23_第23讲__最值问题一
第23讲梯形
第23讲 梯 形考点•方法•破译１. 掌握梯形的定义与特殊梯形的性质． ２. 掌握特殊梯形的判定方法．３. 掌握梯形中常见５种辅助线：①平移腰，②平移对角线，③作高，④延长两腰，⑤平移底．经典•考题•赏析【例１】（齐齐哈尔）梯形ABCD 中，AD ‖BC ，AD ＝1,BC ＝4,∠C ＝70°,∠B ＝40°,则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ． 4D ． 5【解法指导】过A 作AE ∥DC ,将梯形转化为一个平行四边形和一个 三角形，其中△ABE 中各内角可求出，易知AB ＝BE ,故选B . 【变式题组】 01．如图，四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∠B ＝２∠D ,若AB ＝3,BC ＝5,则CD ＝______. 02．已知四边形ABCD中，AB ＝DC ,AC ＝BD ,AD ≠BC ,求证：四边形ABCD 是等腰梯形． 03．(荆州)如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠C ＝90°中 AB ＝AD ,连接BD 过A 作BD 的垂线,交BC 于E ,如果EC ＝3㎝,CD ＝4㎝,那么梯形ABCD 的面积是_______cm 2.04．(宿迁)如图,在梯形ABCD 中, AD ∥BC ,AB ＝CD .∠B ＋∠C ＝90°,AD ＝1,BC ＝3,E .F分别是AD 、BC 的中点，则EF ＝________.【例２】（桂林）梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AB ＝CD ,AC ⊥BD ,AD ＝6,BC ＝8,求梯形的高．【解法指导】由于条件与对角线有关，因而可考虑平移对角线，从而构造等腰直角三角形解决问题．解：过D 作DE ‖AC 交BC 的延长线于E ，过D 作DF ⊥BC ,∵AD ‖BC ,AB ＝AD ∴AC ＝BD ,∵AD ‖CE ,AC ‖DE ∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC ＝DE ∴Rt △BDE 中,BD ＝DE ,∵DF ⊥BE ∴DF 是BE 边上的中线∴DF ＝()11722BE AD BC =+=【变式题组】01．（临沂）如图在等腰梯形ABCD 中，AD ‖BC ,对角线AC ⊥BD 于点O ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,设AD ＝a ，BC ＝b ,则四边形AEFD 的周长是( )． A .3a ＋b B .2(a ＋ｂ) C .2b ＋a D .4a ＋b02．如图，在梯形ABCD 中，AD ‖BC ,对角线AC ⊥BD ,AC ＝8㎝,BD ＝6㎝.则梯形的高为__㎝.A BC D E第１题A BC DE 第３题图 B C 第２题图 A B CD E F第４题A BCD EF03．在数学活动课中，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为４５０㎝２，则两对角线所用的竹条至少需要（ ）．A.㎝. B .30㎝. C .60㎝. D. ㎝04．(上海)已知梯形ABCD 中，AB ∥BC ,AB ＝AD (如图所示)，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ,连接DE ．（１）求证：四边形ABED 是菱形；（２）∠ABC ＝60°EC ＝2BE ,求证：ED ⊥DC【例３】(乐山)在直角梯形ABCD 中，AD ‖BC .点E 是边CD 的中点，若AB ＝AD ＋BC ,52BE,求梯形的面积． 【解法指导】若梯形中已知条件与腰的中点有关，则可作另一腰中点构造梯形的中位线或连接AE 并延长交BC 的延长线天F 点，从而构造全等三角形，这样求出△ABF 的面积即为梯形的面积．解：连接AE 并延长交BC 延长线于F .∵AD ∥BF ,∠D ＝∠ECF , ∠DEA ＝∠CEF ,DE ＝CE ∴△ADE ≌△FCE∴AE ＝EF ,AD ＝CF ∵AB ＝AD ＋BC ∴AB ＝BF∴△ABF 为等腰直角三角形．∴BE ⊥AF ,2BE ＝AF ＝5 ∴S 梯形ABCD ＝ S △ABF ＝12×5×52＝254【变式题组】01．(浙江湖州)如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC ∥OB ,CB ⊥OB ,OB ＝18,BC ＝12,AC＝9,对角线OC 、交天点D ,点E 、F 、G 分别是CD ,BD ,BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图象上的是（ ）．A .点GB .点EC .点D D .点F 02．（东营）如图，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在AB 同侧的两个等边三角形，DM 、EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动（不与点A 、BT 重合），连接DE ,这个四边形的面积变化情况为（ ）． A .逐渐增大 B . .逐渐减小 C .始终不变 D .先增大后变小B E FA BC D第2题图 A BCDOE A BCDEF03．（桂林）如图：已知AB ＝10，点C 、D 在线段AB 上，且AC ＝DB ＝2;P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ,连接EF ，设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动的路径的长是_______. 04． (眉山)在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ,AB ⊥BC ,AB ＝2CD ,E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连接EF 、BF 、CF .在不添加其他条件下，写出图中一对全等三角形，并证明．演练巩固 反馈提高.01．(荆门)等腰梯形ABCD 中,E 、F 、G ﹑H 分别是各边的中点,则四边形EFGH 的形状是( )A .平行四边形B .矩形C .菱形D .正方形 02．(威海)在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A ＝60°, ∠B ＝30°,AD ＝CD ＝6,则AB 的长度为( ). A .9 B .12 C .18 D .6＋3303．(淄博)如图,梯形ABCD 中, ∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ,若EF ＝3,则梯形ABCD 的周长为( )A .9B .10.5C .12D .1504．(鄂州)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD ＝2BC ＝CD ＝5,点P 在BC 上移动,则当P A ＋PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为( ). A .17172 B .17174 C . 17178D .3 05．(遂宁)如图,在梯形ABCD 中, ,AB ∥CD , ∠D ＝90°AD ＝DC ＝4,AB ＝1,F 为AD 的中点,则点 F 到BC 的距离是( ) A .2 B .4 C .8 D .106．(山西太原)在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝DC ＝3,沿对角线BD 翻折梯形ABCD ,若点A恰好落在下底BC 的中点E 处,则梯形的周长为________.07．如图(1), △ABC 是直角三角形,如果用四张与△ABC 全等的三角纸片恰好拼成一个等腰梯形,如图(2),那么在R t △ABC 中,ABBC的值是_______. A BCD E F P3题图•●A BCD P4题图●ABCD5题图AB C D E M N 2题图●● ●A CB D P E G F 3题图 A BCDE F 4题图08．(白银)如图(1)是一个等腰梯形,由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形,对于图(1)中的等腰梯形,请写出它的内角度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论____________.09．(陕西省)如图,梯形ABCD 中,AB ∥DC , ∠ADC ＋∠BCD ＝90°,且DC ＝2AB ,分别以DA ,AB ,BC 为 边向梯形外作正方形,其面积分别为要 S 1、S 2、S 3,则S 1、S 2、S 3之间的关系是__________.10．如图,在梯形ABCD 中, AD ∥BC , ∠B ＝90°,AB ＝4cm ,AD ＝18cm ,BC ＝21cm ,点P 从点A 出发,沿边AD 向点D 以2cm /s 的速度移动,点Q 从点C 出发沿边BC 向点B 以6cm /s 速度移动,P ﹑Q 同时出发,若有一点运动到端点时,另一点也随之停止,则经过____移后,PQ ＝CD .11．如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC , AB ⊥BC ,AD ＝2,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ,连接AE ,CE , △ADE 面积为3,则BC 的长为________.12．(威海)从边长为ɑ的大正方形纸板中间挖去一个边长为b 的小正方形后,将其截成四个相,同的等腰梯形(如图1),可以拼成一个平行四边形(如图2),已知∠A ＝45°,AB ＝6,AD ＝4,若将该纸片按图2方式截成四个相同的等腰梯形,然后按图1方式拼图,则得到的大正方形的面积为_______.13.(深圳)如图在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,DB 平分∠ADC ,过点A 作AE ∥BD ,交CD 的延长于点E ,且∠C ＝2∠E .(1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形; (2)若∠BDC ＝30°,AD ＝5,求CD 的长.ABC图(1) 图(2) 图3ɑ AB CDEABCD10题图11题 图ABCD图(1)图(2)7题图(1)(2)8题图S 1S 2S 39题图 A B CDC DEP A BCDEFA B CD EA B 14．(河南)如图,直线b x k y +=1与反比例函数xk y 2=的图象交于A (1,6),B (ɑ,3)两点. (1)求k 1,K 2的值;(2)直接写出k 1x ＋b －xk2＞0时x 的取值范围;(3)如图,等腰梯形OBCD 中,BC ∥OD ,OB ＝CD ,OD 过点C 作CE ⊥OD 于点E ,CE 和反比例函数的图象交于点P ,当梯形OBCD 的面积为12时,请判断PC 和PE 的大小关系,并说明理由.15.(河南)如图梯形ABCD 中.AD ∥BC ,E 是BC 的中点,AD ＝5,BC ＝12,CD ＝24,∠C ＝45°,点P 是BC 边上一动点,设PB 的长为x .(1)当x 的值为_____时,以点P 、A 、D 、E 、为顶点的四边形为直角梯形; (2)当x 的值 为____时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形;(3)点P 在BC 边上运动的过程中,以P 、A 、D 、为顶点的四边形能否构成菱形？时说明理由．16．（重庆）已知:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BC ＝DC ,CF 平分∠BCD ,DF ∥AB ,BF 的延长线交DC 于点E .求证:(1)△BFC ≌△DFC ;(2)AD ＝DE17.(泰安)如图所示,在直角梯形ABCD 中, ∠ABC ＝90°, AD ∥BC ,E 是AB 的中点,CE ⊥BD .(1)求证:BE ＝AD ;(2)求证:AC 是线段ED 的垂直平分线; (3) △DBC 是等腰三角形吗?并说明理由.C D EFPABMADE F 3题图A B CC 1题图 E BH 2题图 D 18.(重庆)已知:如图,在直角梯形ABCD 中, AD ∥BC , ∠ABC ＝90°, ,E 是DC 的中点,过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ,交CB 的延长线于点M 上.且满足CF ＝AD ,MF ＝MA . (1)若∠MFC ＝120°,求证:AM ＝2MB ;(2)求证: ∠MPB ＝90°－21∠FCM .19.(绥化)如图,在平面直角坐标系中,函数y ＝2x ＋12的图象分别交x 轴,y 轴于A .B 两点,过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ,且点M 为线段OB 的中点. (1)求直线AM 的解析式; (2)试在直线AM 上找一点P ,使得S △ABP ＝ S △AOB , 请直接写出点P 的坐标.(3)若点H 为直坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H ,使以点A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在直接写出点H 的坐标,若不存在,请说明理由.培优升级 奥赛检测01.(武汉)在直角梯形ABCD 中, AD ∥BC , ∠ABC ＝90°,AB ＝BC ,E 为AB 边上一点,∠BCE ＝15°,且AE ＝AD .连接DE 交对角线AC 于H ,连接BH .下列结论:①△ACD ≌△ACE ②△CDE 为等边三角形;③2=BE EH ;④CHAHS S EHC EDC =∆∆,其中结论正确的是( )A . 只有①②B .只有①②④C .只有③④D . ①②③④02.(浙江竞赛)如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD ,已知AD ＝3,AO ＝8,OC ＝5,若点P 在梯形内且PCD PAO PO C PAD S S S S ∆∆∆∆==,,那么点P 的坐标是＿＿＿.03．梯形ABCD 中,AD ∥BC ,F 是CD 的中点,AF ⊥AB ,E 是BC 上一点,且AE ＝BE ,若AB＝m ,则EF 的长为________.04.(齐齐哈尔)有一底角为60°的直角梯形,上底为10cm ,与底垂直的腰长为10cm ,以上AB CDE FA BCD A B C DE F P A BC D C 图(1) 图(2) EA BM N 图3pD FEF MN A E F P CGD 底或与底垂直的腰为一边作三角形,使三角形的另一边为15cm ,第三个顶点落在下底上.请计算所作三角形的面积为_____.05.如图,梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB ＝AC ,DA ＝DB , ∠ADB ＝90°,求∠BAC 的度数.06.(义乌)如图,直角梯形纸片ABCD ,AD ⊥AB ,AB ＝8,AD ＝CD ＝4,点E ,F 分别在线段AB 、AD 上将△AEF 沿EF 翻折,点A 的落点记为P . (1)当AE ＝5,P 落在线段CD 上时,求PD 的值;(2)当P 落在直角梯形ABCD 内部时,求PD 的最小值.07.(江西)如图在等腰梯形ABCD 中, AD ∥BC , E 为AB 的中点,过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F ,AB ＝4,BC ＝6, ∠B ＝60° (1)求点E 到BC 的距离;(2)点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM ⊥EF ,交BC 于点M ,过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ,连接PN ,设PN ＝x①当点N 线段AD 上时, △PMN 的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN 的周长;若改变,请说 明理由.②当点N 在线段DC 上时,是否存在点P , △PMN 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x 的值;若不存在请说明理由.08.(四川)如图,分别以△ABC 的边AC 和BC 为一边,向三角形外作正方形ACDE 和CBFG ,点P 是EF 的中点,PH ⊥AB ,垂足是H ,如果AB ＝310,求PH .09.(吉林)如图,在直角梯形ABCD 中, AD ∥BC , AE ⊥BC 于点E ,DF ⊥BC 于点F ,ADPB CD E FP ABCDEA FFQ备用图BC D P ABC D●图(1)A E M Q 备用图●M ＝2cm ,BC ＝6cm ,AE ＝4cm .点P ,Q 分别在线段AE 、DF 上,顺次连接B 、P 、Q 、C ,线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成封闭图形记为M ,若点P 在线段AE 上运动时,点Q 也随之在线段DF 上运动,使图形M 的形状发生改变,但面积始终为10cm 2,设EP ＝xcm ,FQ ＝ycm ,解答下列问题(1)直接写出当x ＝3时y 的值;(2)求y 与x 之间的函数 关系式,并写出自变量x 的取值范围. (3)当x 取何值时,图形M 成为等腰梯形?图形M 成为三角形? (4)直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域面积.,10.(河北)如图,在直角梯形ABCD 中AD ∥BC ,∠B ＝90°,AD ＝6,BC ＝8,AB ＝33,点M 是BC 的中点,点P 从点M 出发沿MB 以1个单位长的速度向点B 匀速运动,到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回;点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动,在点P 、Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边△EPQ ,使它与梯形ABCD 在射线BC 同侧.点P 、Q 同时 出发，当点P 返回到点M 时停止运动,点Q 也随之停止.设点P ﹑Q 运动的时间是t 秒(t ﹥0).(1)设PQ 的长为y ,在点P 从点M 向点B 运动的过程中,写出y 与t 之间的函数关系式(不必写t 的取值范围);(2)当BP ＝1时,求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积.(3)随着时间t 的变化,线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答:该最大值能否持续一个时段?若能,请直接写出t 的取值范围;若不能,请说明理由.11.(陕西)问题探究图(2) B C D ABC D图(1) A ●M BAC (1)请你在图1中作一条直线,使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分;(2)如图2,点M 是长矩形ABCD 内一点,请你在图2中过点M 作一条直线,使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分. 问题解决(3)如图3,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC ∥OB ,OB ＝6,CD ＝4.开发区统合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P (4,2)处．为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线l 是否存在？若存在，请说明理由．12.（北京）问题：已知△ABC 中，∠BAC ＝2∠ACB ,点D 是△ABC 内的一点，且AD ＝CD ,BD ＝BA ,探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值． 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． ⑴当∠BAC ＝90°时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB 与AC 的量关系为____;当推出∠DAC ＝15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为＿＿＿； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为＿＿＿；⑵当∠BAC ≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与⑴中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．。
高考化学一轮复习：《第23讲 化学平衡状态的建立与移动》巩固训练(学生版)
高考化学一轮复习：第23讲化学平衡状态的建立与移动【真题再现·辨明考向】1．(2023年广东卷)催化剂Ⅰ和Ⅱ均能催化反应R(g)P(g)。
反应历程(下图)中，M为中间产物。
其它条件相同时，下列说法不正确的是A．使用Ⅰ和Ⅱ，反应历程都分4步进行B．反应达平衡时，升高温度，R的浓度增大C．使用Ⅱ时，反应体系更快达到平衡D．使用Ⅰ时，反应过程中M所能达到的最高浓度更大2. (2023年江苏卷)二氧化碳加氢制甲烷过程中的主要反应为：CO2(g)＋4H2(g)＝CH4(g)＋2H2O(g) △H＝－164.7kJ∙mol-1CO2(g)＋H2(g)＝COg)＋H2O(g) △H＝41.2kJ∙mol-1在密闭容器中，1.01×105Pa、n起始(CO2)∶n起始(H2)＝1∶4时，CO2平衡转化率、在催化剂作用下反应相同时间所测得的CO2实际转化率随温度的变化如题图所示。
CH4的选择性可表示为n生成(CH4)n生成(CO2)×100%。
下列说法正确的是A．反应2CO(g)＋2H2(g)＝CO2(g)＋CH4(g)的焓变△H＝－205.9kJ∙mol-1 B．CH4的平衡选择性随着温度的升高而增加C．用该催化剂催化二氧化碳反应的最佳温度范围约为480~530℃D．450℃时，提高n起始(H2)n起始(CO2)的值或增大压强，均能使CO2平衡转化率达到X点的值3. (2022年6月浙江卷)关于反应Cl2(g)＋H2O(l)HClO(aq)＋H+(aq)＋Cl-(aq) △H＜0 ，达到平衡后，下列说法不正确．．．的是A. 升高温度，氯水中的c(HClO)减小B. 氯水中加入少量醋酸钠固体，上述平衡正向移动，c(HClO)增大C. 取氯水稀释，c(Cl－)c(HClO)增大D. 取两份氯水，分别滴加AgNO3溶液和淀粉KI溶液，若前者有白色沉淀，后者溶液变蓝色，可以证明上述反应存在限度4. (2022年北京卷)某MOFs的多孔材料刚好可将N2O4“固定”，实现了NO2与N2O4分离并制备HNO3，如图所示：己知：2NO2(g)N2O4(g) △H＜0下列说法不正确．．．的是A. 气体温度升高后，不利于N2O4的固定B. N2O4被固定后，平衡正移，有利于NO2的去除C. 制备HNO3的原理为：2N2O4＋O2＋2H2O＝4HNO3D. 每制备0.4molHNO3，转移电子数约为6.02×10225. (2022年广东卷)恒容密闭容器中，BaSO4(s)＋4H2(g)BaS(s)＋4H2O(g)在不同温度下达平衡时，各组分的物质的量(n)如图所示。
最值问题归纳
最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，无论是代数题还是几何题都有最值问题。
数形结合的思想贯穿始终。
一、代数中的最值问题1、代数求最值方法 ①利用一次函数的增减性一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；实际问题中，当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
1、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？②配方法，利用非负数的性质2、（1）求二次三项式223x x -+的最小值（2）设a 、b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值为_______。
③判别式法3、（1）求2211x x x x -+++的最大值与最小值。
（2）,x y 为实数且x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
④零点区间讨论法4、求函数|1||4|5y x x =--+-的最大值。
⑤基本不等式性质222()020a b a ab b -≥∴-+≥即222a b ab +≥，仅当a b =时，等号成立由此可推出222a b ab +≤(0,0)2a ba b +≤≥≥⑥夹逼法通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法。
5、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高h 为整数，那么此高h 的最大值可能为________。
⑦二次函数模型（中考第23题，应用题）该题基本来自课本3个探究例题不断的变化、加深：探究1：商品定价 探究2：磁盘计算（含圆） 探究3：拱桥问题 变化趋势：前几年武汉中考主要考查经济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种类型的考题（探究1的演变）；近2年变化为建立函数模型解决实际问题（探究2、3的演变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－ 的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题
中考物理讲义课件 第23课时 欧姆定律的理解及相关计算
图像的分析与计算(重点) ☞样题 3 如图所示是电阻甲和乙的 IU 图像，下列说法中不正确的是( C )
A．甲和乙均是定值电阻 B．当乙两端电压为 4V 时，通过它的电流为 0.2A C．将甲和乙串联，若电路中的电流为 0.4A，则它们两端的总电压为 10V D．将甲和乙并联，若电源电压为 4V，则干路中的电流为 0.6A
☞样题 6 如图所示，电源电压恒定不变。当开关 S1、S2 闭合，若甲、乙两 表均为电压表时，两表示数之比 U 甲∶U 乙＝4∶1；当开关 S1 闭合、S2 断开， 若甲、乙两表均为电流表时，两表的示数之比为( C )
A．4∶3 B．3∶2 C．3∶4 D．3∶1
动态电路计算(重点、难点) ☞样题 7 如图所示，电源电压恒为 12V，电阻 R1 的阻值为 10Ω。开关 S 闭合后，当滑动变阻器 R3 的滑片 P 位于最左端时，电压表的示数为 6V，则 电阻 R2 的阻值为 10 Ω。调节滑片 P，使电压表的示数从 3V 变为 1.5V， 则 R3 接入电路中的阻值变化了 40 Ω。
同一性：I、U、R对应同一导体或同一电路
I、U、R 一一对应同时性：I、U、R对应同一时刻的值 统一性：I、U、R单位要统一，分别是A、V、Ω
3.变形公式： U＝IR (求电压)； R＝UI (求电阻)。
公式 R＝UI 只能计算导体的电阻大小，不能说“导体的电阻跟导体两端的电 压成正比，跟通过导体的电流成反比”，因为导体的电阻与导体本身的材 料、长度、横截面积和温度有关。
重点难点素养 拓展
基本运算(重点) ☞样题 1 如图所示，电源电压恒为 9V，电阻 R1 阻值为 10Ω。闭合开关 S 后，电流表 A 示数为 1.2A。求： (1)电流表 A1 示数；
高斯小学奥数四年级上册含答案第23讲_最值问题一
第二十三讲最值问题一最值问题，即求最大值、最小值的问题．这类问题中，有时满足题目条件的情况并不多，这时我们就可以用枚举法将所有可能情况一一列出，再比较大小．例题1（1）在五位数12435的某一位数字后面插入一个同样的数字可以得到一个六位数（例如：在2的后面插入2可以得到122435）．请问：能得到的最大六位数是多少？（2）在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字．请问：能得到的最小八位数是多少？「分析」一共有多少种不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？练习1在五位数41729的某一位数字前面插入一个同样的数字（例如：在7的前面插入7得到417729），能得到的最大六位数是多少？直接枚举的优点是不用过多思考，大家都能理直气壮地说，直接比较大小得到的答案一定是正确的．事实上，我们应该多想一想，为什么这个答案是最大或最小的，有没有什么道理，其中有没有什么规律．例题2有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？「分析」把9个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数吗？练习2有7个同学要进行乒乓球单打比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？从例题2我们可以得出：两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），两数乘积越大，也可以简单记成“和同近积大”．“和同近积大”的应用非常广泛，接下来我们分析一下比较典型的“篱笆问题”．例题3墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？（正方形是特殊的长方形）「分析」长方形面积是长、宽的乘积，要想长、宽乘积最大，可以不可以应用“和同近积大”的道理来解决呢？能找到“和同”吗？练习3墨爷爷要用长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？例题4请将1、2、3、4、5、6这六个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．⨯□□□□□□ 「分析」要使得乘积最大，百位应当填哪两个数？十位呢？个位呢？练习4请将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．⨯□□□□□□□□例题5墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？「分析」长方形篱笆我们已经解决了，三角形的与长方形的有什么联系吗？养鸡场想一想要用篱笆围一个靠墙的三角形，那么锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种面积会最大呢？在很多问题中，我们都需要先进行整体的思考，再对局部进行一些调整．千万不能“丢了西瓜捡芝麻”！例题6各位数字互不相同的多位数中，数字之和为23的最小数是多少？最大数是多少？「分析」两个多位数比较大小，首先要比较它们的位数．如果位数相同，还要从高位到低位依次比较．课堂内外动物之最最大的动物：蓝鲸（平均长30米，重达160吨）最大的路上动物：非洲象（平均重达9吨）最高的路上动物：长颈鹿（平均高5米）嘴巴最大的陆生哺乳动物：河马最聪明的动物：海豚（人除外）最大的鸟类：鸵鸟（平均身高2.5米，最重可达155千克）翅膀最长的鸟类：信天翁（翅展2~3米）嘴巴最大的鸟：巨嘴鸟（最长24厘米，宽9厘米）形体最小的鸟：蜂鸟飞得最高的鸟：天鹅（最高能达17000米）最耐寒的鸟：企鹅路上奔跑速度最快的动物：猎豹（可高达时速130公里）速度最快的海洋动物：旗鱼（可高达时速190公里）飞行速度最快的动物：军舰鸟（可高达时速418公里）现存最古老的生物：舌形贝（有4.5亿年历史）牙齿最多的动物：蜗牛（共有25600颗牙齿）飞行能力最强的昆虫：蝗虫（每天能够连续飞行近10小时）力气最大的昆虫：屎壳郎（可以支撑或拖走相当于自己体重1141倍的物体）外形最奇特的鱼：海马最大的两栖动物：大鲵（即娃娃鱼）毒性最强的蛇：海蛇（其毒性为眼镜蛇的2倍）寿命最长的动物：海葵（已发现最年长的海葵有2000多岁了）冬眠时间最长的动物：睡鼠（冬眠时间5~6个月）作业1.在六位数129854的某一位数字前面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的前面插入2得到1229854），能得到的最小七位数是多少？2.两个自然数之和等于10，那么它们的乘积最大是多少？3.用20根长1厘米的火柴棒围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？4.请将3，4，5，6，7，8这六个数分别填入算式□□□□□□的方格中，使这个乘法算式的结果最大．5.各位数字互不相同的多位数中，数字之和为32的最小数是多少，最大数是多少？第二十三讲 最值问题一1. 例题1答案：（1）124435；（2）98766789详解：（1）枚举：112435、122435、124435、124335、124355，最大的六位数是124435；（2）枚举：99876789、98876789、98776789、98766789、98767789、98767889、98767899，最小的八位数是98766789．2. 例题2答案：20场详解：如果是（1，8），那么共188⨯=场；如果是（2，7），那么共2714⨯=场；如果是（3，6），那么共3618⨯=场；如果是（4，5），那么共4520⨯=场；所以一共最多有20场比赛．3. 例题3答案：长、宽 都为5米时，面积最大为25平方米详解：长方形周长是20米，长、宽之和为10，是固定不变的；长方形面积为长、宽之积，根据“和同近积大”，可知长、宽越接近，面积越大； 当长、宽相等，即篱笆为正方形时，面积最大，最大面积为5525⨯=平方米．4. 例题4答案：631542⨯详解：要使得乘积最大，那么就要百位上的数字最大、个位上的数字最小；所以百位填5、6，十位填3、4，个位填1、2；在这个前提下，无论怎么填，最后两个三位数的和都固定等于5006003040121173+++++=，所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个三位数差最小，尝试可得是631542⨯．5. 例题5答案：两条直角边都为10米时，面积最大为50平方米详解：设两条直角边分别为A 、B ，则20+=A B 米；直角三角形面积为“2⨯÷底高”，即面积大小是由“⨯A B ”决定的；A 、B 之和为20米，越接近则乘积越大，所以当10==A B 米时， “⨯A B ”有最大值； 所以，三角形面积最大为1010250⨯÷=平方米．6. 例题6答案：689；8543210详解：数的大小，首先是要考虑位数，再考虑各个数位上的数的大小．（1）最小：即要位数最少，那么就得要让每个数位上的数字都尽量的大，把23拆开：23986=++，所以最小数为689；（2）最大：即要位数最多，那么就得要让每个数位上的数字都尽量的小，把23拆开：230123458=++++++，所以最大数为8543210．7.练习1答案：441729详解：枚举：441729、411729、417729、417229、417299，最大的六位数为441729．8.练习2答案：12场详解：如果是（1，6），那么共166⨯=场；如果是（2，5），那么共2510⨯=场；如果是（3，4），那么共3412⨯=场；所以一共最多有12场比赛．9.练习3答案：长8米，宽7米时，面积最大为56平方米简答：长、宽和为15米，当长为8米、宽为7米时，长、宽最接近，长、宽乘积最大，最大面积为56平方米．10.练习4答案：76428531⨯简答：要使得乘积最大，那么就要千位上的数字最大、个位上的数字最小；所以千位填7、8，百位填5、6，十位填3、4，个位填1、2；在这个前提下，无论怎么填，最后两个四位数的和都固定等于+++++++=，所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个四7000800050060030401216173位数差最小，尝试可得是76428531⨯．11.作业1答案：1129854简答：在原数某一位前面插入相同数一共可以得到1129854、1229854、1299854、1298854、1298554、1298544这些数，对比可知1129854最小．12.作业2答案：25简答：两个数的和为10，根据“和同近积大”的原则，当两个数都为5时乘积最大，为25．13.作业3答案：25平方厘米简答：长、宽的和是10厘米，根据“和同近积大”的原则，正方形的时候面积最大，此时边长为5厘米，面积为25平方厘米．14.作业4答案：853764⨯简答：最高位填8和7，十位填6和5，个位填4和3，相差越小乘积越大，所以应为853764⨯．15.作业5答案：26789；98543210简答：3298762=++++，所以最小为26789；3201234589=+++++++，所以最大为98543210．。
七年级数学第九章《不等式(组)-复习训练》知识梳理、考点精讲精练、课堂小测、课后作业第23讲(有答案)
第23讲 不等式（组）－复习训练⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3211、用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子叫做不等式。
2、不等式的符号统称不等号，有“＞” “＜” “≠”. 其中“≤” “≥”,也是不等号.其中，“≤”表示，不大于、不超过，“≥”表示不小于、不低于。
3、使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
4、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
5、解与解集的关系：不等式的解集包括不等式全体的解；解集中的任何一个数都是不等式的解。
6、用数轴表示解集：在数轴上标出某一区间，其中的点对应的数值都是不等式的解。
①方向线向左表示小于，方向线向右表示大于；②空心圆圈表示不包括； ③实心圆圈表示包括。
7、用数轴表示解集的步骤：①画数轴；②找点；③定向；④画线。
8、求不等式的解集的过程叫做解不等式。
9、含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
1、不等式的性质1 不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
如果a ＞b ，那么a±c ＞b±c 。
不等式的性质2 不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如果a ＞b,c ＞0,那么ac ＞bc （或c a ＞cb ）。
不等式的性质3 不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改。
如果a＞b,c ＜0,那么ac ＜bc （或c a ＜cb ）。
2、解未知数为x 的不等式，就是要使不等式逐步化为x ＞a 或x ＜a 的形式。
3、解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向。
4、解不等式时要注意未知数系数的正负，以决定是否改变不等号的方向。
--四年级第二十三讲-最值问题一教师版
第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形．和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．典型问题兴趣篇1．3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少? 答案：3分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。
个位数字可能是：1、3、5、7、9。
通过试验个位是7、9、1的三个连续奇数相乘满足条件，7×9×1=63个位最小是3.2. 用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少?答案：9分析：要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。
满足条件的是412和421.差是421-412=9.3. 用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴棒呢?答案：36平方厘米；30平方厘米。
分析：（1）矩形的周长是24厘米。
长和宽的和：24÷2=12（厘米）和为定值的两数的乘积随两数之差的增大而减少。
和是12的两数差为0是积最大。
这两个数相等都是6.即长和宽相等面积是6×6=36（平方厘米）。
（2）周长是22厘米。
长和宽的和是22÷2=11（厘米）和是11差是0时，这样的两个数不是整数。
差是1时两数分别为6和5.积是30.4．三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少?答案：252分析：和一定差越小积越大。
19÷3=6……1，6+6+6=18再加1得19，三个数分别是6、6、7时积最大。
最大是6×6×7=252. 5．(1)请将l、2、3、4填人算式“口口×口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填?(2)请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口×口口口”的方格中．要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填?答案：（1）41×32 （2）542×631分析：（1）要使积最大，两个数应尽量大所以4、3分别在十位，1、2在个位。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最值问题一
1.
2.
3.3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？
4.用1，2，4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？
5.阿呆和阿瓜两人手里各拿着一张扑克牌，两人牌得的点数之和刚好是10. 请问两人牌的点数的成绩最大可能是多少？
6.三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少？
7.（1）请将1~4这4个数字填入算式“□□×□□”的□中，要使得算式结果最大，应该怎么填？
（2）请将1~6这6个数字填入算式“□□□×□□□”的□中，要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大，应该怎么填？
6. 在图的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的之差
（大减小），然后把这3个数相加，那么所得的和最小是多少？
7. 在所有包含3个相同数码的四位数中，与1389之差(大减小)最小的一个是多少？
8. 把1~6这6个数字填入算式“□□□—□□□”的□中，要求前一个三位数比后一个三位数大. 这个减法算式的结果最大可能是多少？最小可能是多少？
9. 一个自然数是由数字8、9组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等.请问：满足条件的自然数最大是多大？
10. 如果3个互不相同的自然数之和为20，那么其中最小的数最大可能是多少? 最大的数最小可能是多少？
拓展篇
1.3个连续自然数相乘，所得的乘积的个位数字最大可能是多少？
2.（1）在五位数12 435的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后
面插入2得到12 2435，这样得到的六位数最大可能是多少？
（2）在七位数9 876 789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少？
3．用24根长1厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少？如果用22根火柴棒呢？
4. 有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人之间只比赛一场，同组的人之间不比赛.他们一共最多能比赛多少场？
5. 3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？
6. 请将2，3，4，5，6，8这6个数填入算式“□□□×□□□”的□中，要使得算式结果最大，应该怎么填？
7. 请将6~9这4个数字填入算式“□×□﹢□□”的□中，要使得算式结果最大，应该怎么填？
8. 在图的中间空白○内填入一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），然后把这五个差数相加.问：所得的和最小是多少？
9. 如果7个互不相同的自然数之和为100，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？
10. 一个多位数的各个数字互不相同，而且个位数字之和为23.这样的多位数最小可能是多少？最大可能是多少？
11. 有7个盘子排成一排，依次编号为1~7. 每个盘子里都放有若干个玻璃球，一共放了80个，其中1号盘子里放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球数之和都相等.请问：第6个盘子中最多放了多少个玻璃球？
12. 黑板上写着1~10这10个数字，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上他们的平均数.最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少？
13. 如图，这是一个正方体的展开图.将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的3个面上的
数之和最大是多少？
14. 如图，在一个正方体方块的下角A点处有一只蚂蚁，
它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块
食物.为了使得这个蚂蚁所走的线路最短，它应该怎么爬
行？它可以选择的最短线路一共有几条？
超越篇
1.一个两位数除以它的各个数字之和，余数最大是多少？
2.4个小朋友，每个人的体重是整数千克，而且其中任意3人体重之和都大于99千克.这4个小朋友体重之和最小是多少？
3.将1~30依次写成12345^282930，形成一个对位数，从这个多位数中划掉45个数字，剩下的数最大是多少？如果要求剩下的数首位不能为零，这个数最小是多少？
4.用1，2，3，4，6，7，8，9这8个数字组成2个四位数，使这两个数的差最小（大减小），这个差最小是多少？
5.将2~8这7个自然数填入算式“□□×□□－□□÷□”的□中，如果算式的计算结果为整数，那么这个结果最大是多少？最小是多少？
6.如图，一只木箱的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、4厘米.有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次，甲虫最多能爬行多少厘米？如果要求甲虫最后回到A点，那么它最多能爬行多少厘米？
7.如图，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确定.接下来，甲每次报一个数字，乙就把它放入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都使用最佳的策略，那么最后的差是多少？
8.一栋大楼共33层，电梯停在第一层，有32个人分别要去第2层、第3层……第33层，他们可以选择坐电梯或者走楼梯.有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停下，每个人可以选择走楼梯或乘电梯到这一层再走楼梯.每个人上一层楼梯会有3份不满意，下一层楼梯会有1份不满意.请问：电影停在哪一层，才能使得所有人不满意的总份数最小？。