1、静电场中的导体-13
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静电场中的导体
动的状态，从而电场分布不随时间变化。
说明：
一般情况表面有一定厚度，很复杂如：E=109V，则 感应电荷聚集在表面的厚度为10-10m，本课程不讨论 表面层电荷如何分布。 实际物质内部既有自由电子，又是电介质。如：气体 在一般情况下绝缘（电介质），但加高压气体会被击 穿（导体）——导体是一种理想模型。 对导体只讨论达到静电平衡以后的情况，不讨论加电 以后电荷的平衡过程。
S内
E
E d S 0
内表面不是等势面 ——导 体也不是等势体 ，矛盾
S面内 q 0
内 表面 电 荷代 数和 为 零? 内 表面 无 电荷
q 0
e内 0
空腔内部有带电体 q
导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数 和为零 证明：作Gauss面如图
E内＝0 E
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚 少。 电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性 质也涉及得很少。 物质与场是物质存在的两种形式 物质性质非常复杂（要特别注意我们课程中讨论 这种问题所加的限制）
导体静电平衡条件
导体：有足够多的自由电子 ——受电场力会移动.
静电平衡状态：体是一个等势体，导体表 面是等势面 证明：
导体内部E=0
U ab E d l 0
a
b
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体 ——表面为等势面
场强分布
E内 0
表面附近：表 表面 E 表面 ： σe 大小： E ε0
导体表面是等势 面，处处与电力 线正交 ？
S内
E d S 0
q 0 q x x q
说明：
一般情况表面有一定厚度，很复杂如：E=109V，则 感应电荷聚集在表面的厚度为10-10m，本课程不讨论 表面层电荷如何分布。 实际物质内部既有自由电子，又是电介质。如：气体 在一般情况下绝缘（电介质），但加高压气体会被击 穿（导体）——导体是一种理想模型。 对导体只讨论达到静电平衡以后的情况，不讨论加电 以后电荷的平衡过程。
S内
E
E d S 0
内表面不是等势面 ——导 体也不是等势体 ，矛盾
S面内 q 0
内 表面 电 荷代 数和 为 零? 内 表面 无 电荷
q 0
e内 0
空腔内部有带电体 q
导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数 和为零 证明：作Gauss面如图
E内＝0 E
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚 少。 电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性 质也涉及得很少。 物质与场是物质存在的两种形式 物质性质非常复杂（要特别注意我们课程中讨论 这种问题所加的限制）
导体静电平衡条件
导体：有足够多的自由电子 ——受电场力会移动.
静电平衡状态：体是一个等势体，导体表 面是等势面 证明：
导体内部E=0
U ab E d l 0
a
b
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体 ——表面为等势面
场强分布
E内 0
表面附近：表 表面 E 表面 ： σe 大小： E ε0
导体表面是等势 面，处处与电力 线正交 ？
S内
E d S 0
q 0 q x x q
大学物理-第3章-静电场中的导体
R2 R1
在金属球壳与导体球之间（r0 < r < R1时）：
q r0
作过 r 处的高斯面S1
q
S1 E2 dS 0
得
E2 r
q
40r 2
q
E2 40r 2 er
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S2
E4
dS
在它形成的电场中平行放置一无限大金属平板。求：
金属板两个表面的电荷面密度？
解：带电平面面电荷密度0 ，导体两面感应电荷面密度分 别为1 和 2，由电荷守恒有
1 2 0 (1)
导体内场强为零（三层电荷产生）
σ0 σ1
σ2
E0 E1 E2 0
(2)
E0
0 1 2 0
(3)
20 20 20
导体表面任一点的电场强度都与导体表面垂 直。
20
2.导体在静电平衡状态下 的一些特殊性质
❖ 导体是等势体，导体表面是等势面。
在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为
VP VQ
Q
E
dl
0
P
❖ 导体表面的电场强度方向与导体的表面相垂直。
❖ 导体上感应电荷对原来的外加电场施加影响，改
Q1
Q2
0
q
q
0
得
E4r
q
4 0 r 2
E4
q
4 0 r 2
er
43
思考：（3）金属球壳和金属球的电势各 为多少？
解：设金属球壳的电势为U壳 ，则：
U壳
R2 E4 dl
第6章 静电场中导体和电介质 重点与知识点
理学院物理系 王 强
第六章 静电场中的导体和电介质
大学物理
第六章 重点与知识点
一、静电场中的导体
2、空腔导体(带电荷 、空腔导体 带电荷 带电荷Q)
1）、腔内无电荷，导体的净电荷只能分布在外表面。 腔内无电荷，导体的净电荷只能分布在外表面。 净电荷只能分布在外表面 Q
在静电平衡状态下,导体 在静电平衡状态下, 空腔内各点的场强等于零, 空腔内各点的场强等于零, 空腔的内表面上处处没有 空腔的内表面上处处没有 净电荷分布。 净电荷分布。
C2 U
Cn
2、电容器的并联
C = C1 + C2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn
= ∑ Ci
i =1
nq1C1来自q2C2qn U
Cn
2012年3月23日星期五
理学院物理系 王 强
第六章 静电场中的导体和电介质
大学物理
第六章 重点与知识点
四、 电场的能量
（一）、静电场的能量
电场能量密度: 电场能量密度
We 1 2 1 we = = εE = ED V 2 2
ε
电容率, : 电容率,决定于电介质种类的常数
2）、电介质中的高斯定理 ）
v r D ⋅ dS = ∑ Q0i ∫
S i (自由电荷)
2012年3月23日星期五
电介质中通过任 一闭合曲面的电位 一闭合曲面的电位 移通量等于该曲面 移通量等于该曲面 所包围的自由电荷 所包围的自由电荷 的代数和
第六章 静电场中的导体和电介质
一般电场所存储的能量: 一般电场所存储的能量
dWe = wedV
1 2 We = ∫ dWe = ∫ ε E dV V V 2
适用于所有电场） （适用于所有电场）
赵凯华-电磁学-第三版-第二章-静电场中的导体和电介质
R2 R1 R0
解： 1)导体电荷只分布在表面上 球A的电荷只可能在球的表面
B
Q
Aq
o
壳电B荷有可两能个分表布面在内、外两个表面R（2具体R1分布？）R0
由于A、B同心放置
带电体系具有球对称性
电量在表面上均匀分布（满足E内＝0要求）
电量在表面上均匀分布 Q q
电量q在球A表面上均匀分
R 1
4 0
9109 m 103 RE 1F
106 F
法拉单位过大, 常用单位: 1nF 109 F
1pF 1012 F
二.导体组的电容
由静电屏蔽:导体壳内部的电场只由腔内的电 量和几何条件及介质决定电位差仅与电荷 Q，几何尺寸有关，不受外部电场的影响，可
以定义电容。
UB
E dr
R2
4 0r R2 4 0 R2
例3 如图所示，接地导体球附近有一点电荷 。
求:导体上感应电荷的电量
解: 接地，即 U 0
设:感应电量为 Q
R
由于导体是个等势体
O
l
q
O点的电势也为零 ，则
Q q 0 40 R 40l
Q Rq l
腔内无电场，E腔内＝0 腔内电势处处相等
S
证明: 在导体壳内紧贴内表面作高斯面S
E ds 0 高斯定理 S
Qi 内表面 0
1.处处没有电荷
与等位矛盾 证明了上述 两个结论
2.内表面有一部分是正 则 会 从 正 电 荷 向 负 电荷，一部分是负电荷 电荷发出电力线
这就是物质对静电场的响应---第二章的研究内容：电场中的导体感应、 电解质极化， 并且分析感应、极化电荷对静电场的影响---静电场与物质的 相互作用(影响)
4静电场中的导体
3) 推论：处于静电平衡的导体是等势体 导体表面是等势面 导 体 是 等 势 体
en
E dl
E
+
+ + +
E dl 0
导体内部电势相等
dl
+
+
et
U AB E dl 0
AB
A
B
注意 当电势不同的导体相互接触或用另一导体（例如导 线）连接时，导体间将出现电势差，引起电荷宏观 的定向运动，使电荷重新分布而改变原有的电势差， 直至各个导体之间的电势相等、建立起新的静电平 衡状态为止。
各个分区的电场分布（电场方向以向右为正）：
1 2 3 4 在Ⅰ区：E 2 0 2 0 2 0 2 0 1 Q 方向向左 0 2 0 S
Eint 0
◆ 导体表面紧邻处的场强必定和导体表面垂直。
E S 表面
证明(1)：如果导体内部有一点场强不为零，该点的 自由电子就要在电场力作用下作定向运动，这就不 是静电平衡了。 证明(2)：若导体表面紧邻处的场强不垂直于导体表 面，则场强将有沿表面的切向分量 Et，使自由电子 沿表面运动，整个导体仍无法维持静电平衡。
const .
E dS
S
q
i
i
0
E dl 0
L
3. 电荷守恒定律
讨论题：
1. 将一个带电+q、半径为 RB 的大导体球 B 移近一 个半径为 RA 而不带电的小导体球 A，试判断下列说 法是否正确。 +q B (1) B 球电势高于A球。 (2) 以无限远为电势零点，A球的电势 A 0 。 (3) 在距 B 球球心的距离为r ( r >> RB ) 处的一点P， q /(40。 r2) 该点处的场强等于 (4) 在 B 球表面附近任一点的场强等于 B / 0 ，
《静电场中的导体与电介质》选择题解答与分析
5
给出参考解答，进入下一题： 4. C1 和 C2 两空气电容器， 把它们串联成一电容器组． 若在 C1 中插入一电介质板， 则 (A) C1 的电容增大，电容器组总电容减小． (B) C1 的电容增大，电容器组总电容增大． C1 C2 (C) C1 的电容减小，电容器组总电容减小． (D) C1 的电容减小，电容器组总电容增大． 答案：(B) 参考解答： 在 C1 中插入一电介质板，其电容 C1 r C1 （相对介电常数 r），所以 C1 的 电容增大； 把它们串联成一电容器组，总电容2
给出参考解答，进入下一题： 13.4 静电场的能量 1. 如果某带电体其电荷分布的体密度增大为原来的 2 倍，则其电场的能量变为 原来的 (A) 2 倍． (B) 1/2 倍． (C) 4 倍． (D) 1/4 倍． 答案：(C) 参考解答： 有电介质时电场空间能量密度计算的一般公式： D E 0 r E 2 ， 电场的能量公式： WE V 0 r E 2 dV . 2 因为 2 E 2 E , 所以电场的能量变为原来的 4 倍。
2. 在静电场中，作闭合曲面 S，若有 D d S 0 (式中 D 为电位移矢量)，则 S 面
S
内必定 (A) 既无自由电荷，也无束缚电荷． (B) 没有自由电荷． (C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零． (D) 自由电荷的代数和为零． 答案：（D） 参考解答： 有介质时的高斯定理 S D d S q ：通过任一闭合曲面的电位移通量，在数 值上等于该闭合曲面（也称高斯面）所包围的自由电荷的代数和，电位移通量与 束缚电荷无关。所以，若有 S D d S 0 (式中 D 为电位移矢量)，则 S 面内必定自 由电荷的代数和为零。
静电场中的导体和电解质
Q + + + + ++ + + + + E= 0 S+ + + + + + + + ++
Q q + + + +++ + +-q + + - E= 0 S + 结论: 电荷分布在导体外表面, 导体 + q + + 内部和内表面没净电荷. + - - + + + + ++ 腔内有电荷q: E 0 q 0
i
结论: 电荷分布在导体内外两个表面,内表面感应电荷为-q. 外表面感应电荷为Q+q.
NIZQ
第 5页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
结论: 在静电平衡下,导体所带的电荷只能分布在导体的 表面,导体内部没有净电荷. • 静电屏蔽 一个接地的空腔导体可以隔离内 外电场的影响. 1. 空腔导体, 腔内没有电荷 空腔导体起到屏蔽外电场的作用. 2. 空腔导体,腔内存在电荷 接地的空腔导 体可以屏蔽内、 外电场的影响.
NIZQ
第 3页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
• 静电平衡时导体中的电场特性
E内 0
场强:
ΔVab
b
a
E dl 0
• 导体内部场强处处为零 E内 0 • 表面场强垂直于导体表面 E表面 // dS
• 导体为一等势体 V 常量 • 导体表面是一个等势面
S
0 E P dS qi
大学物理-静电场中的导体
E内= 0 等势体
静电平衡时的导体
接地 ：取得与无限远相同的电势 通常取为零）。 （通常取为零）。
6
半径为R的金属球与地相连接 的金属球与地相连接， 例1. 半径为 的金属球与地相连接，在与球心 相距d=2R处有一点电荷 处有一点电荷q(>0)，问球上的 相距 处有一点电荷 ， 感应电荷 q'=? q'？q =
q3
q2 q1
B
R1 R2
A
R3
22
解: （1）当球体和球壳为一般带电体时 ） 用高斯定理可求得场强分布为
r −R E3 = (q1 + 3 Q) ( R2 ≤ r ≤ R3 ) 2 4πε0r R3 − R 1
3 3 2 3 2
4πε0 R q1 E2 = 2 4πε0r
E1 =
q1
3 1
r
(r ≤ R1 )
E = σ / εo
1 3.面电荷密度正比于表面曲率 σ ∝ R 面电荷密度正比于表面曲率
31
例4-2 （3）如果外壳接地，情况如何？ ）如果外壳接地，情况如何？ （4）如果内球接地，情况又如何？ ）如果内球接地，情况又如何？ （3）如果外壳接地 ） 则： 外壳电势= 外壳电势= 无穷远处电势 =0 外壳带电量= 外壳带电量=Q’
S
ε0 V
S 是任意的。 是任意的。 令S→ 0，则必有ρ 内 = 0。 。
8
必为零。 2.导体壳： 外可不为零，但σ内 和 E内必为零。 导体壳： 可不为零， 导体壳 σ
σ内 = 0
E内 = 0
S内
σ外
理由： 理由： 在导体中包围空腔选取 高斯面S 高斯面 ， 则：
S
r r ∫ E导内 ⋅ d s = 0
电场中的导体和电介质
二、电容器
1、电容器的定义
两个带有等值而异号电荷的导体 所组成的系统，叫做电容器。
+Q
-Q
2、电容器的电容
如图所示的两个导体放在真空中，它们所 带的电量为+Q、-Q，它们的电势分别为 V1、V2，定义电容器的电容为： 计算电容的一般步骤为： •设电容器的两极板带有等量异号电荷； •求出两极板之间的电场强度的分布； •计算两极板之间的电势差； •根据电容器电容的定义求得电容。
3-4 物质中的电场
在静电场中总是有导体或电介质存在的，而且静电场 的一些应用都要涉及静电场中导体和电介质的行为， 以及它们对静电场的影响。
一、静电场中的导体
1、静电感应及静电平衡
若把导体放在静电场中，导体中的自由电子将在电场力的 作用下作宏观定向运动，引起导体中电荷重新分布而呈现 出带电的现象，叫作静电感应。 开始时， E’< E0 ，金属内部的场强不零， 自由电子继续运动，使得E’增大。这个过 程一直延续到E’= E0即导体内部的场强为零 时为止。此时导体内没有电荷作定向运动， 导体处于静电平衡状态。
根据静电平衡条件，空腔 由静电平衡条件，腔内壁非均匀 分布的负电荷对外效应等效于： 导体内表面总的感应电荷为 -q， 非均匀分布；外表面，总的感 在与 q 同位置处置 q 。 应电荷为 q，非均匀分布。
9
R
q q q U U U U U 0 q 壳 地 内壁 外壁 q q O o d q外壁 0
C Q V
Q C＝ 4 0 R V
静电场中的导体
E2 4 0 r 2
R1 r R2
E3
1
4
0
Q q/ r2
U
R1
E.dr
R2 R1
E2.dr
R2 E3.dr 0
r R2
q/
4 0
1 R1
1 R2
1
4 0
Q q/ R2
0,
解得
q
R 1
Q
R
2
故外球壳外表面荷电 Q q/ Q R1 Q
R2
17
10
例8－１4 如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为R的金属球壳 外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。
q/
R
r
E0 0 E/ d
Q
解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则
点电荷在球心处的场强
Q
E0 4 0 (R d )2 r0
又
E E/ E 0
内
0
q
总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使 得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
12
２、尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的 分子处于激发态发光而产生电晕现象。
+ +
++ +++
+ +
+++
+
尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕， 故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。
△s面上σ均匀， E1=常矢 ，且垂直于导体表面，又E内＝０
e
E表
E s1 1
0
ds
s
R1 r R2
E3
1
4
0
Q q/ r2
U
R1
E.dr
R2 R1
E2.dr
R2 E3.dr 0
r R2
q/
4 0
1 R1
1 R2
1
4 0
Q q/ R2
0,
解得
q
R 1
Q
R
2
故外球壳外表面荷电 Q q/ Q R1 Q
R2
17
10
例8－１4 如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为R的金属球壳 外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。
q/
R
r
E0 0 E/ d
Q
解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则
点电荷在球心处的场强
Q
E0 4 0 (R d )2 r0
又
E E/ E 0
内
0
q
总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使 得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
12
２、尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的 分子处于激发态发光而产生电晕现象。
+ +
++ +++
+ +
+++
+
尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕， 故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。
△s面上σ均匀， E1=常矢 ，且垂直于导体表面，又E内＝０
e
E表
E s1 1
0
ds
s
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1= 4
P
3S + 4S = QB
又电荷守恒，所以有： 1S + 2S = QA
Q A QB 联立得： 1 4 2S QB Q A Q A QB 3 2 2S 2S
两板中间的场强为：
1 2 3 4 E 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 B 2 Q A QB U AB E dl Ed d d A 0 2 0 S
U ab
b
a
E dl
0
导体整体是等势体 导体表面是等势面
E0
三、静电平衡时导体上电荷的分布
导体的静电平衡条件； 根据：
1 静电场的高斯定理： E dS S 0
q
S内
i
(1)导体内部无净电荷，电荷分布在导体表面； 在导体内任作一高斯面S ，则：
1 SE dS 0
球A与壳B之间的电势差为：
q3 q2
q1
R3 R1 R2
U AB
R2
R1
q1 1 1 q1 ( ) dr 2 4 π 0 R1 R2 4 π 0 r
q3 q2
q1
R3 R1 R2
q1 q 2 0 q2 - q1
由电荷守恒定律：
q3 q q2 q q1
考虑电荷分布的对称性，由高斯定理得：
E 0 r R1
q1 E 2 4π 0 r
R1 r R2
E 0 R3 r R2 q1 q E r R3 2 4π o r
S内
q
S内
i
=0
S
qi 0 不存在净电荷
(2)导体表面上各处的面电荷密度与该处表面外 附近的场强大小成正比；
E d S E d S E d S E d S S S S侧
S
上 下
= ES + 0 + 0
= S/0
(2)只能内表面无电荷
腔内无电荷的空腔导体： (A)内表面处处无电荷，电荷只分布在外表面 (B)腔内电场处处为零，外表面内是一个等势区 腔外带电体与腔外表面电 荷在腔内场强总贡献为零 q +
+
U = C1 +
+ + U = C2
1
2
Q +
2、腔内有电荷的空腔导体
设腔内有电荷q，自身电荷Q
Q+ Qq -q q
在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷， 并测量球壳内外的电场强度分布．如果将此点 电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球
壳内外的电场强度分布，则将发现 A. 球壳内、外电场强度分布均无变化
B. 球壳内电场强度分布改变，球壳外不变 C. 球壳外电场强度分布改变，球壳内不变
D. 球壳内、外电场强度分布均改变
0
1
Q感
dq感
U O U Oq U O感
q 40 L
(2)若导体球接地，则导体球电势为零 此时的感应电荷不再为零 dq’感 L
U O感
dq '感 40 R
Q '感
q
Q '感
R O AΒιβλιοθήκη 4 R01
dq '感
Q '感 40 R
U O U Oq U O感
当一个孤立带电导体达到静电平衡时：
(1)表面上电荷密度较大处的电势较高
(2)表面上电荷密度较大处的电场较强 (3)靠近外表面附近， 表面电荷密度较大处电场较强 (4)表面曲率较大处电荷面密度较大 (5)导体内部的电势比导体表面的电势高
(6)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零
上面论述正确的有：
电晕： 尖端放电时，在尖端附 近发生电离的离子与空气分 子碰撞，会使分子处于激发 状态，从而产生光辐射形成 电晕。夜间高压输电线附近 往往会看到电晕现象
一些高压设备的电 极常常做成光滑的球 面也是为了避免因尖 端放电而把电荷漏掉， 以维持高电压
利用尖端放电： 尖端为负极时，放电 产生的电 子与氧分子结合成负氧离子，这 些负氧离子将远离电极，再利用 吹风机则可使大量负氧离子吹入 空气，从而起到清洁空气的作用 避雷针：一个尖端尖锐和接地 良好的避雷针可以通过尖端放 电效应，把激烈的放电变为和 缓的放电，从而防止雷击对建 筑的破坏
A. (1) (2) (6)
C. (2) (4) (6)
B. (1) (3) (5)
D. (3) (4) (6)
如图所示，无限大均匀带电平板A，电荷面 密度为1，将带电板移近一导体B， P点是极 靠近导体B表面的一点， B表面上靠近P点处 的电荷面密度为2 ，则P点的场强是
2 1 A. 2 0 2 0
内表面上的电荷分布只由腔内电荷 及空腔内表面形状决定，不受腔外 电场影响
3、静电屏蔽 (1)内场 无论腔内是否有电荷，外场对内场均不产生影 响，内场只由腔内带电体和腔内壁形状决定。
无论接地与否，空心导体壳可屏蔽外场
(2)外场 腔内带电体通过感应间接对外场施加影响
q位置变化 无影响
q电量变化 有影响
Q '感 q =0 40 L 40 R
R Q '感 q L
例2、两块无限大的导体平板A、B平行放置，间距为d， 板面为S，分别带电QA、QB，且均为正值。求两板 各表面上的电荷面密度及两板间的电势差。
解：设四个表面电荷面密度分别 为：1、2、 3、4
作高斯面S’，则有：
若QA= - QB 0，则： 1= 4 = 0
1
2 3
4
Q A QB 2 3 2S
电场只集中在两板之间
例 3、如图，带电金属球带电q1，带电球壳带电量 为q 。试求此系统的电荷、电场分布以及球 与球壳间的电势差。 解： 设球壳内外表面电量为q2、q3 在球壳内作一半径为r的球面 为高斯面，由高斯定理得：
但是，接地时： 外表面上的感应电 荷被大地电荷全部 或部分中和。
可以证明： 接地导体空腔外场不受内部电 荷的影响，只由外电荷决定。
接地的导体空 腔可屏蔽内场
利用接地导体可将空腔内外电场隔离，使之 互不影响，这种作用称为静电屏蔽。
在实际中常用密织的金 属网罩代替金属壳体实
现静电屏蔽的目的
鸟巢外表的“钢筋 铁骨”构成了理想 的屏蔽式“避雷网”
例1、导体球附近有一电量为q的点电荷，q离导体球球 心距离为L，球半径为R，求： (1)导体球的电势； (2)若导体球接地，求导体球的感应电荷。
解：(1) 设导体上感应电荷为Q感
O点的电势是q和Q感产 生的电势叠加的结果。 q L
dq感
R O A
U O感
=0
dq感 40 R
Q感
4 R
E是空间所有电荷
在该处产生的总场
对任何导体均成立
E 0
E
E内 0
S
(3)孤立导体的面电荷密度与表面曲率有关。 实验表明，对孤立导体：
尖锐，曲率为正且大处， 大， E大 平坦，曲率为正但小处， 小， E小 凹进，曲率为负处， 最小， E最小 尖端放电：空气被击穿 而产生的放电现象
第十一章 静电场中的导体和介质
§11-1 静电场中的导体
一、导体的静电感应
导体内的自由电子在外场作用下作宏观定向 运动从而使导体上电荷重新分布的现象。
E0
E'
E E0 E '
E0
静电平衡： 导体内部和表面 都没有电荷定向 运动的状态
二、静电平衡条件 用电场表述： 1、导体内部场强处处为零； 2、导体外表面处的场强处处和表面垂直。 用电势表述：
1
2 3 S’
4
1 E dS
S
0
q
S内
i
=0
∴ 2 S + 3 S = 0
2= - 3
S’
对导体内任一点P，其场强为所有电荷产生的电场 叠加，其值为零，所以： 1 2 3 4
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 1 B. 2 0 2 0
1
2 1 C. 0 2 0
2 D. 0
2 P
B
A
四、空腔导体
静电屏蔽
1、腔内无电荷的空腔导体 在导体内包围空腔作高斯面S
1 SE dS 0
S内
q
S内
i
S
qi 0
(1)可能内表面有等量异号电荷
与静电平衡时导体 为等势体相矛盾 可能性排除
S
1 SE dS 0
q
i
=0
∴ q + q内 = 0 q内 = - q 由电荷守恒可知： Q = q内 + q 外 q 外 = Q - q内 = Q + q
导体内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零 腔内带电体通过感应到导体表 面的电荷，对外界施加影响。
空腔外表面上的电荷分布与腔内带电 体的位置无关，只取决于导体外表面 的形状和外电场。
P
3S + 4S = QB
又电荷守恒，所以有： 1S + 2S = QA
Q A QB 联立得： 1 4 2S QB Q A Q A QB 3 2 2S 2S
两板中间的场强为：
1 2 3 4 E 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 B 2 Q A QB U AB E dl Ed d d A 0 2 0 S
U ab
b
a
E dl
0
导体整体是等势体 导体表面是等势面
E0
三、静电平衡时导体上电荷的分布
导体的静电平衡条件； 根据：
1 静电场的高斯定理： E dS S 0
q
S内
i
(1)导体内部无净电荷，电荷分布在导体表面； 在导体内任作一高斯面S ，则：
1 SE dS 0
球A与壳B之间的电势差为：
q3 q2
q1
R3 R1 R2
U AB
R2
R1
q1 1 1 q1 ( ) dr 2 4 π 0 R1 R2 4 π 0 r
q3 q2
q1
R3 R1 R2
q1 q 2 0 q2 - q1
由电荷守恒定律：
q3 q q2 q q1
考虑电荷分布的对称性，由高斯定理得：
E 0 r R1
q1 E 2 4π 0 r
R1 r R2
E 0 R3 r R2 q1 q E r R3 2 4π o r
S内
q
S内
i
=0
S
qi 0 不存在净电荷
(2)导体表面上各处的面电荷密度与该处表面外 附近的场强大小成正比；
E d S E d S E d S E d S S S S侧
S
上 下
= ES + 0 + 0
= S/0
(2)只能内表面无电荷
腔内无电荷的空腔导体： (A)内表面处处无电荷，电荷只分布在外表面 (B)腔内电场处处为零，外表面内是一个等势区 腔外带电体与腔外表面电 荷在腔内场强总贡献为零 q +
+
U = C1 +
+ + U = C2
1
2
Q +
2、腔内有电荷的空腔导体
设腔内有电荷q，自身电荷Q
Q+ Qq -q q
在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷， 并测量球壳内外的电场强度分布．如果将此点 电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球
壳内外的电场强度分布，则将发现 A. 球壳内、外电场强度分布均无变化
B. 球壳内电场强度分布改变，球壳外不变 C. 球壳外电场强度分布改变，球壳内不变
D. 球壳内、外电场强度分布均改变
0
1
Q感
dq感
U O U Oq U O感
q 40 L
(2)若导体球接地，则导体球电势为零 此时的感应电荷不再为零 dq’感 L
U O感
dq '感 40 R
Q '感
q
Q '感
R O AΒιβλιοθήκη 4 R01
dq '感
Q '感 40 R
U O U Oq U O感
当一个孤立带电导体达到静电平衡时：
(1)表面上电荷密度较大处的电势较高
(2)表面上电荷密度较大处的电场较强 (3)靠近外表面附近， 表面电荷密度较大处电场较强 (4)表面曲率较大处电荷面密度较大 (5)导体内部的电势比导体表面的电势高
(6)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零
上面论述正确的有：
电晕： 尖端放电时，在尖端附 近发生电离的离子与空气分 子碰撞，会使分子处于激发 状态，从而产生光辐射形成 电晕。夜间高压输电线附近 往往会看到电晕现象
一些高压设备的电 极常常做成光滑的球 面也是为了避免因尖 端放电而把电荷漏掉， 以维持高电压
利用尖端放电： 尖端为负极时，放电 产生的电 子与氧分子结合成负氧离子，这 些负氧离子将远离电极，再利用 吹风机则可使大量负氧离子吹入 空气，从而起到清洁空气的作用 避雷针：一个尖端尖锐和接地 良好的避雷针可以通过尖端放 电效应，把激烈的放电变为和 缓的放电，从而防止雷击对建 筑的破坏
A. (1) (2) (6)
C. (2) (4) (6)
B. (1) (3) (5)
D. (3) (4) (6)
如图所示，无限大均匀带电平板A，电荷面 密度为1，将带电板移近一导体B， P点是极 靠近导体B表面的一点， B表面上靠近P点处 的电荷面密度为2 ，则P点的场强是
2 1 A. 2 0 2 0
内表面上的电荷分布只由腔内电荷 及空腔内表面形状决定，不受腔外 电场影响
3、静电屏蔽 (1)内场 无论腔内是否有电荷，外场对内场均不产生影 响，内场只由腔内带电体和腔内壁形状决定。
无论接地与否，空心导体壳可屏蔽外场
(2)外场 腔内带电体通过感应间接对外场施加影响
q位置变化 无影响
q电量变化 有影响
Q '感 q =0 40 L 40 R
R Q '感 q L
例2、两块无限大的导体平板A、B平行放置，间距为d， 板面为S，分别带电QA、QB，且均为正值。求两板 各表面上的电荷面密度及两板间的电势差。
解：设四个表面电荷面密度分别 为：1、2、 3、4
作高斯面S’，则有：
若QA= - QB 0，则： 1= 4 = 0
1
2 3
4
Q A QB 2 3 2S
电场只集中在两板之间
例 3、如图，带电金属球带电q1，带电球壳带电量 为q 。试求此系统的电荷、电场分布以及球 与球壳间的电势差。 解： 设球壳内外表面电量为q2、q3 在球壳内作一半径为r的球面 为高斯面，由高斯定理得：
但是，接地时： 外表面上的感应电 荷被大地电荷全部 或部分中和。
可以证明： 接地导体空腔外场不受内部电 荷的影响，只由外电荷决定。
接地的导体空 腔可屏蔽内场
利用接地导体可将空腔内外电场隔离，使之 互不影响，这种作用称为静电屏蔽。
在实际中常用密织的金 属网罩代替金属壳体实
现静电屏蔽的目的
鸟巢外表的“钢筋 铁骨”构成了理想 的屏蔽式“避雷网”
例1、导体球附近有一电量为q的点电荷，q离导体球球 心距离为L，球半径为R，求： (1)导体球的电势； (2)若导体球接地，求导体球的感应电荷。
解：(1) 设导体上感应电荷为Q感
O点的电势是q和Q感产 生的电势叠加的结果。 q L
dq感
R O A
U O感
=0
dq感 40 R
Q感
4 R
E是空间所有电荷
在该处产生的总场
对任何导体均成立
E 0
E
E内 0
S
(3)孤立导体的面电荷密度与表面曲率有关。 实验表明，对孤立导体：
尖锐，曲率为正且大处， 大， E大 平坦，曲率为正但小处， 小， E小 凹进，曲率为负处， 最小， E最小 尖端放电：空气被击穿 而产生的放电现象
第十一章 静电场中的导体和介质
§11-1 静电场中的导体
一、导体的静电感应
导体内的自由电子在外场作用下作宏观定向 运动从而使导体上电荷重新分布的现象。
E0
E'
E E0 E '
E0
静电平衡： 导体内部和表面 都没有电荷定向 运动的状态
二、静电平衡条件 用电场表述： 1、导体内部场强处处为零； 2、导体外表面处的场强处处和表面垂直。 用电势表述：
1
2 3 S’
4
1 E dS
S
0
q
S内
i
=0
∴ 2 S + 3 S = 0
2= - 3
S’
对导体内任一点P，其场强为所有电荷产生的电场 叠加，其值为零，所以： 1 2 3 4
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 1 B. 2 0 2 0
1
2 1 C. 0 2 0
2 D. 0
2 P
B
A
四、空腔导体
静电屏蔽
1、腔内无电荷的空腔导体 在导体内包围空腔作高斯面S
1 SE dS 0
S内
q
S内
i
S
qi 0
(1)可能内表面有等量异号电荷
与静电平衡时导体 为等势体相矛盾 可能性排除
S
1 SE dS 0
q
i
=0
∴ q + q内 = 0 q内 = - q 由电荷守恒可知： Q = q内 + q 外 q 外 = Q - q内 = Q + q
导体内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零 腔内带电体通过感应到导体表 面的电荷，对外界施加影响。
空腔外表面上的电荷分布与腔内带电 体的位置无关，只取决于导体外表面 的形状和外电场。