24 电阻的Y形联接与 形联接的等效变换
第二章 电阻电路的等效变换
i
＋
… i
＋ －
u
－
K=1，2 ， i
＋ －
u
Reg
u
G1
in Gn
u
－
Geg
分流公式： 分流公式：ik=Gku=Gk/Geg i n=2时，Reg=R1R2/（R1+R2） 时 （ i1=R2/（R1+R2）， 2=R1/（R1+R2）×i ），i （ （ *混联：有串，又有并 混联：有串， 混联 1 R1 R2 R3 R4
对于△ 对于△形，各电阻中电流为：i12=u12/R12 i23=u23/R23 i31=u31/R31 各电阻中电流为：
i ′ =i12-i31=u12/R12-u31/R31 1
i ′2 =u23/R23-u12/R12
i ′3 =u31/R31-u23/R23
i1 + i 2 + i 3 = 0
③
2
2 i31 1 i12
④
2
⑤
i′2
1
1
R2
3
自已补充:R 自已补充 4与1串,R3与2串,然 串 串然 后再并 i2
R4 R3 2
3
i3 2
1
1
2-5
电压源和电流源的串联和并联
＋
1、n个电压源串联：us=∑usk--------等效电压源 、 个电压源串联： 等效电压源 个电压源串联 ＋ － ＋ ○ ○ －○ us1 us2 usn。 。 注：正、负号取 。 。 。 2、n个电流源的并联： 个电流源的并联： 、 个电流源的并联 is1 is=is1+is2+…is=∑isk 。 。
αi
＋ uS － i ＋
电路第2章电阻等效变换
电路
作业：
2.1、4、5 、
7、8
电路
2.5 电压源、电流源的串联和并联
Series and Parallel Sources
一、电压源的串联
二、电压源的并联
三、电流源的并联
四、电流源的串联
五、电压源、电流源及电阻的串联和并联
电路
一、n个电压源的串联 - +uS21 + uS1 + uSn -2
i + iS u -
u u1
电路
讨论题 + 10V -
I 2
2A
I ?
哪 个 答 案 对
10 I 5A 2 10 I 27A 2 10 4 I 3A 2
?
?
?
电阻的三角形联接:将三个电阻 首尾相连，形成一个三角形， 三角形的三个顶点分别与外电 路的三个结点相连。
电路
2.电阻的Y形连接
.
. .
.
.
.
.
. .
.
. .
.
.
星形连接
Y形连接 T形连接
.
电阻的星形联接:将三个电阻的一 端连在一起，另一端分别与外电 路的三个结点相连。
电路
3.电阻的Y形连接与形连接的等效变换
R31R12 R12+R23+R31 R12R23 R2 =R +R 12 23+R31 R3 = R23R31 R12+R23+R31
Y形连接与形连接的等效变换
R1 R2 R2 R3 R3 R1 R12 R3 Y→Δ R R1 R2 R2 R3 R3 R1 23 T→∏ R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R31 R2
高等教育出版社第六版《电路》第2章_电阻电路的等效变换课件
n
顺之者正，逆之者负。
2、串联： is1 is2
isn
is = is1= is2 = isn is
(1)电流相同的电流源能串联，但每个电源中的电压不确定。 (2)电流不相等，则不能串联，否则，违背KCL。 3、电流源is 和R、 us的串联： us is + – + u1 – R 注意：电压变化了。
第二章 电阻电路的等效变换
§2-1 引言
线性电路：由线性无源元件（R、L、C·）、线性受控 · · 源和独立电源组成。 线性电阻电路：由线性电阻、线性受控源和独立电源组成。 直流电路：独立电源为直流电源的线性电阻电路。
§2-2 电路的等效变换
一、等效的概念：
R R R1 §2-2 电路的等效变换 1 1 R2 i + R4 u R _ 3 ,
解：用电源变换法。受控源和独立源一样可以进行电源转换。 R i R _ + uR_ i R + uR + + ic + uc _ uS R _uS _
uc Ric 2 2 uR 4uR
Ri + Ri + uc = us
2uR 4uR us us uR 2V 6 在进行电源变换时，为避免出错控制量一般不要转换掉!
i2
i3
i3
u31 u23 R31 R23
R1u23 R3u12 R1R2 R2 R3 R3 R1 R1R2 R2 R3 R3 R1
R2u31 R1u23 R1R2 R2 R3 R3 R1 R1R2 R2 R3 R3 R1
由Y : R R R2 R3 R3 R1 R12 1 2 R3 R1R2 R2 R3 R3 R1 R23 R1 R R R2 R3 R3 R1 R31 1 2 R2
电阻的Y形联接与△形联接的等效变换
i3
根据等效条件，得Y形
△形的变换结果：
形电导=
Y形相邻电导的乘积 Y形电导之和
Y形电阻=
形相邻电阻的乘积 形电阻之和
验证
R 3rY
电阻的Y形联接与△形联接的 等效变换
电路特点
电阻的三角形联接：三个电阻首尾相连，形成一个三角形， 三角形的三个顶点分别与外电路的三个结点相连，就构成三 角形联接，又称为Δ形联接。 电阻的星形联接：将三个电阻的一端连在一起，另一端分别与 外电路的三个结点相连，就构成星形联接，又称为Y形联接。
• 这两个电路当它们的电阻满足一定的关系 时，是能够相互等效的。 • Y形联接和△形连接都是通过端子1、2、3 与外电路相连的。 • 等效的条件
i1 i1Y , i2 i2Y , i3 i3Y
• 且
u12 u12Y , u23 u23Y , u31 u31Y
对于△形连接电路，各电阻中电流为：
i12 i23 u12 R12
u 23 R23 u31 1
i31
根据KCL，端子电流分别为：
电阻Y和星型接法换算
R31 )
R12 R23 R31
由此 解得
R2 R3
R12 R12
R12 R23 R23
R31
R23 R31
R23 R31
(2 14)
R1
Hale Waihona Puke R12R31 R12 R23
R31
R2
R12
R12 R23 R23
R31
(2 14)
R3
R12
R23 R31 R23
u1 (R1 R3 )i1 R3i2
u2
R3i1
(R2
R3
)i2
(2 11)
u1
R31 (R12 R23 ) R12 R23 R31
i1
R12
R23 R31 R23
R31
i2
u2
R12
R23 R31 R23 R31
i1
R23 (R12 R31 ) R12 R23 R31
uu12
R31i1 R31i12 R31 (i1 i12 ) R23i12 R23i2 R23 (i2 i12
)
i12
R31i1 R23i2 R12 R23 R31
uu12
R31i1 R31i12 R31 (i1 i12 ) R23i12 R23i2 R23 (i2 i12
)
将i12表达式代入上两式，得到
u1
R31 (R12 R23 ) R12 R23 R31
i1
R12
R23 R31 R23
R31
i2
u2
R12
R23 R31 R23 R31
i1
R23 (R12 R31 ) R12 R23 R31
2电路第二章邱光源高等教育出版社(第1章电路模型和电路定律)
若R>>Rs：
R
R
U R Rs Us R Us Us
若R<<Rs：
I
Rs Rs
R
Is
Rs Rs
Is
Is
2 电压源、电流源模型互换等效
U Us Rs I U
I Is Rs
Is
Us Rs
1) 已知电压源，求电流源
左图伏安关系:
Rs
u = Us - iRs 右图伏安关系:
任意
元件 +
iS
u
等效电路
iS
_
例: 求下列各电路的等效电路
+a
2
2
+U
3 5V–
5A
(a) b
解:
+a
2
+
U
5A
5V –
b
(a)
a + 3 U
b (b)
+a
3 U
b (b)
例: 图示电路，求：(1) (a)图中电流 i ; (2) (b)图中电压 u ; (3) (c)图中R 上消耗的功率pR。
功率关系：
p
p1
p2
p1 G1 p2 G2
电阻串、并联的求解步骤： ①求出等效电阻或等效电导； ②欧姆定律——总电压或总电流； ③欧姆定律，分压、分流公式——支路电流和电压
关键：识别电阻的串联、并联关系！
例2 c d
6 5 a
15
5
b
求: Rab , Rcd
Rab (5 5) //15 6 12Ω Rcd (15 5) // 5 4Ω
电阻连接的等效变换公式
电阻连接的等效变换公式电阻是电路中常见的元件之一，它可以对电流的流动产生阻碍作用。
在实际的电路中，我们经常需要对电阻进行等效变换，以便更好地分析和设计电路。
本文将介绍电阻连接的等效变换公式，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
1. 串联电阻的等效电阻当多个电阻依次连接在一起，形成串联电路时，它们的等效电阻可以通过简单相加得到。
假设有两个电阻R1和R2串联连接在一起，它们的等效电阻可以表示为：Req = R1 + R2如果有更多的电阻串联连接在一起，可以依次相加得到总的等效电阻。
2. 并联电阻的等效电阻当多个电阻同时连接在电路中，形成并联电路时，它们的等效电阻可以通过倒数相加后再取倒数得到。
假设有两个电阻R1和R2并联连接在一起，它们的等效电阻可以表示为：1/Req = 1/R1 + 1/R2如果有更多的电阻并联连接在一起，可以依次倒数相加后再取倒数得到总的等效电阻。
3. 三角形电阻网络的等效电阻在一些特殊情况下，电路中的电阻可以组成一个三角形网络。
对于三角形电阻网络，我们可以通过等效变换将其转化为星形电阻网络，以便更好地分析和设计电路。
三角形电阻网络的等效电阻可以通过下式得到：Req = R1 * R2 / (R1 + R2 + R3)其中，R1、R2和R3分别表示三角形电阻网络中的三个电阻。
4. 星形电阻网络的等效电阻与三角形电阻网络相对应的是星形电阻网络。
对于星形电阻网络，我们可以通过等效变换将其转化为三角形电阻网络。
星形电阻网络的等效电阻可以通过下式得到：1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3其中，R1、R2和R3分别表示星形电阻网络中的三个电阻。
5. 电阻的温度系数电阻的阻值是随温度的变化而变化的，这是由于电阻材料的特性所决定的。
电阻的温度系数是描述电阻阻值随温度变化的程度的指标，通常用符号α表示。
电阻的阻值与温度的关系可以用下式表示：Rt = R0 * (1 + α * (T - T0))其中，Rt表示温度为T时的电阻阻值，R0表示参考温度T0时的电阻阻值，α表示电阻的温度系数。
邱关源《电路》第五版 第二章 电阻电路的等效变换
a
10
10 10 10
b
10
Rab=5
b
10
§2-3 电阻的串联和并联 求解等效电阻时必须注意：
* 首先搞清对何处等效；
* 分清串、并联关系；
* 可改画电路，原则是电阻相互联接关系不能改 变，但电阻位置可变，尽量缩短无阻支路，逐 步等效，逐步化简。 * 等电位点可以短路，电流为零的支路可以开路。 特别注意电路中有无平衡电桥电路。
-
2
§2-5 电压源、电流源的串联和并联 4. 电流源与任意支路串联
iS R i + 1
+
uS
iS + u
1
u
-
2 iS
1
-2
+
u
-
2
§2-5 电压源、电流源的串联和并联 5. 举例
【例1】化简电路。
iS1 =1A
-ห้องสมุดไป่ตู้
+
uS1=2V
1
+
uS2=2V
R1=1
iS2=1A
R2=1
2
§2-6 实际电源的两种模型及其等效变换
2
2
iS
iS iS1 iS2 iSn
iS1 iS 1 iS2 iSn
显然只有电流源 电流相等时，才允 2 许串联。
iS iS1 iS2 iSn
§2-5 电压源、电流源的串联和并联 3. 电压源与任意支路并联
+
uS
i R 1
+
uS
1 iS i
-
2 1
2
+
uS
i
3 R3 i3
i1
邱关源-《电路》第五版-学习总结
第一章1、KCL 、KVL 基尔霍夫定律2、受控电源 CCCS 、CCVS 、VCVS 、VCCS第二章1、电阻电路的等效变换电阻的Y 行联接与△形联接的等效变换R1、R2、R3为星形联接的三个电阻，R12、R13、R23为△形联接的三个电阻 公式： 形电阻之和形相邻电阻的乘积形电阻∆∆=Y 形不相邻电阻形电阻两两乘积之和形电阻Y Y =∆ 如： 31231231121R R R R R R ++⨯= 331322112R R R R R R R R ++= 2、电压源、电流源的串并联电压源串联，电流源并联可以合成为一个激励为其加和的电压源或电流源； 只有激励电压相等且极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL ； 只有激励电流相等且方向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL 。
第三章1、KCL 独立方程数：n-1 ；KVL 独立方程数： b-n+1其中，（n 为节点数，b 为分支数）2、支路分流法，网孔电流法，回路电流法；节点电压法3、电压源电阻很小，电导很大；电流源电阻很大，电导很小；第四章1、叠加定理：在线性电阻电路中，某处电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处分别产生的电压或电流的叠加2、齐性定理：线性电路中，当所有的激励（电压源或电流源）都同时增大或缩小K 倍时，响应（电压或电流）也将同样增大或缩小K 倍3、替代定理：4、戴维宁定理：一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效替代，此电压源的激励电压等于一端口的开路电压，电阻等于一端口内全部独立电源置零后的输入电阻；诺顿定理：一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合等效置换，电流源的激励电流等于一端口的短路电流，电阻等于一端口中全部独立源置零后的输入电阻。
5、最大功率传输定理：eq24R U P OC LMAX ， 负载电阻RL=含源一端口的输入电阻Req 第五章。
电阻的Y形连接和△三角形连接的等效变换
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
(1) u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y=R3i3Y – R1i1Y
(2)
i1Y+i2Y+i3Y = 0
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由式(2)解得：i1Y来自u12Y R 3 u31Y R2 R1R2 R2R3 R3R1
i2Y
u23Y R1u12Y R3 R1R2 R2R3 R3R1
R1
R2
R1 R2 R3
R23
R2
R3
R2 R3 R1
R31
R3
R1
R3 R1 R2
G12
G1
G1G2 G2
G3
或
G23
G1
G2G3 G2
G3
G31
G1
G3G1 G2
G3
类似可得到由Y的变换条件为
G1
G12
G31
G G 12 31 G23
G2
G23
G12
G G 23 12 G31
G3
G31
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+ 1– i1
1 + i1Y –
u12 R12
i2
– 2
+
R23 u23
u31 R31
u12Y R2
i3 + – i2Y – 3 2+
R1 u31Y
R3
i3Y +
u23Y
–3
形联结:用电压表示电流 Y形联结:用电流表示电压
i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
10
例4-2 计算90电阻吸收的功率。 1
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i1 =u12 /R12 – u31 /R31
(3)
i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
(1)
根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得由Y型型的变换结果： R R R 2 R 3 R 3 R1 R12 1 2 R3
⑤
方法二
① 4Ω 2Ω ④
②
1Ω ①
R12
8Ω
4Ω
② 1Ω ⑤
1Ω
R12
②
2.684Ω
例4 求图2-20(a)电路中电流 i。
解：将3、5和2三个电阻构成的三角形网络等效变换
为星形网络[图(b)]，其电阻值求得
3 5 3 2 25 R1 1.5 R2 0.6 R3 1 3 25 3 25 3 25
R1R 2 R 2 R 3 R 3 R1 R 23 R1 R1R 2 R 2 R 3 R 3 R1 R 31 R2
类似可得到由型 Y型的变换结果：
R12 R31 R1 R12 R23 R31 R23 R12 R2 R12 R23 R31 R31 R23 R3 R12 R23 R31
Y型接法: 用电流表示电压 u12Y=R1i1Y–R2i2Y u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y=R3i3Y – R1i1Y i1Y+i2Y+i3Y = 0 (2)
由式(2)解得：
u12Y R3 u31Y R2 i1Y R1 R2 R2 R3 R3 R1 u23Y R1 u12 Y R3 i2 Y R1 R2 R2 R3 R3 R1
图2－20
再用电阻串联和并联公式，求出连接到电压源两端单
口的等效电阻
(0.6 1.4)(1 1) R 1.5 2.5 0.6 1.4 1 1
最后求得
i 10V 10V 4A R 2.5
练习：2－2，4
§2.4 电阻的Y形联接与△形联接 的等效变换
一、问题的引入
求等效电阻 RAB = ？
2Ω 3Ω 3Ω 5Ω B
3Ω
3Ω
A
二、星形联接和三角形联接的等效变换的条件
要求它们的外部性能相同， 即当它们对应端子间的电压相同时， 流入对应端子的电流也必须分别相等。
1 1
R3
3
R1
R2
2 3
R31
R12
R23
5k 1 2k 2 3k 3 E 4 1 4K E
5k
31 5
3 4K
5k
31 3
31 2
4
R1R 3 R 3 R 4 R 4 R1 2 3 3 5 5 2 31 R13 R4 5 5 R1R 3 R 3 R 4 R 4 R1 2 3 3 5 5 2 31 R 34 R1 2 2 R1R 3 R 3 R 4 R 4 R1 2 3 3 5 5 2 31 R 41 R3 3 3
– 1
+ i1Y R31
u31 i3 + – u12Y – i2Y +
1–
R1 u31YR2来自2 u23YR33–
R23 u23
3
i3Y +
型接法: 用电压表示电流 i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23 (1)
例2. 双 T 网络 2 1 4 6
1Ω
3 2
2 Ω 3
1 Ω 1 2 Ω 1Ω 3
2Ω
1 Ω 3 2 Ω 9 2 Ω 3
例3. 如图所示，求桥形电路的总电阻R12。
① 2Ω 2Ω 1Ω ④ 2Ω 1Ω ② 1Ω
解：
① 0.8Ω
R12
③
方法一 R12
0.4Ω ③ 0.4Ω ④ 2Ω 1Ω ⑤
2
星接（Y接）
三角接（△接）
下面是 ，Y 网络的变形： º º º º
º
º
型网络 ( 型)
º º T 型网络 (Y 型、星型)
当 型和Y 型网络中的电阻满足一定的关系时， 它们是能够相互等效的。
等效的条件: 型和Y 型网络中对应端口上VCR相同。
下面推导其等效变换的条件
+ i1 u12 – i2 + 2 R12
R31 R23 R1R 2 R 2 R 3 R 3 R1 R3 R 31 R12 R23 R31 R2 1 型 Y型：
R12 R2
R1
R31 R3
0 2
3
接于端钮i的两电阻的乘积 三电阻之和 Y型 型：
RiY=
Rij=
R23 — Y变换记忆图
Y型网络电阻两两乘积之和 接在与Rij相对端钮的电阻
特例：若三个电阻相等(对称)，则有 R = 3RY ( 外大内小 ) 1 3
RY = 1/3 R
注意： (1) 等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。 (2) 等效电路与外部电路无关。
应用：简化电路 例1. 桥 T 电路 5k 1 2k 2 3k 3 E 4K 1 1k 0 1.5k 0.6k 2 5k 4
3
4k
E
4
R1 R2 R3
5k
R12 R12 R12
R12 R 31 25 1 R 23 R 31 235 R 23 R12 3 2 0.6 R 23 R 31 235 R 31R 23 5 3 1.5 R 23 R 31 2 3 5
上述结果可从原始方程出发导出，也可由Y型 型 的变换结果直接得到。
型 Y型 R12 R31 R1 R12 R23 R31
R23 R12 R2 R12 R23 R31
Y型 型 R1R 2 R 2 R 3 R 3 R1 R12 R3
R1R 2 R 2 R 3 R 3 R1 R 23 R1