离散数学-命题演算

Lu Chaojun, SJTU
17
等值演算
• 等值演算:利用等值定律及替换规则进行公式推演.
– 一般是为了化简公式.
• 例如:证明(P(QR))(QR)(PR) = R.
证明:左端= (P(QR))((QP)R) (分配律)
=((PQ)R) ((QP)R)
(结合律)
=((PQ)R) ((QP)R)
Lu Chaojun, SJTU
8
例:利用等值定理证明等值
证明(PQ) = (PQ). 证:转化为证明(PQ)(PQ)是重言式.
比如列出此公式的真值表.
– 这里本质上还是在利用真值表. – 还可利用重言式推理系统(见3.2)证明重言式.
Lu Chaojun, SJTU
9
基本等值式(等价定律)
1.结合(associative)律
(摩根律)
=((PQ)(QP))R
(分配律)
=((PQ)(PQ))R
(交换律)
=TR
(置换)
=R
(同一律)
Lu Chaojun, SJTU
18
命题公式与真值表
• 给定公式,列出其真值表是容易的. • 给定真值表(包括命题变元P1,…,Pn及相应
的真值),如何写出公式 ?
• 有两种方法:
– 方法一:利用使为真的解释(真值指派) – 方法二:利用使为假的解释(真值指派)
• 问 多题少:种给命定题n个联命结题词变? 项P1,…,Pn ,可定义出
Lu Chaojun, SJTU
22
联结词是真值函数
• 命题联结词可看作是真值函数,即以真值为定义 域和值域的函数.
– 例如: 是一元真值函数,其真值表实际上给出了这 个函数定义.若用常见函数记法可记为: : {T,F} → {T,F}
注:这两组等值公式的 共同特点是“变元混 同”.
7.补余律
P P = T P P = F P P = P PP = P P P = F
Lu Chaojun, SJTU
13
基本等值式(续)
8.同一律
PF=P PT=P TP = P P F = P TP = P F P = P
9.零律
PT=T PF=F PT = T FP = T
(P Q) R = P (Q R) (P Q) R = P (Q R) (P Q) R = P (Q R) 2. 交换(commutative)律 PQ= QP PQ=QP PQ=QP 注意:没有的结合律和交换律.
Lu Chaojun, SJTU
10
基本等值式(续)
3. 分配(distributive)律
Lu Chaojun, SJTU
26
联结词的完备集
• 可定义的联结词很多,但并非都彼此独立, 即:能够相互表示.
– 例如: PQ = P Q. 即可用和表示.
• 定义: 设C是联结词的集合.如果对任一命 题公式都有由C中联结词表示出来的公式 与之等值,就说C是完备的(adequate)联结 词集合,或联结词的完备集.
13. PQ = PQ 14. PQ = (PQ)(PQ) [同真或同假] 15. PQ = (PQ)(PQ) [一真一假]
Lu Chaojun, SJTU
15
其他常用等值式(续)
16. PQ = (PQ) (QP) [充分必要] 17. P(QR) = Q(PR) [交换前提] 18. (PR)(QR) = (P Q)R [析取前提] 补充: 19. P(QR) = (PQ) (PR) 20. P(QR) = (PQ) (PR) 21. (PQ)R = (PR) (QR) 22. (PQ)R = (PR) (QR)
P
Q g0(P,Q) g1(P,Q) g2(P,Q) … g15(P,Q)
F
F
F
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
F
F
T
T
T
T
F
T
F
T
• 相应地共有16种不同的二元联结词.
– 显然g1就是我们熟悉的. – g0 ~ g15 中除了,,,,之外,也定义了, , 等等.
Lu Chaojun, SJTU
25
n元联结词的个数
标准形式?
– 借助于标准形容易判断两个公式是否等值. – 借助于标准形容易判断公式是否重言式或矛盾式.
Lu Chaojun, SJTU
32
范式(normal form)
Lu Chaojun, SJTU
16
置换规则
• 置换:对公式的子公式用等值公式替换.
– 与代入不同!
• 定理:若对公式 的子公式置换后得到公 式,则有 = .
证明思路:考虑 和 的解释时,将子公式及 其替换公式视为新变元.再判断 和 的
的同真假.
• 推论:若 是重言式,则置换后得到的 也
是重言式.
Lu Chaojun, SJTU
6
= 与 的异同
• 从形式系统角度看
– 是系统内的符号, 是系统内的合式公
式.(语法)
– =是系统外的符号, = 不是合式公式! =是
在系统外观察系统内两个公式是否等值.(语 义)
• 从真假性来看
– 写下,不代表和 等值.只有为真, 才能得知和 等值.但 可为假.
– 写下 =,则肯定了和 等值.
Lu Chaojun, SJTU
7
等值关系“=”的性质
• 和大家在数学里用的等号一样,具有下面 三个性质:
1.自反性: = 2.对称性: 若 =, 则 = 3.传递性: 若 =且 =, 则 =
• 这三条性质体现了两事物“等同”、“同一 性”概念.
– 满足这三条性质的关系称为等价关系.
P
f0(P) f1(P) f2(P) f3(P)
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
• 相应地共有4种不同的一元联结词.
– 例如上面的f2就是我们熟悉的.
Lu Chaojun, SJTU
24
二元联结词的个数
• 二元真值函数有两个自变元P和Q,可取4种真值组合.对 每一种取值组合又有两种可能的函数值T和F.于是可定 义24种不同的真值函数. 即下表中的g0 ~ g15.
T |→ F
T |→ T
– 又如: 是二元真值函数:
: {T,F}×{T,F} → {T,F} • 前述问题转化成: n元真值函数有多少个?
Lu Chaojun, SJTU
23
一元联结词的个数
• 一元真值函数只有一个自变元P(命题变
项). P只有T和F两种取值,对每一种取值 又有两种可能的函数值T和F.于是可定义 22 种不同的真值函数.即下表中的f0 ~ f3.
• 一般地, n元真值函数有n个自变元P1, … , Pn .每个Pi有两种取值,从而P1, … , Pn共有 2n种真值组合.对每一种取值组合又有两 种可能的函数值T和F.于是可定义22n种不 同的真值函数.
• 相应地可定义22n个n元联结词.
• 例:定义一个三元联结词#
#(P,Q,R)为真 iff P,Q,R中至少两个为真. – 无法用习惯的中缀法表示.
类似地{,},{,}{}{}等也是.
Lu Chaojun, SJTU
28
对偶式
• 观察下面个等值公式(分配律):
P (Q R) = (P Q) (P R)
P (Q R) = (P Q) (P R) – 命题逻辑公式存在“对偶”规律.
• 设公式 中只出现,,. 将 中的, 分别以 ,替换, 所得公式称为的对偶式*.
注:这两组等值式的共 同特点是“部分指派”.
Lu Chaojun, SJTU
14
其他常用等值式
• 由于,,更易理解和处理,常将含和 的公式改写成仅含有,,的公式.
10.PQ = P Q = (P Q) 11.PQ = Q P [正定理与逆否定理] 12. P(QR) = (P Q)R [合取前提]
P = P (双重否定律) (P Q) = P Q (De Morgan律) (P Q) = P Q (De Morgan律) (PQ) = P Q (PQ) = PQ = P Q
= (P Q) (P Q)
Lu Chaojun, SJTU
12
基本等值式(续)
6.幂等律
PP= P PP= P PP=T PP=T
Lu Chaojun, SJTU
27
联结词的完备集(续)
• 全体联结词的集合(无穷集)是完备的.
• {}和{,}都不是完备的.
• 定理: {,,}是完备的联结词集合.
– 证明思路:回顾由真值表列写命题公式的过 程可知任一公式都可由,,表示出来.
– 是后面即将学到的范式定理的直接推论.
• 由PQ = (PQ)可知:可由{,}表 示,故{,}也是联结词的完备集.
– 例如: PQ = P Q
这两个公式语法上是不同的,但语义上相同(即有 相同意义).
Lu Chaojun, SJTU
3
如何证明两公式等值?
• 真值表法 • 利用等值定理 • 利用基本等值式进行推导
Lu Chaojun, SJTU
4
例:利用真值表证明等值
证明(PP)Q = Q. 证:列出真值表即可看出等式成立.
于是得到: (PQ) (PQ) (PQ)
Lu Chaojun, SJTU
20
方法二
• 从每个使为假的解释写出一个各命题变
元的析取式;然后写出各析取式的合取式.
例:有两个成假解释.
P
Q
由(P,Q)=(T,F)可写出析取式: F