北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(有答案解析)(2)

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高一数学《指数函数与对数函数》测试题（含答案解析）

高一数学《指数函数与对数函数》测试题（含答案解析）一、选择题：1、已知(10)xf x =，则(5)f =（））A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >¹，下列说法中，正确的是（，下列说法中，正确的是（））①若M N =则log log aa M N =； ②若loglog aaM N =则M N =；③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a aM N=。

A 、①②③④、①②③④ B 、①③、①③ C 、②④、②④ D 、②、②3、设集合2{|3,},{|1,}xS y y x R T y y x x R ==Î==-Î，则S T 是（）） A 、Æ B 、T C 、S D 、有限集、有限集 4、函数22log (1)y x x =+³的值域为（的值域为（））A 、()2,+¥B 、(),2-¥C 、[)2,+¥D 、[)3,+¥5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -æö===ç÷èø，则（，则（））A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >> 6、在(2)log(5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（的取值范围是（）） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++×等于（等于（））A 、0B 、1C 、2D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（表示是（））A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 9、若21025x=，则10x-等于（等于（）） A 、15 B 、15- C 、150 D 、16251010、若函数、若函数2(55)xy a a a =-+×是指数函数，则有（是指数函数，则有（））A 、1a =或4a =B 、1a =C 、4a =D 、0a >，且1a ¹ 11、当1a >时,在同一坐标系中, 函数xy a -=与log xa y =的图象是图中的（的图象是图中的（））12、已知1x ¹，则与x 3log 1+x 4log 1+x5log 1相等的式子是（相等的式子是（）） A 、x 60log 1 B 、3451log log log x x x ×× C 、 60log 1x D 、34512log log log x x x ×× 1313、、若函数()l o g (01)af x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（））A 、24B B、、22C C、、14D D、、121414、下图是指数函数（、下图是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =x ，（4）x y d =x的图象，则的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（的大小关系是（））A 、1a b c d <<<<B B、、1b a d c <<<<C 、1a b c d <<<<D D、、1a b d c <<<< 1515、若函数、若函数my x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，轴有公共点，则m 的取值范围是（的取值范围是（））A 、1m £-B B、、10m -£<C C、、1m ³D D、、01m <£二、填空题：1616、指数式、指数式4532-ba 化为根式是化为根式是。

北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(答案解析)(1)

一、选择题1．若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦2．已知函数()()2log 2xf x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为（） A ．{}|0m m =B ．{}0|m m ≤C ．{}|0m m ≥D ．{}|1m m =3．若()()22ln 1f x x x e =+≤≤(e 为自然对数的底数)，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（） A ．6B ．13C ．22D ．334．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（） A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--5．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（） A ．5[1,]3B ．5(1,]3C ．(]5,1(,)3-∞-⋃+∞ D ．()5,1[1,)3-∞-7．已知函数3()22x f x =+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．212 B ．214C ．7D ．1528．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据：lg 20.3≈， 3.96109120≈）（） A ．7596B ．9119C ．11584D ．144699．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数 D ．奇函数，且在(0,10)是减函数10．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．11．若1a b >>，lg lg P a b ⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2a b R +=，则（） A ．R P Q < 在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③已知()f x =538x ax bx ++-，且()28f -=，则(2)8f =-； ④11()122x f x =--为奇函数．14．若函数()22log 3y x ax a =-+在[2,)+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是____________．15．设函数2()ln(1)fx x x =++，若()23(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为_____. 16．若3log 14a>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为________ 17．已知函数()4sin 22xx f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.18．如图，在面积为2的平行四边形OABC 中，AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E .若指数函数()01xy aa a =>≠,经过点E ，B ，则函数()af x x x=-在区间[]1,2上的最小值为________.19．设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.20．下列结论正确的是____________①1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)； ②已知28log 3,43yx ==，则2x y +的值为3； ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =； ④11()()122xf x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.三、解答题21．设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数．（1）求a 的值．（2）若[2,4]x ∀∈，不等式1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()13log g x x =.（1）若函数()22y g mx mx =++的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）是否存在非负实数,m n ，使得函数()2y g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为[],m n ，值域为[]2,2m n ，若存在，求出,m n 的值；若不存在，则说明理由；（3）当[]1,1x ∈-时，求函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值()h a . 23．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-.设函数()()()F x f x g x =-. （1）求函数()F x 的定义域；（2）判断()F x 奇偶性并证明；（3）若()0F x >成立，求x 的取值范围.24．已知函数()12,012,0m x x x f x x n x x ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩是奇函数.（1）求实数m ，n 的值；（2）若对任意实数x ，都有()()420xxf f λ+≥成立.求实数λ的取值范围. 25．已知集合(){}2log 33A x x =+≤，{}213B x m x m =-<≤+.（1）若2m =-，求A B ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.26．化简计算：（1）160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】转化为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象列式可解得结果.【详解】由题意知关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，由图可知0111log22aa<<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a≤<.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数342xy=-的图象与函数log ay x=的图象求解是解题关键. 2．A解析：A【分析】若定义域为实数集R，则20x m+>对于x∈R恒成立，可得0m≥，若值域为实数集R，令2xt m=+，则2logy t=此时需满足2xt m=+的值域包括()0,∞+，可得0m≤，再求交集即可.【详解】若()()2log2xf x m=+定义域为实数集R，则20x m+>对于x∈R恒成立，即2xm>-对于x∈R恒成立，因为20x>，所以20x-<，所以0m≥，令2xt m=+，则2logy t=若()()2log2xf x m=+值域为实数集R，则2xt m=+的值域包括()0,∞+，因为t m>，所以0m≤，所以0m=，故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.3．B解析：B 【分析】先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可. 【详解】由21x e ≤≤及()2f x知221x e ≤≤，故定义域为[]1,e ，又()()()()()222222ln 2ln ln 6ln 61y f x f x x x x x x e =+=+++=++≤≤⎡⎤⎣⎦令[]ln 0,1t x =∈，则266y t t =++，易见y 在[]0,1t ∈上单调递增，故当1t =时，即x e =时，max 16613y =++=. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.4．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 5．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.6．A解析：A 【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R令()()22111y a x a x =-+++，则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意；当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤ 513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A 【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.7．B解析：B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】因为3()22x f x =+，所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222xx x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=，再配对求和即解决问题. 8．B解析：B 【分析】根据题设条件列出方程，计算即可. 【详解】由题可知 ()()()22log 119991+20%log 1W W λ+⨯=+，即()221.2log 2000log 1λ⨯=+，所以()lg 1lg 20001.2lg 2lg 2λ+⨯=，即()()lg 1 1.2lg2000 1.23lg2 3.96λ+=⨯=⨯+≈，所以 3.961109120λ+≈≈，所以9119λ≈.故选：B 【点睛】本题主要考查对属于对数函数，考查学生的运算能力.9．C解析：C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数，而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增，故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .10．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ；3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D.故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.11．B解析：B 【分析】利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系【详解】由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数1a b >>，则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11(lg lg )lg()lg 222a bP a b ab R +=<+==<=因此，P Q R <<故选：B 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小12．B解析：B 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==，则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．①④【分析】根据指数的运算性质且恒成立求出函数图象所过的定点可判断①；根据抽象函数的定义域的求法可判断②；根据奇函数的图象和性质求出可判断③；根据奇函数的定义及判定方法可判断④【详解】解：当时且恒成解析：①④ 【分析】根据指数的运算性质01(0a a =>且1)a ≠恒成立，求出函数图象所过的定点，可判断①；根据抽象函数的定义域的求法，可判断②；根据奇函数的图象和性质，求出()2f ，可判断③；根据奇函数的定义及判定方法，可判断④ 【详解】解：当1x =时，101(0x a a a -==>且1)a ≠恒成立，故f （1）4=恒成立，故函数1()3(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象一定过定点(1,4)P ，故①正确；函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(0,2)，故②错误；已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则()224f =-，故③错误；11()122x f x =--的定义域为{|0}x x ≠，且112111()()122212212x x x xf x f x ---=-=-=-=----，故()f x 为奇函数，故④正确；故答案为：①④ 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．14．【分析】利用复合函数单调性的判断方法分内层和外层分别判断解出的取值范围【详解】由题意得设根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数且所以所以故答案为:【点睛】本题考查复合函数单调性的应用考查解析：(4,4]-【分析】利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出a 的取值范围. 【详解】由题意得，设2()3g x x ax a =-+，根据对数函数及复合函数单调性可知：()g x 在[)2,+∞上是单调增函数，且(2)0g >，所以2240aa ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩，所以44a -<≤．故答案为: (4,4]- 【点睛】本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.15．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为解析：1(1,)3-【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()23(12)f a f a <-，转化为关于自变量的不等式，即可求解. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()))ln10f x f x x x +-=+==，()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数， ()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，等价于2312a a <-，即213210,13a a a +-<-<<，所以实数a 的取值范围为1(1,)3-. 故答案为: 1(1,)3- 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.16．【分析】讨论和两种情况利用函数单调性解不等式得到答案【详解】当时满足不成立；当时综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式分类讨论是解题的关键解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，利用函数单调性解不等式得到答案. 【详解】3log 1log 4aa a >=，当1a >时，满足34a >，不成立；当01a <<时，34a >. 综上所述：3,14a ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 故答案为：3,14⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，分类讨论是解题的关键.17．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019 【分析】观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解. 【详解】因为()()()2442sin sin 222222x x f x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.18．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-【分析】设点(),tE t a ，则点B 的坐标为()2,2tt a ，由题意得22tt aa =，则2t a =，再根据平行四边形的面积求得12t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值．【详解】解：设点(),tE t a ，则点B 的坐标为()2,2tt a ，∵22t t a a =，∴2t a =，∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==，又平行四边形OABC 的面积为2，∴42t =，12t =，所以122a =，4a =， ∴()4f x x x=-在[]1,2为增函数，∴函数()f x 的最小值为()4111f =-=3-，故答案为：3-．【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．19．【分析】根据题意由韦达定理得进而得再结合换底公式得【详解】解：因为､是方程的两个实根所以由韦达定理得所以所以所以故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算其中两个公式的转化是解析：37±【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得1log log b acc b a==【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以11log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：37± 【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.20．①②④【分析】①根据指数函数的性质进行判断②根据对数的运算法则进行判断③根据函数的运算性质进行运算④根据偶函数的定义进行判断⑤根据集合关系利用排除法进行判断【详解】①当时（1）则函数的图象经过定点；解析：①②④ 【分析】①根据指数函数的性质进行判断，②根据对数的运算法则进行判断，③根据函数的运算性质进行运算，④根据偶函数的定义进行判断，⑤根据集合关系，利用排除法进行判断．【详解】①当1x =时，f （1）02123a =+=+=，则函数的图象经过定点(1,3)；故①正确， ②已知2log 3x =，843y=，则2823y=，282log 3y =，则2222882log 3log log (3)log 8333x y +=+=⨯==；故②正确， ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则32266a ---=，即10a =-，则f （2）32210618=-⨯-=-，故③错误；④函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，1112()()?1222(12)xx x f x x x +=-=--，则122112()?··()2(12)2(21)2(12)x x xx x x f x x x x f x --+++-=-=-==---，即()f x 为偶函数，故④正确，⑤已知集合{1A =-，1}，{|1}B x mx ==，且B A ⊆，当0m =时，B =∅，也满足条件，故⑤错误，故正确的是①②④，故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及指数函数的性质，函数奇偶性的判断，以及对数的运算法则，综合性较强，涉及的知识点较多．三、解答题21．（1）1a =-；（2）89m <. 【分析】（1）由奇函数的性质()()0f x f x ，代入运算后可得1a =±，代入验证即可得解；（2）转化条件为131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，结合函数的单调性求得()min g x 即可得解.【详解】（1）因为131()log 1axf x x -=-为奇函数，则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()21231log 01ax x-==-，则()22111ax x -=-，所以21a =即1a =±，当1a =时，()11331()log log 11xf x x -==--，不合题意；当1a =-时，131()log 1x f x x +=-，由101xx +>-可得1x >或1x <-，满足题意；故1a =-；（2）由1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可得131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-，则131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，因为函数12111x y x x +==+--在[2,4]上单调递减，所以函数131log 1xy x +=-在[2,4]上单调递增，所以()g x 在[2,4]上单调递增，所以()()1min32log 182993g x g -===+，所以89m <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.22．（1）08m ≤<；（2）存在，0,2m n ==；（3）答案不唯一，见解析. 【分析】（1）根据函数定义域为R ，转化为220mx mx ++>恒成立，分类讨论求解；（2）根据二次函数单调性可得2222m mn n ⎧=⎨=⎩，求解即可；（3）换元，令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，分类讨论求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）∵定义域为R ，即220mx mx ++>恒成立 ∴0m =，或00m >⎧⎨∆<⎩得08m << 综上得08m ≤< （2）2yx 的定义域为[],m n ，值域为[]2,2m n∴222(0)2m mm n n n ⎧=≤<⎨=⎩ ，解得0,2m n ==. （3）令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则223y t at =-+ 若13a ≤，则228()39a h a =-+；若133a <<，则2()3h a a =-；若3a ≥，则()612h a a =-+；【点睛】关键点点睛：涉及指数型复合函数的单调性最值问题，多采用换元法，能够使问题简捷，突出问题本质，大多转化为二次函数，利用二次函数的图象和性质，体现转化思想，属于中档题. 23．（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数，证明见解析；（3）302x <<【分析】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩可解得结果；（2）()F x 是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确；（3）根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩，解得3322x -<<，所以函数()F x 的定义域为33(,)22-.（2）()F x 是奇函数. 证明如下：x ∀∈33(,)22-，都有x -∈33(,)22-，因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-， ∴()F x 是奇函数.（3）由()0F x >可得()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->，即ln(32)ln(32)x x +>-，由对数函数的单调性得32320x x ，解得302x <<.【点睛】易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域. 24．（1）22m n =⎧⎨=⎩；（2）1λ≥-. 【分析】（1）根据()f x 是奇函数，即()()f x f x -=-即可求解实数m ，n 的值；（2）利用换元法，转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数λ的取值范围. 【详解】（1）当0x >时，()()()12f x x n x ⎡⎤-=-++⎢⎥-⎣⎦，因为()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()()1122f x x n m x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∴-=-++=-+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()1220m x n x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭总成立. 2020m n -=⎧∴⎨-=⎩，22m n =⎧∴⎨=⎩，又当0x <时，同理可得22m n =⎧⎨=⎩，综上：22m n =⎧∴⎨=⎩. （2）40x >，20x >，原不等式化为11242222042xx xxλλ⎛⎫⎛⎫+-++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令122xxt =+，则2t ≥，原不等式进一步化为230t t λλ+--≥在2t ≥上恒成立. 记()23g t t t λλ=+--，[)2,t ∈+∞①当22λ-≤时，即4λ≥-时，()()min 210g t g λ==+≥，1λ∴≥-合理；②当22λ->时，即4<-λ时，()n2mi 3024g t g λλλ⎛⎫-=---≥ ⎪⎝⎭=，显然不成立.综上实数λ的取值范围为：1λ≥-. 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，奇函数的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档.25．（1）{}31A B x x ⋂=-<≤；（2）[][)1,24,m ∈-+∞【分析】（1）计算{}35A x x =-<≤，{}51B x x =-<≤，再计算交集得到答案. （2）A B A ⋃=，故B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅，计算得到答案. 【详解】（1）(){}{}2log 3335A x x x x =+≤=-<≤，{}51B x x =-<≤，故{}31A B x x ⋂=-<≤.（2）{}35A x x =-<≤，A B A ⋃=，故B A ⊆，当B =∅时，213m m -≥+，解得4m ≥；当B ≠∅时，4m <，故21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤.综上所述：[][)1,24,m ∈-+∞.【点睛】本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．（1）110；（2）-1 【分析】（1）原式化简为分数指数幂，计算结果；（2）根据对数运算公式化简求值. 【详解】（1）原式113133234432222323-⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113322210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110=（2）原式()()22lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-()22lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅--()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-()lg5lg2lg51lg5=⋅+--lg51lg51=--=-【点睛】本题考查指数幂和对数运算，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础题型.。

新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(含答案解析)(3)

一、选择题1．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是（）. A ． B ．C ．D ．2．形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（）位数(参考数据：lg2≈0.3010). A ．8B ．9C ．10D ．113．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)11()t f t e --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（）(参考数据： 1.13e ≈) A ．38 B ．40C ．45D ．474．若x ，y ，z 是正实数，满足2x =3y =5z ，试比较3x ，4y ，6z 大小（）A ．3x >4y >6zB ．3x >6z >4yC ．4y >6z >3xD ．6z >4y >3x5．已知函数3()22x f x =+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．212B ．214C ．7D ．1526．已知实数1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，4log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<7．函数1()1x f x a +=-恒过定点（）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,0)-D ．(1,1)--8．已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --9．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数10．若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（）A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．m 1≥D ．01m <≤11．设()lg (21)fx x a =-+是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0, 1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)12．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞，二、填空题13．已知函数()2log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________.14．若函数()22log 3y x ax a =-+在[2,)+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是____________．15．若()2lg 2lg lg x y x y -=+，则2x y=______．16．已知1122x x-+=22165x x x x --+-=+-______.17．关于x 的不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为______.18．设函数()f x =，则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.19．已知2336m n ==，则11m n+=______． 20．已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ，若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上，则()2log 3f =________. 三、解答题21．已知函数21()log 1x f x x +=-. （1）求函数()f x 的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当(1,)x ∈+∞时，2()()log (1)g x f x x =+-，求函数()g x 的值域. 22．计算：（1）1ln 224()9e-+；（2）()223lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.23．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠. （1）求函数()()f x g x -的定义域；（2）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =时，判断函数()()f x g x -的单调性，并给出证明.24．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()2log g x x =. （1）若()22g mx x m ++的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）当[]1,1x ∈-时，函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值为1，求实数a 的值. 25．已知函数()21log 1x f x x +=-，（1）求函数()y f x =的定义域；（2）证明：()y f x =是奇函数；（3）设()()()14h x f x f x =+，求函数()y h x =在[]3,7内的值域； 26．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，()121xaf x =++. （1）求实数a 的值及()f x 的解析式；（2）求方程4|(1)|5f x -=的解.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断．【详解】由函数解析式可得：1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为：01y <≤，由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．C解析：C 【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯，进而即可判断出其位数．【详解】根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F 的位数是10．故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg 2210=.3．B解析：B 【分析】根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】解：因为()0.1f t =，0.22(50)11()t f t e --=+，所以0.22(50)()0.111t f t e--==+，即0.22(50)011t e --=+，所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈，所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈，进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.4．B解析：B 【分析】令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg 5tz =，利用作差法能求出结果. 【详解】∵x 、y 、z 均为正数，且235x y z ==，令235x y z t ===，则1t >，故2lg log lg 2t x t ==，3lg log lg 3t y t ==，5lg log lg 5tz t ==， ∴()3lg lg5lg 4lg 2lg 3630lg 2lg5lg 2lg5t t t x z -⎛⎫-=-=>⎪⋅⎝⎭，即36x z >； ()2lg lg 27lg 253lg 2lg 6420lg5lg3lg3lg5t t t z y -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭，即64z y >，即364x z y >>成立，故选：B. 【点睛】关键点点睛：（1）将指数式转化为对数式；（2）利用作差法比较大小.5．B解析：B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】因为3()22x f x =+，所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++.故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=，再配对求和即解决问题. 6．D解析：D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >，然后根据1a <以及1c >得出c a >，即可得出结果.【详解】因为2log 3b =，42log 7log 7c ，函数2log y x =在()0,∞+上是增函数，所以b c >，因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，44log 7log 41c ，所以c a >，综上所述，a c b <<，故选：D. 【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.7．C解析：C 【分析】根据指数函数性质求定点. 【详解】因为01a =,所以()011f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.8．B解析：B 【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算9．C解析：C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数，而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增，故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .10．B解析：B 【分析】11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2xy -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可得结果. 【详解】11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2xy -=图象如图可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选：B 【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.11．A解析：A 【解析】试题分析：由()lg (21)fxx a =-+为奇函数，则()()f xf x -=-，可得1a =-，即()lg 11f x xx =+-，又()0f x<，即lg110xx+-<，可变为0111x x <+-<，解得10x -<<．考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．12．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围．【详解】解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ．【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．二、填空题13．【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：【点睛】本题解析：52【分析】先画出函数图像并判断01m n <<<，再根据范围和函数单调性判断2x=m 时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01m n <<<，所以201m m <<<．结合函数图象，易知当2x=m 时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f m m== 又01m <<，所以12m =，再结合()()f m f n =，可得2n =，所以21522m n +=+=. 故答案为：52【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.14．【分析】利用复合函数单调性的判断方法分内层和外层分别判断解出的取值范围【详解】由题意得设根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数且所以所以故答案为:【点睛】本题考查复合函数单调性的应用考查解析：(4,4]-【分析】利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出a 的取值范围. 【详解】由题意得，设2()3g x x ax a =-+，根据对数函数及复合函数单调性可知：()g x 在[)2,+∞上是单调增函数，且(2)0g >，所以2240aa ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩，所以44a -<≤．故答案为: (4,4]-【点睛】本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.15．16【分析】由通过对数运算得出由此再求的值要注意定义域【详解】∵∴解得∴故答案为：16【点睛】本题主要考查对数的运算还考查了运算求解能力属于基础题解析：16 【分析】由()2lg 2lg lg x y x y -=+，通过对数运算得出4x y =，由此再求2x y的值．要注意定义域. 【详解】∵()2lg 2lg lg x y x y -=+，∴2(2)2000x y xy x y x y ⎧-=⎪->⎪⎨>⎪⎪>⎩，解得4x y =，∴42216x y==．故答案为：16 【点睛】本题主要考查对数的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题．16．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：12-【分析】对1122x x -+=13x x -+=，再平方可得227x x -+=，即可求解. 【详解】1122x x-+=125x x -++=，所以13x x -+=对13x x -+=两边同时平方得：2229x x -++=，227x x -+=则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为：12- 【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系.17．【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解【详解】由得解得∴不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查对数不等式的解法考查了对数函数的性质是基础题解析：(,1-∞-. 【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解. 【详解】由()()222log 1log 2x x ->-，得21220x xx ⎧->-⎨->⎩，解得1x <--∴不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为(,1-∞-.故答案为：(,1-∞-. 【点睛】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题.18．【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题解析：【分析】根据指数的运算律计算出()()1f x f x +-=的值，由此可计算出所求代数式的值. 【详解】()f x =()1122xx f x ∴-====， ()()12x x x f x f x ∴+-=+===，因此，()()()()()()54345662f f f f f f -+-+-++++=⨯=.故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解【详解】由可得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用考查了学生的计算能力属于中档题解析：12【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解．【详解】由2336m n ==可得23log 36,log 36m n == 所以361log 2m =，361log 3n=，所以363636111log 2log 3log 62m n +=+==，故答案为：12【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．20．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函解析：2 【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数()2xf x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ，得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)，将1,1x y ==代入()2xf x b =+，得121b +=，所以1b =-，所以()21xf x =-，则2log 32(log 3)21312f =-=-=，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.三、解答题21．（1）{1x x <-或}1x >，证明见解析；（2）()1,+∞. 【分析】（1）本题首先可通过求解101xx +>-得出函数()f x 的定义域，然后通过()()f x f x -=-证得函数()f x 是奇函数；（2）本题可根据题意将函数转化为2()log (1)g x x =+，然后通过当1x >时2log (1)1x +>即可求出函数()g x 的值域.【详解】（1）因为函数21()log 1x f x x +=-，所以101xx +>-，解得1x <-或1x >，则函数的定义域为{1x x <-或}1x >，且定义域关于原点对称，因为222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-===-=---+-，所以函数()f x 为奇函数.（2）22221l ()()log (1)log (1)log (1)og 1g x x x f x x x x +=+-==-+-+，当1x >时，22log (1)log 21x +>=，函数2()log (1)g x x =+是增函数，故当(1,)x ∈+∞时，()1g x >，函数()g x 的值域为()1,+∞. 【点睛】方法点睛：判断或证明函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后通过()()f x f x -=-判断函数是奇函数或者通过()()f x f x -=判断函数是偶函数. 22．（1）32；（2）3. 【分析】（1）利用指对数运算对数恒等式直接得解（2）利用对数运算及换底公式得解. 【详解】（1）1ln 22433()22922e -++=+-=，（2）223(lg 2)lg 5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.22(lg 2)lg 5(1lg 2)log 4(lg 2)(lg 2lg 5)lg 52=+⋅++=+++lg 2lg523=++=【点睛】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg51+=23．（1）(1,1)-；（2）是奇函数，理由见解析；（3）单调递增，证明见解析. 【分析】（1）由对数有意义的条件列出不等式组1010x x +>⎧⎨->⎩，解之即可；（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，再根据函数奇偶性的概念进行判断即可；（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.根据用定义证明函数单调性的“五步法”：任取､作差､变形､定号､下结论，即可得证. 【详解】（1）10x +>，10x ->，11x ∴-<<，∴函数()()f x g x -的定义域为(1,1)-.（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，()()log (1)log (1)log (1)log (1)[()()]a a a a f x g x x x x x f x g x ---=-+-+=--+=--，∴函数()()f x g x -是奇函数.（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.理由如下：当(1,1)x ∈-时，1()()log 1a x f x g x x+-=-，设1211x x -<<<，则2121211222112121211211111[()()][()()]log log log (?)log 11111aa a ax x x x x x x x f x g x f x g x x x x x x x x x +++-+-----=-==---+-+-，1211x x -<<<，2121x x x x ∴->-+，21122112110x x x x x x x x ∴+-->-+->， ∴21122112111x x x x x x x x +-->-+-，即211221121log 01ax x x x x x x x +-->-+-， 2211()()()()f x g x f x g x ∴->-，故当2a =时，函数()()f x g x -单调递增. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断､对数的运算法则，熟练掌握用定义证明函数单调性和奇偶性的方法是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题. 24．（1）()1,+∞；（2）a =【分析】（1）由220mx x m ++>恒成立，得关于m 的不等式组，求解得答案；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()223y t a a =-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a 的值. 【详解】（1）()()2222log 2g mx x m mx x m ++=++， ∵()22g mx x m ++的定义域为R ，∴220mx x m ++>恒成立，当0m =时，不符合，当0m ≠时，满足2440m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得1m ， ∴实数m 的取值范围为()1,+∞；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当[]1,1x ∈-时，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦化为()222233y t at t a a =-+=-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ①当2a >时，可得当2t =时y 取最小值，且min 741y a =-=，解得32a =（舍去）； ②当122a ≤≤时，可得当t a =时y 取最小值，且2min 31y a =-=，解得a =a =③12a <时，可得当12t =时y 取最小值，且min 1314y a =-=，解得94a =（舍去），综上，a =【点睛】本题考查对数函数的定义域，考查不等式的恒成立问题，考查二次函数的最值，属于中档题.25．（1）见解析；（2）见解析；（3）[]4,5 【分析】（1）由不等式101x x +>-即可求出()f x 的定义域；（2）证明()()f x f x -=-可得()f x 为奇函数；（3）先求出()f x 在[]3,7上的值域，令()t f x =，求()14h t t t=+的值域.【详解】（1）由101x x +>-得：1x >或1x <-， ()f x ∴的定义域为()(),11,-∞-+∞；（2）()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-， ()f x ∴为奇函数；（3）()22log 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在[]3,7上单调递减，令()t f x =，则24log ,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，而()14h t t t =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()2411log 15,4342h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数()h x 在[]3,7内的值域为[]4,5.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，奇偶性，考查了复合函数的单调性，值域求解，属于中档题.26．(1) 2a =-,()2121x x f x -=+;(2) 212log 3x =+或212log 3x =-【分析】(1)根据奇函数(0)0f =求解a ,再根据奇函数的性质求解()f x 的解析式即可.(2)根据(1)可得()2121x x f x -=+为奇函数,可先求解4|()|5f t =的根,再求解4|(1)|5f x -=即可.【详解】(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()121xaf x =++,故0(0)1021a f =+=+,即102a +=,解得2a =-.故当0x ≥时,()22112121xx x f x -=-=++. 所以当0x < 时, ()()211221211221x x x x x x f x f x -----=--=-=-=+++. 故()2121x x f x -=+(2) 先求解4|()|5f t =,此时()214215t t f t -==±+.当()()214421521215t t t t -=⇒+=-+,即29t =解得22log 92log 3t ==.因为()2121x x f x -=+为奇函数,故当214215t t -=-+时, 22log 3t =-.故4|(1)|5f x -=的解为212log 3x -=或212log 3x -=-, 解得212log 3x =+或212log 3x =- 【点睛】本题主要考查了根据奇函数求解参数的值以及解析式的方法,同时也考查了根据函数性质求解绝对值方程的问题,属于中档题.。

新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(含答案解析)(3)

一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（） A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 2．已知函数()()2log 2xf x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为（） A ．{}|0m m =B ．{}0|m m ≤C ．{}|0m m ≥D ．{}|1m m =3．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根，则log a bm 的值为（）ABC．D．±5．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a <的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>8．已知2log 0.8a =，0.7log 0.6b =，0.60.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c <>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>10．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦11．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（）A ．34a >B ．304a <<或43a >C ．304a <<或1a > D ．1a >12．已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数(||1)f x +的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________.14．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______．15．关于x 的不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为______.16．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________.17．已知函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点（m ，n ），且函数g （x ）＝mx 2﹣2bx +n 在[1，+∞）上单调递减，则实数b 的取值范围是________. 18．已知2336m n ==，则11m n+=______． 19．函数()212log 2y x x =-的定义域是______，单调递减区间是______.20．设函数()f x 满足()22221xf xax a =-+-，且()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-，则实数a 的取值范围为______.三、解答题21．计算下列各式的值：（1）3224031168()281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()2log 1483log 3log 3log 22+⨯+.22．已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠），满足(2)(1)6f f +=；（1）求()f x 的解析式；（2）若方程()(2),[0,1]m f x f x x =-∈有解，求m 的取值范围；（3）已知()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，函数()()()f x g x h x =+；若存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤，求a 的取值范围．23．计算：(1)011327(0.064)0.258-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； (2)22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+. 24．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值；（2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 25．已知函数11()ln 12f x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. （1）先求1(2)2f f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再求[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值；（2）求()f x 的定义域，并证明()f x 在定义域上恒正.26．已知命题:p 关于x 的不等式()10,1xa a a >>≠的解集是{}0x x <，命题:q 函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题.求实数a的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ，则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==，同理1log 4k b =，1log 6k c=，而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+．故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．A解析：A 【分析】若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得0m ≤，再求交集即可. 【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立，因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥，令2x t m =+，则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ，则2x t m =+的值域包括()0,∞+，因为t m >，所以0m ≤，所以0m =，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.3．D【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>.故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.4．D解析：D 【分析】利用换底公式先求解出+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果，然后利用换底公式将log a bm 变形为1log log m m a b-，根据+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果求解出log log m m a b -的结果，则log a bm 的值可求.【详解】因为log log 4log log 2a ba b m m m m +=⎧⎨⋅=⎩，所以114log log 112log log m m m m a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，所以log +log 4log log 1log log 2m m m m m m a b a b a b ⎧=⎪⋅⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，所以log +log 21log log 2m m m m a b a b =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，又因为11log log log log a m m bmm a a b b==-，且()()22log log =log log lo +42g log m m m m m m a b a b b a -⋅=-，所以log log m m a b -=所以log 2a bm ==±，故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是在于换底公式的运用，将log a bm 变形为1log log m m a b-，再根据方程根之间的关系求解出结果.5．A解析：A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<， a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<，故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.6．D解析：D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >，然后根据1a <以及1c >得出c a >，即可得出结果.【详解】因为2log 3b =，42log 7log 7c ，函数2log y x =在()0,∞+上是增函数，所以b c >，因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，44log 7log 41c ，所以c a >，综上所述，a c b <<，故选：D. 【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.7．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点，即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标，如图所示：由图象可得：c a b >>，故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.8．C解析：C 【解析】因为22log 0.8log 10a =<=，0.70.7log 0.6log 0.71b =>=，0.6000.70.71c <=<=，所以a c b <<，故选C.9．D解析：D 【解析】因为()cos 20f x x '=-<，所以函数()sin 2f x x x =-的单调递减函数，又因为0.3213log 0,ln ln 1,12232e <<=<<，即0.3213log ln 232<<，所以由函数的单调性可得：0.3213(log )(ln )(2)32f f f >>，应选答案D ．10．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下，所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题11．C解析：C 【分析】先判断1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，原不等式等价于3log 14a <，分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <，由1log a a =，知3log log 4aa a <, 当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<；当1a >时，log ay x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >，综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 【点睛】解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．12．B解析：B【分析】利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，由函数()log a f x x =是增函数知，1a >，当0x ≥时，函数(1)log (1)a y f x x =+=+，将函数1()log ,()a f x a x >=的图象向左平移1个单位，得到函数log (1)a y x =+的图象，又由函数(1)y f x =+满足(1)(1)f x f x -+=+，所以函数(1)y f x =+为偶函数，且图象关于y 轴对称，故选B. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由函数的定义域是即结合函数的解析式列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数有意义则满足解得解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解以及对数函数解析：(0,1)【分析】由函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，结合函数的解析式(21)()ln(1)f xg x x -=-，列出不等式组12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，则函数(21)()ln(1)f x g x x -=-有意义，则满足12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩ ，解得0110x x x ≤≤⎧⎪<⎨⎪≠⎩，解得01x <<，即函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是(0,1).故答案为：(0,1). 【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.15．【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解【详解】由得解得∴不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查对数不等式的解法考查了对数函数的性质是基础题解析：(,1-∞-. 【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解. 【详解】由()()222log 1log 2x x ->-，得21220x xx ⎧->-⎨->⎩，解得1x <--∴不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为(,1-∞-.故答案为：(,1-∞-. 【点睛】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题.16．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】函数()22log 1af x x=+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++，设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.17．【分析】先求出m=-1n=3再利用二次函数的图像和性质分析得解【详解】因为函数f （x ）＝loga （x+2）+3的图象恒过定点所以m=-1n=3所以g （x ）＝-x2﹣2bx+3因为g （x ）＝-x2﹣2 解析：[)1,-+∞【分析】先求出m =-1,n =3.再利用二次函数的图像和性质分析得解. 【详解】因为函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点(1,3)-，所以m =-1,n =3，所以g （x ）＝-x 2﹣2bx +3，因为g （x ）＝-x 2﹣2bx +3在[1，+∞）上单调递减，所以对称轴1x b =-≤，解得1b ≥-，故答案为：[)1,-+∞ 【点睛】关键点点睛：本题考查了对数型函数过定点，可求出,m n 的值，利用了二次函数的单调性与对称轴的关系求出b 的范围.18．【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解【详解】由可得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用考查了学生的计算能力属于中档题解析：12【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解．【详解】由2336m n ==可得23log 36,log 36m n == 所以361log 2m =，361log 3n=，所以363636111log 2log 3log 62m n +=+==，故答案为：12【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．19．【分析】由表达式可知解出对应即可求解定义域再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间【详解】由题可知可看作在定义域内为减函数根据复合函数增减性当内层函数为增函数则在对应区间为减函数故函数的定义域是解析：()(),02,-∞+∞ ()2,+∞【分析】由表达式可知220x x ->，解出对应x ，即可求解定义域，再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间【详解】由题可知，()()220,02,x x x ->⇒∈-∞+∞，()212log 2y x x =-可看作12log y t =，22t x x =-，12log y t =在定义域内为减函数，根据复合函数增减性，当()2,x ∈+∞，内层函数为增函数，则()212log 2y x x =-在对应区间为减函数，故函数()212log 2y x x =-的定义域是()(),02,-∞+∞，单调递减区间是()2,+∞故答案为：()(),02,-∞+∞；()2,+∞【点睛】本题考查对数型函数具体定义域和对应增减区间，属于基础题20．【分析】利用换元法可得然后采用等价转换的方法可得在的值域为最后根据二次函数的性质可得结果【详解】由令所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为且所以可得或所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数解析：332,22⎡⎤⎡-+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【分析】利用换元法，可得()2221g x x ax a =-+-，然后采用等价转换的方法，可得()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-，最后根据二次函数的性质，可得结果.【详解】由()22221xf xax a =-+-令22,log xt x t ==，所以()()2222log 2log 1f t t a t a =-+- 则令()2221g x x ax a =-+-由()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-等价为()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-()g x 的对称轴为x a =，且()()1,10g a g a =--= 所以()()22122222a a a a a a -+-+≤≤-+可得312a ≤≤或322a +≤≤所以332,22a ⎡⎤⎡∈⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为：332,22⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.三、解答题21．（1）1927-；（2）116. 【分析】（1）利用指数的运算法则化简求解；（2）利用对数的运算法则化简求解. 【详解】（1）()3224031168281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()324343224()13⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦8194412727=-+-=-. （2）()2log 1483log 3log 3log 22++22311log 3log 3log 2123⎛⎫=++ ⎪⎝⎭235511log 3log 211666⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：指数对数的运算化简，一般先观察指数对数的形式，再利用合适的运算法则化简求解.22．（1）()2x f x =；（2）[2,0]-；（3）17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【分析】（1）根据(2)(1)6f f +=求解出a 的值，即可求解出()f x 的解析式；（2）采用换元法构造函数2(),[1,2]F t t t t =-∈，将m 的取值范围与()F t 的最值联系在一起，由此求解出结果；（3）先根据函数的奇偶性求解出()(),h x g x 的解析式，然后采用分离参数法得到1222222x x x x a --⎡⎤≤--+⎢⎥-⎣⎦，采用换元法求解出1222222xx x x --⎡⎤--+⎢⎥-⎣⎦的最大值，从而求解出a 的取值范围.【详解】（1）因为(2)(1)6f f +=，所以260,2a a a +-==或3a =-（舍去），所以()2x f x =；（2）由（1）知，()2x f x =，所以()222222x x x xm =-=-，令2,[1,2]xt t =∈，令2(),[1,2]F t t t t =-∈，所以()F t 的对称轴为12t =，且()F t 为开口向下的二次函数，所以()F t 在[]1,2上单调递减，所以()()ma min x (2)2,(1)0F t F F t F -====，所以m 的取值范围为[2,0]-；（3）因为()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，所以()(),()()g x g x h x h x -=--=．由题()()()f x g x h x =+知，2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+-⎩，即2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+⎩解得2222(),()22x x x xh x g x --+-==将上式代入2()(2)0ag x h x +≤，得()()221222202x xxx a ---++≤，易知()22222212211222222222222xx xxx x x x x x x x a -------++⎡⎤≤-⋅=-⋅=--+⎢⎥---⎣⎦．令12,[1,2]2x xt x =-∈，则315,24t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，122a t t ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，因为存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤，所以max12132173222122a t t ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫≤-+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭所以a 的取值范围是17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：不等式在指定区间上有解或恒成立求解参数范围问题的处理方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的关系. 23．(1)10；(2)3. 【分析】（1）根据根式定义化根式为分数指数幂，再由幂的运算法则计算；（2）由对数运算法则计算．【详解】 (1)解：原式()()1323120.410.5-=-+1321511218105222-⎛⎫=-++=-++= ⎪⎝⎭.(2)解：原式2322lg5lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)3=++++ 222lg52lg 22lg5lg 2(lg5)(lg 2)=++++ 22(lg5lg 2)(lg5lg 2)213=+++=+=.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，考查幂和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题关键．24．（1）1；（2）1010．【分析】（1）根据4()42xx f x =+的表达式，求出()(),1f a f a -的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a +-=．（2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S 的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x +-=求出S 的值．【详解】（1）4()42xxf x =+，x ∈R ． ∴()()1f a f a +-1144444442424224aaaa a a a a--=+=+++++4214224a a a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：20202201109211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴220201010S S =⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力.25．（1）0；0，（2）定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，见解析【分析】（1）先求出1(2)02f f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，再证明1()0f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即得解；（2）先求出函数()f x 的定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，再分类讨论证明()f x 在定义域上恒正.【详解】（1）1(2)02f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，111111()ln ln 11221f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭1111111ln ln ln 1ln 121212121x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0=.所以[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111(11)(12)(29)(66)011122966f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （2）由题得0x >且1x ≠，所以函数()f x 的定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，1()ln 2(1)x f x x x +=-.当(0,1)x ∈时，10x -<，ln 0x <，10x +>，所以()0f x >；当(1,)x ∈+∞时，10x ->，ln 0x >，10x +>，所以()0f x >. 综上，()f x 在定义域上恒正. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查函数值的求法，考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据命题p 、q 为真命题时求出对应的实数a 的取值范围，再由题中复合命题的真假判断出p 、q 中一真一假，然后分“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况讨论，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题知:p 关于x 的不等式1x a >（0a >且1a ≠）的解集是{}0x x <，所以：01a <<.:q函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，等价于x R ∀∈，210ax +>.（i ）当0a =时，不等式10+>在R 上不恒成立；（ii ）当0a ≠时，0240a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >.即1:2q a >.如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 真q 假，或p 假q 真，若p 真q 假，则0112a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，可得102a <≤；若p 假q 真，则0112a a a ≤≥⎧⎪⎨>⎪⎩或，可得1a ≥. 解得102a <≤或1a ≥. 所以，实数a 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数，考查指数函数的单调性以及对数型复合函数的定义域问题，考查运算求解能力，属于中等题.。

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题及解析

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题（满分：150分；考试时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题. 每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的） 1．指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是（）A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．在区间),0(+∞上不是增函数的是 ( )A.2x y =B.x y log 2=C.xy 2= D.122++=x x y 4．式子82log 9log 3的值为 ( ) A .23 B .32C .2D .3 5．已知0ab >，下面四个等式中：①lg()lg lg ab a b =+； ②lg lg lg a a b b=-；③b ab a lg )lg(212= ；④1lg()log 10ab ab =．其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则c b a ,,三者的大小关系是（） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 7．已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解集是（）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{4} 8．图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =， l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（）A. 0<a <b <1<d<cB. 0<b<a <1<c<dC. 0<d<c<1<a<bD. 0<c<d <1<a<bx9．函数y= | lg （x-1）| 的图象是（）10．给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (x )=x ；⑤f (x )=1x ．其中满足条件f 12()2x x + ＞12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（.每小题5分，共20分） 11．函数21()log (2)f x x =-的定义域是．12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .13．函数)x 2x (log y 221-=的单调递减区间是_________________．14．关于函数21()lg (0,R)||x f x x x x +=≠∈有下列命题：①函数()y f x =的图象关于y 轴对称；②在区间(,0)-∞上，函数()y f x =是减函数；③函数()y f x =的最小值为lg 2；④在区间(1,)+∞上，函数()y f x =是增函数．其中正确命题序号为_______________．三、解答题（6小题，共80分）15．（本小题满分12分）4160.2503432162322428200549-⨯+--⨯--（）（）（）（）16．（本小题满分12分）设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，求满足()f x =41的x 的值．C17．（本小题满分14分）已知()2xf x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．18．（本小题满分14分）若0≤x ≤2，求函数y=523421+⨯--x x 的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈20．（本小题满分14分）已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数.（1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）若对任意的R t ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题参考答案及解析一、选择题1．D 解析：由a 2=16且a ＞0得a =42．C 解析：原式a ab ba9990653121612132-=-=-=-+-+3．C 解析：根据反比例函数的性质4．A 解析：因log 89=22232log 32log 3log 23=，故原式=23 5．B 解析：ab ＞0，故a 、b 同号；当a 、b 同小于0时，①②不成立；当ab =1时，④不成立，故只有③对。

(压轴题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C．y =1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．2017年5月，世界排名第一的围棋选手柯洁0：3败给了人工智能“阿法狗”.为什么人类的顶尖智慧战胜不了电脑呢？这是因为围棋本身也是一个数学游戏，而且复杂度非常高.围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361⨯=个落子点.每个落子点都有落白子､落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈.则下列各数中与MN最接近的是（）(参考数据：lg30.48≈) A ．3310B ．5310C ．7310D ．93103．已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===，则（）A ．a b c <>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>5．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（） A ．12-B ．-1C ．-5D ．126．已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>7．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减8．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，x ∈[1，2]与函数.2y x =，[]2,1x ∈--即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）A ．y =xB ．1y x x=+ C ． 22x x y -=- D ．y ＝log 0.5x 9．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a ⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（）A ．-3B ．-1C ．1D ．3二、填空题13．函数12()log (2)f x x =-的定义域为______.14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 15．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________. 16．已知函数22()log ()f x ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是_________ 17．若函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点(,)P m n ，则函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是_____.18．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 19．设函数()f x =，则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.20．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.三、解答题21．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增，求实数a 的取值范围． 22．设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数．（1）求a 的值．（2）若[2,4]x ∀∈，不等式1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．23．设函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，且()312f =. （1）求k ，a 的值；（2）求函数()f x 在[)1,+∞上的值域；（3）设()()222xx g x a a m f x -=+-⋅，若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值；（4）对于（3）中函数()g x ，如果()0g x >在[)1,+∞上恒成立，求m 的取值范围. 24．（1）已知12x y +=，9xy =，且x y <，求11221122x y x y-+值；（2）求值：2(lg 2)lg5lg 20+⋅.25．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值；（2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 26．已知函数()21log 1x f x x +=-，（1）求函数()y f x =的定义域；（2）证明：()y f x =是奇函数；（3）设()()()14h x f x f x =+，求函数()y h x =在[]3,7内的值域；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数；C ．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数，故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．D解析：D 【分析】设36180310M x N ==，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出M N . 【详解】解：设36180310M x N ==，两边取对数36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，故选：D . 【点睛】关键点睛:本题考查了对数的运算，关键是结合方程的思想令36180310x =，两边取对数后进行化简整理.3．B解析：B 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果【详解】因为33log 0.2log 10<=，0.20331>=，...030002021<<=，a cb ∴<<．故选：B ．【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答4．A解析：A 【分析】首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系. 【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭ 又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2xf x =的性质，后面的问题迎刃而解.5．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.6．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，如图所示：由图象可得：c a b >>，故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.7．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xx e e e >∴>解得0;x >所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可.【详解】对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确；对B ：1y x x=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确；对C ：22xxy -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确；对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题.9．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ，所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1，所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.10．B解析：B 【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算11．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ；3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.12．A解析：A 【分析】先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件得到不等式组求解函数的定义域即可得结果【详解】根据题意可得：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】该题考查的是有关求函数的问题涉及到的知识点有求给定函数的定解析：(2,3]【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件，得到不等式组求解函数的定义域即可得结果. 【详解】根据题意可得：1220log (2)0x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得23x <≤，所以函数()f x =(2,3]，故答案为：(2,3]. 【点睛】该题考查的是有关求函数的问题，涉及到的知识点有求给定函数的定义域，在解题的过程中，注意二次根式和对数式需要满足的条件即可得结果.14．【分析】画出分段函数的图像根据图像结合解析式进行求解【详解】根据分段函数的解析式以及函数为奇函数作图如下：由图容易知因为在区间上关于对称且在区间上关于对称故其与直线的所有交点的横坐标之和为0故所有根解析：21-【分析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称，且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称，故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根，此时()21log 12x +=，解得21x =. 21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.15．【分析】由复合函数的单调性：同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性解析：3(1,]2【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．【详解】∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >，且320a -≥，∴312a <≤．故答案为：3(1,]2．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．16．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设2()u x ax x a =++值域为A ，根据题意(0,)A +∞⊆，对a 分类讨论，结合根的判别式，即可求解. 【详解】设2()u x ax x a =++值域为A ，函数22()log ()f x ax x a =++的值域为,(0,)R A +∞⊆，当0a =时，2()log f x x =值域为R ，满足题意；当0a ≠时，须20140a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得102a <≤，综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.17．【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点得到换元令利用二次函数的单调性即可求解【详解】函数恒过点则区间变为由函数令则利用二次函数的单调性当时则函数在上的最小值是故答案为：【点睛】关键点睛：把指数型解析：34【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到1,2m n =-=，换元，令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，利用二次函数的单调性，即可求解. 【详解】函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点()1,2-，则1,2m n =-=，区间[],x m n ∈变为[]1,2x ∈-，由函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则()2213124f t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，利用二次函数的单调性，当12t =时，()min 34f t =，则函数()11142xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是34.故答案为：34. 【点睛】关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键.18．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间. 【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >.所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增，外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．19．【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题解析：【分析】根据指数的运算律计算出()()1f x f x +-=的值，由此可计算出所求代数式的值. 【详解】()f x =()1122xx f x ∴-====， ()()12x x x f x f x ∴+-=+===，因此，()()()()()()5434566f f f f f f -+-+-++++==.故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期解析：31e e --【分析】根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可. 【详解】由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-，故()f x 关于1x =对称；又因为()f x 是奇函数，则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-，故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，故函数()f x 是周期为4的函数. 则()()()201911f f f =-=-，又当[]0,1x ∈，()1x f x e =-，故()()201911f f e =-=-，则()()()()()320191131eff f e f e f e e-=-=--=--=-.故答案为：31e e --. 【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期.三、解答题21．（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,+∞.【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围. 【详解】（1）因为()22log 46y ax x =-+的值域为R ，所以246y ax x =-+的值域包含()0,∞+，当0a =时，246y ax x =-+即46y x =-+，此时46y x =-+的值域为R ，满足；当0a ≠时，则有016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，所以203a <≤，综上可知：20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）当1a >时，log a y x =在()0+∞，上单调递增，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递增，所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，所以2a ≥，当01a <<时，log a y x =在()0+∞，上单调递减，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减，所以()2330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩，此时a 无解，综上可知：[)2,a ∈+∞. 【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有0a >⎧⎨∆<⎩；若函数的值域为R ，则有0a >⎧⎨∆≥⎩. 22．（1）1a =-；（2）89m <. 【分析】（1）由奇函数的性质()()0f x f x ，代入运算后可得1a =±，代入验证即可得解；（2）转化条件为131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，结合函数的单调性求得()min g x 即可得解.【详解】（1）因为131()log 1axf x x -=-为奇函数，则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()21231log 01ax x-==-，则()22111ax x -=-，所以21a =即1a =±，当1a =时，()11331()log log 11xf x x -==--，不合题意；当1a =-时，131()log 1x f x x +=-，由101xx +>-可得1x >或1x <-，满足题意；故1a =-；（2）由1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可得131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-，则131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，因为函数12111x y x x +==+--在[2,4]上单调递减，所以函数131log 1xy x +=-在[2,4]上单调递增，所以()g x 在[2,4]上单调递增，所以()()1min 32log 182993g x g -===+，所以89m <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值. 23．（1）2a =，2k =；（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）2m =；（4）17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由奇函数性质求得k ，由3(1)2f =可求得a ；（2）利用函数的单调性得值域；（3）换元，设22x x t -=-，则3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()g x 转化为()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，由二次函数的性质求得最小值，再由最小值为2-可得m ，（4）在（3）基础上，由()k t 的最小值大于0可得m 的取值范围．【详解】解：（1）∵函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，即()110k --=，2k =， ∵()312f =.∴132a a -=，2a =， ∴2a =，2k =，（2）1()2222xxx x f x -=-=-是增函数，∴1≥x 时，13()222f x ≥-=，即值域中3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）()()2222222xx x x g x m --=+--，设22xxt -=-，[)1,x ∈+∞，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， ∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为2-，∴23222m m ⎧≥⎪⎨⎪-+=-⎩或3293224m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 即2m =，或2512m =(舍去)，故2m =；（4）()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， ∵()0g x >在[)1,+∞上恒成立， ∴()0k t >在3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，∴23220m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或3293204m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解不等式得出x ∈∅或1712m <， ∴m 的取值范围为17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：本题考查指数函数的性质，考查奇偶性，由奇偶性同函数解析式，由单调性是函数的值域，在求函数()g x 的最值问题，不等式恒成立问题时，解题方法是换元法，即设22x x t -=-，把指数函数转化为二次函数，然后利用二次函数性质求解．24．（1）2）1. 【分析】（1）求出x y -的值，再化简11221122x y x y-+即得解；（2）利用对数的运算法则化简求解. 【详解】（1）因为222()()41249108x y x y xy -=+-=-⨯=，又x y <，所以x y -=-所以1111222221122()3x y x yx yx y--====--+.（2）原式22(lg2)lg5(1lg2)(lg2)lg5lg2lg5=+⋅+=+⋅+lg2(lg2lg5)lg5lg2lg51=++=+=.【点睛】关键点点睛：解答指数对数运算题的关键是通过观察式子的特点，再熟练利用指数对数的运算法则和性质求解.25．（1）1；（2）1010．【分析】（1）根据4()42xxf x=+的表达式，求出()(),1f a f a-的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a+-=．（2）设12320202021202120212021S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x+-=求出S的值．【详解】（1）4()42xxf x=+，x∈R．∴()()1f a f a+-1144444442424224a a a aa a aa--=+=+++++4214224aa a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则20201202120212021202321S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：202022011 09211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴220201010S S=⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力. 26．（1）见解析；（2）见解析；（3）[]4,5 【分析】（1）由不等式101x x +>-即可求出()f x 的定义域；（2）证明()()f x f x -=-可得()f x 为奇函数；（3）先求出()f x 在[]3,7上的值域，令()t f x =，求()14h t t t=+的值域. 【详解】（1）由101x x +>-得：1x >或1x <-， ()f x ∴的定义域为()(),11,-∞-+∞；（2）()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-， ()f x ∴为奇函数；（3）()22log 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在[]3,7上单调递减，令()t f x =，则24log ,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，而()14h t t t=+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()2411log 15,4342h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数()h x 在[]3,7内的值域为[]4,5.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，奇偶性，考查了复合函数的单调性，值域求解，属于中档题.。

【高中】高中数学第三章指数函数和对数函数章末检测北师大版必修1

【关键字】高中2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数章末检测北师大版必修1班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数y＝的值域是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案：A解析：由题意得0<≤0＝1.2．已知函数f(x)＝ln |x－1|，则f(x)( )A．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是增函数B．在区间(－∞，1)上是增函数，在区间(1，＋∞)上是减函数C．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是减函数D．在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数答案：D解析：∵|x－1|在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，y＝ln x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数．3．若函数f(x)＝，则f[f(－3)]＝( )A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f[f(－3)]＝f(8)＝log28＝3.4．不等式x>x－1的解集是( )A．(－1，＋∞) B.C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)答案：C解析：2x<x－1，x<－1.5．已知a＝log20.6，b＝20.2，c＝log2，则( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案：D解析：∵a＝log20.6<0，b＝20.2>1，c＝log2＝，∴a<c<b.6．函数f(x)＝的定义域是( )A. B.C. D.答案：A解析：log0.5(3－4x)≥0,0<3－4x≤1，≤x<.7．函数y＝是奇函数，则实数a＝( )A．1 B．0C．－1 D．任意实数答案：A解析：f(0)＝(1－a)＝0，∴a＝1.16.如右图，开始时，桶1中有a L 水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a e －nt，那么桶2中水就是y 2＝a －a e －nt，假设过5 min 时，桶1和桶2的水相等，则再过________ min 桶1中的水只有a8L.答案：10解析：由题意，5 min 后，y 1＝a e －5n，y 2＝a －a e－5n，y 1＝y 2，∴n ＝15ln2.设再过t min桶1中的水只有a8L ，则y 1＝a e－n (5＋t )＝a8，解得t ＝10. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(1)计算：3－63＋41－34＋80.25×42＋125÷425.(2)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18.解：(1)原式＝－6＋(3－1)＋(23)14×214＋53224-＝－6＋3－1＋2＋5＝ 3.(2)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.18．(12分)现有命题P 和Q 如下． P ：函数y ＝c x 在R 上单调递减．Q ：函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c)的值域为R .如果P 和Q 中有且只有一个命题是真命题，求非负实数c 的取值范围．解：函数y ＝c x在R 上单调递减⇔0<c <1.函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c )的值域为R ⇔Δ＝42－4×2·1c ≥0，所以1c≤2，又c >0，所以c ≥12.根据题设可知，命题P 和Q 有且仅有一个正确．(1)如果P 正确，Q 不正确，则0<c <12；(2)如果Q 正确，P 不正确，则c ≥1.所以，正数c 的取值范围为(0，12)∪[1，＋∞)．19．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x ，a ∈R . (1)求函数的定义域；(2)是否存在实数a ，使得f (x )为偶函数．解：(1)由2x－1≠0，得x ≠0，即函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)在定义域内任取x ，由f (x )－f (－x )＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋a (－x )＝0. 所以2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，解得a ＝12.存在实数a ＝12，使得f (x )－f (－x )＝0成立，即使得f (x )为偶函数．20．(12分)已知函数f (x )＝log 2(1－x )，g (x )＝log 2(x ＋1)，设F (x )＝f (x )－g (x )． (1)判断函数F (x )的奇偶性； (2)证明函数F (x )是减函数．解：(1)F (x )＝f (x )－g (x )＝log 2(1－x )－log 2(x ＋1)＝log 21－x1＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．∴函数F (x )的定义域关于原点对称，又∵F (－x )＝log 21＋x 1－x ＝－log 21－x1＋x＝－F (x )．∴函数F (x )为奇函数．(2)由(1)知函数F (x )的定义域为(－1,1)，任取－1<x 1<x 2<1，则log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2＝log 21－x 11＋x 21＋x 11－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2. 又(1－x 1＋x 2－x 1x 2)－(1＋x 1－x 2－x 1x 2)＝2(x 2－x 1)>0，所以1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2>1，所以log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2>0，即log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1>log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2，所以函数F (x )是减函数．21．(12分)求函数y ＝(12)212x x ＋－的值域和单调区间．解：令t ＝1＋2x －x 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，而t ＝－(x －1)2＋2≤2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.即所求的函数的值域是[14，＋∞)．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212x x ＋－在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．22．(12分)已知函数f (x )＝log a 1－m x －2x －3(a >0，a ≠1)，对定义域内的任意x 都有f (2－x )＋f (2＋x )＝0成立．(1)求实数m 的值；(2)若当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，求实数a ，b 的值．解：(1)由f (x )＝log a 1－m x －2x －3及f (2－x )＋f (2＋x )＝0对定义域内任意x 都成立，可得：log a 1－m [2－x －2]2－x －3＋log a 1－m [2＋x －2]2＋x －3＝0.解得m ＝±1.当m ＝1时，函数f (x )无意义，所以，只有m ＝－1.(2)m ＝－1时，f (x )＝log a 1－m x －2x －3＝log a x －1x －3(a >0，a ≠1)，其定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．所以，(b ，a )⊆(－∞，1)或(b ，a )⊆(3，＋∞)． ①若(b ，a )⊆(3，＋∞)，则3≤b <a . 为研究x ∈(b ，a )时f (x )的值域，可考虑f (x )＝log a x －1x －3在(3，＋∞)上的单调性．下证f (x )在(3，＋∞)上单调递减．任取x 1，x 2∈(3，＋∞)，且x 1<x 2，则 x 1－1x 1－3－x 2－1x 2－3＝2x 2－x 1x 1－3x 2－3>0. 又a >1，所以log a x 1－1x 1－3>log a x 2－1x 2－3，即f (x 1)>f (x 2)．所以当(b ，a )⊆(3，＋∞)时，f (x )在(3，＋∞)上单调递减．由题：当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，所以，必有b ＝3且f (a )＝1，解得a ＝2＋3(因为a >3，所以舍去a ＝2－3)．②若(b ，a )⊆(－∞，1)，则b <a ≤1.又由于a >0，a ≠1，所以0<a <1. 此时，同上可证f (x )在(－∞，1)上单调递增(证明过程略)．所以，f (x )在(b ，a )上的取值范围为(f (b )，f (a ))，而f (a )为常数，故f (x )的取值范围不可能恰为(1，＋∞)．所以，在这种情况下，a ，b 无解．综上，符合题意的实数a ，b 的值为a ＝2＋3，b ＝3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（）A ．21a b a++B ．21a b a+C ．21a b aD ．21a b a-2．若函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a的取值范围为（） A ．[]3,2--B ．[)3,2--C ．(],2-∞-D ．(),2-∞-3．已知函数()2()ln1f x x x =+-，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()()3,<1log ,1a a x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．()()0,11,3D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>7．若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32c =，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<8．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减 9．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知a b c 、、是不为1的正数，且0lga lgb lgc ++=，则 111111lgb lgclgc lgalga lgbabc+++⨯⨯的值为_____14．函数f （x ）=lg （x 2-3x -10）的单调递增区间是______． 15．已知函数()4sin 22xx f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.16．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.17．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 18．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________.19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．已知3(1)4,1()1,1a a x a x f x og x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是__________.三、解答题21．已知函数()2()log 41xf x kx =++是偶函数. （1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图像与直线y x a =+没有交点，求实数a 的取值范围；（3）设函数()()221f x xx g x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；否则，说明理由.22．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-.设函数()()()F x f x g x =-. （1）求函数()F x 的定义域；（2）判断()F x 奇偶性并证明；（3）若()0F x >成立，求x 的取值范围. 23．（1）解不等式()()22log 2log 36x x -≤+；（2）在（1）的条件下，求函数1114242x xy -=-⎛⎫⎛⎫⎪⎝⋅⎪⎝⎭+⎭的最大值和最小值及相应的x 的值.24．计算1132113321(4()40.1()ab a b ----⋅（其中0a >，0b >）25．计算：(1)011327(0.064)0.258-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； (2)22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+. 26．化简计算：（1）0160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】根据对数的换底公式得，5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---，故选：C ．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.2．A解析：A 【分析】判断复合函数的单调性，首先要分清楚内外层函数，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求即可. 【详解】由题意知，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，由()()23log 5f x x ax a =+++可知，此复合函数外层函数为：()3log f x x =，在定义域上为增函数，内层函数为()25h x x ax a =+++，要使()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，根据复合函数“同增异减”原则，内层函数为()h x 在区间(),1-∞上必须是递减函数，同时须保证最大值()10h ≥，所以()1210a h ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩，解得32a --≤≤. 故选：A. 【点睛】易错点睛：判断复合函数的单调性，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求.3．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.4．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．A解析：A 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案. 【详解】由题意，()f x 的值域为R ，当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤，故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 6．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，如图所示：由图象可得：c a b>>，故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.7．A解析：A【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．【详解】由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log0.3(5+4x−x2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，则1112aa-≥-⎧⎨+≤⎩，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选A．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．8．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xxe e e >∴>解得0;x > 所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.9．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项．【详解】由恬24a=，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增．故选：C ．【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．10．C解析：C 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立，所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ．【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．11．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<. 因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】由对数函数，对a 分类，01a <<和1a >，在对数函数图象确定的情况下，研究二次函数的图象是否相符．方法是排除法．【详解】由题意，若01a <<，则log a y x =在()0+∞，上单调递减，又由函数()21y a x x =--开口向下，其图象的对称轴()121x a =-在y 轴左侧，排除C ，D.若1a >，则log a y x =在()0+∞，上是增函数，函数()21y a x x =--图象开口向上，且对称轴()121x a =-在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 故选：A ．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象，排除错误选项即可得．二、填空题13．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题解析：11000【分析】根据对数运算公式，可以将0lga lgb lgc ++=转化，得到a ，b ，c 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决．【详解】由0lga lgb lgc ++=，可得1bc a =，1ab c=，1ac b =，111111111()()()lgb lgclgc lgalga lgblgb lgalgcabcac bc ab +++∴⨯⨯=．11110101011111010101000bac log log log bac ==⨯⨯=故答案为：11000【点睛】本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．14．（5+∞）【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5∵u=x2-3x-10在（5+∞）单调递增而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减解析：（5，+∞）【分析】确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论．【详解】由x 2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5，∵u=x 2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减的法则可得，函数f （x ）=lg （x 2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）故答案为（5，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题15．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019 【分析】观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解. 【详解】因为()()()2442sin sin 222222x xf x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.16．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可. 【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立. 故实数k 的取值范围是[)0,4. 故答案为：[)0,4 【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.17．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间. 【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增，外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．18．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围.【详解】函数()22log 1af x x=+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()22202111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++，设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >，综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．【分析】由在R 上单调减确定a3a-1的范围再根据单调减确定在分界点x=1处两个值的大小从而解决问题【详解】因为是上的减函数所以解得故答案为：【点睛】本题考查分段函数单调性问题关键根据单调性确定在分段解析：3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由()f x 在R 上单调减，确定a ， 3a -1的范围，再根据单调减确定在分界点x =1处两个值的大小，从而解决问题. 【详解】因为3(1)4,1()1,1a a x a x f x og x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，所以10013(1)4log 10a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥=⎩，解得317a ≤<，故答案为：3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查分段函数单调性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小，属于中档题.三、解答题21．（1）1-；（2）0a ≤；（3）存在，1m =-. 【分析】（1）由(1)(1)f f -=得1k =-，再验证此时()f x 为偶函数；（2）化简()g x ，换元，令2x t =化为关于t 的二次函数，分类讨论对称轴，求出最小值，结合已知最小值可解得结果. 【详解】（1）因为函数()2()log 41xf x kx =++是偶函数，所以(1)(1)f f -=，即()()122log 41log 41k k -+-=++，即2252log log 54k =-2=-，解得1k =-；当1k =-时，()2()log 41xf x x =+-，()2()log 41xf x x --=++，()()22()()log 41log 412xxf x f x x ---=+-+-241log 241x x x -+=-+2log 42xx=-220x x =-=，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，所以1k =-符合题题.（2）因为函数()y f x =的图像与直线y x a =+没有交点，所以()2241()()log 412log 4x xxf x x a x a a ⎛⎫+-+=+--=- ⎪⎝⎭21log 104x a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭无解，而21log 104x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，故0a ≤. （3）()()221f x x x g x m +=+⋅-2log (41)221xx xx m +-+=+⋅-()241214222xxxxx xm m m =++⋅-=+⋅=+⋅22(2)24xm m =+-，令2x t =，因为[]20,log 3x ∈，所以[1,3]t ∈，令22()24m m y t =+-，[1,3]t ∈，当12m -≤，即2m ≥-时，22()24m m y t =+-单调递增，所以y 的最小值为10m +=，解得1m =-；当32m -≥，即6m ≤-时，22()24m m y t =+-单调递减，所以y 的最小值为2330m +=，解得3m =-（舍）；当132m <-<，即62m -<<-时，y 的最小值为204m-=，解得0m =（舍）.综上所述：1m =-. 【点睛】关键点点睛：化简()g x ，换元，令2x t =化为关于t 的二次函数，利用二次函数知识求解是解题关键. 22．（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数，证明见解析；（3）302x <<【分析】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩可解得结果；（2）()F x 是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确；（3）根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩，解得3322x -<<，所以函数()F x 的定义域为33(,)22-.（2）()F x 是奇函数. 证明如下：x ∀∈33(,)22-，都有x -∈33(,)22-，因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-， ∴()F x 是奇函数.（3）由()0F x >可得()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->，即ln(32)ln(32)x x +>-，由对数函数的单调性得32320x x ，解得302x <<.【点睛】易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域. 23．（1）[)1,2-；（2）当1x =时，函数y 取最小值为1；当1x =-时，函数y 取最大值为10. 【分析】（1）由题意结合对数函数的性质可得20360236x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-≤+⎩，解不等式组即可得解；（2）由题意令11,224x t ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则21412y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）()()22log 2log 36x x -≤+，∴20360236x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-≤+⎩，解得12x -≤<， ∴不等式的解集为[)1,2-；（2）当[)1,2x ∈-时，设11,224xt ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则函数222112411114244424241222x x x x t t t y -⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=-+ ⎝⎭⎪⎭⎝⎭⎝，∴当12t =即1x =时，函数y 取最小值为1；当2t =即1x =-时，函数y 取最大值为21421102⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了对数函数单调性的应用及对数不等式的求解，考查了指数函数的性质、二次函数的性质及换元法的应用，属于中档题.24．85【分析】将小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，利用指数幂的运算性质化简求值. 【详解】1113132211133133221(4)1(4)()=()4410.1()()()10ab ab a b a b --------⋅⋅ 原式13113322211()()(4)()410ab a b ----=原式33333002222211848555a b a b a b --=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题考查指数幂的运算，要熟练掌握基本的运算法则和运算性质，小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，更有利于运算. 25．(1)10；(2)3. 【分析】（1）根据根式定义化根式为分数指数幂，再由幂的运算法则计算；（2）由对数运算法则计算．【详解】 (1)解：原式()()1323120.410.5-=-+1321511218105222-⎛⎫=-++=-++= ⎪⎝⎭.(2)解：原式2322lg5lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)3=++++ 222lg52lg 22lg5lg 2(lg5)(lg 2)=++++ 22(lg5lg 2)(lg5lg 2)213=+++=+=.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，考查幂和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题关键．26．（1）110；（2）-1 【分析】（1）原式化简为分数指数幂，计算结果；（2）根据对数运算公式化简求值. 【详解】（1）原式113133234432222323-⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113322210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110=（2）原式()()22lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-()22lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅--()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-()lg5lg2lg51lg5=⋅+--lg51lg51=--=-【点睛】本题考查指数幂和对数运算，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础题型.。

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一、选择题1．下列等式成立的是（）A ．222log (35)log 3log 5+=+B ．2221log 3log 32-=C ．222log 3log 5log (35)⋅=+D ．231log 3log 2= 2．形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（）位数(参考数据：lg2≈0.3010).A ．8B ．9C ．10D ．113．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围是（） A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3] 4．函数()f x =的定义域是（） A ．(0,2) B ．[2,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．(,2)-∞ 5．已知函数)()ln f x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===，则（）A ．a b c <> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．b c a >> 9．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（）A ．2aB ．2C ．154D ．174 10．设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（）．A ．b a c <>D ．a c b <<11．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（） A ． B ． C ． D ． 12．函数32ln ||()x x f x x -=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______. 14．72log 2338log 272lg 5lg 47-+++=______.15．已知函数()4sin 22x x f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______. 16．已知11225x x -+=22165x x x x --+-=+-______.17．如图，在面积为2的平行四边形OABC 中，AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E .若指数函数()01x y a a a =>≠,经过点E ，B ，则函数()a f x x x=-在区间[]1,2上的最小值为________.18．函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为_______.19．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____. 20．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．计算下列各式的值：（1）3224031168()281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()2log 1483log 3log 3log 22+⨯+. 22．已知函数()3lg 3x f x x+=-．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．23．已知函数22()log (23).f x x x =-++（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）写出函数()f x 的单调增区间和减区间（不要求证明）.24．计算下列各式：（1）)()()03235232ππ--；（2）92log 2663log 4log 3.2++ 25．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x x f -<．26．已知函数()lg(3)f x ax =-的图像经过定点(2,0)．(1)求a 的值；(2)设(3),(5)f m f n ==，求21log 63（用,m n 表示）；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断．【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；22221log 32log 3log 32-=-≠，B 错误； 222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误；3233log 31log 3log 2log 2==，D 正确．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，log log n a a b n b =，一般log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1log log n a a b b n ≠． 2．C解析：C【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯，进而即可判断出其位数．【详解】根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F 的位数是10．故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg 2210=. 3．D解析：D【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解.【详解】由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，且()116416f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()10f =，结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈，所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.4．A解析：A【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域.【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x << 所以函数的定义域是()0,2.故选：A .【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.5．D解析：D【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021，2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】 210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()ln ln f x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减， 102021202020120>=，202020201log log 102021<=， 2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()lnf x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较. 6．B解析：B【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果【详解】因为33log 0.2log 10<=，0.20331>=，...030002021<<=，a cb ∴<<．故选：B ．【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答 7．B解析：B【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3x f x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果.【详解】由题可知：()3x f x -为定值故设()3xf x m -=，即()3x f x m =+ 又[()3]4xf f x -=，所以()341m f m m m =+=⇒=则()31x f x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133x x =时，取等号所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题. 8．A解析：A【分析】根据指数函数、对数函数的性质结合中间值0和1比较．【详解】由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭，由对数函数性质得125log 04<， ∴b a c >>．故选：A ．【点睛】本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．9．C解析：C【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x x f x g x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+x x g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .②+①②，得()24g x =，()2g x ∴=.(),2g b a a =∴=.()22﹣-∴=x x f x .22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．A解析：A【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>> 所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>=所以b a c <<故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.11．D解析：D【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案.【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ；当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C.故选：D.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.12．A解析：A【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项．【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣，因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x -----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x x f x x x x-==-，当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．二、填空题13．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果.【详解】令2t x ax a =-+,则原函数化为12()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有232330a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.14．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值解析：32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得.【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++ 34222=-+++ 32= 故答案为：32 【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值. 15．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019【分析】观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解.【详解】因为()()()2442sin sin 222222x x f x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题. 16．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：12- 【分析】对1122x x -+=13x x -+=，再平方可得227x x -+=，即可求解. 【详解】 1122x x -+=125x x -++=，所以13x x -+= 对13x x -+=两边同时平方得：2229x x -++=，227x x -+= 则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为：12-【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系. 17．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-【分析】设点(),t E t a ，则点B 的坐标为()2,2t t a，由题意得22t t a a =，则2t a =，再根据平行四边形的面积求得12t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值．【详解】解：设点(),t E t a ，则点B 的坐标为()2,2t t a，∵22t t a a =，∴2t a =，∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==，又平行四边形OABC 的面积为2，∴42t =，12t =，所以122a =，4a =， ∴()4f x x x =-在[]1,2为增函数， ∴函数()f x 的最小值为()4111f =-=3-，故答案为：3-．【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题． 18．【分析】先由求得函数的定义域然后令由复合函数的单调性求解【详解】由解得或所以函数的定义域为或因为在上递减在递减所以函数的单调递增区间为故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【分析】先由22530x x -->，求得函数的定义域，然后令2253t x x =--，由复合函数的单调性求解.【详解】由22530x x -->，解得 12x <-或 3x >，所以函数()213log 253y x x =--的定义域为{1|2x x <-或 }3x >，因为2253t x x =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，13log y t =在()0,∞+递减，所以函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 故答案为：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数y ＝f [g (x )]，先求定义域，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．19．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应解析：[)6,+∞由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+，得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围．【详解】解：正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=，又2220x xy y -+，所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++，设x y a +=即2412a a +，解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞．故答案为：[)6,+∞．【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．20．【分析】根据的值域为可知需在单调递增且即可【详解】由题意知的值域为故要使的值域为则必有为增函数且所以且解得故答案为：【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围属于中档题解析：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可.【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ，则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥，所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<. 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题.三、解答题21．（1）1927-；（2）116. 【分析】（1）利用指数的运算法则化简求解；（2）利用对数的运算法则化简求解.【详解】（1）()3224031168281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()324343224()13⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 8194412727=-+-=-. （2）()2log 1483log 3log 3log 22++22311log 3log 3log 2123⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 235511log 3log 211666⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：指数对数的运算化简，一般先观察指数对数的形式，再利用合适的运算法则化简求解.22．（1）()3,3-；（2）()f x 为奇函数，证明见解析.【分析】（1）利用对数式的真数大于零求解出不等式的解集即为定义域；（2）先判断定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，分析()(),f x f x -之间的关系，由此判断出()f x 的奇偶性.【详解】（1）因为303x x+>-，所以()()330x x -+<，所以{}33x x -<<，所以()f x 的定义域为()3,3-；（2）()f x 为奇函数，证明：因为()f x 的定义域为()3,3-关于原点对称，且()()1333lg lg lg 333x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数.【点睛】思路点睛：判断函数()f x 的奇偶性的步骤如下：（1）先分析()f x 的定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则()f x 为非奇非偶函数，若()f x 的定义域关于原点对称，则转至（2）；（2）若()()f x f x =-，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数. 23．（1）定义域为(1,3)-,值域为(,2]-∞（2）递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3)【分析】（1）由2230x x -++>解得结果可得定义域，根据二次函数知识求出真数的值域，根据对数函数的单调性可求得()f x 的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，根据底数大于1可得函数()f x 的单调区间.【详解】（1）由函数有意义可得2230x x -++>，即2230x x --<，解得13x，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-，因为13x ，所以2223(1)4x x x -++=--+(0,4]∈，所以()(,2]f x ∈-∞，即函数()f x 的值域为(,2]-∞.（2）因为函数()f x 的定义域为(1,3)-，且函数2y x 2x 3=-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又对数函数的底数为21>，所以函数()f x 的递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3).【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 24．（1）2；（2）3.【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则化简求解；（2）直接利用对数的运算法则和性质化简求解.【详解】（1）)02 ()13|2|ππ=+-+-42ππ=-+-=2（2）92log 2663log 4log 32++ 232log 26662log 2log 3log 23=+-+3log 266log 2log 33=++=6log (23)2123⨯+=+=.【点睛】(a n =是奇数||(a n =是偶数).使用上面的公式时，一定要注意n 的奇偶性，再化简.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x <【分析】（1）令0m n ==，代入等式，可求得()00=f ；（2）令n m =-，代入等式，结合()00=f ，可得到()()f m f m -=-，从而可知()y f x =是奇函数，然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数；（3）原不等式可化为()()422x x f f -<，结合函数()f x 的单调性，可得出422x x -<，解不等式即可.【详解】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f . （2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数．在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112x x f f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x -<，即()()12022x x +<-， ∵210x +>，∴220x -<，解得1x <，故原不等式的解集为{}|1x x <.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.26．（1）2a =；（2）2m n m n++【分析】（1）根据对数运算求a 的值；（2）利用换底公式化简求值.【详解】(1)由已知得231a -=得：2a =(2)由(1)得()()lg 23f x x =-，则()()3lg3,5lg7f m f n ====， ∴21lg632lg3lg72log 63lg21lg3lg7m n m n ++===++ 【点睛】本题考查对数换底公式，考查基本分析求解能力，属基础题.。