教师专用教案-第八讲--函数与方程
铁山兰教育五星级私人教师教案教材梳理知识点一零点与方程根1.函数的零点: 如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.归纳: 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.求函数的零点①(代数法)求方程的实数根；②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．3.二次函数零点的判定二次函数的零点个数,方程的实根个数见下表:4.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的,当它通过零点时（不是二重零点）,函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸:对任意函数,只要它的图象是连续不间断的,上述性质同样成立.5.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质,作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号,观察函数的一些性质.引伸:二次函数的零点的应用可推广到一般函数.6.零点存在性的探索(1)观察二次函数的图象:①在区间上有零点__________;_______， _______,______0（＜或＞＝）②在区间上有零点__________;_______0（＜或＞＝）．(2)观察下面函数的图象①在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）．②在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）．③在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）．提出问题:①由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？②怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？7.零点存在定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.知识点二用二分法求方程的近似解1.二分法定义:对于在区间上连续不断,且满足的函数,就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法.2.二分法步骤: 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间,验证,给定精度；(2)求区间的中点；(3)计算：①若，则就是函数的零点；②若，则令（此时零点）；③若，则令（此时零点）；(4)判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤知识点三函数的模型及其应用(1)几类不同增长的函数模型利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2)函数模型及其应用建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图,选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际,如果不符合实际,则改用其它函数模型,重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）．典例分析题组一函数零点的判定1.若函数在区间上的图象是连续不断的曲线，且函数在内有一个零点，则的值 ( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定解析:若函数内有一个零点，则该零点是变号零点，则，若不是变号零点，则.2.设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( )A.[0,1]B.[1,2]C.[－2，－1]D.[－1,0]解析：*3.若方程的解为，则不小于的小整数是 .解析：题组二函数零点的求法4.(2009福建)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是 ( )解析：5.设函数,则函数的零点是 .解析：题组三函数零点的应用6.若二次函数，则函数的零点个数是 ( )A.1个B.2个C.0个D.不确定解析：即7.(2009山东高考)若函数有两个零点, 则实数的取值范围是 .解析：函数的零点的个数就是函数与函数交点的个数，由函数的图象可知时两函数图象有两个交点，时两函数图象有唯一交点，故.8.已知关于的二次函数(1)求证：对于任意，方程必有实数根；(2)若，求证：方程在区间内各有一个实数根.解析：针对性练习1.(2010岳阳)设是函数的零点，则在区间 ( )解析:2.设函数，则 ( )3.(2010潍坊)函数的零点的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3解析:如图,在同一坐标系内分别作出的图象，观察图象易知两函数图象有两个交点，即原函数有2个零点．4.若函数没有零点，则实数的取值范围是 ( )解析:由题意，函数没有零点，即方程无解，即方程的判别式小于零，解不等式解得5.(2010上海)若是方程的解，则属于区间 ( )A.(0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)6.已知函数则函数 ，则函数f(x)零点个数为 （ ）A.1B.2C.3D.4解析:只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与轴有三个交点，即函数的零点有3个.7.设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( )A.[0,1]B.[1,2]C.[－2，－1]D.[－1,0]解析：8.设上的增函数，且,则方程内 ( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析：由上是增函数，且，知在上有唯一实数根，所以方程上有唯一实数根.9.设函数与的图象的交点为,则所在的区间是 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析：令，可求得：易知函数的零点所在区间为10.用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点_______,第二次应计算______.解析:11.若函数的两个零点是，则不等式的解集是__________．解析:由于的两个零点是，即方程的两个根是，12.已知函数,若在上存在, 使，则实数的取值范围是 .解析:课外练习1.已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）A.函数在或内有零点B.函数在内无零点C.函数在内有零点D.函数在内不一定有零点解析：C 唯一的零点必须在区间，而不在2.如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.解析：D 或3.求零点的个数为（ ）A. B. C. D.解析：C，显然有两个实数根，共三个4.设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）A. B. C. D.不能确定解析：B5.已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ） A. B. C. D.解析:由题意，可知，故在上必存在零点．故选C6.若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.解析:由方程的判别式小于0，可得，故选B7.设函数是上的增函数，且，则方程在内 ( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析:上是增函数且8.若已知，则下列说法中正确的是 ( ) A. B. C., D.,.解析:若不连续可能没有零点，若在该区间有二重零点可能有正偶数个零点.9.函数在区间内的函数值 ( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于0解析:的两个零点是1和2，在1和2之间函数值同号.又，故选D.10.如图,下列函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )解析:用二分法只能求变号零点，选项B中的零点为不变号零点，不宜用二分法求解.11.函数的零点个数为解析: 分别作出的图象；12.用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
解析: 令13.已知函数的图象是连续不断的，有如下的，对应值表：－2－1.5－1－0.500.51 1.52-3.51 1.02 2.37 1.56-0.38 1.23 2.77 3.45 4.89函数在哪几个区间内有零点？为什么？解析:因为函数的图象是连续不断的，并且由对应值表可知，，，所以函数在区间,以及内有零点.14.证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点.证明：函数的定义域为，函数的图像在区间上是连续的. ，,,函数在区间上至少有一个零点.能力提升1.解:故只需2.解： ∴若实数满足条件，则只需即可．3.利用给定函数模型解决实际问题有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是和万元，它们与投入资金（万元）的关系为：,,今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解: 设投入甲产品资金为万元（，投入乙产品资金为万元，总利润为万元．通过配方求函数最值则=当时，答：对甲、乙产品各投资为1.5万元，获最大利润为万元4.建立确定的函数模型解决实际问题2008年5月12日，四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震．在随后的几天中，地震专家对汶川地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度（J） 1.6 3.2 4.5 6.4震级（里5.0 5.2 5.3 5.4氏）注：地震强度是指地震时释放的能量(1)画出震级随地震强度变化的散点图；(2)根据散点图，从下列函数中选取选取一个函数描述震级随地震强度变化关系：，(3)四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震时释放的能量是多少？（取）解：（1）散点图如下图：（2）根据散点图，宜选择函数。
（3）根据已知，得解得：当时， （J）通过观察图表，判断问题适用的函数模型，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题.5.某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解:设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，由且 得设客房租金总上收入元，则有：由二次函数性质可知当时,所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.函数模型一次函数模型：二次函数模型：幂函数模型：指数函数模型：（＞0，）。
2017数学(理)一轮教学案：第二章第8讲 函数与方程
第8讲函数与方程考纲展示命题探究1函数零点的等价关系2零点存在性定理3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布根的分布图象满足条件(m <n<p为常数)x1<x2<mm<x1<x2续表根的分布图象满足条件(m<n<p为常数)x1<m<x2f(m)<0m<x1<x2<nm<x1<n<x2<p只有一根在或f(m)·f(n)<0 (m，n)之间4二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意点零点存在性定理的使用条件零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区间上是单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点.1．思维辨析(1)函数f (x )＝x 2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )(5)函数y ＝2sin x －1的零点有无数多个．( )(6)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1<k <－12.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×2．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案 B解析 ∵f ′(x )＝2x ln 2＋3>0，∴f (x )＝2x ＋3x 在R 上是增函数．而f (－2)＝2－2－6<0，f (－1)＝2－1－3<0，f (0)＝20＝1>0，f (1)＝2＋3＝5>0，f (2)＝22＋6＝10>0，∴f (－1)·f (0)<0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点．3．(1)下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )(2)若函数f (x )＝x 2－4x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)C (2)(－∞，4)解析 (1)A ，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选C.(2)Δ＝16－4a >0，解得a <4.[考法综述] 函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．选择、填空题考查的主要形式有两种，一种是找零点的个数；一种是判断零点的范围，多为中等难度．解答题考查较为综合，在考查函数的零点、方程的根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．命题法 判断零点的个数及所在的区间典例 (1)已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)(2)函数f (x )＝3cos πx 2－log 12x 的零点个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5(3)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)[解析] (1)∵f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝64－log 24＝32－2<0，∴包含f (x )零点的区间是(2,4)，故选C.(2)把求函数f (x )的零点个数问题转化为求函数y ＝3cos πx 2的图象与函数y ＝log 12x 的图象的交点个数问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示．函数y ＝3cos πx 2的最小正周期是4，当x＝8时，y ＝log 12 8＝－3，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f (x )＝3cos πx 2－log 12x 有5个零点． (3)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0<a <3.[答案] (1)C (2)D (3)C【解题法】 函数零点问题的解题方法(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．②利用零点存在性定理进行判断．③画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(2)判断函数零点个数的方法①直接法：解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )就有几个零点．②图象法：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数．③将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )的差，从而f (x )＝0⇔h (x )－g (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数．④二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．(3)已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 答案 D解析 函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋2，x <02，0≤x ≤2x 2－5x ＋8，x >2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2. 2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．3B ．2C ．7D ．0 答案 B解析 解法一：由f (x )＝0得⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎨⎧ x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点．解法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．3．设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析 ∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0，∴函数f (x )在R 上单调递增．对于A 项，f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (－1)f (0)>0，A 不正确；同理可验证B 、D 不正确．对于C 项，∵f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0.故f (x )的零点位于区间(1,2)．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. (1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)若a ＝1，则f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －1，x <14(x －1)(x －2)，x ≥1，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可得f (x )的最小值为－1.(2)当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2，当a <1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1≤2a 21－a >0，解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)． 5．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln (x ＋1)|的零点个数为________．答案 2解析 因为f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln (x ＋1)|＝2(1＋cos x )·sin x －2sin x －|ln (x ＋1)|＝sin2x －|ln (x ＋1)|，所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin2x 与y ＝|ln (x ＋1)|图象的交点的个数．函数y ＝sin2x 与y ＝|ln (x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．6．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.答案 ①③④⑤解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，则f ′(x )＝3x 2＋a .对于①，由a ＝b ＝－3，得f (x )＝x 3－3x －3，f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，f (x )极大值＝f (－1)＝－1<0，f (x )极小值＝f (1)＝－5<0，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根；对于②，由a ＝－3，b ＝2，得f (x )＝x 3－3x ＋2，f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，f (x )极大值＝f (－1)＝4>0，f (x )极小值＝f (1)＝0，函数f (x )的图象与x 轴有两个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0有两个实根；对于③，由a ＝－3，b >2，得f (x )＝x 3－3x ＋b ，f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，f (x )极大值＝f (－1)＝2＋b >0，f (x )极小值＝f (1)＝b －2>0，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根；对于④，由a ＝0，b ＝2，得f (x )＝x 3＋2，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在R 上单调递增，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根；对于⑤，由a ＝1，b ＝2，得f (x )＝x 3＋x ＋2，f ′(x )＝3x 2＋1>0，f (x )在R 上单调递增，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根．7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析 令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．8．已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围．解(1)由f(x)＝e x－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝e x－2ax－b.所以g′(x)＝e x－2a.因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当12<a<e2时，令g′(x)＝0，得x＝ln (2a)∈(0,1)．所以函数g(x)在区间[0，ln (2a)]上单调递减，在区间(ln (2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln (2a))＝2a－2a ln (2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12<a<e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln (2a))＝2a－2a ln (2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．当a≥e2时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a<e2.此时g(x)在区间[0，ln (2a)]上单调递减，在区间(ln (2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln (2a)]，x2∈(ln (2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有g(0)＝1－b＝a－e＋2>0，g(1)＝e－2a－b＝1－a>0.解得e－2<a<1.当e－2<a<1时，g(x)在区间[0,1]内有最小值g(ln (2a))．若g(ln (2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0,1])，从而f(x)在区间[0,1]上单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln (2a))<0.又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，故此时g(x)在(0，ln (2a))和(ln (2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2,1]上单调递增．所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2,1)． 函数f (x )＝x ＋1x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[错解][错因分析] 分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域．通过作图(图略)，可知函数f (x )＝x ＋1x 的图象不是连续不断的，而零点的存在性定理不能在包含间断点的区间上使用．[正解] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0.所以函数f (x )没有零点，故选A.[答案] A [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·武邑中学仿真]已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0答案 C解析 如图，在同一坐标系下作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝－1x 的图象，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >－1x ，当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，选C.2．[2016·枣强中学一轮检测]函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析 令f (x )＝x cos2x ＝0，得x ＝0或cos2x ＝0.由cos2x ＝0，得2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，故x ＝k π2＋π4(k ∈Z )．又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝π4，3π4，5π4，7π4.所以零点的个数为1＋4＝5.故选D.3．[2016·衡水中学周测]已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 函数f (x )的导数为f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝f (x )－f ′(x )＝ln x －1x .因为g (1)＝ln 1－1＝－1<0，g (2)＝ln 2－12>0，所以函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.4. [2016·衡水中学模拟]设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选B.5．[2016·枣强中学热身]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x 的零点个数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x ＝0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x与g (x )＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.6．[2016·衡水二中期末]若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1 C ．－1<a <15D ．a <－1答案 B解析 当a ＝0时，f (x )＝1，与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0，函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，f (－1)f (1)<0，即(5a －1)(a ＋1)>0，解得a <－1或a >15，选择B.7．[2016·衡水二中预测]已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤17，15∪(5,7) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪[5,7) 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋1)＝－f (x ＋2)，因此f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是周期为2的周期函数．函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点可转化成y ＝f (x )与h (x )＝log a |x |两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a >1，则h (5)＝log a 5<1，即a >5.若0<a <1，则h (－5)＝log a 5≥－1，即0<a ≤15. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)． 8．[2016·枣强中学月考]定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66答案 B解析 令x ＝－1，则f (－1＋2)＝f (－1)－f (1)．又f (x )为定义域在R 上的偶函数，所以f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为T ＝2，又f (－x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于x ＝1对称，根据f (x )＝－2x 2＋12x －18(x ∈[2,3])作出f (x )与函数y ＝log a (x ＋1)(x >0)的图象，则y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，也就是函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋1)(x >0)至少有三个交点，如图所示，则⎩⎨⎧0<a <1，log a (2＋1)>－2，解得0<a <33.9．[2016·冀州中学期中]已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a的取值范围是________．答案 (－∞，2ln 2－2]解析 f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝e x －2＝0，得x ＝ln 2.当x >ln 2时，f ′(x )>0，当x <ln 2时，f ′(x )<0，所以当x ＝ln 2时，函数取得极小值，所以要使函数有零点，则f (ln 2)≤0，即e ln 2－2ln 2＋a ≤0，解得a ≤2ln 2－2，所以a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．10．[2016·冀州中学月考]已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．答案 m >1解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．当m ＝0时，不合题意，舍去；当m ≠0时，∵1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0<1m <1，解得m >1.11．[2016·衡水中学猜题]若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析 令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0，f (2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0a ＋2b <－1a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域，得到△ABC 及其内部(如图)不含边界，其中A (－3,1)，B (－2,0)，C (－1,0)，设E (a ，b )为区域内任意一点，则k ＝b －2a －1表示点E (a ，b )与点D (1,2)连线的斜率，k AD ＝14，k CD ＝1，结合图形可知14<b －2a －1<1.12．[2016·武邑中学猜题]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a 3，x ≤0ln x －2x ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1＋ln 2,3]解析 要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝2x－a3＝0有一个根，此时⎩⎨⎧a >0f (0)＝1－a3≥0，解得0<a ≤3.而当x >0时，f (x )＝ln x －2x ＋a ＝0需有两个不同的实根，令g (x )＝2x －ln x ，g ′(x )＝2－1x ，当x >12时，g ′(x )>0，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，当0<x <12时，g ′(x )<0，函数g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 12＝1＋ln 2，当x →0时，g (x )→＋∞，当x →＋∞时，g (x )→＋∞，要使方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有两个不同的实数根，则有a >1＋ln 2.综上可知，a 的取值范围为(1＋ln 2,3]．能力组13.[2016·武邑中学周测]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2.若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)答案 D解析 画出函数f (x )的图象如图所示．观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有三个不同的交点，此时需满足0<a <1，故选D.14．[2016·衡水中学仿真]已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0,3)的图象(如图)，f (0)＝12，当x ＝1时，f (x )极大值＝12，f (3)＝72，方程f (x )－a ＝0在[－3,4]上有10个根，即函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 在[－3,4]上有10个交点．由于函数f (x )的周期为3，则直线y ＝a 与f (x )的图象在[0,3)上应有4个交点，因此有a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 15．[2016·衡水中学一轮检测]函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个不同的实根，则这三个实根的和为________．答案 32解析 由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32.16. [2016·冀州中学仿真]已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e 等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e ，g (x )＝m 就有实数根．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )与f (x )的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。
高一数学教案范文：函数与方程教案
高一数学教案范文：函数与方程教案教学目标：1. 了解函数的定义和性质；2. 掌握函数的表示方法；3. 能够根据函数的性质解决实际问题；4. 了解方程的定义和基本性质；5. 能够解一元一次方程；6.能够用方程解决实际问题。
教学重点：1. 函数的定义和性质；2. 函数的表示方法；3. 方程的定义和基本性质；4. 一元一次方程的解法。
教学难点：1. 函数的性质的理解和应用；2. 方程的解法的灵活运用。
教学准备：教师准备讲义、教具以及相关习题。
教学过程：第一课时：1. 导入：教师引导学生回顾函数的概念和性质，并提醒学生函数在数学中的重要作用。
2. 观察与思考：给出一个实际问题，让学生思考如何用函数的方法来解决。
3. 学习：教师向学生讲解函数的定义和性质，并介绍函数的表示方法。
4. 实践：教师带领学生通过例题的讲解和解题实践，巩固对函数的理解和应用。
5. 小结：教师对本节课的内容进行小结，并提醒学生复习函数的知识点。
第二课时：1. 导入：教师引导学生回顾方程的概念和性质，并提醒学生方程在数学中的应用。
2. 观察与思考：给出一个实际问题，让学生思考如何用方程的方法来解决。
3. 学习：教师向学生讲解方程的定义和基本性质，并介绍一元一次方程的解法。
4. 实践：教师带领学生通过例题的讲解和解题实践，巩固对方程的理解和应用。
5. 小结：教师对本节课的内容进行小结，并提醒学生复习方程的知识点。
第三课时：1. 导入：教师引导学生回顾函数和方程的概念，并提醒学生函数和方程在数学中的联系。
2. 学习：教师讲解如何用函数和方程解决实际问题，并通过例题讲解和解题实践来加深学生的理解。
3. 实践：教师布置一些综合性的习题，让学生通过解题来巩固所学内容。
4. 总结：教师对本节课的内容进行总结，并提醒学生复习整个教学内容。
教学反思：本节课的教学过程比较严谨，通过导入、观察与思考、学习、实践、小结等环节的设计，使学生能够逐步理解函数和方程的概念，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
函数与方程教案苏教版必修
函数与方程教案苏教版必修一、教学目标1. 理解函数与方程之间的关系，掌握函数的概念和性质。
2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等基本数学问题。
3. 能够运用函数与方程的知识解决实际生活中的问题。
二、教学内容1. 函数的概念与性质函数的定义与表示方法函数的域与值域函数的单调性、奇偶性、周期性2. 一元一次方程与一元二次方程一元一次方程的解法一元二次方程的解法方程的根的判别式3. 不等式与不等式组不等式的性质一元一次不等式的解法一元二次不等式的解法4. 函数的图像与解析式函数图像的性质函数解析式的求法函数与方程的图像关系5. 函数与方程的应用函数与方程在实际生活中的应用函数与方程的数学建模函数与方程的综合练习三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探究来理解函数与方程的概念和性质。
2. 利用数形结合的方法，通过绘制函数图像和解析式，帮助学生直观地理解函数与方程之间的关系。
3. 提供实际生活中的例子，让学生学会运用函数与方程的知识解决实际问题。
四、教学评估1. 课堂练习：每节课结束后，安排适量的练习题，巩固学生对函数与方程的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的作业题，要求学生在规定时间内完成，以检验学生对知识的掌握情况。
3. 单元测试：每个章节结束后，进行一次单元测试，全面评估学生对该章节知识的掌握程度。
五、教学资源1. 教材：苏教版必修数学教材2. 教辅资料：相关的函数与方程的辅导书籍和练习题库3. 教学软件：数学软件或教育平台，用于展示函数图像和解析式4. 实际案例：收集一些实际生活中的问题，用于教学中的应用举例六、教学内容6. 函数的性质探究函数的极值与最值函数的转折点与单调区间函数的凹凸性与拐点7. 方程的求解方法代数法求解方程图像法求解方程数值法求解方程8. 函数与方程的变换函数的平移与拉伸函数的旋转与翻转函数的复合与分解9. 函数与方程的应用案例经济增长模型药物浓度变化模型运动物体轨迹模型10. 函数与方程的综合练习综合性的函数与方程问题函数与方程的实际应用题函数与方程的数学竞赛题七、教学方法1. 采用案例教学法，通过分析实际案例，引导学生理解和掌握函数与方程的性质和应用。
函数与方程教案
函数与方程教案教案：函数与方程一、教学目标：1. 知识与能力：（1）理解函数和方程的概念；（2）掌握函数和方程的基本性质；（3）能够根据实际问题建立函数和方程模型。
2. 过程与方法：（1）讲授与实例演示相结合的教学方法；（2）引导学生独立思考和探究，培养解决实际问题的能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学知识的兴趣和热爱，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的概念：（1）函数的定义；（2）函数的图象和性质；（3）函数的自变量和因变量。
2. 函数相关的概念：（1）定义域和值域；（2）函数的增减性和奇偶性；（3）函数的图象与方程。
3. 方程的概念：（1）方程的定义；（2）方程的解；（3）实际问题转化为方程。
4. 方程的解法：（1）等式的加减消元法；（2）等式的乘除消元法；（3）方程的解集。
三、教学过程：1. 导入新知识：通过实例引出函数和方程的概念，并让学生思考函数和方程的联系与区别。
2. 讲解函数的定义：（1）讲解函数的定义和符号表示；（2）通过实例演示函数的图象和性质。
3. 探究函数的相关概念：（1）讲解函数的定义域和值域的概念，并通过实例计算；（2）引导学生思考函数的增减性和奇偶性。
4. 引入方程的概念：（1）讲解方程的定义和解的概念；（2）通过实例演示方程的解法。
5. 培养实际问题转化为方程的能力：通过实际问题实例，让学生学会将问题转化为方程，并通过解方程得到答案。
6. 强化训练：设计一定数量的练习题，让学生巩固所学内容，并检查学生的掌握程度。
7. 总结归纳：对本节课所学的内容进行总结和归纳，帮助学生理清思路，掌握学习要点。
四、教学评价：1. 观察学生对函数和方程的理解程度；2. 检查学生在实际问题中能否正确转化为方程；3. 分析学生的解题思路和解题能力；4. 对学生的作业进行批改和评价。
五、教学资源：1. 教材和课件；2. 实物、图片等辅助教具；3. 习题集和参考答案。
初中数学教案函数与方程
初中数学教案函数与方程初中数学教案函数与方程引言:在初中数学中，函数与方程是一个非常重要的概念。
它们被广泛应用于数学和实际生活中的各种问题。
本教案旨在帮助学生全面理解函数和方程的概念，并通过实际例子和练习来加深他们的认识。
教学目标:1. 理解函数和方程的定义和特性。
2. 能够读取、解释和绘制函数和方程。
3. 能够用函数和方程解决实际问题。
4. 发展分析和推理的能力。
教学准备:1. 教师准备各种函数和方程的例子。
2. 确保教室的黑板或白板干净，并准备好足够的粉笔或白板笔。
3. 复印足够的练习题和作业，以供学生使用。
4. 确保课堂环境安静和适宜学习。
教学过程:I. 函数的介绍 (用一种直观方式解释函数)1. 引入函数的概念，例如通过描述温度与时间的变化、速度与距离的关系等。
2. 定义函数为两个变量之间的关系，其中一个变量的值取决于另一个变量的值。
3. 用表格、图表和图像等方式展示函数的特性。
II. 函数的符号表示1. 引入函数符号表示的概念，例如"f(x)"。
2. 解释符号中的"f"代表函数名称，"x"代表输入值。
3. 通过具体例子帮助学生理解函数符号表示的含义。
III. 方程的介绍1. 引入方程的概念，例如描述两个变量之间的平衡状态。
2. 明确方程中等号的作用，表示两边相等的关系。
3. 通过图像和实际问题解释方程的应用。
IV. 方程的解1. 解释方程的解为能满足方程的变量值。
2. 通过等式两边的变换和化简方法来解方程。
3. 解释方程解的唯一性和多解性。
V. 函数与方程的联系1. 比较函数和方程的共同点和不同点。
2. 解释函数可以转化为方程，方程可以表示为函数的形式。
3. 通过实例演示如何将函数转化为方程，以及如何从方程中找到函数关系。
VI. 应用练习1. 分发练习题和作业，确保学生能够应用所学知识解决各种实际问题。
2. 解答学生在解题过程中遇到的问题，并给予指导和建议。
数学课教案函数与方程
数学课教案函数与方程数学课教案：函数与方程导语：函数与方程是数学中的基础概念，掌握它们对学生的数学学习和思维能力培养具有重要的意义。
本节课将通过生动的教学活动，帮助学生深入理解函数与方程的概念以及它们在实际问题中的应用。
一、引入1. 提出问题：同学们，你们知道什么是函数吗？函数在我们日常生活中有什么应用呢？2. 开展小组讨论：让学生以小组为单位讨论函数的定义和应用，并记录下来。
3. 小组分享：每个小组选择一位代表，向全班展示他们的讨论结果，讨论过程中让其他同学提问和补充。
二、探究函数1. 实物演示：给出一张耐热玻璃和一根蜡烛，让学生猜测玻璃会在什么情况下破裂。
2. 实验设计：让学生围绕实物演示的问题进行实验设计，探究玻璃破裂的条件。
3. 分组实验：将学生分成小组，每个小组用不同的方法设计实验并记录实验结果。
4. 实验总结：集中讨论各组的实验结果，引导学生总结出玻璃破裂与温度、压力等因素之间的关系。
5. 引入函数概念：结合实验结果，引导学生理解函数的定义，并解释函数的图像可以表示事物之间的对应关系。
三、函数的图像1. 图像展示：给学生展示不同形状的图像，如直线、抛物线、正弦曲线等，并引导学生发现图像的规律。
2. 图像分类：让学生依据图像的形状和特点进行分类，同学们一起回顾和总结各类图像的特点。
3. 知识点讲解：介绍常见的函数表达式，如线性函数、二次函数、三角函数等，并解释它们与图像之间的关系。
4. 练习与验证：给学生一些简单的函数表达式，让他们画出对应的图像，并进行相互交流和验证。
四、方程的应用1. 示例问题：给出一个生活中的实际问题，如购买物品的优惠活动，让学生思考这个问题背后可能存在的方程关系。
2. 方程的建立：引导学生从问题中提取和建立相应的方程，解释方程的含义。
3. 方程求解：讲解如何通过求解方程来寻找问题的解，如利用代入法或图像法进行求解。
4. 实际运用：鼓励学生将所学的方程知识应用到自己感兴趣的实际问题中，并与同学分享解题思路和结果。
函数与方程教案
函数与方程教案函数与方程教案引言：数学是一门抽象而又实用的学科，而函数与方程则是数学中的两个重要概念。
函数与方程的学习对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力非常重要。
在本篇文章中，我们将探讨如何设计一份高质量的函数与方程教案，以帮助学生更好地理解和应用这两个概念。
一、教学目标在设计教案之前，我们首先需要明确教学目标。
对于函数与方程的学习，我们可以设定以下几个目标：1. 理解函数与方程的基本概念和性质；2. 掌握函数与方程的表示方法和解题方法；3. 能够应用函数与方程解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容接下来，我们需要确定教学内容。
函数与方程的内容非常广泛，可以从基础概念开始，逐步深入，包括但不限于以下几个方面：1. 函数的定义和性质：包括定义域、值域、图像、奇偶性等；2. 方程的基本概念：包括方程的定义、方程的解、方程的根等；3. 一次方程与一次函数：介绍一次方程与一次函数的关系，以及如何通过方程求解函数的根；4. 二次方程与二次函数：介绍二次方程与二次函数的关系，以及如何通过函数图像求解方程的根；5. 函数与方程的应用：介绍函数与方程在实际问题中的应用，如数学建模、物理问题等。
三、教学方法在教学过程中，我们可以采用多种教学方法，以激发学生的学习兴趣和提高他们的参与度。
以下是一些常用的教学方法：1. 探究式学习：通过引导学生观察、实验、总结，让他们主动发现函数与方程的规律和性质；2. 问题导向学习：通过提出具体问题，引导学生思考和解决问题，培养他们的问题解决能力；3. 合作学习：组织学生进行小组合作，通过互相讨论和合作解决问题，培养他们的团队合作精神；4. 案例分析：引入实际问题案例，让学生通过分析和解决案例，理解函数与方程的应用价值。
四、教学步骤在设计教案时，我们需要合理安排教学步骤，以确保教学的连贯性和有效性。
以下是一个可能的教学步骤：1. 引入：通过引入一个实际问题，激发学生的学习兴趣，并引导他们思考如何用函数与方程解决问题；2. 概念讲解：介绍函数与方程的基本概念和性质，让学生对它们有一个初步的了解；3. 示例演示：通过几个具体的例子，演示如何表示函数与方程，并解决相关问题；4. 练习巩固：组织学生进行一些练习，巩固他们对函数与方程的理解和掌握程度；5. 拓展应用：引入一些拓展应用题，让学生应用函数与方程解决更复杂的问题；6. 总结回顾：对本节课的内容进行总结回顾，并展望下节课的学习内容。
函数与方程教案
函数与方程教案一、引言函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是解决数学问题的基本工具。
在教学中，如何生动有效地向学生介绍函数与方程的概念，引导学生理解和掌握相关的知识和技能，是每位教师都需要思考和解决的问题。
本教案旨在通过设计合理的教学活动，帮助学生全面理解函数与方程的概念，提高他们解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 知识目标- 掌握函数与方程的基本概念和相关术语。
- 了解函数与方程在数学和实际生活中的应用。
- 理解函数与方程之间的关系。
2. 能力目标- 能够识别并解释函数与方程的特征。
- 能够应用函数与方程解决实际问题。
- 能够运用函数与方程的知识进行分析和推理。
三、教学重点和难点1. 教学重点- 函数与方程的概念和特征。
- 函数与方程的应用。
2. 教学难点- 帮助学生理解函数与方程之间的关系。
- 引导学生解决实际问题时能够正确运用函数与方程的知识。
四、教学准备1. 教师准备- 准备教学课件和教具。
- 复习函数与方程的相关知识。
2. 学生准备- 准备教学所需的教材和笔记。
- 复习与函数与方程相关的知识。
五、教学过程本教案将采用探究式教学的方法，让学生通过实际操作和思考，主动发现函数与方程的规律和应用。
具体教学过程如下：1. 概念引入- 利用实例引导学生思考：什么是函数？什么是方程？它们有什么区别和联系？- 定义函数与方程的概念，并让学生进行归纳整理。
2. 特征分析- 设计一组数据，让学生观察并分析其中的规律。
- 引导学生发现函数和方程的特征，如自变量、因变量、线性函数、非线性函数等。
3. 应用探究- 提供一些实际问题，让学生运用函数与方程的知识解决。
- 引导学生分析问题的关键词，确定函数与方程的表达式，并进行计算。
4. 总结归纳- 引导学生总结函数与方程的定义、特征和应用。
- 提供一些练习题，巩固学生对函数与方程的理解。
六、教学评价1. 自我评价- 教师观察学生的参与程度和思维能力。
- 教师记录学生在课堂上的表现和反馈，并做好评价记录。
函数与方程教案苏教版必修
函数与方程教案苏教版必修一、教学目标1. 理解函数与方程的概念，掌握它们之间的关系。
2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等简单方程。
3. 能够运用函数与方程的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 函数与方程的定义2. 一元一次方程的解法3. 一元二次方程的解法4. 不等式的解法5. 函数与方程的应用三、教学重点与难点1. 重点：函数与方程的概念、解法及应用。
2. 难点：函数与方程之间的关系，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数与方程的基本概念、解法及应用。
2. 利用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用函数与方程的知识解决问题。
3. 运用讨论法，让学生在课堂上互相交流、探讨，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数与方程的重要性。
2. 新课讲解：讲解函数与方程的定义，分析它们之间的关系。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用函数与方程的知识解决问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固函数与方程的知识。
六、教学评价1. 评价内容：学生对函数与方程的概念、解法及应用的掌握程度。
2. 评价方法：课堂提问、作业批改、课后访谈等。
3. 评价指标：（1）能够正确理解函数与方程的定义；（2）掌握一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法；（3）能够运用函数与方程的知识解决实际问题；七、教学反思1. 反思内容：教学方法、教学内容、教学过程等。
2. 反思方法：教师自我评价、学生反馈、同行评价等。
3. 反思措施：（1）根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；（2）根据学生掌握情况，适当调整教学内容，加强难点讲解；（3）注重课堂互动，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
八、教学资源1. 教材：苏教版必修《数学》2. 辅助资料：教学课件、练习题、案例分析资料等。
函数与方程教案
函数与方程教案教案：函数与方程一、教学内容：1. 函数概念及性质；2. 方程概念及求解方法；3. 函数与方程的关系。
二、教学目标：1. 了解函数的定义及性质；2. 掌握方程的概念及求解方法；3. 理解函数与方程的关系，能够在实际问题中应用函数和方程进行求解。
三、教学过程：1. 导入：通过提问引导学生回顾线性方程的概念及求解方法。
2. 讲解函数的概念及性质：（1）引导学生思考函数的含义。
函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量与唯一的一个因变量对应起来。
例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，其中x是自变量，y是因变量。
（2）介绍函数的性质：a. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
b. 单调性：函数的单调性是指函数曲线的上升与下降方向。
可以分为增函数和减函数。
c. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关系在对称中的表现。
奇函数的函数图象关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，偶函数的函数图象关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
d. 图象和方程：函数的图象是函数关系在坐标系中的表示，函数的方程是表示函数关系的代数式。
3. 讲解方程的概念及求解方法：（1）引导学生思考方程的含义。
方程是一个等式，含有一个或多个未知数，通过求解可以得到未知数的值。
（2）介绍方程的求解方法：a. 方程的转化：可以通过变形、移项等方法将方程转化为更简单的形式。
b. 方程的解法：可以通过列方程、联立方程等方法求解方程。
4. 讲解函数与方程的关系：（1）引导学生思考函数与方程的关系。
函数是一个特殊的方程，它是自变量与因变量之间的关系。
（2）举例说明函数与方程的关系。
例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，也可以写成2x + y - 3 = 0的方程。
5. 练习与巩固：（1）通过练习题，让学生巩固函数与方程的概念及性质。
（2）设计实际问题，让学生应用函数和方程进行求解。
四、教学反思：通过本节课的教学，学生对函数和方程的概念有了更深入的理解。