中国石油大学线性代数3-2 复习资料

3.2 线性相关性的相关结论
定理1 定理1 向量b能由向量组 A线性表示的充分必要
L 条件是矩阵 A = (α 1，α 2， ,α m )的秩等于矩阵 B = (α 1，α 2， ,α m , b )的秩 . （方程组 Ax = b有解） L 有解）
定理2 定理2
向量组α 1 ,α 2 ,L,α m 线性相关的充分必要
说明 结论（2）是对增加一个分量（ 即维数增加1 结论（ 是对增加一个分量（
维）而言的，若增加多 个分量 , 结论也成立 . 而言的，
定理6 设有两个n维列向量组 定理6 设有两个n A : a1 , a 2 , L , a m； B : b1 , b2 , L , bm
a1 j a2 j 其中 a j = , L a nj a2 j a1 j bj = , L a nj
定理3 定理3 设 向 量 组 A : α 1 , α 2 ,L , α m 线 性 无 关 , 而 向 量 组 B : α 1 , L , α m , b 线 性 相 关 , 则向 量 b 必 能 由 向 量 组
A线 性 表 示 , 且 表 示 式 是 唯 一 的 .
证明 记A = (α1 , α 2 ,L , α m ), B = (α1 , α 2 ,L , α m , b ),
是n阶单位矩阵 . 由 E = 1 ≠ 0，知R( E ) = n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理 2知此
向量组是线性无关的 .
例２ 已知
1 0 2 α 1 = 1 ，α 2 = 2 ，α 3 = 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 α 1，α 2，α 3 及α 1，α 2的线性相关性 .
定理5 定理5
设
a1 j a1 j a2 j a2 j a j = , b j = M , ( j = 1,2,L , m ), M a rj a rj a r + 1, j
若向量组 A：1 , a2 ,L , am线性无关, 则向量组 a B：1 , b2 ,L , bm也线性无关 . 反言之,若向量组 b B线性相关, 则向量组A也线性相关 .
r2 − r1
~
r3 − 2r1 r4 − 2r1
1 1 1 1 r +r 0 1 − 2 − 1 0 −1 2 1 r −r 0 1 − 2 − 1
3 4
~
2 2
1 0 0 0
1 1 − 2 − 1 0 0 0 0 0 0 1 1
j = 1, 2, L , m
的第一、二个分量对调而得， 即向量 b j 是把 a j 的第一、二个分量对调而得， 则向量组A与向量组 的线性相关性相同。 与向量组B的线性相关性相同 则向量组 与向量组 的线性相关性相同。 证明 记 A = ( a1 a2 L am ) , B = ( b1 b2 L bm ) 由于方程组Ax=0与方程组 与方程组Bx=0是同解的，故 是同解的， 由于方程组 与方程组 是同解的 向量组A和 的线性相关性相同 的线性相关性相同。 向量组 和B的线性相关性相同。
条件是它所构成的 矩阵 A = (α 1 ,α 2 ,L,α m )的秩小 于向量个数 m ;向量组线性无关的充分必要条件是 R( A) = m .（齐次方程组 Ax = 0有非零解） 有非零解）
推论1 推论1：n个n维向量线性无关的充要条件是它们 构成的方阵的行列式不等于零。 构成的方阵的行列式不等于零。 推论2 m>n时 维向量一定线性相关。 推论2：m>n时，m个n维向量一定线性相关。
r2 − r1 r3 − r1
~
1 0 2 0 2 2 0 5 5
1 0 2 5 r3 − r2 2 0 2 2 ， ~ 0 0 0
线性相关； 可见R(α 1 ,α 2 ,α 3 ) = 2，向量组 α 1 ,α 2 ,α 3 线性相关； R(α 1 ,α 2 ) = 2,向量组 α 1 ,α 2 线性无关 .
定理4 定理4
若 向量组 A：α 1 , α 2 ,L , α m 线性相关 , 则
向量组 B : α 1 ,L , α m , α m +1 也线性相关 . 反言之 , 若 向量组 B 线性无关 , 则 向量组 A也线性无关 .
证明
记 A = (a1 , L , a m ), B = (a1 , L , a m , a m +1 )，则有
j = 1, 2, L , m
其中 p 1 , p 2 , L , p n 是 1, 2,L , n 这 n 个自然 数的某个确定的排列，则向量组A与向量组 与向量组B的 数的某个确定的排列，则向量组 与向量组 的 线性相关性相同。 线性相关性相同。 定理6及其推论对行向量情形也同样成立 及其推论对行向量情形也同样成立。 注 定理 及其推论对行向量情形也同样成立。
下面举例说明线性相关性讨论的常用方法 方法 总结 （1）定义讨论方法 ） （2）方程组讨论方法 ） （3）矩阵秩的讨论方法 ）
例１ n 维向量组 T T T e1 = (1,0,L,0) , e2 = (0,1,L,0) ,L，en = (0,0,L,1) 称为n 称为 维单位坐标向量组 , 讨论其线性相关性 . 解 n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E = (e1 , e2 ,L , en )
r1 − r2
~
由上面行最简形，可以 看出方程组 Ax = b的通解为 由上面行最简形， − 3c + 2 x = 2c − 1 c
从而有 b = (a1 ,a 2 ,a 3 )x = ( − 3c + 2 )a1 + ( 2c − 1 )a2 + ca3
故方程组只有零解 x1 = x 2 = x 3 = 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
例4
1 1 1 1 − 1 0 1 2 设 a1 = , a 2 = , a 3 = , b = 2 1 4 3 2 3 0 1
总结： 总结： • 改变向量的个数时 少的相关，多的也相关； 少的相关，多的也相关； 多的无关，少的也无关。 多的无关，少的也无关。 • 改变向量的维数时 低维无关，高维也无关； 低维无关，高维也无关； 高维相关，低维也相关。 高维相关，低维也相关。 • 同步改变向量的分量顺序时 线性相关性不变。 线性相关性不变。
有R( A) ≤ R( B ). 因A组线性无关，有R( A) = m; 因B组线性相关，有R( B ) < m + 1. 所以m ≤ R( B )
< m + 1，即有R( B ) = m .
由R( A) = R( B ) = m , 知方程组 (α 1 , α 2 ,L , α m ) x = b 有唯一解， 线性表示， 有唯一解，即向量 b能由向量组 A线性表示，且 表示式唯一 .
解 分析 对矩阵（ ），施行初等行变换变 对矩阵（ α 1，α 2，α 3），施行初等行变换变
可同时看出矩阵（ 成行阶梯形矩阵 , 可同时看出矩阵（ α 1，α 2，α 3） 的秩， 及（α 1，α 2）的秩，利用定理即可 得出结论 .
1 0 2 (α 1 ,α 2 ,α 3 ) = 1 2 4 1 5 7
R( B ) ≤ R( A) + 1.若向量组 A线性相关 , 则根据定理 2， 有R( A) < m ，从而 R( B ) ≤ R( A) + 1 < m + 1, 因此, 根 据定理 2知向量组 B线性相关 .
说明 上述结论可推广为 : 一个向量组若有线性相 关
的部分组， 的部分组，则该向量组 线性相关 . 若一个向量组线性 无关， 无关，则它的任何部分 组都线性无关 .
推论
设有两个 nj a p2 j bj = , L ap j n
A : a1 , a 2 , L , a m ; a1 j a 2j , 其中a j = L a nj
例3
α 已知向量组 1 ,α 2 ,α 3 线性无关, b1 = α1 + α 2 ,
b2 = α 2 + α 3 , b3 = α 3 + α1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关.
证 设有x1 , x2 , x 3使
x1b1 + x2 b2 + x 3 b3 = 0 即 x（α 1 + α 2） x 2 (α 2 + α 3 ) + x 3 (α 3 + α 1 ) = 0, + 1
亦即（ x1 + x 3 )α 1 + ( x1 + x 2 )α 2 + ( x 2 + x 3 )α 3 = 0, 线性无关， 因 α 1，α 2，α 3 线性无关，故有 x 1 + x 3 = 0, x 1 + x 2 = 0, x + x = 0. 2 3
由于此方程组的系数行列式 1 0 1 1 1 0 =2≠0 0 1 1
证明 （2）记Ar×m = (α1 ,Lα m )，B( r +1)×m = (b1 ,L, bm ),
有R( A) ≤ R( B ).若向量组A线性无关, 则R( A) = m， 从而有 R( B ) ≥ m . 但 R( B ) ≤ m (因 B 只有 m 列）， 故R( B ) = m ，因此向量组 B线性无关 .
线性表示， 证明向量 b能由向量组 a1 , a 2 , a 3线性表示，并求表示式 。