人教A版高中数学必修4：第二章章末检测--含解析

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高中数学人教A版必修二章末综合测评4 Word版含答案

圆与方程一、选择题1．(2016·葫芦岛高一检测)过点(21)的直线中被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】依题意知所求直线通过圆心(1－2)由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1即3x －y －5＝0故选A 【答案】 A2．已知点M (ab )在圆O ：x 2＋y 2＝1外则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】由题意知点在圆外则a 2＋b 2＞1圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2＜1故直线与圆相交．【答案】 B3．若P (2－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0【解析】圆心C (10)k PC ＝0－(－1)1－2＝－1则k AB ＝1AB 的方程为y ＋1＝x －2 即x －y －3＝0故选D 【答案】 D4．圆心在x 轴上半径为1且过点(21)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆心坐标为(a0)则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1解得a＝2故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1【答案】 A8．(2016·泰安高一检测)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()【09960151】A．36 B．18C．6 2 D．5 2【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(22)半径为32圆心到直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6 2【答案】 C9．过点P(－24)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l直线m：ax－3y＝0与直线l平行则直线l与m的距离为()A．4 B．2C 85D125【解析】P为圆上一点则有k OP·k l＝－1而k OP＝4－1－2－2＝－34∴k l＝43∴a＝4∴m：4x－3y＝0l：4x－3y＋20＝0∴l与m的距离为|20|42＋(－3)2＝4【答案】 A10．一个几何体的三视图如图1所示正视图和侧视图都是等边三角形该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(000)(200)(220)(020)则第五个顶点的坐标可能是()图1A ．(111)B ．(112)C ．(113)D ．(223)【解析】由三视图知该几何体为正四棱锥正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心高为3则第五个顶点的坐标为(113)．故选C【答案】 C11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】设点(－22)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (mn )则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3n ＝－3所以圆C 2的圆心坐标为(3－3)所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2故选D【答案】 D12．(2016·台州高二检测)已知圆O ：x 2＋y 2－4＝0圆C ：x 2＋y 2＋2x －15＝0若圆O 的切线l 交圆C 于AB 两点则△OAB 面积的取值范围是( )图2 A．[27215] B．[278] C．[23215] D．[238]【解析】S△OAB ＝12|AB|·2＝|AB|设C到AB的距离为d则|AB|＝242－d2又d∈[13]7≤42－d2≤15所以S△OAB＝|AB|∈[27215]．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上) 13．已知A(123)B(56－7)则线段AB中点D的坐标为________．【解析】设D(xyz)由中点坐标公式可得x＝1＋52＝3y＝2＋62＝4z＝3－72＝－2所以D(34－2)．【答案】(34－2)14．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．【解析】原点O到直线的距离d＝1532＋42＝3设圆的半径为r∴r2＝32＋42＝25∴圆的方程是x2＋y2＝25【答案】x2＋y2＝2515．(2015·重庆高考)若点P(12)在以坐标原点为圆心的圆上则该圆在点P处的切线方程为________．【解析】∵以原点O为圆心的圆过点P(12)∴圆的方程为x2＋y2＝5∵k OP＝2∴切线的斜率k＝－1 2由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1) 即x ＋2y －5＝0 【答案】 x ＋2y －5＝016．若xy ∈R 且x ＝1－y 2则y ＋2x ＋1的取值范围是________．【解析】x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)此方程表示半圆如图设P (xy )是半圆上的点则y ＋2x ＋1表示过点P (xy )Q (－1－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k 则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1解得k ＝34又k BQ＝3∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A (－14)B (32)且圆心在y 轴上的圆的方程．【解】法一：∵圆心在y 轴上设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2 ∵该圆经过A 、B 两点∴⎩⎨⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 2，32＋(2－b )2＝r 2，∴⎩⎨⎧b ＝1，r 2＝10. 所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10 法二：线段AB 的中点为(13) k AB ＝2－43－(－1)＝－12∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1) 即y ＝2x ＋1由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(01)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为 (0＋1)2＋(1－4)2＝10∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1018．(本小题满分12分)如图3所示BC ＝4原点O 是BC 的中点点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0点D 在平面yOz 上且∠BDC ＝90°∠DCB ＝30°求AD 的长度．图3【解】由题意得B (0－20)C (020)设D (0yz )在Rt △BDC 中∠DCB ＝30° ∴|BD |＝2|CD |＝23∴z ＝32－y ＝3 ∴y ＝－1∴D (0－13)．又∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0∴|AD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋12＋()－32＝ 619．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)证明：不论m 为何值时直线和圆恒相交于两点； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程．【解】 (1)证明：由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0 得(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0 解⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，∴直线l 恒过定点A (31)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25 ∴(31)在圆C 的内部故直线l 与圆C 恒有两个公共点．(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时有l⊥AC由k AC＝－12得l的方程为y－1＝2(x－3)即2x－y－5＝020．(本小题满分12分)点A(02)是圆x2＋y2＝16内的定点BC是这个圆上的两个动点若BA⊥CA求BC中点M的轨迹方程并说明它的轨迹是什么曲线．【解】设点M(xy)因为M是弦BC的中点故OM⊥BC又∵∠BAC＝90°∴|MA|＝12|BC|＝|MB|∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]化简为x2＋y2－2y－6＝0即x2＋(y－1)2＝7∴所求轨迹为以(01)为圆心以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图4所示平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点定点AC的坐标分别是A(－23)C(21)．图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(－2－2)求直线BC截圆E所得的弦长．【解】(1)AC的中点E(02)即为圆心半径r＝12|AC|＝1242＋(－2)2＝ 5所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5(2)直线BC的斜率k＝1－(－2)2－(－2)＝34其方程为y－1＝34(x－2)即3x－4y－2＝0点E到直线BC的距离为d＝|－8－2|5＝2所以BC截圆E所得的弦长为25－22＝222(本小题满分12分)如图5已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0点A(06)．(1)求圆心在直线y＝x上经过点A且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于PQ两点且圆弧PQ恰为圆C周长的14求直线m的方程．【09960152】图5【解】(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50所以圆C的圆心坐标为C(－5－5)又圆N的圆心在直线y＝x上所以当两圆外切时切点为O设圆N的圆心坐标为(aa) 则有(a－0)2＋(a－6)2＝(a－0)2＋(a－0)2解得a＝3所以圆N的圆心坐标为(33)半径r＝3 2故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的14所以CP⊥CQ所以点C到直线m的距离为5当直线m的斜率不存在时点C到y轴的距离为5直线m即为y轴所以此时直线m的方程为x＝0当直线m的斜率存在时设直线m的方程为y＝kx＋6即kx－y＋6＝0所以|－5k＋5＋6|1＋k2＝5解得k＝4855所以此时直线m的方程为4855x－y＋6＝0即48x－55y＋330＝0故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0。

高中数学人教A版必修四章末综合测评2 含解析答案

章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC→＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4)D ．(1，4)【解析】法一：设C (x ，y )，则AC→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A ．法二：AB→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A ．【答案】 A2．(2015·福建高考)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【解析】 c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.【答案】 A3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2【解析】由已知条件得BD→·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D ．【答案】 D4．(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．【答案】 B5．(2015·重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【解析】 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0，∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝23π.【答案】 C6．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC→＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→【解析】在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC→，故选D ．【答案】 D7．(2016·锦州高一检测)已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【解析】因为a ＝(2，1)，则有|a|＝5，又a·b ＝10，又由|a ＋b|＝50， ∴|a|2＋2a·b ＋|b|2＝50，即5＋2×10＋|b|2＝50，所以|b|＝5. 【答案】 C8.已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC→等于( )图1【导学号：00680065】A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b【解析】 BC →＝2BD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD → ＝23a ＋43b . 【答案】 B9．(2016·景德镇期末)设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【解析】设向量a 、b 夹角为θ， |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，则cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B ．【答案】 B10．(2016·西城高一检测)在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE→·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．33【解析】设AE→与AB →的夹角为θ，则AE →与AD →的夹角为π2－θ，又AD →∥BC →，故有AE →与BC →夹角为π2－θ，如图：∵AE →·AB →＝|AE →|·|AB →|·cos θ＝3|AE →|·cos θ＝1， ∴|AE→|·cos θ＝33，∴AE →·BC →＝|AE →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AE →|sin θ＝1，∴AE →·AC →＝AE →·(AB →＋BC →)＝AE →·AB →＋AE →·BC →＝1＋1＝2. 【答案】 B11．(2016·济南高一检测)已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3，0)B ．(3，0)C ．(2，0)D ．(4，0)【解析】设P (x ，0)，则有 AP →·BP →＝(x －2，0－2)·(x －4，0－1) ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10 ＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，(AP →·BP →)min ＝1，此时P 点坐标为(3，0)．【答案】 B12．(2014·天津高考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC ．若AE→·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A ．12B ．23C ．56D ．712【解析】如图：∠BAD ＝120°，|AB→|＝|AD →|＝2.AF→·AE →＝(AD →＋DF →)(AB →＋BE →)＝(AD→＋μDC →)(AB →＋λBC →) ＝(AD →＋μAB →)(AB →＋λAD →) ＝λAD→2＋μAB →2＋(λμ＋1)AD →·AB → ＝4(λ＋μ)＋(λμ＋1)×4×cos 120° ＝4(λ＋μ)－2(λμ＋1)＝1，即2λμ－4(λ＋μ)＋3＝0，①由CE →·CF →＝(CB →＋BE →)(CD →＋DF →)＝(λ－1)·(μ－1)·BC →·DC → ＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23，所以有λμ＝λ＋μ－23，代入①得2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ－23－4(λ＋μ)＋3＝0，解得λ＋μ＝56.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．(2014·湖北高考)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.【解析】因为OA →＝(1，－3)，又|OA→|＝10＝|OB →|，又OA→·OB →＝0，所以∠AOB ＝90°，所以△AOB 为等腰直角三角形，且|AB →|＝2|OA →|＝2 5.【答案】 2 514．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【解析】 ∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n ) ＝(9，－8)，∴⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 【答案】－315．(2015·湖北高考)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________．【解析】因为OA→⊥AB →，所以OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA 2→＝0，所以OA→·OB →＝OA 2→＝|OA →|2＝9，即OA →·OB →＝9.【答案】 916．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB→＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．【解析】 ∵AM→＝2MC →，∴AM →＝23AC →.∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN→＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC → ＝12AB →－16AC →. 又MN→＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)(2016·无锡高一检测)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC→用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8，3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， ∴(8，3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3，0) ＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝143， ∴OC→＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB→与AC →不共线，又AB→＝OB →－OA →＝(3，0)－(2，－1)＝(1，1)， AC→＝OC →－OA →＝(m ，3)－(2，－1)＝(m －2，4)，则有1×4－(m －2)×1≠0， ∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB→＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB→⊥AD →，又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j＝AB→＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB→⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形．所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．【解】以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)，所以AC→＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC→∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5. 21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|k a ＋b|＝3|a －k b |(k >0，k ∈R )．(1)求a·b 关于k 的解析式f (k )； (2)若a ∥b ，求实数k 的值； (3)求向量a 与b 夹角的最大值．【解】 (1)由已知|k a ＋b|＝3|a －k b |，有|k a ＋b|2＝(3|a －k b |)2，k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3a 2－6k a·b ＋3k 2b 2. 由|a|＝|b|＝1，得8k a·b ＝2k 2＋2，所以a·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k(k >0)．(2)因为a ∥b ，k >0，所以a·b ＝k 2＋14k >0，则a 与b 同向．因为|a|＝|b|＝1，所以a·b ＝1，即k 2＋14k ＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0，所以k ＝2±3，所以当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a||b|＝a·b＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2. 当k ＝1k，即k ＝1时，cos θ取最小值12，又0≤θ≤π，π3，即向量a与b夹角的最大值为π3.所以θ＝。

2019版高中数学人教A版必修4：第二章检测B 含解析

1.A .(--4)D .(10,20):∵a =(1,2),b =(3,-1),c =(-2,4),·c )a =-10a =(-10,-20).:B2.已知A (-3,0),B (0,2),O 为坐标原点,点C 在∠AOB 内,|OC|=2,且∠AOC=,设=λ(λ∈2π4OC OA +OB 则λ的值为( )B. C. D.131223:过C 作CE ⊥x 轴于点E.3.A .(3,1)=-2,得(2,2)=-2(x-2,y ),x=1,y=-1,得P (1,-1).AB AP :C4.在△ABC 中,点M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上,且满足AP=2PM ,则·()等于( PA PB +PC B.- C. D.4434349:由题意可知点P 是△ABC 的重心,=0,PA +PB +PC ·()=-=-=-.PA PB +PC PA 2(23MA )249:A5.代入可得,故选A .AP =mn -m mn -1AB +mn -nmn -1AC :A6.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且=2,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若BC CD AO +(1-x ),则x 的取值范围是( )AB AC B .12)(0,13)D .12,0)(-13,0):由=x +(1-x ),得=x (),∴=x =-2x .AO AB AC AO ‒AC AB ‒AC CO CB CD O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),7.AE ·AF·AD +AB ·DF +BE ·AD +BE ·DF2×cos 120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos 120°+4(λ+μ)-2λμ=1,4(λ+μ)-2λμ=3.=-,得(2-2λ)·(2-2μ)·=-,所以λμ=λ+μ-,CE ·CF 23(-12)2323因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+=3,43λ+μ=,故选C .56:C8.A .等边三角形9.上,则B .C .D .11223:设=a ,=t b ,(a +b )=.∵A ,B ,C三点共线,∴=1,t=.OA OB OC =1313OA+13t OB13+13t12:B10.已知点A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在l 上,且实数x 满足x 2+x =0,则由实数OA OB +AC x 组成的集合为( )B.{-1}D.{-1,0}1-52,-1+52}:由于,又,则存在实数λ,使=λ,则=λ()=λ-λ,所以有λAB =OB ‒OA AB ∥AC AC AB AC OB ‒OA OB OA OA {211.120°②,根据平行四边形法则知,合力的大小为12.大值是 .:设动点D (x ,y ),则由||=1,得(x-3)2+y 2=1,D 点轨迹为以(3,0)为圆心,半径为1的圆.CD =(x-1,y+),OA +OB +OD 3||=,OA +OB +OD (x -1)2+(y +3)2|的最大值为点(3,0)与(1,-)之间的距离与1的和,即+1=1+OA +OB +OD 3(3-1)2+(0+3)2:1+713.如图,直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ,AD 分别交于E ,F 两点,且与对角线AC 交于点中,=λ,则λ的值为 .AE =25AB ,AF =12AD ,AK AC14.μ与:设圆的半径为r,则OA=OB=OD=r.OD OA OB=μ+λ,OD2OA OB=(μ+λ)2,=μ2r2+2λμr2·cos 60°+λ2r2,整理得μ2+λ2+λμ=1.:μ2+λ2+λμ=115.如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的若OP9-24cos 60°+1616.的坐标BC =(6,1)+(x ,y )=(6+x ,y+1),=(x-2,y-3).又因为,AC ⊥BD (6+x )(x-2)+(y+1)(y-3)=0,整理得x 2+4x+y 2-2y-15=0,②①②得{x =2,y =-1或{x =-6,y =3.的坐标为(2,-1)或(-6,3).BC 17.(8分)已知向量a =(cos(-θ),sin(-θ)),b =.(cos (π2-θ),sin (π2-θ))(1)求证:a ⊥b ;若存在不等于0的实数k 和t ,使x =a +(t 2+3)b ,y =-k a +t b 满足x ⊥y ,试求此时的最小值.k +t 2t18.(9分)如图,在△OAB 中,,AD 与BC 交于点M ,设=a ,=b .OC =14OA ,OD =12OBOA OB 用a ,b 表示;OM 在线段AC 上取一点E ,在线段BD 上取一点F ,使EF 过点M ,设=p =q ,求证:=1.OE OA ,OF OB 17p+37q解设=m a +n b ,则=(m-1)a +n b ,=-a +b .OM AM AD 12A ,M ,D 共线,q+p=pq ,即=1.3717p+37q19.(10分)已知O 为坐标原点,直线y=x+a 与圆x 2+y 2=4分别交于A ,B 两点.若=-2,求实数OA ·OB 值.由消去y ,得2x 2+2ax+a 2-4=0.{x 2+y 2=4,y =x +a ,(x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程2x 2+2ax+a 2-4=0的解.由根与系数的关系,得x 1+x 2=-a ,x 1x 2=.所以a 2-42=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+a )(x 2+a )=2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=a 2-4-a 2+a 2=-2,OB a 2=2,即a=±.220.(10分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足.OC =13OA +23OB(1)求证解由(1)得),33,AC =23CB =2,∴=2.AC CB |AC ||CB |解=(1+cos x ,cos x )-(1,cos x )=(cos x ,0).AB ∈,[0,π2]cos x ∈[0,1].|=|cos x|=cos x.AB =2,AC CB7综上所述,实数m的值为.4。

高中人教A版数学必修4：第二章章末检测 Word版含解析

第二章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各式叙述不正确的是( ) A ．若a ＝λ b ，则a 、b 共线B ．若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a －2b ，则m ∥nD ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c 答案：C解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．2．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b | 答案：B 解析：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案：A解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案：A解析：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →.所以12(OB →＋OC →)＝AO →，又D 为BC 边中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)．所以AO →＝OD →.5．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.6．若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →，则该四边形一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．直角梯形答案：B解析：由AB →＋CD →＝0⇒AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →＋DA →)⊥AC →⇒AC →⊥DB →，所以四边形ABCD 是菱形．7．给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( ) A.1327 B.132 C.133 D.727 答案：D解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727.8．如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．300 3N,300 3NB ．150N,150NC ．300 3N,300ND ．300N,300N 答案：C解析：如图：作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →|cos30°＝300 3N.|OB |→＝|OC →|sin30°＝300N.9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.10．若向量AB →＝(1，－2)，n ＝(1,3)，且n ·AC →＝6，则n ·BC →等于( ) A ．－8 B ．9 C ．－10 D ．11 答案：D解析：n ·AB →＝1－6＝－5，n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝6，∴n ·BC →＝11.11．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →等于( )A ．－12B ．－23C ．－13D ．－16答案：A解析：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，依题意设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝13BA →，∴⎝⎛⎭⎫x 1－12，0＝13(－1,0)，∴x 1＝16. ∵E 是CA 的中点，∴CE →＝12CA →，又CA →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴x 2＝－14，y 2＝34.∴CD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32·⎝⎛⎭⎫－34，34＝16×⎝⎛⎭⎫－34＋⎝⎛⎭⎫－32×34＝－12.故选A. 12．已知|a |＝2 2，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )A.152B.152 C ．7 D ．8 答案：A解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b )＝12(6a －b )∴|AD →|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254.∴|AD →|＝152.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：3解析：a ·b ＝2×3×32＝3.14．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．答案：[0,1] 解析：∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]，所以|b |∈[0,1]．15．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝________.答案：31010解析：设b ＝(x ，y )，则2b －a ＝(2x －3,2y －3)＝ (－1,1)，∴x ＝1，y ＝2，则b ＝(1,2)，cos α＝a ·b |a |·|b |＝93 2×5＝310＝31010.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)答案：②解析：①a 与b 的夹角为θ1，a 与c 的夹角为θ2. a ·b ＝a ·c ，有|a ||b |cos θ1＝|a ||c |cos θ2，得不到b ＝c ，错误． ②a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，∵a ∥b ，∴b ＝λa ，得k ＝－3.正确． ③设|a |＝|b |＝|a －b |＝m (m >0)，且a 与a ＋b 的夹角为θ. 则有(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝m 2， ∴2a ·b ＝m 2.a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝m 2＋m 22＝3m 22， (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝m 2＋m 2＋m 2＝3m 2，∴cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝32m 2m ·3m ＝32.∴θ＝30°.∴③错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )·(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2 ＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝2×42＋3×4×8×⎝⎛⎭⎫－32－2×82＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2＝16×42－16×4×8×(－32)＋4×82 ＝8(2＋6)18．(12分)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R ， (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t 的值．解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)， ∴a ＋t b ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋t b |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755，当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋t b |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －t b ＝(－3－2t,2－t )，又a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1)，∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.19．(12分)已知a ＝(1,1)、b ＝(0，－2)，当k 为何值时， (1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解：∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)∵k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2) a ＋b ＝(1，－1)(1)要使k a －b 与a ＋b 共线，则－k －(k ＋2)＝0，即k ＝－1. (2)要使k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝2，∴cos120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b |·|a ＋b |＝k －k －22·k 2＋(k ＋2)2＝－12. 即k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.20．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：如图所示，设OD →＝OP 1→＋OP 2→，由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 3→＝－OD →，|OD →|＝1，∴|OD →|＝1＝|P 1D →|，∴∠OP 1P 2＝30°，同理可得∠OP 1P 3＝30°，∴∠P 3P 1P 2＝60°. 同理可得∠P 2P 3P 1＝60°， ∴△P 1P 2P 3为正三角形．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42，故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，所以t ＝－115.22．(12分)设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f 满足：对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．(1)若|a |＝|b |，且a 、b 不共线，试证明：[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )；(2)若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，求f (AC →)·AB →.解：(1)证明：∵f (a )－f (b )＝λa －λb ＝λ(a －b )， ∴[f (a )－f (b )]·(a ＋b )＝λ(a －b )(a ＋b )＝λ(a 2－b 2)＝λ(|a |2－|b |2)＝0， ∴[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )．(2)由已知得AB →＝(2,4)，BC →＝(1,2)，AC →＝(3,6)．∵f (BC →)＝AB →，∴λBC →＝AB →. 即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.∴f (AC →)·AB →＝(2AC →)·AB →＝(6,12)·(2,4)＝60.。

2019版高中数学人教A版必修4：第二章检测A 含解析

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)解析:=(3,2)-(0,1)=(3,1),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.答案:A2.已知A(1,2),B(3,-1),C(3,4),则等于()A.11B.5C.-1D.-2解析:=(2,-3),=(2,2),则=2×2-3×2=-2.答案:D3.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于()A.-B.C.-或D.0解析:由a∥b知1×2-m2=0,即m=或-.答案:C4.已知向量a,b的夹角为,且a=(-1,1),|b|=2,则|2a+b|=()A.1B.C.2D.4解析:因为a=(-1,1),所以|a|=.又因为a,b的夹角为,|b|=2,所以|2a+b|2=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos =8+4-4×2×=4,所以|2a+b|=2,故选C.答案:C5.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A中e1=0e2,B中e1,e2为两个不共线向量,C中e2=2e1,D中e2=-e1.故选B.答案:B6.已知边长为3的菱形ABCD,∠DAB==2,则=()A.-B.-C.-D.解析:=()·()=()·=×22-32-×2×3cos=-,故选C.答案:C7.下列说法正确的个数为()①;②已知向量a=(6,2)与b=(-3,k)的夹角是钝角,则k的取值范围是k<9;③向量e1=(2,-3),e2=-能作为平面内所有向量的一组基底;④若a∥b,则a在b上的投影为|a|.A.1B.2C.3D.4解析:①正确;②由a·b<0,得k<9,由a∥b,得k=-1,此时,a=-2b,∴k<9,且k≠-1,故②错;③∵e1=4e2,∴e1与e2共线,不能作为基底;④由a∥b,若a与b同向,则a在b方向上的投影为|a|,若a与b方向相反,则a在b方向上的投影为-|a|.答案:A8.在△ABC中,已知D为边AB上的一点,若=2+λ,则λ=()A.B.C.-D.-解析:∵)=,∴λ=.答案:A9.已知向量a与向量b的夹角为120°,若向量c=a+b,且a⊥c,则的值为()A.B.C.2 D.解析:∵c=a+b,a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|cos 120°=|a|2-|a||b|=0,∴|a|2=|a||b|,∴.答案:A10.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线,则必有()A.a∥bB.a⊥bC.|a|=|b|D.a=b解析:f(x)=(x a+b)·(a-x b)=x a2-x2a·b+a·b-x b2=-x2a·b+(a2-b2)x+a·b,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以a·b=0.又a,b是非零向量,所以a⊥b.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.解析:|b|=,由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=.答案:12.已知向量a=(1,3),b=(-2,m),若a与a+2b垂直,则m的值为.解析:a+2b=(1,3)+(-4,2m)=(-3,3+2m),∵a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=0,∴-3+3(3+2m)=0,解得m=-1.答案:-113.已知a=(1,2),b=(-2,log2m),若|a·b|=|a||b|,则正数m的值等于.解析:∵|a·b|=|a||b|,∴a∥b,∴log2m=-4,∴m=2-4=.答案:14.设O,A,B,C为平面内四点,=a,=b,=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1,则|a|2+|b|2+|c|2=.解析:(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=|a|2+|b|2+|c|2-6=0,则|a|2+|b|2+|c|2=6.答案:615.如图,在▱ABCD中,P在对角线AC上,且AP=AC,用基底表示,则=.解析:∵=2,∴=-.答案:-三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)在平面直角坐标系xOy中,点A(16,12),B(-5,15).(1)求||,||;(2)求∠OAB.解:(1)∵=(16,12),=(-21,3),∴||==20,||=-=15.(2)=(-16,-12)·(-21,3)=300,则cos∠OAB=,又∠OAB∈[0,π],故∠OAB=.17.(8分)在平面直角坐标系xOy中,点O是坐标原点,已知▱ABCD的三个顶点A(2,3),B(-1,-2),C(-2,-1).(1)求对角线AC及BD的长;(2)若实数t满足(+t)·=0,求t的值.解:(1)设顶点D的坐标为(x,y).在▱ABCD中,由,得(3,5)=(x+2,y+1),所以x=1,y=4,所以顶点D的坐标为(1,4),所以||=4,||=2.(2)因为=(-3,-5),=(-2,-1),(+t)·=0,所以+t=6+5+5t=0,所以t=-.18.(9分)设向量a=(cos α,sin α)(0≤α<2π),b=-,a与b不共线.(1)证明向量a+b与a-b垂直;(2)当两个向量a+b与a-b的模相等时,求角α.(1)证明a+b=-,a-b=-,(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,∴(a+b)⊥(a-b).(2)解由题意知(a+b)2=(a-b)2,得a·b=0,∴-cos α+sin α=0,得tan α=.又0≤α<2π,得α=或α=.19.(10分)已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角θ的余弦值.解:以直角边所在直线为x轴、y轴建立如图平面直角坐标系,则A(4,0),B(0,6),设AF,BE分别为OB,OA边上的中线,则E(2,0),F(0,3).因为=(-4,3),=(2,-6),所以cos θ==-.所以两中线所成钝角的余弦值为-.20.(10分)(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角θ.(2)设=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4a2-4a·b-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,∴a·b=-6.∴cos θ==-,∴θ=120°.(2)设存在点M,且=λ=(6λ,3λ)(0<λ≤1),∴=(2-6λ,5-3λ),=(3-6λ,1-3λ).∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,∴45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=,∴=(2,1)或.∴存在M(2,1)或M满足题意.。

高中数学必修4第二章章末检测

高中数学必修4第二章章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB →B.AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D.AB →＋BC →＋CD →＝AD →2．设a 0，b 0分别是与a ，b 共线的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0·b 0＝1 C ．|a 0|＋|b 0|＝2D ．|a 0＋b 0|＝23．若三点A (2,3)，B (3，a )，C (4，b )共线，则有( ) A ．a ＝3，b ＝－5 B ．a －b ＋1＝0 C ．2a －b ＝3D ．a －2b ＝04．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．已知∠C 为△ABC 的一个内角，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)．若m ⊥n ，则∠C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的可能值的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－31529．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)＝( )A ．－49B ．－43 C.43 D.4911．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，而|c |＝13，c ·a ＝3，c ·b ＝4，则对于任意的实数λ，μ，|c －λa －μb |的最小值是( )A ．5B ．7C ．12D ．13二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________．14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 15．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 16．在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点．如果AB 的长为2，则(AB →＋AC →)·AD →＝________. 三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求|a ＋3b |的值；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b . (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向；(2)若|a |＝|b |，a 与b 的夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d?21．(本小题满分12分)在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →. (1)用向量AB →，AC →作为基底表示向量BE →； (2)求AD →·BE →的值．22．(本小题满分12分)已知向量OP 1→，OP 2→，OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1.求证：△P 1P 2P 3是等边三角形．高中数学必修4第二章章末检测答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB →B.AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0 D.AB →＋BC →＋CD →＝AD →答案：D2．设a 0，b 0分别是与a ，b 共线的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0·b 0＝1 C ．|a 0|＋|b 0|＝2 D ．|a 0＋b 0|＝2答案：C3．若三点A (2,3)，B (3，a )，C (4，b )共线，则有( ) A ．a ＝3，b ＝－5 B ．a －b ＋1＝0 C ．2a －b ＝3 D ．a －2b ＝0答案：C4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C5．已知∠C 为△ABC 的一个内角，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)．若m ⊥n ，则∠C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案：C解析：∵m ⊥n ，∴2cos 2C －3cos C －2＝0， ∴(2cos C ＋1)(cos C －2)＝0， ∴cos C ＝－12.又C 为△ABC 的一个内角， ∴C ＝2π3.6．在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的可能值的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B解析：若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝6＋k ＝0，k ＝－6；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝0， 2＋k －1＝0，k ＝－1；若∠C ＝90°，则AC →·CB →＝AC →·(AB →－AC →)＝0， k 2－k ＋3＝0无解．综上，k 可能取－6，－1两个数．7．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案：B解析：∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等腰三角形．8．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－3152答案：A9．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞ 答案：C解析：x 应满足(x,2)·(－3,5)<0且a ，b 不共线，解得x >103且x ≠－65，∴x >103.10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)＝( ) A ．－49 B ．－43 C.43 D.49答案：A解析：由题意可知，P 是△ABC 的重心， ∴P A →＋PB →＋PC →＝0，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－P A →2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23MA →2＝－49.11．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →答案：A解析：由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →.12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，而|c |＝13，c ·a ＝3，c ·b ＝4，则对于任意的实数λ，μ，|c －λa －μb |的最小值是( )A ．5B ．7C ．12D ．13 答案：C解析：由条件可得，|c －λa －μb |2＝c 2－6λ－8μ＋λ2＋μ2 ＝144＋(λ－3)2＋(μ－4)2≥144，当且仅当λ＝3，μ＝4时，|c －λa －μb |2＝144，|c －λa ＋μb |＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________．答案：⎝⎛⎭⎫35，－45 解析：AB →＝(3，－4)，∴|AB →|＝5，∴与向量AB →同方向的单位向量是15AB →＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，b ·c ＝0， ∴c ·b ＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝0， ∴t cos 60°＋1－t ＝0.∴t ＝2.15．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案：2解析：∵ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ， ∴AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点， ∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →. 又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2.16．在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点．如果AB 的长为2，则(AB →＋AC →)·AD →＝________. 答案：4解析：|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＝8， |AD →|＝12|BC →|，AB →＋AC →＝2AD →，(AB →＋AC →)·AD →＝2AD →·AD →＝12|BC →|2＝4.三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求|a ＋3b |的值；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1)∵a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)， ∴|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)．当(k a －b )∥(a ＋3b )时，7×(－1)＝(k －2)×3，解得k ＝－13，∴当k ＝－13时，k a －b 与a ＋3b 反向．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25， ∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20. 由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0， ∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．(1)证明：a·b ＝(3，－1)·⎝⎛⎭⎫12，32＝32－32＝0，∴a ⊥b . (2)解：假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·[－k a ＋t b ]＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0. 又a·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1. ∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0且t ≠±3)，故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0且t ≠±3)．20．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b . (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向；(2)若|a |＝|b |，a 与b 的夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d? 解：(1)∵c ∥d ，可设c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向． (2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b ) ＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos 60°，又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0.即(k －1)＋1－k2＝0，解得k ＝1.21．(本小题满分12分)在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →. (1)用向量AB →，AC →作为基底表示向量BE →； (2)求AD →·BE →的值．解：(1)由CA →＝3CE →，得AE →＝23AC →，∴BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋23AC →.(2)AD →·BE →＝AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AC →＝AD →·(－AB →)＋23AD →·AC →＝|AD →||AB →|cos 150°＋23|AD →|·|AC →|cos 30°＝32×1×⎝⎛⎭⎫－32＋23×32×1×32＝－14. 22．(本小题满分12分)已知向量OP 1→，OP 2→，OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1.求证：△P 1P 2P 3是等边三角形．证明：∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→， ∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2， ∴OP 1→·OP 2→＝－12，cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→||OP 2→|＝－12，∴∠P 1OP 2＝120°. ∴|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝(OP 2→－OP 1→)2＝OP →21＋OP →22－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 故△P 1P 2P 3是等边三角形．。

2016高中数学人教A版必修四第二章章末综合检测练习题含答案

梯度训练检验成果［学生用书单独成册］）（时间:100分钟，分数:120分）一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分、在每个小题给出的四个选项中, 只有一项就是符合题目要求的）1、下列说法正确的就是（）A、共线向虽:的方向相同B、零向捲就是0C、长度相等的向量叫做相等向量D、共线向量就是在一条直线上的向呈解析:选B、对A,共线向量的方向相同或相反，错误;对B,零向量就是0,正确：对C, 方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误;对D,共线向量所在直线可能平行，也可能重合,错误、故选B、2、已知A、D三点共线,存在点C,满足错误！=错误!错误! +人错误！，则2=（）A、错谋！ B.错谋！D、一错误!C、解析:选C、因为A』，D三点共线，所以存在实数人使丽=『错误！，则错误！一错误!=f（错误!_错误必即错误!=错误!+/（错误!一错误!） = （1 一0错误!+f错误!，所以错误! 即2=-,3、已知向量a=（l,2）0=（l,O）, c=（3,4）、若2 为实数,（a+财）〃c,则2=（）A、|B、错误！C. 1D. 2解析：选B. a+ Ab=（\+X9 2）,由（a+肋）〃c 得（1+x） X4—3X2=0,所以2=*、4、已知点0,N在ZUBC所在平而内，且I错误!1= I错误！I = I错误!错误!+错误！ +2VC=0,则点6 N依次就是ZkABC的（）A、重心，外心B、重心，内心C、外心，重心D、外心9内心解析：选C、由I错误！I =1错误！I =丨错误！I知，0为zMBC的外心;由错误! +错误! +错误!=0,得错误!=错误！+错误！，取BC边的中点D,则错误！=错误!+错误!=2错误！，知A、N、D三点共线，且AN = 2ND,故点N就是△ ABC的重心.5、已知向虽：a= （cos&.sin。

），其中&丘错误!，〃 = （0, — 1）,则a与〃的夹角等于（）A、&-错误！ B.错误!+0C、错误!一&D、6解析:选C、设a 与0 的央角为a9a b=cos &・0+sin 0-（―1） = —sin 09 I «l=l, I b I =1,所以cos a=错误! = —sin ^=cos （错误!_8）,因为0G错误！，a G［0, 7t］,y=cosx在［0,兀］上就是递减的，所以a=错误！一& 故选C、6、已知等边三角形ABC的边长为1•错误!=7错误!=伏错误!=c，则a b-b c-c a等于（）A、一错误！ B.错误！C、一错误！D、错误！解析：选D、由平面向童的数量积的定义知，ab~bc—ca=\a\ /blcos（7i—C）—{b / /elcos （n—A）— /c\\a /cos （兀一B）=cos （兀一C）—cos （兀一A）—COS（TT-B） = —cos C+cos A+cos B=cos 60°=错误！.故选D、7、已知平而向量"I=错误!，且\2a+b\=错课!，则向量a与向量+ 的夹角为（）A 、错误!C 、错误! 解析:选 B 、因为 I 2a+b I 2=4lfl I 2+4n ・b + 0|2=7, I a所以4+4fl ・〃+3=7. ab=09所以a 丄〃、如图所示，a 的夬角为ZCOA 9因为tanZCOA=错误！=错误!，所以ZCOA=j,即a 与a+b 的夹角为错误!、8、在厶ABC 中,ZBA （7=6（rdB=2, AC=1, E 、F 为边BC 的三等分点，则错误!•错误! =（）A 、错误！ B.错误！C 、错误！D 、错误！解析：选A.依题意，不妨设错误!=错误!错误!，错误!=2错误!，则有错误!一错误!= £（错误!一错误!），即错误!=错误!错误!+错误!错误!：错误!一错误!=2 （错误!一错误!），即错误!=错误!错误!+错误!错误!、所以错误！ •错误!=（错误!错误!+错误!错误!）•（错误!错误!+错误!错误!）=错误! （2错误！ +错误!）•（错误! + 2错误!）=错误！（2错误P+2错误!?+5错误!•错误!）=错误！（2X22+2XP+5X2X 1 Xcos60°）=错误!，故选 A 、9、已知非零向量a, b,c 满足a+D+c=0,向量a, 〃的夹角为60。

2016高中数学人教A版必修四第二章章末优化总结练习题含答案

）_ ■（向虽的表祠-（相等与共线〕 r ■（向圮加法运算及其儿何意义〕-｛向就的线性运算〕 ----- （向量减法运算及其几何克义〕L ■（向址逐甌RjQt 何意义〕（平面向虽基本定理］|_（】E 交分解］- LL ｛「坐标妬）一IWQ __________________平面向量的槪念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念、突显向量“形〃的特征就是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提、例① 关于平而向量eb. C 有下列三个命题：① 若〃丄c,贝ij （a+c ）・b=a ・b;② 若a= （IQ, b= （—2, 6）, a//b 9 贝iJk= — 3：③ 非零向量a 与〃满足0|= /b / =la —b /,则a 与a+b 的夹角为60S其中真命题的序号为 ________ .（写出所有真命题的序号）［解析］ ①因为〃丄c,所以b c=09所以（a+c ） b=a b+c b=a b ：② fl%,且aH0=>b=〃r=>错谋！=错谋!=k=—3;③ \a\= /b / = /a —b\=a,b, a —b 构成等边三角形，a 与a+b 的夬角应为30。

、所以真命题为①［答案］①②吿题㊁ _________________________________________平而向量的线性运算1、向量的加法.减法与数乘向量的综合运算.通常叫作向量的线性运算，主要就是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线.两线段平行.线段相等、求点的坐标等问题、2、理解向咼的有关概念［如平行向量（共线向蚩：）、相等与相反向量.平面向疑基本左理、单位向量等］及其相应运算的几何意义，并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，就是求解有关向量线性运算问题的基础、例② 如图，在ZkABC 中，错误!=错误!，错误!=错误!错误!.B0与CR 相交于点/, AI 的延长线与边BC 交于点P 、⑴用错误!与错误!分别表示错误!与错误!：（2）如果错误!=错误! +Z 错误!=错误! + “错误!,求实数2与“的值；（3）确立点P 在边BC 上的位置、章杏优化总结知W 网络体系构建把握宏观理淸脉络L （运算律〕彳］诃朮的数朮积运算〕—提炼車点桁展升华 —｛向址的物理背娥及概念｝⑴由错误！=错误!错误！，可得错误!=错误！+错误!= 一错误!+错误!错误！,又错误!=错误!错误!，所以错误!=错误!+错误!= 一错误!+错误!错误!、(2)将错谋!= 一错误! +错误!错谋!，错误!= 一错谋!+错课!错谋!,代入错误!=错误! +/・错误!=错误! +“错误!，则有错误! +力错误！=错误! + “错误!，即(1-2)错误!+错误！久错误!=错误！“错误!+ (1—“)错误!、所以错误!解得错误！⑶设错误!=川错误!，错误!="错误！、由(2),知错误!=错误!错误!+错误!错误!，所以错谋！=错谋！-错谋！=〃错谋！-错谋！= 〃错课！ -错谋！=错课!错谋！ +错谋! 错误！f错误！= 〃備误！一川错误！，所以错误!解得错误！所以错误！=错误!错误！，即错误！=2、即点P就是BC上靠近点C的三等分点、平而向虽:的数量积求平而向量的数量积的方法有两个：一个就是根据数量积的立义，另一个就是根据坐标、左义法就是a・b= /a l\b /・cos&,英中&为向量a, 〃的夹角;坐标法就是a= (xj)/= (M,*)时e/mm+yw、利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向虽:的坐标运算转化为代数问题解决、例③ ⑴设单位向量加=(AS y), b= (2,—1).若m丄b,则I x4-2yl= _______________ 、(2)已知两个单位向量a, b的夹角8为60°x=w+ (l—t)b9若b・c=0,则f=____________________________________________________________________________ 、［解析］(1)因为单位向量m = (x9y)9则F+y2=i、①若加丄〃，则m・b=a即"一)=0、②由①®解得/=错误！，所以丨x I =错误！，I x+2yl=5 I x I =错误！、(2)法一：因为b・c=0,所以少［皿 + (1 —/) /＞］=0,即ta b+ (1—哪=0、又因为I a \ = \ b \ = \9 & =60。

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