第5讲-矩阵的运算知识讲解
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则在数学和众多科学领域中，矩阵是一种非常重要的工具，它有着广泛的应用。
要深入理解和运用矩阵，就必须掌握矩阵的运算及其运算规则。
矩阵的加法是一种基础运算。
两个矩阵相加，只有当它们的行数和列数分别相等时才能进行。
具体来说，就是将对应位置的元素相加。
比如，有矩阵 A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂和矩阵 B ＝ b₁₁ b₁₂;b₂₁ b₂₂，那么它们相加的结果矩阵 C 就是 C ＝ a₁₁＋ b₁₁ a₁₂＋ b₁₂; a₂₁＋ b₂₁ a₂₂＋ b₂₂。
矩阵的数乘也较为常见。
用一个数乘以矩阵，就是将这个数与矩阵中的每个元素相乘。
假如有矩阵 A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，k 是一个数，那么数乘的结果就是 kA ＝ k×a₁₁ k×a₁₂; k×a₂₁ k×a₂₂。
接下来谈谈矩阵的乘法。
矩阵乘法相对复杂一些，但在实际应用中却非常重要。
当矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数时，这两个矩阵才能相乘。
假设矩阵 A 是 m×n 的矩阵，矩阵 B 是 n×p 的矩阵，那么它们相乘得到的矩阵 C 是 m×p 的矩阵。
具体计算时，矩阵 C 中第 i 行第 j 列的元素 cij 等于矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
例如，A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，B ＝ b₁₁ b₁₂; b₂₁ b₂₂，那么它们相乘得到的矩阵 C 中的 c₁₁＝ a₁₁×b₁₁＋ a₁₂×b₂₁，c₁₂＝ a₁₁×b₁₂＋ a₁₂×b₂₂，c₂₁＝ a₂₁×b₁₁＋ a₂₂×b₂₁，c₂₂＝ a₂₁×b₁₂＋ a₂₂×b₂₂。
矩阵乘法不满足交换律，也就是说一般情况下AB ≠ BA。
但它满足结合律，即（AB)C ＝ A(BC)，还满足分配律，即 A(B ＋ C) ＝ AB ＋AC。
矩阵的运算知识点总结
矩阵的运算知识点总结一、矩阵的定义在开始讨论矩阵的运算知识点之前，首先需要了解矩阵的定义。
矩阵是由数个数按矩形排列组成的数组。
一般地，我们定义一个m×n矩阵A为一个m行n列的数组，其中每个元素aij（i行j列的元素）都是一个实数。
数学上通常用大写字母A、B、C、...表示矩阵。
例如，一个3×2矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12、a21、a22、a31、a32是矩阵的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法当两个矩阵具有相同的行数和列数时，它们可以相加。
矩阵相加是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B相加，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij + bij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法定义与加法类似，对应位置的元素相减得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B相减，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij - bij。
3. 矩阵的数量乘法矩阵与一个实数相乘，是将矩阵的每个元素都乘以该实数。
例如，对于矩阵A和实数k相乘，结果矩阵B的元素为：bij = k * aij。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A的转置矩阵AT，有AT 的第i行第j列元素为A的第j行第i列元素。
5. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的部分。
两个矩阵的乘法只有在满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。
如果A是一个m×p的矩阵，B是一个p×n的矩阵，它们的乘积为一个m×n的矩阵C。
矩阵的乘法运算过程中，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,p)b(p,j)。
以上就是矩阵的基本运算，矩阵运算的内容很广泛，包括了基本运算，特殊矩阵运算和矩阵运算的性质定理等。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。
矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。
1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。
加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。
例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。
A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。
例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。
除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。
如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。
2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。
例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。
矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。
如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。
如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。
逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。
3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。
矩阵的计算公式图文解析
矩阵的计算公式图文解析矩阵是线性代数中的重要概念，它可以用于表示和处理多维数据。
在实际应用中，矩阵的计算是非常常见的操作，包括矩阵的加法、减法、乘法等。
本文将通过图文解析的方式，详细介绍矩阵的计算公式及其应用。
一、矩阵的加法。
矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵相加的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度都是m×n，那么它们的加法运算可以表示为：C = A + B。
其中，C是一个m×n的矩阵，它的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
例如，对于一个2×2的矩阵A和B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的加法结果C为：C = [6 8; 10 12]二、矩阵的减法。
矩阵的减法与加法类似，也是指两个相同维度的矩阵相减的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度都是m×n，那么它们的减法运算可以表示为：C = A B。
其中，C是一个m×n的矩阵，它的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差。
例如，对于一个2×2的矩阵A和B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的减法结果C为：C = [-4 -4; -4 -4]三、矩阵的乘法。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度分别是m×n和n×p，那么它们的乘法运算可以表示为：C = A B。
其中，C是一个m×p的矩阵，它的每个元素都等于A的对应行与B的对应列的元素乘积之和。
例如，对于一个2×2的矩阵A和一个2×2的矩阵B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的乘法结果C为：C = [19 22; 43 50]四、矩阵的转置。
矩阵的转置是指将矩阵的行列互换的操作。
假设有一个m×n的矩阵A，那么它的转置运算可以表示为：B = A^T。
矩阵的基本运算与性质
矩阵的基本运算与性质矩阵是线性代数中重要的数学结构，它广泛应用于统计学、物理学、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本运算和性质，包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法以及转置等运算。
一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是指将两个矩阵进行逐元素地相加或相减的运算。
假设我们有两个矩阵A和B，它们的维度相同，即有相同的行数和列数。
矩阵的加法运算可以表示为C = A + B，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。
同理，矩阵的减法运算可以表示为D = A - B，其中D的每个元素等于A和B对应元素的差。
二、矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算是指将一个实数或复数与矩阵的每个元素相乘的运算。
假设我们有一个矩阵A和一个实数k，矩阵A的数乘运算可以表示为B = kA，其中B的每个元素等于k乘以A对应元素的值。
三、矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
矩阵乘法的定义要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
假设我们有两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为n×p，那么矩阵的乘法运算可以表示为C = AB，其中C的维度为m×p。
矩阵乘法的元素计算方式为C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和。
四、矩阵的转置运算矩阵的转置运算是指将矩阵的行转换为列，将列转换为行的操作。
假设我们有一个矩阵A，A的转置可以表示为A^T。
A^T的第i行第j 列元素等于A的第j行第i列元素，即A^T的维度为n×m，其中A的维度为m×n。
矩阵的基本性质：1. 矩阵的加法和减法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A +B) + C = A + (B + C)。
2. 矩阵的乘法满足结合律，即(A × B) × C = A × (B × C)。
3. 矩阵的加法和数乘运算满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA。
矩阵与矩阵运算
矩阵与矩阵运算矩阵是数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域，包括线性代数、计算机科学、物理学等。
矩阵的运算则是在矩阵之间进行各种数学操作的过程，包括加法、减法、乘法等。
本文将对矩阵及其运算进行详细介绍。
一、矩阵的定义矩阵是由m行n列的数按矩形排列而成的一种数学对象。
一个m行n列的矩阵可以表示为一个m×n的矩阵。
矩阵中的每个数称为元素，例如，一个2×3的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23]其中a11, a12, a13, a21, a22, a23为矩阵A的元素。
矩阵也可以用字母大写加粗表示，例如A。
二、矩阵的加法与减法矩阵的加法与减法是在相同维度的两个矩阵上进行的。
对于两个m×n的矩阵A和B，它们的加法定义如下：C = A + B = [a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23]C为结果矩阵，它的每个元素等于A和B对应元素的和。
同样地，减法也是在对应元素上进行操作。
三、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的关键操作。
对于两个矩阵A和B进行乘法运算，必须满足矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
乘法的结果矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
C = A × B = [c11 c12c21 c22]其中c11, c12, c21, c22为结果矩阵C的元素。
矩阵乘法的计算方式如下：c11 = a11 × b11 + a12 × b21c12 = a11 × b12 + a12 × b22c21 = a21 × b11 + a22 × b21c22 = a21 × b12 + a22 × b22四、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
对于一个m×n 的矩阵A，它的转置矩阵表示为AT，其中转置后的矩阵的行数等于原矩阵的列数，列数等于原矩阵的行数。
矩阵的运算
解： ||A|A|= |2A| =(2)3|A| =(2)3(2) =16
1 1 3
例：已知f(A)= A 2E
(A) = A + 5E
(A) f (A) = f (A)(A)?
4、方阵的多项式：
设 f (x) = am xm +L + a1x + a0
为x的m次多项式，则称
f ( A) = am Am +L a1A + a0E
为方阵A的m次多项式。
若A为n阶方
阵，则 f ( A)
2、A是对称阵 AT = A
例如
12 A= 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
说明： 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等
例 设A,B为对称阵，判断下列矩阵是否为对称阵？
A+B，A-B ，AB, kA
例2 设列矩阵 X = x1, x2 , , xn T满足 X T X = 1,
E为n阶单位矩阵, H = E 2XX T ,证明H是对称矩
(只要有意义)结果不变
类似于数1在数的乘法中的作用。
3、方阵的幂：
对于方阵A及自然数k
只有方阵 才能自乘
记 Ak=AA A (k个A相乘)
规定 ( Ann )0 = En
性质：(1) ArAs=Ar+s (2) (Ar)s=Ars
思考：下列等式在什么时候成立？
( AB)k = Ak Bk ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ( A + B)( A B) = A2 B2
也为n阶方阵
性质：
线性代数第五讲 矩阵的初等变换及其性质
线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质一、初等矩阵及其性质在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的基本概念，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的秩等基本知识点。
本章我们将学习一些矩阵的“变换”的概念，主要介绍矩阵的初等变换及其性质。
矩阵的初等变换指的是将一个矩阵通过某种方式变化成另外一个矩阵的运算。
初等变换可以分为三种：交换矩阵的某两行或某两列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列，再加到另一行或另一列上。
这三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
对于任意一个矩阵A，我们可以进行一系列的初等变换，从而将A变换成标准形。
标准形主要有三种：行简化阶梯形矩阵、列简化阶梯形矩阵和对角矩阵。
从定义可以看出，行简化阶梯形矩阵和列简化阶梯形矩阵都是初等矩阵形式，是矩阵的标准形。
初等矩阵的定义：如果矩阵B是A通过一次初等变换得到的，则称矩阵B为矩阵A的初等矩阵。
我们前面已经学习过，矩阵的逆是一个重要的概念。
下面我们就来发现一个有趣的性质：一个矩阵是可逆矩阵，当且仅当它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
定理1：矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
以上两个定理的证明可以参考矩阵论相关的课程。
二、矩阵的等价关系在学习矩阵的初等变换时，我们介绍了三类变换，也就是矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
我们可以使用这三类变换将一个矩阵变换成另一个矩阵。
如果对于任意的矩阵A、B，B可以通过一系列的初等变换变成A，那么我们就称A和B是等价的。
性质1：等价关系具有反身性、对称性和传递性。
性质2：如果一个矩阵可以通过初等变换化为一个标准形，则标准形是唯一的。
性质3：如果一个矩阵可逆，则它和单位矩阵等价。
性质4：如果A、B等价，则r(A)=r(B)。
三、矩阵的秩和特殊矩阵在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的秩的定义和性质。
矩阵的秩是矩阵实际所包含的信息量，因此秩是矩阵的一个重要特征。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3112 311
200
= 312 312 020
1 1 0
1 1 0 0 0 2
13 3 5
311 200
= 14 2 5 3 1 2 0 2 0
0 0 1
1 1 0
002
82 4 = 11 -1 3
1 1 3
例：已知f(A)= A2E
(A)=A+5E
(A )f(A )=f(A )(A )?
4、方阵的多项式：
H是对称矩.阵
HH T =E 2X X T(E 2X X T)
=E(E2XXT) 2XXT(E2XXT)
=E2XXT2XXT +4XXTXXT
4X(XTX)XT =4XXT
=E4XXT +4XXT
=E.
五、方阵的行列式 determinant
定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方
阵 A 的行列式，记作|A|或detA.
第5讲-矩阵的运算
2、单位矩阵性质
1 0 0
E = 0 1 0
EA=AE=A
注意E阶数
0 0 1
ImAmn =Amn
单位阵与任意矩阵相乘
AmnEn =Amn
(只要有意义)结果不变
类似于数1在数的乘法中的作用。
3、方阵的幂：
对于方阵A及自然数k
只有方阵 才能自乘
记 Ak=AA A (k个A相乘)
例3 设A=(aij)为三阶矩阵，若已知|A|=2,则
2AT =( ) A=( ) AA=( )
解： ||A|A|= |2A| =(2)3|A| =(2)3(2) =16
32 例4 设 A= 5 4
7 -4 B= -5 3
21 C= 3 4
求 (1) |ATB2C|
(2) | (3BBT)2|
解 (1) | ATB2C|= | AT | . | B2 |. | C | =
| A| . | B | 2 . | C | =
3 2 ×7
-4
2 ×
2
1
5 4 -5 3 3 4
=2×12 ×5=10
(2) | (3BBT)2| =|3 BBT | 2 = (32| BBT |)2
= (32 | B |.|BT |)2 =81
A 六、 n阶方阵的伴随矩阵 *
a11 a12 ... a1n
设 f(x)=a m xm + L+a 1x+a 0
若A为n阶方
阵，则 f ( A )
为x的m次多项式，则称
f(A )=am A m+La 1A +a0E
也为n阶方阵
为方阵A的m次多项式。
性质：
（1) (A )f(A )=f(A )(A )
(2) A的几个多项式可像数x的多项式一样相乘
或分解因式
(A 3E )(A +2E )=A2A6E
解法2 (AB)T =BTAT
1 4 2 2 1 0 17 = 7 2 0 0 3=14 13.
1 3 11 2 3 10
2、A是对称阵 AT = A
例如A=162
6 8
1 0
为对称. 阵
1 0 6
说明： 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等
例 设A,B为对称阵，判断下列矩阵是否为对称阵？
例1 A= 1 2 34
12 |A|=detA= 3 4 = -2
运算律P38
(1) AT = A; (2) AB=AB;
（3） | lA|=ln |A|
n为方阵的阶数
运算律P38
1、|AB| =|A|·|B|
方阵积的行列式=行列式的积
A,B求行列式有意义 A B C D=A•B•C•D (5次作业T3)
A+B，A-B ，AB, kA
例2 设列矩阵 X = x 1 ,x 2 , ,x n T 满足 XTX=1,
E 为 n阶单,位 H=E 矩 2X阵 T X ,证H 明 是对称
阵 ,且 HTH =E.
证明 H T=E 2 XTX T=ET2XXT T =E2 XXTT=E2(XT)TXT=E2X XT=H
规定 (Ann)0 =En
性质：(1) ArAs=Ar+s (2) (Ar)s=Ars
思考：下列等式在什么时候成立？
(AB)k = Ak Bk (A+ B)2 = A2 + 2AB + B2 (A+ B)(A B) = A2 B2
A、B可交换时成立
AB=BA
4、方阵的多项式：
设
f(x)=a m xm + L+a 1x+a 0
(1) (AT)T= A (2) (A+B)T= AT+BT
(3) (kA)T= kAT (4) (AB)T = BTAT
注意矩阵的次序
(A1A2A3….An)T =(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T
例 已知
1 7 1
2 0 1 A=1 3 2,
B=4 2 2 0
3, 求 ABT.
1
a13
a23
a33
la12 la22 la32
则
la11 lA= la21
la31
la12 la22 la32
la13 la23 la33
la13
a 11 a 12 a 13
=l la23
3 a 21
a 22
a 23 =l3 |A|
la33
a 31 a 32 a 33
例2 设矩阵A为八阶矩阵 |lA| = l8 |A|
A k = AAgggA =A•AL•A = |A| k
k个A
尽管ABBA，但
注： |AB| = |BA|
k个 |AB| =|A|·|B| |BA| =|B|·|A|
n为方阵的阶数
2、 | lA|=ln |A|
例1
a11 a12 A = a21 a22
a31 a32
la11| lA|= 源自a21la31为x的m次多项式，则称 f ( A )
f(A )=am A m+La 1A +a0E
为方阵A的m次多项式。
311
例：已知f(x)=x2x2，A= 3 1 2 ，求f(A)
1 1 0
f(A)= A2A2E
311
已知f(x)=x2x2，A= 3 1 2 ，求f(A)
1 1 0
解： f(A) = A2A2E
A2A2E =(A2E)(A+E)
四、矩阵的转置P36
第1行变为第1列，第2行变 为第2列,…第n行变为第n列
定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，
叫做 A 的转置矩阵，记作 AT .
例:
1 2 2
A
=
4
5
8
,
1 4
AT
=
2
5
;
2 8
B=18 6,
BT
=
18
6
.
1、转置的运算律P36
A
=
a
21
a22
...
a
2
n
... ... ... ...
a
n
1
an2
...
a
n
n
将A中所有元素 a i j 都改为它的代数余子式 A i j 后，再转 置，所得矩阵称为A的伴随矩阵，记做 A * ，即