激光原理第三章

r2 z exp ) 2 2 w z exp i kz (1 m n) arct an( w0 kr exp[i ] 2 R( z )
2
（3-1-24)
式中 cmn 中
是归一化常数。当m0,n=0时，上式退化为基模高斯光束的表达式（3-1-21），式
欲使该式对 x 和 y 的任何值都成立,要求x和y同次幂的系数之和分别等于零. 结果可 得下列两个简单的常微分方程:
2
2
dq( z ) 1 dz dP( z ) i q( z ) dz
由（3-1-6）式与其他参量无关，所以先讨论 它的解及其含义。它的解很简单：
(3-1-6)
H
2x m w( z )
Hn
2y w( z )
和
分别为m阶和n阶厄米多项式。
1、垂直于光轴的横截面上的厄米－高斯分布 高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函 数的乘积决定：
r 2x 2y exp H [ ] H [ ] m n 2 w z w( z ) w( z )
与轴线交于z点的等相平面 上的光斑半径
z z wz w0 1 w2 w0 1 z 0 0
2
2
R ( z ) z (1
w
z0 2 ) z[1 ( ) ] z z
与轴线相交于z点的高斯光 束等相位面的曲率半径 基模光束腰 斑半径
kr 0 ( z 0) exp( ) exp[ip( z 0)] 2 z0
2
将（3-1-9）式代入 （3-1-4）式 , 并令 z=0, 得 z=0 处基模的振幅分布:
（3-1-10）
2 r 2 z0 k时,振幅下降到中心值的 第一指数项是实数，当 1 e 0.368 ,此时的 r 值定义为光斑尺寸 (光斑半径) , 用0 表示, 则：
2i k k 2 (x2 y2) q(z) q(z)2
2 2 2 dq(z) dP ( z ) k 2i 0 x y dz dz q(z)2
(3-1-5)
将x和y的同次幂项合并在一起得:
k dq( z ) k k dP( z ) 2 2 [ 2 2 ]( x y ) [2i 2k ]0 q ( z ) dz q ( z) q( z ) dz
u pl r , , z C pl
2 w0 2r l l r [ ] Lp [ 2 ] w z w( z ) w z
2
(3-1-22)
它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点(0,0)处的相位滞后，其中 几 z
kz
描述
w 何相位为 距离z时相对几何相移的
附加相位超前，因子
arct an(
2 0
)
描述高斯光束在空间行进
2
kr 2 R( z )
描述与径向有关的相移。
在近轴条件下，高斯光束的等相位面是以R（z）位半径的球面，由（3-1-16） 式决定。由此可得等相位面的曲率半径R和传播距离z的关系曲线，如图3-1-3所 示，下面对该曲线进行讨论：
2
w( z ) lim z z
0
包含在全角发散角范围内的功率占高斯基模光束总功率的86.5％
三、高阶高斯光束
波动方程在直角坐标下可解得横截面内的场分布，它可由厄米多项式与高斯函数 乘积描述：
umn x, y, z Cmn
w0 2x 2y H m[ ]H n [ ] wz w( z ) w( z )
1 (z2+ z2 ) R(z)= z 0
0 =z[1+( z
2
) ]
2
（3-1-16）
根据第二章第七节可以清楚滴了解（3-1-15）式和（3-1-16）式的物理意义。 现在讨论（3-1-7）式的解，把（3-1-8）式代入（3-1-7）式，表示P（z）与q（z）的关系
dP( z ) i i dz q( z ) z q0
(3-1-7)
q( z) q0 z
（3-1-8）
1
场的相对振幅
Z=0
0.368 0 r
图3-1-1 场在横向平面上的变化
q 0 是 z = 0 处的复光束参数, 适当选择 z =0 ,就可消去q 数,令 q 0 = i z 0 上式可写为:
0
的实部,因此q 0为虚
（3-1-9）
q( z) z iz0
数R（z）表示等相面的曲率半径，w(z)表示光斑半径， 基模高斯光束的性质，包括场分布及传输特点，主要由下面三个参数决定：
z arc tan 2 w0
表示附加相位。由该
w0 r2 z kr 2 u 0 x, y , z { exp exp i kz arct an( 2 ) exp[i ] 2 w z w0 2 R( z ) w z
2 2ik 0 2 x y z
设该方程的试探解:
(3-1-3)
k exp{i[ P( z ) ( x 2 y 2 )]} 2q ( z )
( 3-1-4)
P(z)为与光波传输有关的复相移, q(z)是复光束参数, 即复曲率半径,表示光强距离轴 距离r呈高斯变化,也表示xy平面上的相移,将(3-1-4)代入(3-1-3)式得：
束的准直距离.所以瑞丽长度越长，就意味着高斯光束准直范围越大，并可看 到，高斯光束的最小光斑 w0
4、远场发散角
远场发散角：z 轴的交角。
高斯光束振幅减小到中心最大值1/e处与z
2 1/ e2
（3-1-23) 1/ e f w0 为全角发散角，是直径2 w 光束可能具有的最小发散角。
将（3-1-13）代入（3-1-4）可得：
2 2
(3-1-13)
kz0 r ikzr {exp[ ]}{exp[ ]}{exp[iP( z)]} （3-1-14） 2 2 2 2 2( z z0 ) 2( z z0 ) 在上式的第一个指数因子中，乘以 r 2 的项是一个标度的长度，并把它称为光束的
第三章 高斯光束 一、高斯光束的基本性质 二、高斯光束的传输 三、高斯光束通过薄透镜的变换 四、高斯光束的聚焦 五、高斯光束的自再现变换和ABCD定律在光学谐振腔中的应用 六、高斯光束的匹配 七、高斯光束的准直
第一节 高斯光束的基本性质 一、波动方程的基模(TEM00模)高斯光束 在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程：
这样,我们感兴趣的指数项变为:
(3-1-19)
exp[iP ( z )] [1 (
1 z

2 0
) ]
2 1/ 2
z exp[i arctan( 2 )] 0
0 z = exp[i arctan( 2 )] ( z) 0
(3-1-20)
将(3-1-20) ,(3-1-14) 代入(3-1-2) 式, 并考虑到前面所作的各种定义 , 求得波 动方程的解:
2 z0 z0 , k
2 0
z0
2 0
(3-1-11)
如图3-1-1
q0
i

2 0
(3-1-12)
在任意 z 处, q 值按 3--1--7
式变化,下面讨论 q
的倒数
z0 1 1 z 2 i 2 2 2 q( z ) z iz0 z z0 z z0
2 r 0 exp [u0 ( x,y,z) = { ]} 2 (z) (z)
振幅因子
z exp{ - i [ k z - arc tan ( )]} 2 0
2 k r exp [ - i ] 2 R(z)
纵向相位
(3--1--21)
径向相位
（3-1-21）式是波动方程（3-1-22）式的一个特解，叫做基模（TEM00）高斯光束。光束参
3、瑞利长度
w0 由图（3-1-3）式可知，瑞利长度的物理意义为：当
则
z z0
2w
0
w z0 2时 w0



z0
w02

，即光斑从 zR 最小半径
,增大到
。这个范围是瑞利
光斑处算起的这个长度叫瑞丽长度
Hale Waihona Puke 。z z0 取
时，这段长度内,可近似认为高斯光束是平行的,这段距离为高斯光 半径越大，它的准直性越好，准直距离越长。
2 0
z0
2 w 0

二、基模高斯光束的性质 1、振幅：在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑降落。光 斑半径随z的变化规律为：
w z w 0
z 1 w 2 0
w(z)
z w0 1 z 0
u0 k u0 0
2
(3-1-1)
这里标量u0 表示相干光的场分量,式中u0与电场强度的复表示u之间的关系为:
u u0e
it
(3-1-2)
可以证明它不是上述亥姆霍兹方程的精确解,它是在缓变振幅近似下的一个特解,它可 被表示为:
u0 ( x, y, z)e
2 2
ikz
这里 ( x , y , z ) 可看成是振幅函数,一般是一个沿z轴缓慢变化的复函数.
2
2
2
光斑半径随着坐标z按双曲线规律变化：
w z z 2 1 2 w0 z0
2
w0
R(Z)
w(z) 20

R(f)=2f
图3-1-2 高斯光束通过截面的轮廓