3弧度制

小于900的角的区别
课后作业:
课本P11 习题 1-2
2、 3 预习内容: 弧度制
教学目的:
1.通过实例,使学生理解角的概念推广的
必要性
2.理解任意角的概念，根据角的终边
旋转方向,能判定正角、负角和零角
3.学会建立直角坐标系来讨论任意角,
能够根据终边判断象限角,掌握终边
相同角的表示方法
4.培养学生用运动变化的观点审 视事物;通过与数的类比,理解正 角、负角和零角,让学生感受图
如何用不等式来表示 各个象限角的集合?
例3、写出终边落在第一象限的角的集合Ｓ。
第二象限呢? 第三象限呢? 第四象限呢?
变式: （ 1 ）已知 是锐角，那么2 是_______;

2 （2）已知 是第一象限角，那么2 是_______;
是 _______;

2
是 _______ .
回 顾
o
角度制与弧度制的换算
例1 把
67 30化成弧度．


1 解：∵ 67 30 67 2

1 3 rad 67 rad ∴ 67 30 180 2 8
角度制与弧度制的换算
4 例2 把 rad 化成度． 5
4 4 解： rad 180 144 5 5
指出它们是第几象限角
30° 是第一象限角 120 °是第二象限角 -60 °是第四象限角 225° 是第三象限角
2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系 390°= 30°+＿＿＿ 1· 360°
＿＿＿ 360° -330°= 30°+(-1)· 750°= 30°+＿＿＿ 2· 360° 归纳: 与30°终边相同的角的集合
正数 负数
零角的弧度数
零
一般的，可以得到：正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角α 的弧度数的绝对值
l a r
其中l是角 作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径.
a
角度制与弧度制可以换算吗？
360 2 rad 180 rad
π 1 = rad 0.01745rad 180 180o o o １rad = 57.30 = 57 18' π
零角：没有作任何旋转的角.记作 α=0º. 角的概念推广后，它包括任意大小的 正角、负角和零角
1.从中午12点到下午3点，
-900 时针走过的角度是＿＿
2.钟表经过4小时，时针与
分针各转了_____________ -1440º -120º 、
看谁答得快
(三)角的位置:
1.象限角
y B1 o B2
都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
注意以下四点：
(1) k Z
(2) 是任意角； (3) k 360 与之间是“+”号， 0 0 如k 360-30°，应看成 k 360 +(-30°)
0
(4)终边相同的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相同，终边相同的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
弧度制
请同学们考虑一下：
问题1：周角的弧度数是多少？平角呢？直角呢？ 2r
周角所对的弧长L=2πr,所以周角的弧度数为
2 r r 同理，平角的弧度数为 ，直角的弧度数为 2 r
问题2：如果圆心角是一个负角且它所对的弧长为
4πr时，这个圆心角的弧度数是多少？（讨论）
正角的弧度数 负角的弧度数
形的对称美、运动美
教学重点:
1.任意角的概念，象限角的概念
2.掌握终边相同的角的表示方法
及判定
教学难点: 把终边相同的角用集合和符号语言
正确地表示出来
突破方法：
在平面内建立适当的坐标系，通过数
形结合来认识角的几何表示和终边相 同的角集合
· 角α的终边经过P(-3,0),则角α(
A.是第三象限角
) D
B.是第二象限角
C.既是第二象限角又是第三象限角 D.不属于任何象限
· 已知A={第一象限的角}, B={锐角},C={小于90º 的角},
则下列关系式正确的是( D )
A. A=B=C C. A∩C=B B. B∪C=A D. B∪C=C
例1终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β ︱β =
0 k· 360°＋90 ,k∈Z｝
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β ︱β = k · 360°＋2700,k∈Z｝
或｛β︱β= k·360°一900,k∈Z｝
终边在y轴上角的集合为 ∪ ｛β ︱β = k · 360°＋900,k∈Z｝
｛β ︱β =
· 若α是锐角,则k·180º+α, (k∈Z)
所在的象限是( C )
A.第一象限 B.第一、二象限
C.第一、三象限 D.第一、四象限
角的 概念
角的 大小
角的 位置
角的 关系
正角 负角 零角
象限角 轴线角
终边相同角
1.掌握终边相同的角的 表示方法及判定 2.注意： 00到900的角；
00～3600的角； 第一象限角；锐角；
｛β ︱β = 30°＋ k· 360°,k∈Z｝
写出与－60°终边相同的角的集合 ｛β︱β= －60 °＋ k· 360°,k∈Z｝ 写出与0°终边相同的角的集合
｛β︱β= 0 °＋ k· 360°,k∈Z｝
(四)角的关系:
终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α 终边相同的角，
连同角α 在内，可构成一个集合 S=｛β ︱β =α+k· 360°,k∈Z｝ 即任何一个与角α终边相同的角，
观察一组图片
1.钟表的指针旋转
2.自行车的车轮周而复始地转动 一根辐条
3.在跳水运动中，
“转体720º”、 “转体1080º”等动
作名称的含义
(一)角的概念:
平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所形成的图形
B
OA:角的始边
OB:角的终边 O:角的顶点
0
A
(二)角的大小:
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 负角：按顺时针方向旋转所形成的角. 如α =-150º.
练 给出下列四个命题,其中 习
正确的命题有( D )
①-75º 是第四象限角; ② 225º 是第三象限角 ;
③ 475º 是第二象限角;
④ -315º 是第一象限角 . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1.平面上所有的角可分为两大类： 正角与负角
2.小于90°的角是锐角
3.相等的角,终边一定相同 4.第一象限的角一定是锐角
x
在直角坐标系内,角的顶点与
原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,那么角的终边在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角.
2.轴线角 终边落在x轴和y轴上的角
当角的终边不落在象限内,这样的角 还是象限角吗? 否
y y
o
x
o
x
1 .在直角坐标系中，作出下列各角 （1） 30° （2）120 ° （3）-60 ° （4） 225°
1、在平面几何中研究角的度量，当时是用度
做单位来度量角，1°的角是如何定义的？
2、我们把圆周分成360等份，那么每一等份 所对的圆心角的度数就是1°。
角度制：
把用度作为单位来度量角的单位制
探索新知
“1弧度的角”的定义:
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧 度的角。
弧度制的单位是rad,读作弧度.
60 º+1×360°=420 º .
模仿一下吧 写出与-45º 角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-720º≤β＜360º 的元素β写出来. 解 S={β∣β= -45º + k· 360°,k∈Z}.
S中适合-720º ≤β＜ 360º 的 元素是: -45º 315º -405º
能力提升
0 k· 360°＋270 ,k∈Z｝
1.与-496°终边相同的角
是 -496°+k· 360° (k∈Z) ;
224° 它们中最小正角是_____ 它是第 三 象限的角;
2.下列命题中正确的是( D ) A.终边在y轴上的角是直角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ· 360°（ｋ∈Z），则α
5.钝角的终边在第二象限 6.α与β是终边相同的角,那么有α=β
例1 (1)终边在X轴正半轴上角的集合为：
S=｛β ︱β = k· 360°,k∈Z｝ (2)终边在X轴负半轴上角的集合为： S=｛β ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱβ = k· 360°＋1800,k∈Z｝
(3)终边在X轴上角的集合为:
= ｛β ︱β = k · 180°,k∈Z｝
角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
写出一些特殊角的弧度数
角 度
弧 度
0 30 45 60 90 120 135 150180 270 360
0
6
4
2 3 5 3 2 3 4 6

3 2 2
弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad”通常略去 不写，只写这个角所对应的弧度数。
S =｛β ︱β = k· 360°,k∈Z｝∪ ｛ β ︱β = k· 360°＋1800,k∈Z｝
(4)终边与坐标轴重合的角的集合是
S | k 90 ，k Z
例2、写出终边在直线Ｙ＝Ｘ上的角的集
合Ｓ，并把Ｓ中适合不等式
３６00≤β＜７２００ 的元素β写出来。
变式： 在0 到360 范围内，找出与下列角终边 相同的角，并判定它们是第几象限角. （） 1 120 （2） 650 12