 O F2 x
有共同渐近线的双曲线方程
y M
F2 x
O
F1
4.焦点在y轴上,双曲线方程_______ 焦点在x轴上,双曲线方程_______
5.双曲线定义: | |MF1| - |MF2| | =______
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ （3）若2a=0,则轨迹是什么？
性
双 曲
质
图象
线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
范围
对称性 顶点 渐近线 a,b,c关系 及离心率
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
2.若双曲线的渐近线方程是y＝ a x，则双曲线标
准方程设为_________
b
3.与可双设曲为线__ax_22__b_y22___1
y
高中数学必修一《双曲线及其标准方程》课件
2R
又∵|BC|－|AC|＝±8，
∴sin
A－sin sin C
B＝±180＝±45.]
31
(2)[解] 因为 P 是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两 边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋ 2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
16
(2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20.
①
∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1.
②
由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
17
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， 解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
所以双曲线的标准方程为x32－y52＝1.
23
(2)因为焦点在 x 轴上，且 c＝ 6， 所以设双曲线的标准方程为ax22－6－y2a2＝1,0＜a2＜6. 又因为过点(－5,2)，所以2a52 －6－4 a2＝1， 解得 a2＝5 或 a2＝30(舍去)． 所以双曲线的标准方程为x52－y2＝1.
(2)双曲线的定义中，F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1| －|MF2|＝2a(常数)，且 2a<|F1F2|，则点 M 的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两 条射线，端点分别是 F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动 点的轨迹不存在．
高中数学 2.2.2双曲线的简单几何性质课件 湘教版选修11
第十九页，共34页。
2．已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)、F2(5， 0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的方程．
解 法一 ∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±34x. 又∵焦点F1(－5，0)、F2(5，0)在x轴上， ∴ba＝34.设a＝4k，b＝3k，c＝5. 由a2＋b2＝c2，得16k2＋9k2＝25，即k2＝1. ∴a2＝16，b2＝9.∴双曲线方程为1x62 －y92＝1.
1＋a2 ＝ a
a12＋1，所以e> 26且e≠ 2.
第三十页，共34页。
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)， 因为P→A＝152P→B，所以(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)． 由此得x1＝152x2. 由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根， 且1－a2≠0，所以1172x2＝－12－a2a2，152x22＝－12－a2a2. 消去x2得－12－a2a2＝26809.由a>0，解得a＝1173.
第二十三页，共34页。
3．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45 °，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的 同一支上？并求弦AB的长．
第二十四页，共34页。
解 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2，∵直线l过点F2且倾斜角为45°， ∴直线l的方程为y＝x－2，代入双曲线方程，得2x2＋4x－7 ＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵x1·x2＝－72<0， ∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上． ∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72， ∴|AB|＝ 1＋12|x1－x2|
渐近线于点M，在Rt△A2OM中，tan
θ＝
b a
2．已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)、F2(5， 0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的方程．
解 法一 ∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±34x. 又∵焦点F1(－5，0)、F2(5，0)在x轴上， ∴ba＝34.设a＝4k，b＝3k，c＝5. 由a2＋b2＝c2，得16k2＋9k2＝25，即k2＝1. ∴a2＝16，b2＝9.∴双曲线方程为1x62 －y92＝1.
1＋a2 ＝ a
a12＋1，所以e> 26且e≠ 2.
第三十页，共34页。
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)， 因为P→A＝152P→B，所以(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)． 由此得x1＝152x2. 由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根， 且1－a2≠0，所以1172x2＝－12－a2a2，152x22＝－12－a2a2. 消去x2得－12－a2a2＝26809.由a>0，解得a＝1173.
第二十三页，共34页。
3．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45 °，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的 同一支上？并求弦AB的长．
第二十四页，共34页。
解 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2，∵直线l过点F2且倾斜角为45°， ∴直线l的方程为y＝x－2，代入双曲线方程，得2x2＋4x－7 ＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵x1·x2＝－72<0， ∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上． ∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72， ∴|AB|＝ 1＋12|x1－x2|
渐近线于点M，在Rt△A2OM中，tan
θ＝
b a