工程力学材料力学应力状态分析计算与强度理论
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工程力学-材料力学部分总结
5. 梁弯曲变形计算
（1）积分法
EIz EIz M dx C
EIz Mdx dx Cx D
（2）叠加法
边界条件确定
约束条件 光滑连续条件
作图规律
无外力段 外
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力 集中力偶
P
m
c
c
水平直线
Q Q>0 图Q 特
Q<0
Q
上升直线
下降直线
自左向右, 突变与P同
2
( 3
Q
Q
Q Q1
征
X
X
X
X
X
c
Q2
Q1-Q2=P
M 上升直线 下降直线 开口向上曲线 开口向下曲线 M 转折
图M
M
M
M
M
特
征
X
X
X
X
cX
无变化
Q
X
c
自左向右, 突变与M同
M M1
cX
M2 M1-M2=m
6 静不定问题 （1）静不定问题的求解步骤
判断系统静不定的次数
建立变形协调方程 力与变形间的物理关系
EIz
y My EIz
max
max
M max
Wz
FS max
S
z
Izb
w w max
max
1. 一些基本概念
（1）变形固体的四个基本假设及其作用
（2）应力、应变的概念
应力 正应力σ 切应力τ
应变
线应变ε 切应变γ
（3）内力分析的截面法及其求解步骤
2. 一些基本定理
45
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
工程力学第9章 应力状态与强度理论
27
根据广义胡克定律，有
解 （1）m-m 截面的内力为：
（2）m-m 截面上 K 点的应力为：
28
29
30
9.5 强度理论
9.5.1 强度理论的概念 在第7章中介绍了杆件在基本变形情况下的强度计 算，根据杆件横截面上的最大正应力或最大切应力及相 应的试验结果，建立了如下形式的强度条件：
31
32
33
（2）第二强度理论———最大伸长线应变理论
34
（3）第三强度理论———最大切应力理论
35
（4）第四强度理论———最大形状改变比能理论
36
37
（2）校核正应力强度
（3）校核切应力强度
38
（4）按第三强度理论校核 D 点的强度
39
思考题 9.1 某单元体上的应力情况如图9.18所示，已知 σx=σy。试求该点处垂直于纸面的任意斜截面上的正应力、 切应力及主应力，从而可得出什么结论？
6
9.2.1 方位角与应力分量的正负号约定 取平面单元体位于Oxy平面内，如图9.5（a）所示。 已知x面（外法线平行于x轴的面）上的应力σx及τxy，y 面上的应力σy及τyx。根据切应力互等定理，τxy=τyx。现 在为了确定与z轴平行的任意斜截面上的应力，需要首 先对方位角α以及各应力分量的正负号作如下约定：
10
11
9.2.3 平面应力状态下的主应力 与极值切应力由式（9.1）和式（9.2）可知，当σx， σy和τxy已知时，σα和τα将随α的不同而不同，即随斜截面 方位不同，截面上的应力也不同。因而有可能存在某种 方向面，其上之正应力为极值。设α=α0时，σα取极值。 由
12
13
14
15
16
工程力学第11章 应力状态和强度理论
而最大正应力的方位角α0则可由下式确定
式中, 负号表示由x面到最大正应力作用面沿顺时针方向旋转。 因为 tan2α0=tan(180°+2α), 所以式(11-4) 给出两个相差90°的 α0 角, 即α0和 α0'=90°+α0(或α'0=α0-90°), 即这两个面互相垂直。 考虑到图11-8a中A、 B两点位于应力圆上同一直径两端, 即最大正应力所在截面和最小正应力所在截 面互相垂直 , 所以式 (11-4) 所求两个 α0 值即是 A 、B 两点所代表截面的方向。 它们之间的对应关系可以利用下述规则来确定 : 在 α0 和 α0+90°两个方向中 , σmax的方向总是在τx所指向的那一侧。 所以, 最大和最小正应力所在截面的方 位如图11-8b所示。 从图11-8a中还可以看出, 应力圆上存在K、M两个极值点, 由此得单元体在平 行于z轴的截面中最大和最小切应力分别为
11.2.2 平面应力状态分析的图解法
由式(11-1)和(11-2)可知, 任一斜截面α上的正应力σα和切应力τα均随参量α变 化。 所以σα和τα间必有确定的函数关系。 为建立它们间直接关系式, 先将式 (11-1)和式(11-2)改写为
式(c)、式(d)两边平方相加, 即有
从式(e)可以看出, 在以τ、σ为纵横坐标轴的平面内, 式(e)所对应的曲线为圆 (图11-5), 其圆心C的坐标为 , 半径为 , 而圆上任何一点的 纵、横坐标分别代表了单元体上某斜截面上的切应力和正应力。 此圆称为应力 圆。 并按以下步骤绘制应力圆。
的构件, 则必须研究危险点处的应力状态。 所谓一点的应力状态, 就是通过受 力构件内某一点的各个截面上应力情况。 由于构件内的应力分布一般是不均匀的, 所以在分析各个不同方向截面上的应 力时, 不宜截取构件的整个截面来研究, 而是围绕构件中的危险点截取一单元体 来分析, 以此来反映一点的应力状态。 例如, 螺旋桨轴工作时既受拉、又受扭 (图11-1a),若围绕轴表面上一点用纵、横截面截取单元体, 其应力情况如图 11-1b所示, 即处于正应力和切应力的共同作用下; 又如, 在导轨和车轮的接触 处(图11-2a), 单元体A除在垂直方向直接受压外, 由于其横向变形受到周围材 料的阻碍, 因而侧向也受到压力作用, 即单元体A处于三向受压状态。 显然, 要解决这类构件的强度问题, 除应全面研究危险点处各截面的应力外, 还 应研究材料在复杂应力作用下的破坏规律。 前者为应力状态理论的任务, 后者 则为强度理论所要研究的问题。
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
材料力学第六章 应力状态理论和强度理论
单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为： 单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态（空间应力状态） 、三向应力状态（空间应力状态） 定义：三个主应力均不为零。 定义：三个主应力均不为零。 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点 的单元体 的单元体， 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体， 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明， 前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度 如果危险点既有正应力，又有切应力， 条件？ 条件？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素： 一点的应力状态的四要素： ）、应力作用点的坐标 （1）、应力作用点的坐标； ）、应力作用点的坐标； ）、过该点所截截面的方位 （2）、过该点所截截面的方位； ）、过该点所截截面的方位； ）、应力的大小 （3）、应力的大小； ）、应力的大小； ）、应力的类型 （4）、应力的类型。 ）、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， ）、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单， 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
工程力学第八章 应力应变分析 强度理论
第八章 应力状态分析与强度理论
第八章 应力状态分析与强度理论
§8-1 概述 §8-2 平面应力状态下的应力分析
§8-3 空间应力状态分析简介
§8-4 广义胡克定律 §8-5 强度理论
§8-1 概
一、应力状态的概念
述
研究拉压、剪切、扭转、弯曲等基本变形构件的强度问题 时已经知道，这些构件横截面上的危险点处只有正应力或切应 力，相应的强度条件为
c. 若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向 应力状态是最复杂的应力状态。
2 1
3 1
3 2
§8-2 平面应力状态下的应力分析 §8.2.1 平面应力状态应力分析的解析法
平面应力状态的普遍形式如图所示 。单元体上有x ,xy 和 y , yx
一、斜截面上的应力
y x
πD F p 4
′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
π
三、点的主应力与应力状态的分类
1、主单元体 主平面 主应力 主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体 主平面 主应力 切应力为零的截面 主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
y
n
A
y
x
t
第八章 应力状态分析与强度理论
§8-1 概述 §8-2 平面应力状态下的应力分析
§8-3 空间应力状态分析简介
§8-4 广义胡克定律 §8-5 强度理论
§8-1 概
一、应力状态的概念
述
研究拉压、剪切、扭转、弯曲等基本变形构件的强度问题 时已经知道，这些构件横截面上的危险点处只有正应力或切应 力，相应的强度条件为
c. 若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向 应力状态是最复杂的应力状态。
2 1
3 1
3 2
§8-2 平面应力状态下的应力分析 §8.2.1 平面应力状态应力分析的解析法
平面应力状态的普遍形式如图所示 。单元体上有x ,xy 和 y , yx
一、斜截面上的应力
y x
πD F p 4
′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
π
三、点的主应力与应力状态的分类
1、主单元体 主平面 主应力 主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体 主平面 主应力 切应力为零的截面 主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
y
n
A
y
x
t
工程力学材料力学之应力应变状态分析
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0
7工程力学(下)—应力状态和强度理论1
σα =
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
7.2 平面应力状态
对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为 对于斜截面的切线 参考轴列平衡方程为 ΣFt = 0, τ α d A − (σ x d A cos α ) sin α − (τ x d A cos α ) cos α + (σ y d A sin α ) cos α
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α −τ x sin 2α
τα =
σ x −σ y
2
sin2α +τ x cos2α
2 求正应力的极值
σ x −σ y dσ α = −2[ sin 2α + τ x cos 2α ] = 0 令: dα 2
比较可知, 极值正应力所在的平面, 比较可知 极值正应力所在的平面 就是切应力 τα为零的平面。这个切应力等于零的平面 叫做 为零的平面。这个切应力等于零的平面, 主平面, 主平面上的正应力, 叫做主应力。也就 主平面 主平面上的正应力 叫做主应力。 主应力 是说, 在通过某点的各个平面上, 是说 在通过某点的各个平面上 其中的最大正 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 表示主平面的法线n与 轴间的夹角 轴间的夹角, 以α0表示主平面的法线 与x轴间的夹角 由上式 可得 −2τ x tan 2α 0 = σ x −σ y
σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − 2τ x sin α cos α
又由三角关系: 又由三角关系
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ηα= ζx - ζy 2 sin2α +ηxcos2α
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二、应力圆 ζα= ηα=
ζx +ζy
2 ζx -ζy 2 =
+
ζx -ζy
2
cos2α
-ηxsin2α
sin2α
ζx -ζy
+ηxcos2α cos2α
sin2α
ζα-
ζx +ζy
2
ηα=
2 ζx -ζy
2
-ηxsin2α
=OC+CB1cos2α-B1D1sin2α
=
ζx +ζy
2
+
ζx -ζy 2
cos2α -ηxsin2α =ζα
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η
E
B2 O F 2α C
EF =CEsin(2α0+2α) =CD1sin(2α0+2α)
D1 2α0 B1 σ
D2
=CD1sin2α0cos2α+CD1cos2α0sin2α
D1 60o
E1 O D2
120o C
D1 (60,40)
D2 (30,40)
E2
σ
30o 72.14MPa 30o 18.97MPa
60o 42.14MPa 60o 18.97MPa
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23.5
例 如图所示单元体，试用应力圆确定α=-30o截面上的正应力和 切应力。
ζ3
点a F
ζ3
ζ3 ζ1 q 点 b α0 ζ 3 ζ1 ζ3
A
a c b d e
பைடு நூலகம்m B
m
点c α0 =45o ζ3 ζ1 ζ1 ζ3 点d
ζ1
ζ1
点e
ζ1
ζ3
ζ1
α0
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二、梁的主应力迹线的概念
主应力迹线是两组正交的曲线：其中一组曲线是主拉应力迹线， 在这些曲线上，每点的切线方向表示该点的主拉应力方向；另 一组曲线是主压应力迹线，在这些曲线上，每点的切线方向表 示该点的主压应力方向。
+ηxcos2α
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
) x
2
2
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(
x y
2
) (
2 2
x y
2
) x
2
2
圆的方程
圆心： （
ζx +ζy 2 ζ x -ζy
，0 ）
2 + η ） x 2
x A cos cos x A cos sin 0
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第23次课结束处
Fin=0 A y Asin sin y Asin cos
x A cos cos x A cos sin 0
ζα = ζx +ζy 2 + ζx - ζy 2
e
cos2α -ηxsin2α
ζx ηx
α
η α ζα
α
n
t
Fit=0
b
ζy
ηy
f
A y A sin cos y A sin sin
x A cos sin x A cos cos 0
=B1D1cos2α+C1B1sin2α ζx -ζy sin2α +ηxcos2α = η α = 2
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η
E
B2 O D2 F 2α C
应力圆重点：
D1 2α0 B1 σ
点面对应 转向对应
2倍角对应
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例： ζx=60MPa
ζy=-30MPa
45o滑移线
横截面断开
F ζ
45o
η' ζ
ζ'
拉中有剪
ζ
F
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低碳钢 扭转试验： 铸铁
横截面断开 45o螺旋面断开
T
T
η
45o
η' η η
ζ' 剪中有拉
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应力的三个重要概念： 点的概念 面的概念 应力状态的概念 应力正负号规则： 正应力——拉为正，压为负 切应力——顺时针转向为正，逆时针为负
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拟第24次课结束处
特点： 1.主拉、主压应力迹线正交 2.中性层处（纯切应力状态）主应力迹线与轴线成±45o。 3.剪力为零的截面上（单向应力状态），主应力迹线与轴线平 行或正交 4.梁顶或梁底（单向应力状态），主应力迹线与轴线平行或正交
平面应力 状态 空间应 力状态
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工字形截面各点应力状态：
1 ζ 点1：
ζ1
ζ2 η2
单向应力状态
2 ζ 点2：
二向应力状态 纯切应力状态
1 2
5
z
点5：
3 4
η5
点 3 ： ζ3
ζ3 η3
ζ4
二向应力状态
点 4 ： ζ4
单向应力状态
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低碳钢 拉伸试验： 铸铁
D2
A2 C D1 O A1
2 0
σ
2α0
3 7.24MPa
2 0 135o
0 67.5o
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思考题： 一个单元体中最大正应力所在面上的切应力是否 一定为零？最大切应力所在面上的正应力是否也一 定为零？
η
D2
A2
C D1
O
2α0
A1
σ
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例
分析单向受拉杆件中任一点的应力状态
F
F
η
E
ζ
45o
ζ
D2 O
C
D1
σ
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例
分析受扭圆轴表面任一点的一应力状态
T
T
D1
η
η
45o
C
O
σ
η
D2
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§12-3
梁的主应力和主应力迹线的概念
m a b c d e
一、梁的主应力
( ζ3 ) ζ a
F
ηy a ζx e ηx b
ζy
c ηx ζ x α
n
ζy
η
E
f d ηy
2α C
D1
O D2
σ
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圆心C
1 OC= 2 (OB1+OB2) 1 = (ζx +ζy) 2
O
η
E
B2 2α C B1
D1
半径CD1 或CD2
σ
D2
CD1=
√
2 CB1
2 +B1D1 2
=
√
（
另一个主应力
3 0
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2）主平面方向 D1代表x面， D2代表y面， 根据2倍角关系，x面顺时针转 α0角到第一主平面位置。
为什么加负号？
η
D1
A2 B2 O C 2α0 B1 A1
σ
D2
tan(-2 α0)=
或
ηx ζx -ζy
2
=
2ηx ζx -ζ y
也可以根据任意方向面上的 应力公式求解。怎样求解？
tan(2 α0) =
-2ηx ζx -ζy
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例
求图示单元体主应力的大小和主平面的位置。
3MPa
x 6MPa
6MPa
y 0
x 3MPa
解： 1.公式法
1
x y
2
(
x y
2
)2 x
2
3 3 2 1.24MPa
ζx -ζy 2
2 + η ） x
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圆上与α截面对应的E点。 OF= ζα
η
E B2 O D2 2α F C
EF= ηα
OF= OC- CF
D1 2α0 B1 σ
=OC+CEcos(2α0+2α)
=OC+CD1cos(2α0+2α)
=OC+CD1cos2α0cos2α-CD1sin2α0sin2α
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主平面（principal plane）：
单元体中没有切应力的截面。 主应力（principal stress）： 主平面上的正应力。
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应力状态分类： 单向应力状态： 一个主应力不为零的应力状态
二向应力状态： 两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态
3
x y
2
(
x y
2
) 2 x 3 3 2 7.24MPa
2
2 0
HOHAI UNIVERSITY 3MPa
1 0 67.5o
6MPa
x 6MPa
y 0
3
2 x 6 2 (3) tan( 2 0 ) 1 x y 6 6
半径： （
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二、应力圆 ζα= ηα=
ζx +ζy
2 ζx -ζy 2 =
+
ζx -ζy
2
cos2α
-ηxsin2α
sin2α
ζx -ζy
+ηxcos2α cos2α
sin2α
ζα-
ζx +ζy
2
ηα=
2 ζx -ζy
2
-ηxsin2α
=OC+CB1cos2α-B1D1sin2α
=
ζx +ζy
2
+
ζx -ζy 2
cos2α -ηxsin2α =ζα
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η
E
B2 O F 2α C
EF =CEsin(2α0+2α) =CD1sin(2α0+2α)
D1 2α0 B1 σ
D2
=CD1sin2α0cos2α+CD1cos2α0sin2α
D1 60o
E1 O D2
120o C
D1 (60,40)
D2 (30,40)
E2
σ
30o 72.14MPa 30o 18.97MPa
60o 42.14MPa 60o 18.97MPa
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23.5
例 如图所示单元体，试用应力圆确定α=-30o截面上的正应力和 切应力。
ζ3
点a F
ζ3
ζ3 ζ1 q 点 b α0 ζ 3 ζ1 ζ3
A
a c b d e
பைடு நூலகம்m B
m
点c α0 =45o ζ3 ζ1 ζ1 ζ3 点d
ζ1
ζ1
点e
ζ1
ζ3
ζ1
α0
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二、梁的主应力迹线的概念
主应力迹线是两组正交的曲线：其中一组曲线是主拉应力迹线， 在这些曲线上，每点的切线方向表示该点的主拉应力方向；另 一组曲线是主压应力迹线，在这些曲线上，每点的切线方向表 示该点的主压应力方向。
+ηxcos2α
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
) x
2
2
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(
x y
2
) (
2 2
x y
2
) x
2
2
圆的方程
圆心： （
ζx +ζy 2 ζ x -ζy
，0 ）
2 + η ） x 2
x A cos cos x A cos sin 0
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第23次课结束处
Fin=0 A y Asin sin y Asin cos
x A cos cos x A cos sin 0
ζα = ζx +ζy 2 + ζx - ζy 2
e
cos2α -ηxsin2α
ζx ηx
α
η α ζα
α
n
t
Fit=0
b
ζy
ηy
f
A y A sin cos y A sin sin
x A cos sin x A cos cos 0
=B1D1cos2α+C1B1sin2α ζx -ζy sin2α +ηxcos2α = η α = 2
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η
E
B2 O D2 F 2α C
应力圆重点：
D1 2α0 B1 σ
点面对应 转向对应
2倍角对应
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例： ζx=60MPa
ζy=-30MPa
45o滑移线
横截面断开
F ζ
45o
η' ζ
ζ'
拉中有剪
ζ
F
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低碳钢 扭转试验： 铸铁
横截面断开 45o螺旋面断开
T
T
η
45o
η' η η
ζ' 剪中有拉
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应力的三个重要概念： 点的概念 面的概念 应力状态的概念 应力正负号规则： 正应力——拉为正，压为负 切应力——顺时针转向为正，逆时针为负
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拟第24次课结束处
特点： 1.主拉、主压应力迹线正交 2.中性层处（纯切应力状态）主应力迹线与轴线成±45o。 3.剪力为零的截面上（单向应力状态），主应力迹线与轴线平 行或正交 4.梁顶或梁底（单向应力状态），主应力迹线与轴线平行或正交
平面应力 状态 空间应 力状态
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工字形截面各点应力状态：
1 ζ 点1：
ζ1
ζ2 η2
单向应力状态
2 ζ 点2：
二向应力状态 纯切应力状态
1 2
5
z
点5：
3 4
η5
点 3 ： ζ3
ζ3 η3
ζ4
二向应力状态
点 4 ： ζ4
单向应力状态
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低碳钢 拉伸试验： 铸铁
D2
A2 C D1 O A1
2 0
σ
2α0
3 7.24MPa
2 0 135o
0 67.5o
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思考题： 一个单元体中最大正应力所在面上的切应力是否 一定为零？最大切应力所在面上的正应力是否也一 定为零？
η
D2
A2
C D1
O
2α0
A1
σ
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例
分析单向受拉杆件中任一点的应力状态
F
F
η
E
ζ
45o
ζ
D2 O
C
D1
σ
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例
分析受扭圆轴表面任一点的一应力状态
T
T
D1
η
η
45o
C
O
σ
η
D2
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§12-3
梁的主应力和主应力迹线的概念
m a b c d e
一、梁的主应力
( ζ3 ) ζ a
F
ηy a ζx e ηx b
ζy
c ηx ζ x α
n
ζy
η
E
f d ηy
2α C
D1
O D2
σ
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圆心C
1 OC= 2 (OB1+OB2) 1 = (ζx +ζy) 2
O
η
E
B2 2α C B1
D1
半径CD1 或CD2
σ
D2
CD1=
√
2 CB1
2 +B1D1 2
=
√
（
另一个主应力
3 0
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2）主平面方向 D1代表x面， D2代表y面， 根据2倍角关系，x面顺时针转 α0角到第一主平面位置。
为什么加负号？
η
D1
A2 B2 O C 2α0 B1 A1
σ
D2
tan(-2 α0)=
或
ηx ζx -ζy
2
=
2ηx ζx -ζ y
也可以根据任意方向面上的 应力公式求解。怎样求解？
tan(2 α0) =
-2ηx ζx -ζy
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例
求图示单元体主应力的大小和主平面的位置。
3MPa
x 6MPa
6MPa
y 0
x 3MPa
解： 1.公式法
1
x y
2
(
x y
2
)2 x
2
3 3 2 1.24MPa
ζx -ζy 2
2 + η ） x
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圆上与α截面对应的E点。 OF= ζα
η
E B2 O D2 2α F C
EF= ηα
OF= OC- CF
D1 2α0 B1 σ
=OC+CEcos(2α0+2α)
=OC+CD1cos(2α0+2α)
=OC+CD1cos2α0cos2α-CD1sin2α0sin2α
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主平面（principal plane）：
单元体中没有切应力的截面。 主应力（principal stress）： 主平面上的正应力。
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应力状态分类： 单向应力状态： 一个主应力不为零的应力状态
二向应力状态： 两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态
3
x y
2
(
x y
2
) 2 x 3 3 2 7.24MPa
2
2 0
HOHAI UNIVERSITY 3MPa
1 0 67.5o
6MPa
x 6MPa
y 0
3
2 x 6 2 (3) tan( 2 0 ) 1 x y 6 6
半径： （