6.1正弦函数和余弦函数的性质(三)
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质
知识回顾; ： (1)在一个三角形中各边和它的对边 的正弦比相等，即： (2) 运用正弦定理可以解决一些怎样 的解三 角形问题呢？ 由
，可以解决“已知两角及其一边可 以求其他
边。”“已知两边及其一边的对角 可以求其他角。” 等解三角形问题
•余弦定理，的求得第出三及边推c 导：
先让学生进尝而试，具改体为问字题母：：①②已已知知三三角角形形ABACB中C中，，a=B5C，=ab，=1A，C=Cb=，∠ACB=C，试用a，b及C表示第三边c
设想：学生可能把图形加以分割转化为已有知识直角三角形进行解决。
60
小组合作探讨：
A
证明：学生可能想法有B
方法（1）化归为直角三角形，作BD⊥AC于D，
D
C
教师引导：问题5：怎样把未知量用已知量表示出来呢？（直角三角形边角关系）化归思想
AB2 BD2 AD2 BD2 (AC CD)2 (a sin C)2 (b a cosC)2 a2 方b2法（2a2b）cosC BC B教A师 引AC导：在证明正弦定理时
两边同时乘以
AD 推出正弦定理
那么三角形中还有其他方法将向量数量化吗？（平方）
向量法
AB AC CB
2
AB
( AC CB)2
2
AC
2
CB
2AC CB
2
2
AC CB 2 AC CB cos( C)
c2 a2 b2 2abcosC
，
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
问题1：
ABC
a 7,b，解5,这c 个3三角形。
6.1正弦函数和余弦函数
作正弦函数 y = sin x(x ∈ R) 的图象 y 1
-2π π
-π π
o -1
π
2π π
3π π
x
4π π
正弦函数 y = sin x( x ∈ R)的图象叫正弦曲线
正弦函数
性质:
定义域 值域 奇偶性 单调性 图像
x∈R
y ∈ [ 1,1]
奇函数
余弦函数
任意一个实数x都对应着唯一确定的弧度角, 而这个角又对应着唯一确定的余弦值cosx. 这样,对任意一个实数x都有唯一确定的值 cosx与它对应.按照这个对应法则所建立的 函数,表示为y=cosx,它叫做余弦函数.它 的定义域是实数集R.
[ 1,5]
3 0, 4
二次型 一次型
最大值和最小值 例3:求下列函数的最大值和最小值
π (1) y = 3 2sin 2 x 4
3π x = kπ + , k ∈ Z时,ymin = 1 8
x = kπ
π
8
, k ∈ Z时,ymax = 5
定义法
(2) y = cos 2 x 2sin x
x = 2 kπ +
π
2
, k ∈ Z时,ymin = 2 , k ∈ Z时,ymax = 2
x = 2 kπ
π
2
二次型
(3) y = sin x + cos x
3π x = 2 kπ , k ∈ Z时,ymin = 2 4 x = 2 kπ +
π
4
, k ∈ Z时,ymax = 2
一次型
(4) y = sin x + cos x + sin x cos x
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数和余弦函数图像和性质
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1 、复习（ 1 ）函数的观点在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数会合 D 内的每一个确立的值，依据某个对应法例f， y 都有独一确立的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作y f x ，x D 。
（ 2 ）三角函数线设随意角的极点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆订交于点P( x, y)，过P 作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0) 作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延伸线（当为第二、三象限角时）订交于T .规定：当OM与x 轴同向时为正当，当OM与 x 轴反向时为负值；当MP与y 轴同向时为正当，当MP 与y 轴反向时为负值；当 AT与y 轴同向时为正当，当AT 与y 轴反向时为负值；依据上边规定，则OM x , MP y ,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：sin y yMP ；ry1cos x xOM ；rx1tany MP ATAT ；x OM OA这几条与单位圆相关的有向线段MP ,OM , AT 叫做角的正弦线、余弦线、正切线。
二、讲解新课【问题驱动 1 】——联合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦 )为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值 )之间能否也存在一种函数关系？若存在，请对这类函数关系下一个定义；若不存在，请说明原因．1、正弦函数、余弦函数的定义（ 1）正弦函数：y sin x, x R ；（ 2）余弦函数： y cos x, x R【问题驱动 2 】——怎样作出正弦函数y sin x, x R 、余弦函数 y cos x, x R 的函数图象？2 、正弦函数y sin x, x R 的图像（ 1） y sin x, x0,2的图像【方案 1 】——几何描点法步骤 1 ：平分、作正弦线——将单位圆平分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤 2 ：描点——平移定点，即描点x,sin x ；步骤 3 ：连线——用圆滑的曲线按序连接各个点小结：几何描点法作图精准，但过程比较繁。
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案第一章：正弦函数的定义与图象1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图象1.2 教学内容正弦函数的定义：正弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。
正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
1.3 教学活动讲解正弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制正弦函数的图象，并观察其特点。
1.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第二章：余弦函数的定义与图象2.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图象2.2 教学内容余弦函数的定义：余弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。
余弦函数的图象：余弦函数的图象也是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
2.3 教学活动讲解余弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制余弦函数的图象，并观察其特点。
2.4 作业与练习让学生完成一些关于余弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第三章：正弦函数和余弦函数的性质3.1 教学目标了解正弦函数和余弦函数的性质3.2 教学内容正弦函数和余弦函数的周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。
正弦函数和余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正弦函数和余弦函数的单调性：正弦函数和余弦函数在一个周期内都是先增后减。
3.3 教学活动讲解正弦函数和余弦函数的性质，并通过实际例子进行解释。
让学生通过观察图象，总结正弦函数和余弦函数的性质。
3.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数和余弦函数性质的练习题，包括选择题和解答题。
第四章：正弦函数和余弦函数的应用4.1 教学目标能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题4.2 教学内容正弦函数和余弦函数在物理学中的应用：正弦函数和余弦函数可以用来描述简谐运动，如弹簧振子的运动。
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质(3)
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质（3）1、求下列函数的最小正周期（1）sin cos y x x = （2）sin cos y x x =-（3）2cos y x = （4）sin(2)sin 23y x x π=-+（5）2sin 3cos y x x =+（6）3cos()cos 2y x x π=-（7）2sin cos cos y x x x =+（8）66sin cos y x x =+（9）1()tan cot f x x x =+（10）sin y x =2、求证：2π是函数sin cos y x x =+的一个周期3、证明：π是函数cos(sin )y x =的一个周期4、已知函数()sin ,6xf x x Z π=∈，（1）求()y f x =的最小正周期； （2）求(1)(2)(3)(2013)f f f f ++++ 的值。
5、求函数4422sin cos sin cos ()2sin 2x x x x f x x++=-的最小正周期，最大值和最小值6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质（3）（答案）1、解：（1）1sin cos sin 22y x x x ==，则最小正周期为π（2）sin cos )4y x x x π=-=-，则最小正周期为2π （3）21cos 2cos 2x y x +==，，则最小正周期为π（4）1sin(2)sin 22sin 2sin 232y x x x x x π=-+=-+12sin 2sin(2)23x x x π=+=+，则最小正周期为π（5）32sin 3cos arctan )2y x x x =+=+，则最小正周期为2π（6）31cos()cos sin cos sin 222y x x x x x π=-=-=-，则最小正周期为π（7）211cos 21sin cos cos sin 2)22242x y x x x x x π+=+=+=++，则最小正周期为π（8）66224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )y x x x x x x x x =+=+-+ 422422222sin sin cos cos (sin cos )3sin cos x x x x x x x x =-+=+-2331cos 4531sin 21cos 444288x x x -=-=-⋅=+，则最小正周期为2π （9）221sin cos 1()sin 2tan cot sin cos 2x x f x x x x x x ===++，则最小正周期为π （10）最小正周期为π2、证：设()sin cos f x x x =+ 则()sin()cos()cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x πππ+=+++=+-=+= 所以2π是函数sin cos y x x =+的一个周期3、解：设()cos(sin )f x x =则()cos(sin())cos(sin )cos(sin )()f x x x x f x ππ+=+=-==所以π是函数cos(sin )y x =的一个周期4、解：（1）2126T ππ==，所以()y f x =的最小正周期为12（2）(1)(2)(3)(4)(5)(6)(12)0f f f f f f f +++++++=所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0,()f k f k f k f k f k f k k Z +++++++++++=∈则(1)(2)(3)(2013)(1)(2)(3)(9)((10)(11)(1`2))f f f f f f f f f f f ++++=++++=-++5111(sin sin sin 2)362πππ=-++= 5、解：442222sin cos sin cos 1sin cos ()2sin 22(1sin cos )x x x x x x f x x x x ++-==-- 111(1sin cos )sin 2242x x x =+=+ 所以()f x 的最小正周期为π，最大值为34，最小值为14。
高一数学复习知识讲解课件62 正弦函数、余弦函数的性质(第3课时) 综合应用
5.4.2正弦函数、余弦高一数学复习知综合应余弦函数的性质(第3课时)
复习知识讲解课件
综合应用
探究1 形如y ＝a sin 2
x ＋b sin x ＋c 设t ＝sin x ，从而转化为二次函数在给定区间
(a ≠0)的函数的处理思路是：利用换元法定区间上的最值问题．
探究2 正弦曲线、余弦曲线的对称轴高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线弦值为0.考查了整体代换的数学思想．
对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦弦曲线与x 轴的交点，即此时的正弦值、余
探究3 整体研究三角函数的性质时性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域
质时，我们要从函数的定义域、图象、周期
值域等几个方面综合考虑．
自 助 餐
探究探究 已知三角函数单调区间求参数范子集法：求出原函数的相应单调区间等式
(组)求解． 参数范围的方法：
区间，由已知区间是该区间的子集，列不。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对称性
x k
对称中心： (k , 0)
2
x k 2 对称中心： (k , 0)
对称轴：
2
y
1
2
o
1
2
3
4
x
解： f ( x) sin x cos x
2 2 2( sin x cos x) 2 2
2 sin( x ) 4
T 2
(3) f ( x) sin x 3sin x cos x
2
解： f ( x) sin 2 x 3 sin x cos x
1 cos 2 x 3 sin 2 x 2 2 1 3 1 2 sin 2 x cos 2 x (4) f ( x) 2 22x sin 2x cos 2 3cos2 2 x 2sin x 2
. o
1
.
2
.
对称轴：
2 对称中心： (k ,0) (k Z )
x k
3 2
.
2
.
x
(k Z )
（2）余弦函数 y cos x, ( x R) 是否是轴 对称图形？ 是否是中心对称图形？
y
1●
●
o
1
● 2
●
3 2
●
2
x
x k (k Z ) 对称中心： (k , 0) (k Z ) 2
值时，都有 f ( x + T ) = f ( x) 成立，那么函数 f ( x)叫做周期函数。T 叫做函数 f ( x) 的周期。 思考：正弦函数是周期函数吗？周期是什么？
sin( x + 2kp ) = sin( x) (k
∴正弦函数
Z)
y = sin x, x
R 是周期函数,
2kp 是它的周期。k
正弦函数和余弦函数的 图像与性质（三）
正弦函数、余弦函数的定义 复习1： 正弦函数： y = sin x, ( x Î R) 余弦函数：
y = cos x, ( x Î R)
y
1
.
2
0,2 上的正弦函数
o
.
.
1
3 2
和余弦函数的图像。 y
1●
●
.
2
.
x
●
o
1
●
2
3 2
●
2
最小正周期： 2
最小正周期： 2
sin( x) sin x
偶函数
cos( x) cos x
, 2k 递增区间： 2k ,2k 2 2 递减区间： k , 2k 3 递减区间： 2k ,2k 2 2 2
f ( x) 2sin(2 x ) 2sin(2 x 2 ) 6 6 2sin 2( x ) f ( x ) 6 T
结论：
函数 f ( x) A sin( x ) 的最小正周期 2 是_______。 ( A 0, 0)
所以：________是 2k
(k Î Z )
y = cos x 的周期； 其中存在一个最小的正数，当_______时， k=1 ____是 y = cos x 的最小正周期。 2
例1： 求下列函数的最小正周期：
(1) f ( x) 2sin 3x
解： f ( x) 2sin 3x 2sin(3x 2 )
1. 定义域：
y = cos x ( x
xÎ R
R)
2. 值域：
当
y ? [ 1,1]
x 2k (k Z ) 时，
ymax 1
当
x 2k (k Z ) 时， ymin 1
新课
3. 周期性： 定义：
周期函数：对于函数 f ( x) ，如果存在一个常 数 T (T 0) ，使得当 x 取定义域 D内的任意
函数 f ( x) A cos( x ) 的最小正周期 2 是________。 ( A 0, 0) 函数 f ( x) A sin( x ) 的最小正周期 2 是_______。 ( A 0, 0) | |
练习： （口答）根据上述的结论，说出下列函数的
对称轴：
y sin x
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
y cos x
R
1,1
2k
奇函数
x 2 k x 2 k
R
, ymax 1 , ymin 1
2 2
1,1
2k
x 2k , ymax 1
x 2k , ymin 1
的周期？ 为什么？ 练习：书P-88 练习 6.1（3）
4. 奇偶性： 由诱导公式：
sin(- x) = - sin( x) ？
奇函数
可以判断正弦函数的奇偶性为：
证明：对于 R 中的每一个 x ，都有 f (- x) = sin(- x) = - sin( x) = - f ( x)
所以
f ( x) = sin x 是 奇函数。
T 2
例2： 求下列函数的最小正周期： 1 2 (1) f ( x) sin (2 x) 2 1 1- cos 4 x 1 2 解： f ( x) = sin (2 x) = 2 2 2 1 1 T = - cos 4 x + 2 4 4
(2) f ( x) sin x cos x
1 1 cos 4 x sin 4 x 2 2 2 1 5 (sin 4 x cos 4 x) 2 2
2 5 sin(4 x ) 2 4 2
T
2
思考：
2 sin sin 能否成立？ 6 6 3
2 如果能成立，那么 是不是 y sin x 3
最小正周期：
(1) f ( x) 3 sin (2) f ( x) sin( x ) 2 3 6 (3) f ( x) 2 cos(
3
3 x)
1 (4) f ( x) cos ( x ) 2
2 T 3
2 2 2sin 3( x ) f (x ) 3 3 2 x T (2) f ( x) 3cos 3
解： f ( x) 3cos
x x 3cos 2 2 3 2 3 f ( x 4 ) 1 3cos ( x 4 ) 3 T 4 2
¹ 0
3. 周期性：
最小正周期：对于一个周期函数 f (x) 来说， 如果在所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做这个函数 f (x) 的最小正周期.
\ 2p 是 y = sin x 的最小正周期。
即：
T 2
触类旁通：
cos x cos( x 2k ) _______
递增区间： [2k , 2k ] (k R)
1 2
3 2 5 3
2
2
7 2
4
x
递减区间： [2k , 2k ] (k R)
6. 对称性： 思考：
（1）正弦函数 y sin x, ( x R) 是否是轴
对称图形？ 是否是中心对称图形？
y
1
2
3
(3) f ( x) 2sin(2 x ) 6 解：
(4) f ( x) A sin( x ) ( A 0, 0) 解： f ( x) A sin( x ) A sin( x 2 ) 2 f ( x 2 ) A sin ( x ) 2 T
由诱导公式：
cos(- x) = cos( x) ？
偶函数
可以判断余弦函数的奇偶性为：
事实上，也可以由它们的图像得到奇偶性。
4. 单调性： 由图像可得：
y
1
2 3 2 2
o
正弦函数： y = sin x ( x R) 递增区间： [2k ,2k ] (k Z ) 2 2 3 递减区间： [2k , 2k ] (k Z ) 2 2 余弦函数： y = cos x ( x R)
x
复习2：
正弦函数、余弦函数的定义域和值域 正弦函数：
1. 定义域： 2. 值域： 当 当
y = sin x ( x
xÎ R
R)
x 2k x 2k
y ? [ 1,1] 时， y
2 (k Z ) 2
max
1
(k Z ) 时， ymin 1
复习2：
正弦函数、余弦函数的定义域和值域 余弦函数：
1 sin(2 x ) 2 6
T
(4) f ( x) 2sin 2 2x sin 2x cos 2x 3cos2 2 x
解： f ( x) 2sin 2 2 x sin 2 x cos 2 x 3cos2 2 x
sin 2 x cos 2 x cos2 2 x 2