平稳时间序列模型的建立
数学建模(平稳时间序列分析)
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
模型 识别
参数 估计
模
序
N
模型
Y型
列
检验
优
预
化
测
计算样本相关系数
样本自相关系数 样本偏自相关系数
nk
(xt x)( xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
t 1
ˆkk
Dˆ k Dˆ
ˆk
模型识别
基本原则
拖尾 q阶截尾
均值
Ext
1 1
0 p
协方差
(k
)
2
GiGik
i0
自相关系数
(k) (k) (0)
G jG jk
j0
G
2 j
j0
ARMA模型的相关性
自相关系数拖尾 偏自相关系数拖尾
例2.7:考察ARMA模型的相关性
拟合模型ARMA(1,1): xt 0.5xt1 t 0.8t 并直观地考察该模型自相关系数和偏自 相关系数的性质。
例2.5— (1)xt 0.8xt1 t
自相关系数按复指数单调收敛到零
例2.5:— (2)xt 0.8xt1 t
例2.5:— (3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例2.5:— (4)xt xt1 0.5xt2 t
Exs t 0,s t
特别当0 0 时，称为中心化 AR( p)模型
平稳时间序列建模步骤
平稳时间序列建模步骤什么是时间序列建模时间序列建模是一种用于分析和预测时间序列数据的统计方法。
时间序列是按照时间顺序排列的一组连续观测值，例如每日销售额、每月气温、每年股票收益等。
通过建立时间序列模型，我们可以探索时间序列的内在规律和趋势，并做出相应的预测。
平稳时间序列建模是时间序列建模的一种常用方法，它假设时间序列的统计特性在时间上是不变的。
平稳时间序列具有恒定的均值、方差和自协方差，这使得我们可以应用各种经典的时间序列模型进行建模和预测。
以下是平稳时间序列建模的步骤：步骤一：数据收集和观察首先，我们需要收集要建模的时间序列数据。
可以从各种数据源获取时间序列数据，包括经济指标、物理测量、金融数据等等。
收集到数据后，我们需要对数据进行观察，检查数据的特点、趋势、异常值等，并做必要的数据清洗和准备工作。
步骤二：时间序列分解时间序列通常由趋势、季节性和随机因素组成。
为了更好地分析和建模时间序列，我们需要先对时间序列进行分解，将其拆分为这些组成部分。
常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。
加法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之和，而乘法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之积。
选择合适的分解模型可以根据时间序列的特点和趋势来确定。
步骤三：平稳性检验平稳性是时间序列建模的前提之一。
在进行建模之前，我们需要对时间序列的平稳性进行检验。
平稳性检验可以通过统计检验方法来进行，例如单位根检验、ADF检验等。
如果时间序列不平稳，我们需要进行差分处理，使其变成平稳序列。
步骤四：模型选择和拟合在确定时间序列的平稳性后，我们可以选择合适的时间序列模型进行拟合。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）等。
模型选择可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来辅助判断。
ACF图可以显示序列之间的相关性，PACF图可以显示去除其他变量的直接相关性。
时间序列上机实验ARMA模型的建立
实验一ARMA模型建模一、实验目的学会检验序列平稳性、随机性。
学会分析时序图与自相关图。
学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计，以及掌握利用ARMA模型进行预测的方法。
学会运用Eviews软件进行ARMA模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。
二、基本概念宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。
AR模型：AR模型也称为自回归模型。
它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测，自回归模型的数学公式为：乂2『t2 川p y t p t式中：p为自回归模型的阶数i（i=1，2，，p）为模型的待定系数，t为误差，yt 为一个平稳时间序列。
MA模型：MA模型也称为滑动平均模型。
它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。
滑动平均模型的数学公式为：y t t 1 t 1 2 t 2 川q t q式中：q为模型的阶数；j（j=1，2，，q）为模型的待定系数；t为误差；yt为平稳时间序列。
ARMA模型：自回归模型和滑动平均模型的组合，便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA，数学公式为：y t 1 y t 1 2 y t 2 p y t p t 1 t 1 2 t 2 q t q三、实验内容（1）通过时序图判断序列平稳性；（2）根据相关图，初步确定移动平均阶数q 和自回归阶数p；（3）对时间序列进行建模四、实验要求学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA模型的阶数p和q,学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。
五、实验步骤1．模型识别（1）绘制时序图在Eviews 软件中,建立一个新的工作文件, 500个数据。
通过Eviews 生成随机序列“ e，再根据“ x=*x（-1）*x（-2）+e ”生成AR（2）模型序列“ x” 默认x（1）=1, x（2）=2,得到下列数据，由于篇幅有限。
第三章线性平稳时间序列模型
可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依 模型中， 时刻值依赖于两部分， 可见 模型中 时刻值依赖于两部分 赖于它的前一期的值x 另一部分是依赖于与x 赖于它的前一期的值 t-1；另一部分是依赖于与 t-1不相关 的部分ε 的部分 t 可将AR(1)模型写成另一种形式： 模型写成另一种形式： 可将 模型写成另一种形式
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + εt
其中： (1) p ≠ 0 (2) εt是白噪声序列 (3) Exsε t = 0, ∀s < t
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
那么我们就说xt遵循一个p阶自回归或AR(p)随机过程。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。 ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。 ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。 对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下 ϕ (B )(1 − B) d xt = θ ( B)ε t 其中： ϕ (B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
(二).二阶自回归模型，AR(2)
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 + εt
平稳时间序列模型的建立概述
平稳时间序列模型的建立概述平稳时间序列模型是一种常用的时间序列分析方法，用于描述和预测时间序列数据的变化模式。
该模型假设时间序列数据的统计特性在时间上保持不变，即均值和方差不随时间发生明显的变化。
以下是平稳时间序列模型的建立概述。
第一步是数据的预处理。
在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。
去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。
去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。
第二步是对预处理后的序列进行统计特性分析。
这包括计算序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数等统计指标。
通过分析这些指标，可以了解序列的平稳性、周期性和相关性等统计特性。
第三步是根据统计分析结果选择适合的时间序列模型。
常用的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
选择模型的原则是使模型具有较好的拟合效果并具有良好的预测性能。
第四步是模型参数的估计与诊断。
对于选定的时间序列模型，需要估计模型的参数。
这可以通过最大似然估计或最小二乘估计等方法进行。
估计得到模型参数之后，需要对模型进行诊断检验，判断模型是否合理。
常用的诊断方法包括残差平稳性检验、残差序列的白噪声检验和残差的自相关函数和偏自相关函数检验等。
第五步是模型预测与评估。
通过已建立的平稳时间序列模型，可以对未来的序列数据进行预测。
预测的准确性可以通过计算预测误差和拟合优度等指标进行评估。
若模型的预测效果较好，则可应用该模型进行实际预测。
总之，平稳时间序列模型的建立过程包括数据的预处理、统计特性分析、模型选择、参数估计与诊断以及模型预测与评估等步骤。
通过这些步骤的实施，可以建立一个合理且具有较好预测效果的平稳时间序列模型。
平稳时间序列模型的建立概述（续）第一步是数据的预处理。
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
第五章 平稳时间序列模型的建立
2. 样本偏自相关函数截尾性的判断方法
可以证明：若序列xt为AR(p)序列，则
k>p后，序列的样本偏自相关函数ˆkk 服
从渐近正态分布，即近似的有：
ˆkk
~
N (0, 1 ) n
此处n表示样本容量。于是可得：
P( ˆkk
1 ) 31.7% n
P( ˆkk
2 ) 4.5% n
在实际进行检验时，可对每个k>0，分
将上式展开得：
xt 1xt1 p xtp 0 at 1at1 2at2 qatq
此时，所要估计的未知参数有p+q+1个。
式中：
0 (1 1 2 p )
即有:
0
11 2 p
在实际估计模型时，可将θ0看作一个常数估计， 若θ0显著不为0，则μ≠0，此时θ0 、 μ 有如上关系。 若θ0显著为0，则可认为μ=0，在最终模型中将此常数 项去掉即可。
– 原假设：序列非平稳
H0：1 1
– 备择假设：序列平稳
检验统计量
H0：1 1
– –
时 1 1 时 1 1
t (1 )
ˆ1 1 S (ˆ1 )
渐近 N (0,1)
ˆ1 1 S(ˆ1)
DF统计量
1 1 时
t (1 )
ˆ1 1 S (ˆ1 )
渐近 N (0,1)
1 1 时
ˆ1 S (ˆ1
对ACF和PACF的截尾性作一判断。
1. 样本自相关函数截尾性的判断方法
理 则论k>上q后证，明序：列若的序样列本xt自为相MA关(q函)序数列ˆ k，渐
近服从正态分布，即：
ˆ k
~
N (0, 1 (1 2 q
n
时间序列模型概述
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于预测时间序列数据的统计模型。
时间序列数据是一系列按照时间顺序排列的数据点。
例如，股票价格、气温、销售额都是时间序列数据。
时间序列模型能够分析数据中的趋势、周期性和季节性，提供对未来的预测。
时间序列模型的建立是基于以下几个假设：1. 时序依赖：时间序列数据中的每个数据点都依赖于之前的数据点。
这意味着前一时刻的数据对当前时刻的数据有影响。
2. 稳定性：时间序列数据的统计特性在时间上保持不变。
这意味着数据的平均值和方差不会随时间而变化。
3. 随机性：时间序列数据中的噪声是随机的，即不受任何规律的干扰。
为了建立时间序列模型，我们需要对数据进行预处理和分析。
首先，我们需要对数据进行平稳性检验，确保数据的均值和方差在时间上保持不变。
如果数据不稳定，我们可以采用一些技术，如差分操作，将其转化为稳定的形式。
接下来，我们需要对时间序列数据进行分解，找出其中的趋势、周期性和季节性。
常用的分解方法有加法分解和乘法分解。
加法分解将时间序列数据分解为趋势、季节性和误差项的和，乘法分解将时间序列数据分解为趋势、季节性和误差项的乘积。
在分解的基础上，我们可以选择适合的时间序列模型进行建模和预测。
常见的时间序列模型有：1. 自回归移动平均模型（ARMA）：基于时间序列数据的自回归和移动平均过程。
ARMA模型适用于没有趋势和季节性的时间序列数据。
2. 自回归积分移动平均模型（ARIMA）：在ARMA模型的基础上，增加了对时间序列数据的差分操作。
ARIMA模型适用于具有趋势但没有季节性的时间序列数据。
3. 季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）：在ARIMA 模型的基础上，增加了对时间序列数据的季节性差分操作。
SARIMA模型适用于具有趋势和季节性的时间序列数据。
4. 季节性分解模型（STL）：将时间序列数据进行分解，然后对趋势、季节性和残差进行建模。
STL模型适用于具有明显季节性的时间序列数据。
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-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214第四章 平稳时间序列模型的建立本章讨论平稳时间序列的建模问题，也就是从观测到的有限样本数据出发，通过模型的识别、模型的定阶、参数估计和诊断校验等步骤，建立起适合的序列模型。
学习重点为模型的识别和模型的检验。
第一节 模型识别一、 识别依据模型识别主要是依据SACF 和SPACF 的拖尾性与截尾性来完成。
常见的一些ARMA 类型的SACF 和SPACF 的统计特征在下表中列出，可供建模时，进行对照选择。
表 ARIMA 过程与其自相关函数偏自相关函数特征模 型 自相关函数特征 偏自相关函数特征 ARIMA(1,1,1)∆ x t = ϕ1∆ x t -1 + u t + θ1u t -1 缓慢地线性衰减AR （1） x t = ϕ1 x t -1 + u t若ϕ1 > 0，平滑地指数衰减若ϕ1 < 0，正负交替地指数衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214若ϕ11 > 0，k =1时有正峰值然后截尾若ϕ11 < 0，k =1时有负峰值然后截尾-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214MA （1） x t = u t + θ1 u t -1若θ1 > 0，k =1时有正峰值然后截尾若θ1 > 0，交替式指数衰减-1.0-0.50.00.51.02468101214-1.0-0.50.00.51.02468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214若θ1 < 0，k =1时有负峰值然后截尾-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214若θ1 < 0，负的平滑式指数衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214AR （2）x t = ϕ1 x t -1 + ϕ2 x t -2 + u t指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（两个特征根为实根）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（两个特征根为共轭复根）k =1, 2时有两个峰值然后截尾-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 > 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0） MA （2）x t = u t + θ1 u t -1+ θ2 u t -2k =1, 2有两个峰值然后截尾-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（θ1 > 0，θ2 > 0）指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（θ1 > 0，θ2 > 0）ARMA （1，1） x t = ϕ1 x t -1 + u t + θ1 u t -1k =1有峰值然后按指数衰减-0.50.00.51.024******** k =1有峰值然后按指数衰减-0.50.00.51.024********（ϕ1 > 0，θ1 > 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，θ1 < 0）（ϕ1 > 0，θ1 > 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，θ1 < 0）ARMA （2，1）x t = ϕ1 x t -1+ ϕ2 x t -2+ u t + θ1 u t -1k =1有峰值然后按指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0）k =1, 2有两个峰值然后按指数衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0） ARMA （1，2）x t = ϕ1 x t -1+ u t + θ1 u t -1+ θ2 u t -2k =1, 2有两个峰值然后按指数衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.02468101214（ϕ1 > 0，θ1 > 0，θ2 >0）k =1有峰值然后按指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.02468101214（ϕ1 > 0，θ1 > 0，θ2 > 0）ARMA （2，2）x t =ϕ1x t -1+ϕ2x t -2+ u t +θ1u t -1+θ2u t -2 k =1, 2有两个峰值然后按指数或正弦衰减-0.6-0.4-0.20.00.20.40.62468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0，θ2 > 0） k =1, 2有两个峰值然后按指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0，θ2 < 0）-0.8-0.40.00.40.82468101214（ϕ1 > 0，ϕ2 < 0，θ1 > 0，θ2 > 0）二、 拖尾性与截尾性的判定理论上，对于MA(q)过程，其自相关函数k ρ在q 步之后全部为零，实际上并非如此，因为ˆk ρ为样本数据的估计值。
同样地，偏自相关函数ˆkkφ也存在类似的问题。
判定k ρ在m 步之后截尾的做法是：))21(1,0(~ˆ12∑=+ml l k N N ρρ⇒%3.68)ˆ21(1ˆ12=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+≤∑=ml l k N P ρρ%5.95)ˆ21(2ˆ12=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+≤∑=ml lk N P ρρ实际判断时，以频率代概率。
判定kk φ在n 步之后截尾的做法是：)1,0(~ˆNN kkφ ⇒%3.681ˆ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤N P kk φ%5.952ˆ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤N P kk φ实际判断时，以频率代概率。
拖尾：即被负指数控制收敛于零。
三、 实例【例4-1】现有磨轮资料250个，试判断该数据的零均值及平稳性。
1．时间序列趋势图161284-450100150200250X2．零均值化后的图形84-4-8-1250100150200250Y3．ACF与PACF图形ACF-0.2-0.100.10.20.30.40.50.60.7123456789101112131415PACF-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.50.60.7123456789101112131415第二节 模型定阶一、 残差方差图法基本思想：以AR 模型为例。
对于时间序列}{t x ，如果其合理（真正的）阶数为p ，当我们用一个小于p 的值为阶数去拟合它，所得到的剩余平方和必然偏大，2ˆσ1将比真正模型的2σ大。
原因在于它把模型中原本有的一些高阶项给省略了，而这些项的存在对减小残差的方差是有明显贡献的。
反之，如果我们用一个大于p 的值作为阶数去拟合它（过度拟合），虽然剩余平方和减少，但已不明显，这时2ˆσ可能还会增大。
因此，我们可以用一系列阶数逐渐递增的模型对}{t x 进行拟合，每次都求出2ˆσ，作出阶数n 和残差方差2ˆσ的图形，进行判断。
这种方法直观简单，但没有量的准则，具有主观性。
二、 自相关函数（ACF ）和偏自相关函数（PACF ）定阶法它们不仅可以用来识别模型，而且还可以用来确定模型的阶。
三、 F 检验定阶法基本思想：首先用ARMA(n,m)对}{t x 进行过度拟合，再令m n θφ,为零，用F 检验判定阶数降低之后的模型ARMA(n-1,m-1)与ARMA(n,m)之间是否存在显著性差异。
如果有显著性差异，阶数能够升高；如果没有差异，阶数可以降低。
四、 最佳准则函数定阶法最佳准则函数法，是构造一个准则函数，该函数既要考虑用某一模型对原始数据拟合的接近程度（残差的大小），同时又要考虑模型中所含待定参数的个数。
建模时，根据函数的取值确定模型优劣，使准则函数值达到最小的模型是最佳模型。
准则函数法是日本学者赤池弘次(Akaike)最先提出。
主要有FPE 准则，AIC 准则，BIC 准则，SC 准则。
1．FPE 准则1kN ee -'=2ˆσ，不仅受剩余平方和的影响，而且还受自由度的影响。
基本思想：根据模型的预报误差来判断自回归模型的阶数是否恰当，合理的阶数应该能够使得模型的最终预报误差最小。
基本理论：对于)(n AR 模型，时间序列{}t x 的一步预报误差的方差为：221)/1()]1(ˆ[σN n X X E t t +≈--，而Nn /1ˆ2-σ是2σ的无偏估计，于是2221ˆ)/1()]1(ˆ[σσnN n N N n X X E t t -+=+≈-- （1） （1）中第一个因子nN nN -+，随着阶数的增加而增加；第二个因子2ˆσ随着阶数的增加而减少。
因此它实质上就是一个最佳准则函数。
该最佳准则函数还可写成：)()1)(1()(101∑=---+=n i i i N n N n n FPE γϕγ2基本操作：按照从低阶到高阶的方式建立AR 模型，并计算出相应的FPE 的值，从中选择最小的FPE 对应的n 作为模型的阶，即)(min )(0n FPE n FPE n=。