现代控制理论：4.5g 线性系统的结构分解和零极点相消
现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01,0101B A （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111001,342100010B A （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110,0000000011111B A λλλλ 【解】：(1)[]2,1011==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n rankU AB BU c c ，所以系统完全能控。
(2)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==7111111010012B A ABBU c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。
（3）A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
[]2,111321031211312113121121132=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankU B A BA AB BU λλλλλλλλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=xy u x x 011101020011100030013 (2) []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 0011006116100010【解】： （1）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011101C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000D []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=111300002B CA CAB CB D前两列已经使[]22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。
现代控制理论-4
雅可比（Jacobian）矩阵。 引入偏差向量 x x xe，即 可导出系统的线性化方程， 或称一次近似式为 x Ax
式中
现代控制理论基础
A
f x T
x x e
12
4.2 李亚普诺夫第一方法
①假如矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系 统的平衡状态 xe 是渐近稳定的，且系统的稳定性与高阶项
point from the stability properties of its linear approximation.)
现代控制理论基础
2
引
言
直接法又称第二方法，它通过构造一个称之为 Lyapunov 函数
的纯量函数来判别系统的稳定性。它是分析线性和非线性、时 变和定常动力学系统稳定性的一种普遍方法，而且还可以有效 地应用于系统的分析和综合。
4 控制系统的稳定性—Lyapunov第二方法
4.1 关于稳定性的几个定义
4.2 李亚普诺夫第一方法
重点！
4.3 李亚普诺夫第二方法 4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析 4.5 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 4.6 Lyapunov第二方法在线性系统设计中
的应用
1
引
言
1892年，俄国数学家李亚普诺夫（Lyapunov）在其发表的 论文《运动稳定性的一般问题》(The general problem of motion stability) 中提出了两种用于分析由常微分方程描述的系统稳定 性的方法：线性化方法和直接法 。 (linearization method and direct method)
x x
T x xe
( x xe ) ( x xe )
现代控制理论知识点汇总
第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式n 阶 DuCx y Bu Ax x +=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯:r n B ⨯:n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
现代控制理论试卷及答案总结
2012年现代控制理论考试试卷一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，（√）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。
（√）2.若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。
（×）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
（√）4.对线性定常系统xAx =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。
（√）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。
（×）6.对一个系统，只能选取一组状态变量；（√）7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；（×）8.若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；（×）9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；（×）10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。
二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。
（10分）解：（1）由电路原理得：二．（10分）图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。
解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。
以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：从上述两式可解出1x •，2x •，即可得到状态空间表达式如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-211212110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+2120三、（每小题10分共40分）基础题（1）试求32y y y u u --=+&&&&&&&的一个对角规范型的最小实现。
现代控制理论刘豹课后习题答案
现代控制理论刘豹课后习题答案现代控制理论刘豹课后习题答案现代控制理论是控制工程中的重要学科，它研究了如何通过数学模型和控制算法来实现对系统的稳定性、响应速度和鲁棒性等性能指标的优化。
刘豹是现代控制理论领域的著名学者，他的课后习题是学习该学科的重要组成部分。
本文将为大家提供一些现代控制理论刘豹课后习题的答案，希望能帮助读者更好地理解和掌握这门学科。
1. 请简述现代控制理论的基本概念和主要内容。
现代控制理论是在传统控制理论的基础上发展起来的，它采用了更加先进的数学模型和控制算法，旨在提高系统的控制性能。
其基本概念包括状态空间模型、传递函数和控制器设计等。
主要内容包括系统建模、系统分析和系统设计等方面。
2. 什么是状态空间模型？请简要介绍其基本形式和特点。
状态空间模型是现代控制理论中常用的一种数学模型，它通过描述系统的状态变量和输入输出关系来表示系统的动态行为。
其基本形式为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)为系统的状态向量，u(t)为系统的输入向量，y(t)为系统的输出向量，A、B、C和D为系统的参数矩阵。
状态空间模型具有直观、灵活和适用于复杂系统的特点。
3. 请简述传递函数的定义和性质。
传递函数是描述系统输入输出关系的一种数学表达式，它是输出变量与输入变量的比值。
传递函数的定义为：G(s) = Y(s) / U(s)其中，G(s)为传递函数，Y(s)为系统的输出变量的拉普拉斯变换，U(s)为系统的输入变量的拉普拉斯变换。
传递函数具有线性、时不变和因果性等性质。
4. 请简述控制器设计的基本原则和方法。
控制器设计的基本原则是通过调节系统的输入信号来实现对系统的稳定性和性能的优化。
常用的控制器设计方法包括比例控制、积分控制和微分控制等。
其中，比例控制通过调节输入信号与误差之间的比例关系来实现对系统的稳定性和响应速度的调节；积分控制通过调节输入信号与误差的积分关系来消除系统的稳态误差；微分控制通过调节输入信号与误差的微分关系来提高系统的响应速度和鲁棒性。
现代控制理论第三章4
~ ~ x1 A11 ~ 0 x2 ~ y [C1
其中nc维子系统 是状态完全能控的。 而n-nc维子系统 是状态完全不能控的。
~ ~ ~ A12 x1 B1 ~ ~ u A22 x2 0 ~ ~ x1 C2 ]~ x2
定理中非奇异变换阵的构造 对能观性分解,能将状态不完全能观的线性定常连续系 统进行能观性分解的变换矩阵Po的逆阵可选为 q1 q Po1 2 ... q n 其中前no个行向量q1,…, qn 为能观性矩阵Qo的no个线性无关 o 的行向量,qno 1,…,qn为任意选择的n-no个线性无关的行向 量但必须使变换矩阵Po-1可逆。
q1 Ap1 ... qnc Ap1 0 ... 0
... ...
q1 Apnc ...
q1 Apnc 1 ... qnc Apnc 1 qnc 1 Apnc 1 ... qn Apnc 1
... ... ... ... ... ...
... qnc Apnc ... 0 ... ... ... 0
定理表明: 任何状态不完全能观的线性定常连续系统,
总可通过线性变换将系统分解成完全能观子系统 和完全不能观子系统两部,
且变换矩阵Po的逆阵Po-1前no行必须为能观性矩阵 Qo的no个线性无关的行或它的一组基底。 对于这种状态的能观性结构分解情况如下图所示。
~ B1
+ +
~ x1
~ A11
~ x1
~ C1
y1
u
能观部分
+
y
+
~ A21
~ x2
现代控制理论习题解答(第五章)
第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。
(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。
)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x 10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c U rank U系统能控，可以设计状态反馈阵。
设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k 方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A A A f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发） 求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s s ss s s U s Y []xy u x x 10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K [][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab bP⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P []1316~==P K K【解】：依据系统传递函数写出能控标准型ss s s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++= []x y u x x 0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。
现代控制理论课程教学大纲.
《现代控制理论》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：AU3022、课程名称（中/英文）：现代控制理论（Modern Control System）3、学时/学分：54学时/3学分4、先修课程：自动控制理论5、面向对象：自动化专业本科生，相邻专业研究生6、开课院（系）、教研室：自动化系7、教材、教学参考书：教材：现代控制理论刘豹机械工业出版社2000教学参考书：Linear System Theory and Design Chi-Tsong Chen Oxford university press 1999二、本课程的性质和任务现代控制理论是自动化专业的高年级本科生的必修课程，课程包括了现代控制理论中的基础理论部分，主要内容为线性系统理论基础内容。
课程首先介绍了控制理论的发展概况和应用概况，说明了线性系统的特性，然后深入讲解系统的状态空间描述，状态空间表达式的求解，线性控制系统的能控性和能观性、系统的稳定性和李雅普诺夫方法、线性定常系统的综合，最优控制问题的概述和线性定常二次型最优控制问题。
通过本课程的学习，学生可以掌握线性系统的基本分析和设计方法，为学生学习后继课程、从事工程技术工作、科学研究及开拓性技术工作打下坚实的基础。
三、本课程教学内容和基本要求《现代控制理论》现代控制理论的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)第一章概论(1)控制理论的发展、现代控制理论的特点及举例、线性系统的特点(1)要求：掌握现代控制理论与经典控制理论的不同点和线性系统的特点。
第二章控制系统的状态空间表达式（7）1．状态变量及状态空间表达式、状态空间表达式的模拟结构图（2）2．状态空间表达式的建立（一）（1）3．状态空间表达式的建立（二）（1）4．状态向量的线性变换（1）5．由状态空间表达式求传递函数阵、时变系统和非线性系统的状态空间表达式（2）要求：熟练掌握系统状态空间表达方法的概念、形式，掌握系统状态空间表达式的各种建立方法、掌握系统的线性变换方法、掌握模型转换方法。
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能观性分解(8/10)—例4-16
例4-16 试求如下系统的能观子系统:
0 0 -1 1 x 1 0 - 3x 1u
0 1 - 3 0
y [0 1 - 2]x
列3=列1-2列2
解 由于
C
0 1 - 2
rank QO
rank
CA
rank
1
-2
3
2
3
CA2
- 2 3 - 4
故该系统为状态不完全能观且能观部分的维数为2。
能控性分解(1/18)—能控性分解定理
4.5.1 能控性分解
对状态不完全能控的线性定常连续系统,存在如下能控性结 构分解定理。
定理4-17 若线性定常连续系统
x Ax Bu
y
Cx
状态不完全能控,其能控性矩阵的秩为
rankQc=rank[B AB … An-1B]=nc<n 则存在非奇异线性变换x=Pc x ,使得状态空间模型可变换成
4.5 线性系统的结构分解和零极点相消
一个系统状态不完全能控,意味着系统的部分状态不能控, 但也存在部分状态能控。 ➢ 到底哪一部分状态能控,哪一部分状态不能控的问题,对 于控制系统的分析、设计和综合,显然是至关重要的。 ➢ 由前面的结论已知,系统的非奇异线性变换不改变能控 性,那么是否存在线性变换后将系统的状态变量中完全 能控的部分和完全不能控的部分分离开来? ➢ 对状态不完全能观的系统, ✓ 也存在类似的区分哪些状态能观,哪些状态不能观 的问题。
0 1 0
A~ Po1APo -1 - 2
0
1 0 -1
C~ CPo [1 0 0]
则能观子系统的状态方程为
1 B~ Po1B -1
0
~x1
~x2
0 1
y [ 1
1 2
~x1 ~x2
1 1u
0
0 4 2 A~ Pc1APc 1 4 2
0 0 1 C~ CPc [1 2 1]
1 B~ Pc1B 0
0则能控子系统的状态方来自为~x1~x2
0 1
4
4
~x1 ~x2
2 2
~x3
10u
能观性分解(1/10)—能观性分解定理
4.5.2 能观性分解
类似于能控性分解,对状态不完全能观的线性定常连续系统, 有如下能观性结构分解定理。
能控性分解(2/18)
其中nc维子系统
~x1 ~x2
A~11 0
A~~12 A22
~x1 ~x2
B~1 0
u
y
~ [C1
~ C2
]~x~x12
是状态完全能控的。 ➢ 而n-nc维子系统
是状态完全不能控的。
能控性分解(15/18)
➢ 因此,由上式可归纳出一结论: ✓ 状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控性分 解后能控子系统的传递函数阵。 ✓ 由于状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控 子系统的传递函数阵,则其极点必少于n个, ❖ 即系统存在零极点相消现象。
能观性分解(9/10)
➢ 为分解系统,选择变换矩阵
0 1 - 2
Po1 1 - 2
3
0 0 1
其中前两行取自能观性矩阵Qo,后一行是任意选择的但保证 变换矩阵为非奇异的。
➢ 于是变换矩阵的逆矩阵为
2 1 1 Po 1 0 2
0 0 1
能观性分解(10/10)
➢ 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
目录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性系统的结构分解和零极点相消(1/3)
能控性分解(16/18)—例4-15
例4-15 试求如下系统的能控子系统:
1 2 1 0 x 0 1 0 x 0u
1 4 3 1
y [1 1 1 ]x
解 由于
0 1 4
rankQc rank[B AB A2B] rank 0 0
0
2
3
1 3 0
故该系统为状态不完全能控且能控部分的维数为2。
定理4-18 若线性定常连续系统
x Ax Bu y Cx
状态不完全能观,其能观性矩阵的秩为
C
rank Qo
rank
CA ...
no
n
CAn1
能观性分解(2/10)
则存在非奇异线性变换x=Pox~,使得状态空间模型可变换为
~x1 ~x2
AA~~1211
0 A~22
~x1 ~x2
BB~~12
u
y
~ [C1
0]~x~x12
其中no维子系统
~yx1C~A~11~x11~x1 B~1u
是状态完全能观的。
➢
而n-no维子系统 ~x2
A~21~x1
A~22~x2
B~2u
是状态完全不能观的。
能观性分解(7/10)
因此,由上式可归纳出一结论: ➢ 状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观性分解后 能观子系统的传递函数阵。 ➢ 由于状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观子系 统的传递函数阵,则其极点必少于n个, ✓ 即系统存在零极点相消现象。
能控性分解(17/18)
➢ 为分解系统,选择变换矩阵 0 1 0
Pc 0 0 1 1 3 0
其中前两列取自能控性矩阵Qc,后一列是任意选择的但保证 变换矩阵为非奇异的。
✓ 该变换矩阵的逆矩阵为
3 0 1 Pc1 1 0 0
0 1 0
能控性分解(18/18)
➢ 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
难点喔!
线性系统的结构分解和零极点相消(3/3)
本节讨论的主要问题: ➢ 基本概念: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极 点相消 ➢ 基本方法: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极 点相消判据
本节讲授顺序为: ➢ 能控性分解 ➢ 能观性分解 ➢ 能控能观分解 ➢ 系统传递函数中的零极点相消定理
线性系统的结构分解和零极点相消(2/3)
✓ 也存在能否基于线性变换将系统的完全能观部分 和完全不能观部分分离开来?
➢ 系统状态空间模型的状态能控性/能观性问题是系统的 两个不变的结构性问题,描述了系统的本质特征的问题, ✓ 它们与描述系统的输入输出特性的传递函数阵之 间有何联系?
本节主要讨论上述关于线性系统状态空间结构性的2个问题, 即: ➢ 状态空间模型的结构性分解以及 ➢ 传递函数阵与能控性/能观性的关系。