海南省高三数学5月模拟试题理

EDCA B第5题第1题图海南省2015年高考模拟测试题理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.)1、若i 为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z ，则复数12zi -的共轭复数是A ．35i - B. i - C ．35iD ．i2、能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两 部分的函数称为圆O 的“和谐函数”,下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是A ．3()4f x x x =+B ．()x xf x e e-=+ C ．()tan2x f x = D ． 5()15xf x nx -=+3、若函数)0,0(1)(>>-=b a e b x f ax 的图象在0x =处的切线与圆122=+y x 相切,则a b +的最大值是A. 4B. 22C. 2D.24、设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是A ．121B ．32C ．2417D ．655、在ABC ∆中，30CAB CBA ∠=∠=，,AC BC 边上的高分别为,BD AE ，则以,A B 为焦点，且过,D E 两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为FEQPD 1C 1B 1A 1DCBA第8题图A. 1B.3 C. 2 D. 236、根据如图所示程序框图，若输入2146m =，1813n =， 则输出m 的值为A. 34B. 37C. 148D.333 7、下列命题，正确的个数是①直线53x π=是函数sin 23cos2y x x =-的一条对称轴②将函数3cos()2y x π=+的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度变为函数sin(2)4y x π=+的图像． ③设随机变量ξ～)9,3(N ，若()0.3P a ξ<=，(3)a <，则(6)0.7P a ξ<-=④101(2)x x -的二项展开式中含有1x -项的二项式系数是210. A. 1 B. 2 C. 3 D. 48、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是A. 点P 到平面QEF 的距离B. 三棱锥QEF P -的体积C. 直线PQ 与平面PEF 所成的角D.二面角Q EF P --的大小 9、已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组31030,10x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则tan AOB ∠ 的最大值等于A ．34B ．57C ．47D ．9410、已知函数()sin f x x π=和函数()cos g x x π=在区间[0,2]上的图像交于,A B 两点，则OAB ∆的面积是第15题图俯视图22侧视图322正视图11BPAA. 328B. 22 C. 528 D. 32411、已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使2112sin sin PF F ePF F ∠=∠，Q 点为直线1PF 上的一点，且13QFPQ =，则221F Q F F ⋅的值为 A ．225 B ．102 C ．52 D ． 5212、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=， ()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是A ．20122012S =-，20127a a >B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a < D ．20122012S =，20127a a <第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13、在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______14、采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________15、某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中PAB ∆的面积为__________.16、若对于定义在R 上的函数()f x ,其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于 “λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②()f x x =不是“λ—EADCB第18题图伴随函数”；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；④“ 21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确的序号是_________（填上所有不正确的结论序号）．三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4232S S =+，22n n a a =，（1）求等差数列{}n a 的通项公式n a .（2）令2221(1)n n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对任意*n N ∈，都有31164n T ≤<. 18. （本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥． （1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EFEA ；若不存在，说明理由．19.（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N 名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人。

（1）求N 的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （2）学校从成绩在[70，100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为12，设成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.第22题图20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为21，椭圆C 的右焦点F和抛物线:G 24y x =的焦点相同. （1）求椭圆C 的方程.（2）如图，已知直线:l 2y kx =+与椭圆C 及抛物线G 都有两个不同的公共点，且直线l 与椭圆C 交于,A B 两点；过焦点F 的直线l '与抛物线G 交于,C D 两点，记OA OB OC OD λ=⋅-⋅，求λ的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对于任意正实数x ，不等式1()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围；（3）是否存在最小的正常数m ，使得：当a m >时，对于任意正实数x ，不等式()()x f a x f a e +<⋅恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.四、选答题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.） 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O Θ的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，F 为BA 延长线上一点，且BF BA BE BD ⋅=⋅，求证： （1）EF FB ⊥；（2）90DFB DBC ∠+∠=︒．23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：2 sin()42tπρθ+=（其中t为常数）.（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当2t=-时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|31| 3.f x x ax=-++（1）若a=1，解不等式()5 f x≤；（2）若函数()f x有最小值，求实数a的取值范围.海南省2015年高考模拟测试题 数学理科卷参考答案 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BDCCBBCAAAD二、填空题13、150 14、0.25 15、7 16、 ① ③ 三、解答题17、解：（1）.设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由4232S S =+，22n n a a =得1111463(2)2(21)2[(1)]a d a d a n d a n d +=++⎧⎨+-=+-⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以*2,n a n n N =∈ ……….6分（2）.因为*2,n a n n N =∈，所以222221111[](1)44(1)n n b n n n n +==-++，则222222211111111[1]422334(1)n T n n =-+-+-++-+=211[1]4(1)n -+.因为*1,n n N ≥∈，所以31164n T ≤<. ……….12分 18、证明：（Ⅰ）取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥． 因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．所以⊥AB 平面EOD ． 所以 ED AB ⊥．……4分 解：（Ⅱ）因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥． 由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -． 所以)1,1,1(-=EC ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =． 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以||3sin |cos ,|3||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉==， 即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33．…8分（Ⅲ）存在点F ，且13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． 证明如下：由 )31,0,31(31--==EA EF ，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=FB ．设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ．因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC // 平面FBD ．…………12分19、解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在区间[90，100]内的频率为0.005100.05⨯=，所以240,0.05N == 利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72.所以，估计这次考试的平均分是72分．由频率分布直方图可知，成绩分布在[70，80]间的频率最大，所以众数的估计值为区间[70，80]的中点值75分 ……………（6分）（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（2）由（1）知，成绩在[70，100]内的学生共有40(0.30.250.05)24⨯++=人，成绩在 [80，90）这一小组的人数有400.02510⨯=人.所以从这一小组中抽出的人数为1210524⨯=人，依题意知1(5,)2B ξ，5555111()()()()222k k k k P x k C C -==⋅=，05511(0)()232P C ξ===，15515(1)()232P C ξ===，255110(2)()232P C ξ===， 355110(3)()232P C ξ===，45515(4)()232P C ξ===，55511(5)()232P C ξ===，所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4 5P132 532 1032 1032 532 132数学期望15522E ξ=⨯=. …………..（12分）20. 解：（1）椭圆的离心率12c a =，抛物线24y x =的焦点为(1,0)，所以椭圆中的1c =，2a =，23b =.所以椭圆的方程为22143x y +=. ……4分（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，3344(,),(,)C x y D x y ，则由221432x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y可得22(34)1640k x kx +++=（①），由221(16)44(34)0k k ∆=-⨯⨯+>解得12k <-或12k >；由242y xy kx ⎧=⎨=+⎩消去y 可得224(1)40k x k x +-+=，由22216(1)160k k ∆=--> 解得12k <，所以12k <-。