第二章 方差分析方法(第二节)

i 1 p 2 ( x x ) r ( x x ) i i 2 j 1 i 1 r _ _ p _ _
(2 2 2)
2 2 2 3 (90 89.6) (94 89.6) ...... (84 89.6 ) 303.6
(3)组内变差平方和 Se
B时间（Min）2 1(90Min) 2(120Min) 3(150Min) 1(90Min) 2(120Min) 3(150Min) 1(90Min) 2(120Min) 3(150Min)
C用碱量（x%）3 1(5%) 2(6%) 3(7%) 2(6%) 3(7%) 1(5%) 3(7%) 1(5%) 2(6%)
显著性 * △
⊙
4列平方和刚好等于总平方和： S总=SA+SB+SC+Se

（4）正交表方差分析的特点 （a)总平方和等于个列的平方和
在上例中，第4列没有安排因素，如果我们按每个因素的平 方和计算第4列的K值
( 4) ( 4) K1( 4) 144, K 2 153, K 3 153
1 Q4 (1442 1532 1532 ) 22518 3 S4 Q4 P 22518 22500 18 Se
450 1 P 450 2 9 22500
（3）无交互作用方差分析表
方差分析表
方差来源 A B
C e 总和
变差平方和 SA=618 SB=114
SC=234 Se=18 984
自由度 2 2
2 2 8
平方差平方和 F临 FA 309 34.33 19 57 6.33 99
117 9 13.00 4 9
（2）计算规格化 在正交设计中每个因素的计算步骤完全一样，而且 每一个因素都和某一列相对应。如果某一列表现为误 差，相应平方和的计算和因素的完全一样。这样既便 于计算，又便于编制计算机程序。 由于上面两个性质，方差分析的基本计算可以化 到每一列上。
计算公式
• 设某一列有p个水平，每个水平有q次试验。K1 ，K2，⋯，Kp代表p个水平的q个数据之和，则 。
S A QA P S B QB P SC QC P ST W P Se ST S A S B SC
（2）无交互作用试验结果计算表
试验号 列号 A温度（℃）1
B时间（Min） 2 1(90Min) 2(120Min) 3(150Min)
C用碱量（x%）3 1(5%) 2(6%) 3(7%)
3.平均平方（均方）与均方期望值 第三步：平均平方（均方）与均方期望值计算 平方和除以自由度称为均方。记为S _ S 则：A间均方 SA A p 1 _ SA 误差均方 Se p (r 1) 它们的期望值为 E ( SA ) r A e
2 _ 2 _
E ( Se ) e
（3）特点三：便于分析因素的主次
• 判断标准：极差大的是重要因素；极差小的是 次要因素。 • 在方差分析表中，判断因素影响的主次，是根 据其均方的大小，均方大的是主要因素；均方 小的是次要因素。 • 同时方差分析还能指出试验误差的大小。 • 所以方差分析法更优于极差分析法。
2.有交互作用的正交试验的方差分析
• （1）原则 • 当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显 著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B 的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择。
8
9 K1 K2
3(90℃)
3(90℃) 123 144
2(120Min)
3(150Min) 141 165
1(5%)
2(6%) 135 171
3
1 144 153
62
64
K xi
i 1
9
K3
Qi Si
183
23118 618
144
22614 114
144
22734 234
153
22518 18
二.单因素方差分析法 （以例2－1为例）
• 1.方差分析法的基本思路： • （1）由数据中的总变差平方和中分出组内变差 平方和、组间变差平方和，并赋予它们的数量表 示； • （2）用组间变差平方和与组内变差平方和在一 定意义下进行比较，如两者相差不大，说明因素 水平的变化对指标影响不大；如两者相差较大， 组间变差平方和比组内变差平方和大得多，说明 因素水平的变化影响很大，不可忽视； • （3）选择较好的工艺条件或进一步的试验方向 。
i 1 9 2
p个水平，每水平q个试验号
1 p 2 1 p q 1 3 2 QA K i ( xij ) ( K iA ) 2 q i 1 q i 1 j 1 3 i 1 1 3 QB ( K iB ) 2 3 i 1 1 3 QC ( K iC ) 2 3 i 1
即正好等于Se。所以L9（3 ）的第4列平方和加在一起 正好等于总平方和即 S总=SA+SB+SC+S4 （2-49） S4=Se
4
特别提示：
• 方差分析的优点在于能使总平方和分解成因素 与误差平方和，而正交表将这种分解已固定到 每一列上，某一列在安排试验时没赋予它什么 内容，该列的平方和就反映试验误差。 • 因此，Se不一定通过ST-SA-SB-SC来计算，而可 以通过没有安排因素的列直接计算。
i 1 p
(x
j 1
r
ij
xi ) 2
_
(2 2 3)
Se (60) Se (65) Se (70) Se (75) Se (80) 式中： Se (60) (90 90) 2 (92 90) 2 (88 90) 2 8 Se (65) (97 94) 2 (93 94) 2 (92 94) 2 14 Se (70) (96 95) 2 (96 95) 2 (93 95) 2 6 Se (75) (84 85) 2 (86 84) 2 (82 84) 2 14 Se (80) (84 84) 2 (86 84) 2 (82 84) 2 8 Se Se (60) Se (65) Se (70) Se (75) Se (80) 50 我们发现有： ST S A Se
4 1 2 3
转化率（x%） 31 54 38
1 2 3
1(80℃) 1(80℃) 1(80℃)
4
5 6 7
2(85℃)
2(85℃) 2(85℃) 3(90℃)
1(90Min)
2(120Min) 3(150Min) 1(90Min)
2(6%)
3(7%) 1(5%) 3(7%)
3
1 2 2
53
49 42 57
⊙
_ _
（4）F0.1 FA F0.2 , 因素A有一定影响，记为 △
以例2－1为例，检验其中因素A的显著性 S /f 303.6 / 4 （ 1）计算F= A A 15.18 Se / f e 50.0 /10 （2）查F表（P377)， 对a＝0.05及a＝0.01分别有 F0.05 (4,10) 3.5 F0.01 (4,10) 6.0 （3）比较FA与Fa FA F0.05 , F0.01，因素A高度显著。
_
2
第四步：显著性检验（ 4.显著性检验(F检验) F检验）
SA / fA SA F= _ Se / f e Se
_
F>F临 显著 F<F临 不显著
例如当FA Fa时，若a＝0.05，就有（1－a） 100％即95％的 把握说因素A是显著的。若FA Fa，则在a水平下不能认为因 素A是显著的。通常是当试验精度很差时，a可取得比较大。
r
_
_
p
_
_
每水平重复试验数×水平均值与一般平均之差
S A 3[(k x) (k x) (k x) ]
A 1 2 A 2 2 A 3 2
_
_
_
ST
i 1
p
2 ( x x ) ( x x ) ij i 2 j 1 j 1
r
_
9
_
总体公式： K=x1 x2 ...... x9 1 1 P K2 K2 n 9 W xi
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
转化率（x%） 31 54 38 53 49 42 57 62 64
1 2 3 4 5 6 7 8 9
（1）方差分析理论依据
单因素：p个水平，每水平重复r次试验
SA
i 1
p
2 ( x x ) r ( x x ) i i 2 j 1 i 1
第二节 正交试验方差分析法
极差分析不能估计试验中以及试验结果 测定中必然存在的误差大小。为了弥补这个 缺点，可采用方差分析的方法。
一.正交试验方差分析法基本含义与必要性
• 1.方差分析法的基本含义 所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将总变 差平方和进行分解，然后进行统计检验的一种数学 方法。 方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变化所 引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验 结果间的差异区分开来的一种数学方法。
方差分析表
方差来源 A e 总和 变差平方和 SA=303.6 Se=50.0 自由度 4 10 平方差平方和 75.9 5.0 F临 FA 3.5 15.18 6.0 显著性 **
第五步：小结 5.小结
令 Ki xij
j 1 q
p个水平，每水平q个试验号
K=
i 1 p
x
j 1
q
ij
1 2 1 p P K ( pq pq i 1 W