向量的线性相关性与矩阵的秩

第三章 向量的线性相关性与矩阵的秩3.1 设()()()T T T 110,011,111321−=−==ααα。

（1） 计算 32121322;2ααααα+−+−。

（2） 求满足方程的向量ξ： ξαξααξ23)(3)(321+=+−− 。

（3） 计算.T T T T T T a a a a a a 1321322121;;;αααα3.2 设n 阶矩阵 ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==T n T Tn A αααααM L 2121，n αα,,1L 和T n T ααL L ,,1分别称作矩阵A 的列向量组和行向量组，见（2.13）和（2.14）。

利用 A A I I A ==，证明： ，n i A A T i T i i i ,,1,;L ===αεαε其中i ε是单位向量组。

3.3 把向量β表示成向量组 i α的线性组合。

（1） ()()()()T T T T 110,101,011,011321===−=αααβ；（2）()()(),1111,1111,112121T T T −−===ααβ()()T T 1111,111143−−=−−=αα；（3）()()(),1312,1011,100021T T T ===ααβ()()T T 1110,001143−−==αα。

3.4 判别下列向量组是否线性相关。

（1） ；()(T T 642,32121−−−==αα)（2） ()()()T T T 621,520,111321===ααα；（3） ()(),0130,421121T T =−=αα()T 47033=α； （4）()(),3122,625421T T −=−=αα()()T T 6514,933643−=−=αα。

3.5 求数，使得 l k ,（1） ()()()T T T k 910,203,154321===ααα线性相关；（2） ()(),0123,111221T T −==αα()T k 0213−=α 线性无关； （3）()()()T T T l k 10,00,321321===ααα线性无关。

3.6 设θ=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛411210312321k k k ， 证明 0321===k k k 。

3.7 下列命题是否正确？若正确，证明之；若不正确，举反例。

（1） 向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关。

（2） 向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性相关的充分必要条件是有某1−m 个向量线性相关。

（3） 若向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性相关，则1α可由m αα,,2L 线性表示。

（4） 若有不全为零的数，使得m k k k ,,,21L θββαα=+++++m m m m k k k k L L 1111，则m αα,,1L 线性相关，m ββ,,1L 也线性相关。

（5） 若向量组21,αα线性相关，21,ββ线性相关，则2211,βαβα++线性相关。

（6） 若向量组321,,ααα线性无关，则 321211,,αααααα−−−线性无关。

3.8 证明维向量组n ()()()T n T T 111,,011,00121L L L L ===ηηη 线性无关。

3.9 证明：对任意向量321,,ααα，向量组3133221,,αααααα+++ 线性相关。

3.10 设向量组4321,,,αααα线性相关，但其中任何三个向量都线性无关。

证明必存在一组全不为零的数 ，使得4321,,,k k k k θαααα=+++44332211k k k k ，3.11 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+=23211,111,111,111k k k k k βααα，试问取何值时， k β可由321,,ααα线性表示。

3.12 设向量组m ααα,,,21L 线性无关，且21,ββ均可由m ααα,,,21L 线性表示。

证明m ααα,,,21L 21ββ+k 线性无关，其中 是任意常数。

k 3.13 设向量组321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关。

问 （1） 1α能否由32,αα线性表示？证明你的结论。

（2）4α能否由321,,ααα线性表示？证明你的结论。

3.14 求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组。

（1） ()()()T T T 300,020,011321===ααα； （2） ()(),2130,421121T T =−=αα()()T T 6512,1470343==αα。

3.15 证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组。

3.16 设向量组()(),2130,421121T T =−=αα ()()T T 0211,1470343−==αα。

（1） 证明21,αα线性无关；（2） 把21,αα扩充成一个极大线性无关组。

3.17 已知向量组 m A ααα,,,:21L 的秩为 r ， 证明向量组A 中任意r 个线性无关的向量组都构成了一个极大线性无关组。

3.18 设m ααα,,,21L 是一组维向量，已知单位向量组n m εεε,,,21L 可由其线性表示。

证明m ααα,,,21L 线性无关。

3.19 设m ααα,,,21L 是一组维向量。

证明n m ααα,,,21L 线性无关的充分必要条件是任一维向量都可被其线性表示。

n 3.20 已知向量组A 与向量组B 有相同的秩，且向量组A 可由向量组B 线性表示。

证明向量组A 与B 等价。

3.21 设向量组s ααα,,,21L ；t βββ,,,21L 和t s ββαα,,,,,11L L 的秩分别为321,,r r r 。

证明 21321),(max r r r r r +≤≤3.22 求下列矩阵的秩：（1） ； （2）；⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−101012111⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−102517245341302 （3）； ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−10030116030242201211（4） ，()n m b b b a a a C ,,,2121L M ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=其中不全为零，),,2,1(m i a i L =),,2,1(n j b j L =不全为零。

3.23 设为实系数矩阵，已知n n ij a A ×=)(),,,2,1(,0n i a ii L =>),,,2,1,(,0j i n j i a ij ≠=<L ，且，求A 的秩。

),,2,1(,01n i a nj ij L ==∑=3.24 求),,,,(54321ααααα的秩，其中：（1）,)0,2,2,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321TTTT−=α=α=α−=αT )10,5,1,2(5=α；（2） ,)0,1,0,0,1(,)0,1,1,1,0(,)1,0,1,0,1(321TT T −−=α−=α=α .TT)1,1,1,0,1(,)1,0,0,1,0(54=α−−=α3.25 （1）设矩阵，且⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=k k k k A 1111111111113)(=A r ，求常数k 的值； （2）设n 阶矩阵，且⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111L L L L L L L L L a a a a a a a a a a a a A 1)(−=n A r ，求常数a 的值。

3.26 试用矩阵的初等变换的方法判断下列向量组的线性相关性： （1）；TTT)2,0,1(,)5,2,0(,)3,2,1(321−=α−=α−=α （2）； TTT)1,3,4,2(,)0,2,3,0(,)1,1,1,2(321−−=α−=α−−=α （3）. TTT)1,0,1,3,1(,)1,1,0,2,1(,)0,1,1,4,2(321=α−=α=α3.27 设向量组,)2,1,2,3(,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(321TTTp +−=α−−=α=α,),10,6,2(4T p −−=α（1）p 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用T)10,6,1,4(=α4321,,,αααα线性表示；（2）p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组。

3.28 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为，证明.*A ⎪⎩⎪⎨⎧−<−===1)(01)(1)(*)(n A r n A r n A r n A r 3.29 证明矩阵添加一列（或一行），则其秩或不变；或增加1。

3.30 设A 是n 阶矩阵，证明：（1） 如果A A =2，则n I A r A r =−+)()(； （2） 如果I A =2，则n I A r I A r =−++)()(.3.31 设A 为秩是r 的矩阵，证明：n m ×r m −行全为0； （1）存在m 阶可逆矩阵P ，使P A 的后（2）存在n 阶可逆矩阵Q ，使A Q 的后r n −行全为0。

3.32 证明 .)()(B r A r B O O A r +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛3.33 设证明.,)(n m ij a A ×=,)(n k ij b B ×=)()()}(),(max{B r A r B A r B r A r +≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤3.34 设证明,)(n s ij a A ×=,)(m n ij b B ×=n B r A r AB r −+≥)()()(.。