2020黄浦初三数学二模
2020上海市黄浦区初三二模数学试卷
2020.05
一. 选择题
1. 下列正整数中，属于素数的是（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
2. 下列方程没有实数根的是（）
2222
3.
4.
5.
（
6.
△
二
7.
8.
9.
11. 某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是
12. 木盒中有一个红球和一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是
13. 如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是厘米
14. 正五边形一个内角的度数是
15. 如果一个梯形的上底与下底之比等于1:2，那么这个梯
形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是 16. 如图，点M 是△ABC 的边AB 上的中点，设AC a ， AB b ，那么CM 用a 、b 表示为
17. 已知等边△ABC 的重心为G ，△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，将它们重叠部
1S 与
三
点（（
22. 如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟.
（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度约为多少米？（精确到整数）
（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？
1.73
1.41
】
.
AO平分BAC
.
24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212
y x bx c
经过点(4,0)A 和(2,6)B ， 其顶点为D .
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD 的面积； （3）设C 为该抛物线上一点，且位于第二象限，
过点C 作CH x 轴，垂足为点H ，如果△OCH
和△ABD 相似，求点C 的坐标.
25. 在边长为2的菱形ABCD CD 上，且FG EF ，EH （1）如图1，当点F 是边AB （2）如图2，当
12BG GC （
是矩形时（点F 不与AB 中点重合），求AF 的长.
参考答案
一. 选择题
1. A
2. C
3. C
4. A
5. B
6. D
二. 填空题
7. 23a 8. (2
x 111. 25名 12. 14
15. 5:7 16. a
三. 解答题
19. 1 .
20. 1114x y ，2241
x y . 21.（1）2y x
；（2）(1,2)D 22.（123.（1）证明略；（2）BC 12ABD ；（3）(10,30)C 或(,)39
. （3）313AF .。
2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题09 平行、全等与相似(解析版)
2020年上海市16区中考数学二模汇编专题09平行、全等与相似1.（2020闵行二模）2.（2020松江二模）3.（2020宝山二模）4.（2020奉贤二模）5.（2020金山二模）6.（2020静安二模）7.（2020嘉定二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模）10.（2020浦东二模）11.（2020徐汇二模）12.（2020青浦二模）13.（2020虹口二模）14（2020杨浦二模）15（2020黄浦二模）16.（2020普陀二模）一．选择题1.（2020松江二模）如图，已知△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝4，点G是△ABC的重心．将△ABC平移，使得顶点A与点G重合．那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为（）A．2B．3C．4D．4.5【分析】先根据平移和平行线的性质得到∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C，则可判断△GMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝，接着利用三角形重心性质得AG＝2GD，然后根据三角形周长定义计算即可．【解答】解：∵将△ABC平移得到△GEF，∴GE∥AB，GF∥AC，∴∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C，∴△GMN∽△ABC，∴＝，∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GD，∴＝，∴△GMN的周长＝×（2+3+4）＝3．故选：B．2.（2020宝山二模）如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（）A.12 B.32 C.1213 D.2【答案】B【分析】设EH=3x，则EF=2x，△AEH的边EH上的高为AM=AD-EF，再由三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，进而求得EH的长．【详解】解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH//BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴AM EH AD BC=设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，∴223 23x x -=解得：x=1 2，则EH=3x=3 2．故答案为B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．3.（2020奉贤二模）如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是（）A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN【分析】根据三角形的高的概念得到AD⊥BC，根据垂线段最短判断．解：∵线段AN是△ABC边BC上的高，∴AD⊥BC，由垂线段最短可知，AM≥AN，故选：B．4.（2020静安二模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，其中点B、C分别与点D、E对应，如果B、D、C三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（）A．∠ACB＝∠AED B．∠BAD＝∠CAE C．∠ADE＝∠ACE D．∠DAC＝∠CDE【分析】利用旋转的性质直接对A选项进行判断；利用旋转的性质得∠BAC＝∠DAE，再利用三角形外角性质得∠BAD＝∠CAE，则可对B选项进行判断；利用旋转的性质得∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，然后根据等腰三角形顶角相等时底角相等得到∠B＝∠ACE，则∠ADE＝∠ACE，于是可对C选项进行判断；先判断∠EDC＝∠BAD，而∠BAD不能确定等于∠DAC，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠ACB＝∠AED，所以A选项的结论正确；∠BAC＝∠DAE，即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，所以B选项的结论正确；∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠B＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，所以C选项的结论正确；∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠BAD，而AD不能确定平分∠BAC，∴∠BAD不能确定等于∠DAC，∴∠EDC不能确定等于∠DAC，所以D选项的结论错误．故选：D．5.（2020徐汇二模）如果从货船A测得小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（）A.南偏西30°方向500米处B.南偏西60°方向500米处C.南偏西30°方向米处D.南偏西60°方向【答案】A【分析】分别以货船A和小岛B建立方位角，再根据方位角得出答案．【详解】建立如图所示方位角：∵B在A的北偏东30°方向∴A在B的南偏西30°方向又∵B与A相距500米∴A与B相距500米故答案选：A【点睛】本题考查方位角，掌握方位角的描述是解题关键．6.（2020青浦二模）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设，，那么向量用向量、表示为（）A．B．C．D．【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出即可解决问题．解：∵G是△ABC的重心，∴AG＝2DG，∴AD＝3DG，∴＝3＝3，∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，∴＝2＝6﹣2，故选：C．7.（2020杨浦二模）若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1＝3∠2C．∠1+∠2＝180°D．∠1+2∠2＝180°【分析】由折叠可得，∠2＝∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ABD＝2∠2．【解答】解：如图，由折叠可得，∠2＝∠ABC，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ABD＝2∠2，故选：A．8.（2020黄浦二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）【分析】直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：（4，﹣3）．故选：D．二．填空题1.（2020宝山二模）如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，如果∠ACD=∠B ，并且:AD AC =，那么:AD BD =_________．【答案】1:2【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD ∽△ABC 的关系，最后根据相似三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】解：在△ACD 与△ABC 中，∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD AB AC ==∴AD=3AC AC ∴BD=AB-AD=233AC∴:AD BD =3AC ∶3AC =1∶2故答案为1∶2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，其中得出△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．2.（2020奉贤二模）如图，一艘轮船由西向东航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B 处，测得灯塔P 在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是海里．【分析】根据已知方向角得出∠P＝∠PAB＝30°，进而得出对应边关系即可得出答案．解：如图所示：由题意可得，∠PAB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠PAB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．3.（2020长宁二模）已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为．【分析】根据题意，画出图形作AD ⊥BC ，BE ⊥AC 于点D 和E ，点O 即为△ABC 的外心，根据特殊角30度即可求出BD 的值，进而可得三角形的边长．【解答】解：根据题意，画出图形，∵△ABC 是正三角形，作AD ⊥BC ，BE ⊥AC 于点D 和E ，∴点O 即为△ABC 的外心，∴OD ＝1，∠DBO ＝30°，∴BD ＝，∴BC ＝2BD ＝2．故答案为：2．4.（2020崇明二模）如图，在ABC ∆中，,30AB AC A =∠=︒，直线//a b ，点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果1145∠=︒，那么2∠的度数是_____．【答案】40°【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB=75°，由三角形外角的性质可得∠AED 的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．【详解】∵AB=AC ，且∠A=30°，∴∠ACB=75°，在△ADE 中，∵∠1=∠A+∠AED=145°，∴∠AED=145°-30°=115°，∵a ∥b ，∴∠AED=∠2+∠ACB ，∴∠2=115°-75°=40°．故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．5.（2020浦东二模）如图，AB //CD ，如果50B ∠=︒，20D ∠=︒，那么E ∠=__________．【答案】30°【分析】根据平行线的性质，得出∠BCD=∠B=50°，再根据∠BCD 是△CDE 的外角，即可得出∠E ．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠BCD=∠B=50°，又∵∠BCD 是△CDE 的外角，∴∠E=∠BCD-∠D=50°-20°=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握基本性质是解题的关键．6.（2020浦东二模）在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．如果D 为AB 中点，且AD DEAB BC=，那么AE 的长度为__________．【答案】5或1.4【分析】根据已知比例式先求出DE 的长，再分两种情况：①E 为BC 的中点，可直接得出AE 的长；②点E 在靠近点A 的位置，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，证明△ADF ∽△ACB ，得出AD DFAC BC=，从而可得出DF 的长，再分别根据勾股定理得出AF ，EF 的长，从而可得出结果．【详解】解：∵在Rt ABC △中，根据勾股定理得，10=，又D 是AB 的中点，∴AD=12AB=4，∵AD DEAB BC =，∴126DE =，∴DE=3．分以下两种情况：①当点E 在如图①所示的位置时，即点E 为AC 的中点时，DE=12BC=3，故此时AE=12AC=5；②点E 在如图②所示的位置时，DE=3，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵∠AFD=∠B=90°，∠A=∠A ，∴△ADF ∽△ACB ，∴AD DF AC BC =，即4106DF =，∴DF=2.4．∴在Rt △ADF 中，22 3.2AD DF -=，在Rt △DEF 中，22 1.8DE DF -=，∴AE=AF-EF=1.4．综上所述，AE 的长为5或1.4．故答案为：5或1.4．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，中位线的性质以及勾股定理等知识，掌握基本性质并运用分类讨论思想是解题的关键．7.（2020青浦二模）如果点D、E 分别是△ABC 的AB、AC 边的中点，那么△ADE 与△ABC 的周长之比是．【分析】根据中位线的定理即可求出答案．解：∵点D、E 分别是△ABC 的AB、AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴，∴＝＝故答案为：1：2．8.（2020青浦二模）在△ABC 中，AB＝AC＝3，BC＝2，将△ABC 绕着点B 顺时针旋转，如果点A 落在射线BC 上的点A'处．那么AA'＝．【分析】作AH⊥BC 于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝BC＝1，利用勾股定理可计算出AH＝2，再根据旋转的性质得BA′＝BA＝3，则HA′＝2，然后利用勾股定理可计算出AA′的长．解：作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC＝3，BC＝2，∴BH＝CH＝BC＝1，∴AH＝＝2，∵△ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处，∴BA′＝BA＝3，∴HA′＝2，在Rt△AHA′中，AA′＝＝2．故答案为2．9.（2020杨浦二模）如图，已知在5×5的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据每个小正方形的边长为1，利用勾股定理，可以得到AC、CD、AD的长，然后即可得到△ACD的形状，再利用等积法，即可求得CE的长．【解答】解：连接AD、AC，作CE⊥AD于点E，∵小正方形的边长都为1，∴AD ＝＝2，AC ＝＝3，CD ＝＝，∵（2）2＝（3）2+（）2，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°，∴，即，解得，CE ＝，即点C 到线段AB 所在直线的距离是，故答案为：．10.（2020黄浦二模）已知等边△ABC 的重心为G，△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S 1，△ABC 的面积记作S 2，那么的值是【分析】如图，根据点G 是等边△ABC 的重心，得到AD 垂直平分BC，AD 是∠BAC 的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH 是等边三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它们重叠部分为边长＝QH 的正六边形，设AB＝3a，则QH＝a，根据等边三角形的面积健康得到结论．解：如图，∵点G 是等边△ABC 的重心，∴AD 垂直平分BC，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AG＝2GN，设AB＝3a，则AN＝×3a＝a，∵△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°，∴△AQH 是等边三角形，∴AQ＝HQ＝AH＝AB＝a，∴AP＝a，∴它们重叠部分为边长＝QH 的正六边形，∴S 1＝6×a 2，S 2＝×（3a）2，∴＝＝，故答案为：．。
2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（共6个小题）1．下列各数是无理数的是（）A．B．C．D．0.2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．一次函数y＝﹣2x+3的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限4．如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．在梯形ABCD中，AD∥BC，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（）A．AB＝DC B．∠DAB＝∠ABC C．∠ABC＝∠DCB D．AC＝DB6．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且点D在圆C 内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是（）A．5＜r＜12B．18＜r＜25C．1＜r＜8D．5＜r＜8二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．函数的定义域是．8．方程＝x的根是．9．不等式组的解集是．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为．11．一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，分别标号为1、2、3、4、5，从中随机抽取一个小球，其标号是素数的概率是．12．如果点A（3，y1）、B（4，y2）在反比例函数y＝的图象上，那么y1y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）13．某校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目．为了了解全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计该学校1500名学生中选择篮球项目的学生约为名．14．已知向量与单位向量的方向相反，||＝3，那么向量用单位向量表示为．15．如图，AB∥CD，如果∠B＝50°，∠D＝20°，那么∠E＝．16．在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为α，如果测角仪的高为1.5，那么旗杆的高位米．（用含α的三角比表示）17．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上．如果D为AB中点，且＝，那么AE的长度为．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝，D是BC边上一点，沿直线AD翻折△ABD，点B落在点E处，如果∠ABE＝45°，那么BD的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：（﹣1）0+|1﹣|+（）﹣1+8．20．先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．（1）求EF的长；（2）求∠COE的正弦值．22．学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB•AM＝AE•AC．求证：（1）四边形ABCD是矩形；（2）DE2＝EF•EM．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）直线MN平行于x轴，与抛物线交于M、N两点（点M在点N的左侧），且MN ＝AB，点C关于直线MN的对称点为E，求线段OE的长；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP、EP，EP交线段BC于点F，当S△CPF：S△CEF＝1：2时，求点P的坐标．25．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE＝x，EG＝y．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各数是无理数的是（）A．B．C．D．0.【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：A.是无理数；B.，是整数，属于有理数；C.是分数，属于有理数；D.是循环小数，属于有理数．故选：A．2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．解：与是同类二次根式的是，故选：C．3．一次函数y＝﹣2x+3的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限【分析】根据一次函数的性质即可求得．解：∵一次函数y＝﹣2x+3中，k＝﹣2＜0，b＝3＞0，∴一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限．故选：D．4．如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可求得边数，然后代入内角和公式求解即可．解：这个多边形的边数是360÷72＝5，所以内角和为（5﹣2）×180°＝540°故选：B．5．在梯形ABCD中，AD∥BC，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（）A．AB＝DC B．∠DAB＝∠ABC C．∠ABC＝∠DCB D．AC＝DB【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．解：A、∵AD∥BC，AB＝DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠DAB＝∠ABC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；C、∵∠ABC＝∠DCB，∴BD＝BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；D、∵AC＝BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选：B．6．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且点D在圆C 内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是（）A．5＜r＜12B．18＜r＜25C．1＜r＜8D．5＜r＜8【分析】首先根据点D在⊙C内，点B在⊙C外，求得⊙C的半径是大于5而小于12；再根据勾股定理求得AC＝13，最后根据两圆外切的位置关系得到其数量关系．解：∵在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，∴AC＝＝13，∵点D在⊙C内，点B在⊙C外，∴⊙C的半径R的取值范围为：5＜R＜12，当⊙A和⊙C外切时，圆心距等于两圆半径之和是13，设⊙C的半径是R c，即R c+r＝13，又∵5＜R c＜12，则r的取值范围是1＜r＜8．故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．函数的定义域是x≠1．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x﹣1≠0，解可得自变量x的取值范围．解：根据题意，有x﹣1≠0，解可得x≠1．故答案为x≠1．8．方程＝x的根是1．【分析】此题需把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可得出答案．解：两边平方得：3﹣2x＝x2，整理得：x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝﹣3，x＝1，检验：当x＝﹣3时，原方程的左边≠右边，当x＝1时，原方程的左边＝右边，则x＝1是原方程的根．故答案为：1．9．不等式组的解集是﹣6≤x＜．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式x+5≥﹣1，得：x≥﹣6，解不等式2x＜5，得：x＜，则不等式组的解集为﹣6≤x＜，故答案为：﹣6≤x＜．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为3．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4k＝0，然后解关于k的一元一次方程即可．解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝3．故答案为：3．11．一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，分别标号为1、2、3、4、5，从中随机抽取一个小球，其标号是素数的概率是．【分析】从袋子中随机抽取1个小球共有5种等可能结果，其中抽出的标号是素数的有2、3、5这3种结果，再利用概率公式可得．解：从标号为1、2、3、4、5的5个小球中随机抽取1个小球共有5种等可能结果，其中抽出的标号是素数的有2、3、5这3种结果，所以从中随机抽取一个小球，其标号是素数的概率是，故答案为：．12．如果点A（3，y1）、B（4，y2）在反比例函数y＝的图象上，那么y1＞y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】反比例函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．解：∵k＝2＞0，∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵A（3，y1）、B（4，y2）同在第一象限，且3＜4，∴y1＞y2，故答案为＞．13．某校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目．为了了解全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计该学校1500名学生中选择篮球项目的学生约为300名．【分析】用整体1减去乒乓球、羽毛球、足球所占的百分比，求出篮球所占的百分比，再用该学校1500名学生乘以篮球所占的百分比即可得出答案．解：根据题意得：1500×（1﹣16%﹣28%﹣36%）＝300（名），答：该学校1500名学生中选择篮球项目的学生约为300名；故答案为：300．14．已知向量与单位向量的方向相反，||＝3，那么向量用单位向量表示为﹣3．【分析】根据向量的定义，确定模的大小，以及方向即可．解：∵向量与单位向量的方向相反，||＝3，∴＝﹣3，故答案为﹣3．15．如图，AB∥CD，如果∠B＝50°，∠D＝20°，那么∠E＝30°．【分析】根据平行线的性质得出∠BCD＝50°，利用三角形外角性质解答即可．解：∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝50°，∵∠D＝20°，∴∠E＝∠BCD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．16．在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为α，如果测角仪的高为1.5，那么旗杆的高位（1.5+15tanα）米．（用含α的三角比表示）【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．解：根据题意可得：旗杆比仪器高15tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+15tanα）米．故答案为：（1.5+15tanα）17．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上．如果D为AB中点，且＝，那么AE的长度为5或．【分析】先求出DE的长，分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵D为AB中点，∴AD＝4，∵，∴∴DE＝3，如图，∠ADE＝∠ABC＝90°时，∴△ADE∽△ABC，∴∴AE＝5，如图，∠ADE≠∠ABC时，取AC中点H，连接DH，过点D作DF⊥AC于F，∵点D是AB中点，点H是AC的中点，∴DH＝BC＝3，AH＝HC＝5，DH∥BC，∴∠ADH＝∠ABC＝90°，∵S△ADH＝×AH×DF＝×AD×DH，∴5×DF＝12，∴DF＝，∴FH＝＝＝，∵DE＝DH，DF⊥AC，∴EF＝FH＝，∴AE＝AH﹣﹣＝，故答案为：5或．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝，D是BC边上一点，沿直线AD翻折△ABD，点B落在点E处，如果∠ABE＝45°，那么BD的长为2．【分析】过D作DF⊥AB于F，根据折叠可得∠ADF＝∠DAF＝45°，设DF＝AF＝x，则BF＝x，BD＝2x，根据AB＝2，即可得到x的值，进而得出BD的长．解：如图所示，过D作DF⊥AB于F，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝，∴AB＝2，∠ABC＝30°，由折叠可得，AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴∠BAE＝90°，∴∠BAD＝∠BAE＝45°，∴∠ADF＝∠DAF＝45°，∴AF＝DF，设DF＝AF＝x，则BF＝x，BD＝2x，∵AB＝AF+BF，∴2＝x+x，解得x＝﹣1，∴BD＝2x＝2，故答案为：2．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：（﹣1）0+|1﹣|+（）﹣1+8．【分析】直接利用绝对值的性质、负整数指数幂的性质、分数指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝1+﹣1+3+2＝5．20．先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．解：原式＝•﹣＝﹣＝，当a＝+2时，原式＝＝＝．21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．（1）求EF的长；（2）求∠COE的正弦值．【分析】（1）作OM⊥EF于M，如图，根据垂径定理得到EM＝FM，利用三角形中位线性质得到OM＝AC＝4，然后利用勾股定理计算出EM，从而得到EF的长；（2）利用CE＝OE＝5得到∠OEC＝∠OCE，在利用勾股定理计算出OC＝4，然后利用正弦的定义求出sin∠OCM，从而得到∠COE的正弦值．解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，∵∠ACB＝90°，∴OM⊥BC，∴OM＝AC＝×8＝4，在Rt△OEM中，EM＝＝3，∴EF＝2EM＝6；（2）CM＝BC＝8，∴CE＝8﹣3＝5，∴CE＝OE，∴∠OEC＝∠OCE，在Rt△OCM中，OC＝＝4，∴sin∠OCM＝＝＝，∴∠COE的正弦值为．22．学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？【分析】根据题意表示出科普类图书和文学类图书的平均价格，再利用购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本得出等式求出答案．解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则文学类图书平均每本的价格为（x﹣5）元，根据题意可得：＝﹣100，解得：x＝20，经检验得：x＝20是原方程的根，答：科普类图书平均每本的价格是20元．23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB•AM＝AE•AC．求证：（1）四边形ABCD是矩形；（2）DE2＝EF•EM．【分析】（1）根据相似三角形的性质与判定可知∠AME＝∠ACB，从而可得∠ACB+∠BAC＝90°，所以▱ABCD是矩形．（2）由（1）可知：DE＝EC，AE＝EC，易证∠CME＝∠AME＝∠ECB，所以△CEF∽△MEC，所以，从而得证．解：（1）∵AB•AM＝AE•AC，∴＝，∵∠CAB＝∠CAB，∴△ACB∽△AME，∴∠AME＝∠ACB，由于∠AME+∠BAC＝90°，则∠ACB+∠BAC＝90°，∴▱ABCD是矩形．（2）由（1）可知：DE＝EC，AE＝EC，∵ME⊥AC，∴ME平分∠AMC，∴∠CME＝∠AME＝∠ECB，∵∠MEC＝∠FEC＝90°，∴△CEF∽△MEC，∴，∴EC2＝EF•EM，即DE2＝EF•EM24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）直线MN平行于x轴，与抛物线交于M、N两点（点M在点N的左侧），且MN ＝AB，点C关于直线MN的对称点为E，求线段OE的长；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP、EP，EP交线段BC于点F，当S△CPF：S△CEF＝1：2时，求点P的坐标．【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1求出b＝2，即可求解；（2）由抛物线的对称性知，QM＝QN＝MN＝，则点N（，），即MN在直线y＝上，即可求解；（3）S△CPF：S△CEF＝1：2，即＝，而△PP′F∽△ECF，则，即，即可求解．解：（1）由题意得：﹣，解得：b＝2，∵抛物线与y轴交于点C（0，3），故c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则AB＝4，MN＝AB＝3，如图1，作抛物线的对称轴交MN于点Q，由抛物线的对称性知，QM＝QN＝MN＝，则点N的横坐标为1+＝，故点N（，），即MN在直线y＝上，则点C关于MN的对称点E的坐标为：（0，），即OE＝；（3）过点P作PP′∥OC交BC于点P′，设直线BC的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P（a，﹣a2+2a+3），则点P′（a，﹣a+3），则PP′＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，∵S△CPF：S△CEF＝1：2，即＝，∵PP′∥CE，∴△PP′F∽△ECF，∴，即，解得：a＝或，故点P的坐标为：（，）或（，）．25．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE＝x，EG＝y．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．【分析】（1）根据菱形的性质得AB＝BC，而∠B＝60°，则可判定△ABC为等边三角形，得到∠BAC＝60°，AC＝AB，易得∠ACF＝60°，∠BAE＝∠CAF，然后利用“ASA”可证明△AEB≌△AFC，得出AE＝AF，则结论可得出；（2）过点A作AH⊥BC于点H，求出AE，证明△BAE∽△CEG，得出，则可得出答案；（3）证明△COE∽△CEA，由比例线段可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACF＝60°，∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形；（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝，∠AEF＝60°，∵∠ABH＝60°，∴，BH＝HC＝1，∴EH＝|x﹣HC|＝|x﹣1|，∴EF＝＝，∵∠AEF＝∠B＝60°，∴∠CEG+∠AEB＝∠AEB+∠BAE＝120°，∴∠CEG＝∠BAE，∵∠B＝∠ACE＝60°，∴△BAE∽△CEG，∴，∴，∴y＝EG＝（0＜x＜2），（3）解：∵AB＝2，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，∴OA＝OC＝1，∵EG＝EO，∴∠EOG＝∠EGO，∵∠EGO＝∠ECG+∠CEG＝60°+∠CEG，∠CEA＝∠CEG+∠AEF＝60°+∠CEG，∴∠EGO＝∠CEA，∴∠EOG＝∠CEA，∵∠ECA＝∠OCE，∴△COE∽△CEA，∴，∴CE2＝CO•CA，∴x2＝1×2，∴x＝（x＝﹣舍去），即x＝．。
2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题04 统计与概率(解析版)
6.（2020 静安二模）体育课上，甲同学练习双手头上前掷实心球，测得他 5 次投掷的成绩为：8，8.5，9.2，
8.5，8.8（单位：米），那么这组数据的平均数、中位数分别是（ ）
A．8.5，8.6
B．8.5，8.5
C．8.6，9.2
D．8.6，8.5
【分析】直接根据平均数和中位数的概念求解可得．
均成绩都是 10.3 秒，但他们成绩的方差分别是 0.020、0.019、0.021、0.022（单位：秒²）则这四人中发挥最
稳定的是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】B
【分析】利用方差越小，表明这组数据分布越稳定解答即可．
【详解】解：∵0.019<0.020<0.021<0.022，
∴乙的方差最小，
4.（2020 奉贤二模） 8.（2020 长宁二模） 12.（2020 青浦二模） 16.（2020 普陀二模）
一．选择题
1.（2020 闵行二模）某同学参加射击训练，共发射 8 发子弹，击中的环数分别为 5，3，7，5，6，4，5，5， 则下列说法错误的是（ ）
A. 其平均数为 5
B. 其众数为 5
（D）方差．
【考查内容】数据的分布，统计量的概念
【评析】简单
【解析】添加一个数字 4 后，平均数，中位数及众数都还是 4，方差会产生变化，所以 D 选项错误。
【答案】D
8.（2020 长宁二模）如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼
时间的众数、中位数分别是（ ）
A．8、9
（）
甲
乙
丙
丁
7
7
7.5
2020届黄浦二模试卷答案
数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题4满分54分，第7-12题每题5满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．若集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝ ． 2．函数y ＝2cos 2x +2的最小正周期为 ．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 户． 4．若直线l 1：ax +3y ﹣5＝0与l 2：x +2y ﹣1＝0互相垂直，则实数a 的值为 ． 5．如果sin α=−2√23，α为第三象限角，则sin （3π2+α）＝ ．6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为 ． 7．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线：l ：y ＝2x +10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 ．8．已知函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则f （﹣1）＝ ．9．当x ，y 满足{x +2y −7≤0，x −y −1≤0，x ≥1，时，|2x ﹣y |≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为 ． 11．已知a ∈R ，函数f （x ）={a +2x (x ＞0)x 2+1(x ≤0)，若存在不相等的实数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=f(x 3)x 3=−2，则a 的取值范围是 ．12．点A 是曲线y =√x 2+2(y ≤2)上的任意一点，P （0，﹣2），Q （0，2），射线QA 交曲线y =18x 2于B 点，BC 垂直于直线y ＝3，垂足为点C ，则下列结论： （1）|AP |﹣|AQ |为定值2√2； （2）|QB |+|BC |为定值5；（3）|P A |+|AB |+|BC |为定值5+√2． 其中正确结论的序号是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分） 13．“函数f （x ）（x ∈R ）存在反函数”是“函数f （x ）在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A ．若|z 1﹣z 2|＝0，则z 1=z 2 B ．若z 1=z 2，则z 1=z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1•z 1=z 2•z 2 D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 2215．已知e →，f →是互相垂直的单位向量，向量a n →满足：e→⋅a n→=n ，f →⋅a n →=2n +1，b n 是向量f →与a n →夹角的正切值，则数列{b n }是（ ） A ．单调递增数列且lim n→∞b n =12B ．单调递减数列且lim n→∞b n =12C ．单调递增数列且lim n→∞b n ＝2D ．单调递减数列且lim n→∞b n ＝216．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，A ，D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC ⊥l ，则下列判断： ①点O 到棱BC 中点E 的距离的最大值为√2+1； ②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为√3． 其中正确的说法是（ ）A ．①②都正确B ．①②都错误C ．①正确，②错误D ．①错误，②正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，在三棱椎P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝BC ＝1，P A ＝2． （1）求异面直线PB 与DF 所成的角； （2）求点P 到平面DEF 的距离．18．设A （x 1，y 1）（x 2，y 2）是函数，y =12+log 2x1−x 的图象上任意两点，点M （x 0，y 0）满足OM →=12（OA →+OB →）． （1）若x 0=12，求证：y 0为定值；（2）若x 2＝2x 1，且y 0＞1，求x 1的取值范围，并比较y 1与y 2的大小．19．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点E ，F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上． （1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域A 1B 1C 1D 1为花卉展览区，如图②所示，矩形A 1B 1C 1D 1的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点A 1，B 1分别在OE ，OF 上，点C 1，D 1在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形A 1B 1C 1D 1面积最大时，两矩形A 1B 1C 1D 1与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展区A 1B 1C 1D 1面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）20．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为√63，且点A 是圆r ：(x −√2)2+y 2=r 2(r ＞0)的圆心，动直线l ：y ＝kx 与椭圆交于P ．Q 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS →=λOP →(λ∈R +)，且当λ取最小值时直线l 与圆相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆分别交于G ，H 两点，点G 在线段PQ 上，且|QG |＝|PH |，求r 的取值范围．21．（18分）若数列{a n}与函数f（x）满足：①{a n}的任意两项均不相等，且f（x）的定义域为R；②数列{a n}的前n项的和S n＝f{a n}，对任意的n∈N*都成立，则称{a n}与f（x）具有“共生关系”．（1）若a n=2n(n∈N∗)试写出一个与数列{a n}具有“共生关系”的函数f（x）的解析式；（2）若f（x）＝ax+b与数列{a n}具有“共生关系”，求实数对（a，b）所构成的集合，并写出a n关于a，b，n的表达式：（3）若f（x）＝x2+cx+h，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n}，使得{a n}与f（x）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c，h）在射线x=12(y≤116)上”．一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题4满分54分，第7-12题每题5满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝{1，2}．由题直接求出集合B，再利用交集的定义求得结果．由题知集合B＝（﹣2，3），再由交集定义可得A∩B＝{1，2}，故答案为：{1，2}．本题主要考查的是交集的运算，注意端点和点集，是道基础题．2．函数y＝2cos2x+2的最小正周期为π．先将函数降幂化简，然后套公式求周期．由已知得y=2×1+cos2x2+2=cos2x+3，所以T=2π2=π．故答案为：π．本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法．属于基础题．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选56户．由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果．由题知共有140+280+80＝500户家庭，设应选中等收入家庭为x户，由分层抽样的定义知x100=280500，解得x＝56故答案为：56本题主要考查的是分层抽样，是道基础题．4．若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为﹣6．由直线互相垂直，可得a+6＝0，解得a．∵直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，∴a+6＝0，解得a＝﹣6．故答案为：﹣6．本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如果sinα=−2√23，α为第三象限角，则sin（3π2+α）＝13．由sin α的值及α为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，原式利用诱导公式化简，将cos α的值代入计算即可求出值． ∵sin α=−2√23，α为第三象限角， ∴cos α=−√1−sin 2α=−13， 则sin （3π2+α）＝﹣cos α=13．故答案为：13．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为 9√3π ．根据三视图的性质，求出圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．∵一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，即圆锥的轴截面是正三角形ABC ，边长等于6，如图：∴圆锥的高AO =√32×6=3√3，底面半径r =12×6＝3，因此，该圆锥的体积V =13πr 2•AO =13π×32×3 √3=9√3π． 故答案为：9√3π．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题． 7．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线：l ：y ＝2x +10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为x 25−y 220=1 ．根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a 、b 、c 的关系和条件列出方程求出a 2、b 2，代入双曲线的方程即可． 由题意得，{b a=2−2c +10=0c 2=a 2+b 2，解得a 2＝5，b 2＝20， ∴双曲线的方程是x 25−y 220=1，故答案为：x 25−y 220=1．本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．8．已知函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则f （﹣1）＝ √3−3 ． 由题分别讨论0＜a ＜1，a ＞1两种情况，得出关系式，解方程组即可得出a ，再代入f （﹣1）即可．当0＜a ＜1时，由题得{a −2+b =0a 0+b =−2，解得a =√33，b ＝﹣3，则f （﹣1）=√3−3；当a ＞1时，由题意得{a −2+b =−2a 0+b =0，无解； 故答案为：√3−3本题主要考查的是函数的定义域与值域，及分类讨论，是道综合题．9．当x ，y 满足{x +2y −7≤0，x −y −1≤0，x ≥1，时，|2x ﹣y |≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 [4，+∞） ．画出约束条件的可行域，求解|2x ﹣y |的最大值，即可得到a 的范围．x ，y 满足{x +2y −7≤0，x −y −1≤0，x ≥1，的可行域如图：由{x +2y −7=0x −y −1=0解得A （3，2），z ＝2x ﹣y ，经过可行域的A 时，取得最大值，最大值为：4， 此时|2x ﹣y |取得最大值，所以，|2x ﹣y |≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为2735．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数n =C 84=70，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数m =C 84−C 21C 21C 21C 21=54，由此能求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动， 现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数n =C 84=70，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数m =C 84−C 21C 21C 21C 21=54，∴选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为p =m n =5470=2735． 故答案为：2735．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题． 11．已知a ∈R ，函数f （x ）={a +2x (x ＞0)x 2+1(x ≤0)，若存在不相等的实数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=f(x 3)x 3=−2，则a 的取值范围是 （﹣∞，﹣4） ．令x 2+1x=−2（x ≤0），解得x ＝﹣1，所以问题转化为a+2xx=−2在（0，+∞）上有两个不等根即可，分离参数得a =−2(x +1x )在（0，+∞）上有两个不等实根，只需研究g （x ）=−2(x +1x)在（0，+∞）上的单调性，极值，端点值，结合图象即可解决问题． 当x ≤0时，令x 2+1x=−2（x ≤0），解得x ＝﹣1；所以只需方程a+2xx=−2在（0，+∞）上有两个不等根即可，整理得a =−2(x +1x)，x ∈（0，+∞）有两个根．只需y ＝a 与y =−2(x +1x )在（0，+∞）上有两个不同交点即可． 令g （x ）=−2(x +1x)，x ＞0，∵g ′(x)=−2(1−1x 2)=−2(x+1)(x−1)x 2， 当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增；x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减；所以g （x ）max ＝g （1）＝﹣4， 且x →0，或x →+∞时，都有g （x ）→﹣∞． 所以，要使x ＞0时，结论成立，只需a ＜﹣4即可．故答案为：（﹣∞，﹣4）．本题考查利用数形结合思想研究函数零点的问题，要注意函数的零点、方程的根、两个函数图象交点的横坐标之间的相互转化，互为工具的关系．同时考查学生的逻辑推理能力等．属于中档题．12．点A 是曲线y =√x 2+2(y ≤2)上的任意一点，P （0，﹣2），Q （0，2），射线QA 交曲线y =18x 2于B 点，BC 垂直于直线y ＝3，垂足为点C ，则下列结论： （1）|AP |﹣|AQ |为定值2√2； （2）|QB |+|BC |为定值5；（3）|P A |+|AB |+|BC |为定值5+√2．其中正确结论的序号是（1），（2）．曲线y=√x2+2(y≤2)表示双曲线y22−x22=1的上支，曲线y=18x2表示的是抛物线x2＝8y，P，Q点为双曲线的两个焦点，且Q点也是抛物线的焦点，然后结合抛物线、双曲线的定义，逐个判断即可；其中第（3）问中，要注意将|P A|转化为|PQ|+2√2后，再进一步分析．由题意知：曲线y=√x2+2(y≤2)表示双曲线y22−x22=1的上半支，a=b=√2，c=2；并且P（0，﹣2）是双曲线的下焦点，Q（0，2）为上焦点；曲线y=18x2表示的是抛物线x2＝8y，其焦点为Q（0，2），准线为y＝﹣2．做出图象如图：较长的曲线为抛物线，较短的曲线为双曲线上支．①因为A在双曲线的上支上，所以|AP|﹣|AQ|＝2a=2√2，为定值，故（1）正确；②因为B在抛物线上，设BH⊥直线y＝﹣2于H，∴|BQ|＝|BH|，∴|QB|+|BC|＝|BH|+|BC|＝|HC|＝5，定值，故（2）正确；③因为|PA|=|AQ|+2a=|AQ|+2√2，∴|P A|+|AB|+|BC|＝|AQ|+|AB|+|BC|+2√2=|QB|+|BC|+2√2=5+2√2≠5+√2，故（3）错误．故正确的序号为：（1）（2）．故答案为：（1），（2）．本题考查了圆锥曲线的定义及性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分）13．“函数f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；反之取f（x）＝﹣x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数．故选：B．本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．14．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z1﹣z2|＝0，则z1=z2B．若z1=z2，则z1=z2C．若|z1|＝|z2|，则z1•z1=z2•z2D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．对（A），若|z1﹣z2|＝0，则z1﹣z2＝0，z1＝z2，所以z1=z2为真；对（B）若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2为真；对（C）设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，若|z1|＝|z2|，则√a12+b12=√a22+b22，z1⋅z1=a12+b12，z2⋅z2=a22+b22，所以z1⋅z1=z2⋅z2为真；对（D）若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z12=1，z22=−1，所以z12=z22为假．故选：D．本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．15．已知e →，f →是互相垂直的单位向量，向量a n →满足：e →⋅a n →=n ，f →⋅a n →=2n +1，b n 是向量f →与a n →夹角的正切值，则数列{b n }是（ ） A ．单调递增数列且lim n→∞b n =12B ．单调递减数列且lim n→∞b n =12C ．单调递增数列且lim n→∞b n ＝2D ．单调递减数列且lim n→∞b n ＝2分别以e →和f →所在的直线为x 轴，y 轴建立坐标系，则e →=（1，0），f →=（0，1），设a n →=（x n ，y n ），进而可求出tan θn ，结合函数的单调性即可判断．分别以e →和f →所在的直线为x 轴，y 轴建立坐标系，则e →=（1，0），f →=（0，1）， 设a n →=（x n ，y n ），∵e →•a n →=n ，f →•a n →=2n +1，n ∈N *，∴x n ＝n ，y n ＝2n +1，n ∈N *， ∴a n →=（n ，2n +1），n ∈N *， ∵θn 为向量f →与a n →夹角，cos θn =2n+1√n 2+(2n+1)2=2n+1√5n 2+4n+1，sin θn =√1−(2n+1)25n 2+4n+1=n√5n +4n+1∴tan θn =2n+1n =2+1n， ∴b n ＝tan θn 为减函数， ∴θn 随着n 的增大而减小．lim n→∞b n ＝2．故选：D ．本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．考查转化思想以及计算能力，是中档题．16．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，A ，D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC⊥l，则下列判断：①点O到棱BC中点E的距离的最大值为√2+1；②正四面体ABCD在平面α上的射影面积的最大值为√3．其中正确的说法是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，因此O到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到SC的距离，故最大距离为BC到球心的距离，求解判断①；求出特殊点A与O重合时，射影面的面积判断②即可．由题意，直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，∴O到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到DC的距离，因此：最大距离为BC到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径，如图：ME=2−AM2=√AC2−EC2−AM2=√4−1−1=√2，点O到棱BC中点E的距离的最大值为：√2+1；所以①正确；当A与O重合时，正四面体ABCD在平面α上的射影为：对角线长为2的正方形，射影面的面积为2，所以②不正确；故选：C．本题考查空间几何体的点、线、面的距离，射影面的面积的求法，命题的真假的判断，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，在三棱椎P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝BC ＝1，P A ＝2． （1）求异面直线PB 与DF 所成的角； （2）求点P 到平面DEF 的距离．（1）分别以AB 、AC 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BP →与DF →所成角的余弦值，可得异面直线PB 与DF 所成的角的大小；（2）求出平面DEF 的一个法向量，再求出PF →的坐标，由点到平面的距离公式可得点P 到平面DEF 的距离．（1）如图，分别以AB 、AC 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （1，0，0），C （0，1，0），P （0，0，2）， D （12，0，0），F （0，12，1）．故BP →=(−1，0，2)，DF →=(−12，12，1)．∴cos ＜BP →，DF →＞=BP →⋅DF→|BP →|⋅|DF →|=525⋅√32=√306．可得＜BP →，DF →＞=arccos√306． 故异面直线PB 与DF 所成的角为arccos√306； （2）DE →=(0，12，0)，DF →=(−12，12，1)． 设n →=(x ，y ，1)是平面DEF 的一个法向量，则{n →⋅DE →=12y =0n →⋅DF →=−12x +12y +z =0，取z ＝1，得n →=(2，0，1)．又PF →=(0，12，−1)．∴点P 到平面DEF 的距离d =|PF →⋅n →|n →||=5=√55．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解点到平面的距离，是中档题． 18．设A （x 1，y 1）（x 2，y 2）是函数，y =12+log 2x1−x的图象上任意两点，点M （x 0，y 0）满足OM →=12（OA →+OB →）． （1）若x 0=12，求证：y 0为定值；（2）若x 2＝2x 1，且y 0＞1，求x 1的取值范围，并比较y 1与y 2的大小．（1）依题意，x 0=12(x 1+x 2)=12，即x 1+x 2＝1，再利用中点坐标公式可求得y 0=12(1+log 2x 1x 2x 1x 2)=12，即得证；（2）根据题意，可得log 2x 11−x 1+log 22x11−2x 1＞1，再由对数函数的性质可得{2x 11−2x 1＞0x 11−x 1⋅2x 11−2x 1＞2，由此求得x 1的取值范围，利用作差法可知0＜x 11−x 1＜2x 11−2x 1，进而得出y 1与y 2的大小关系．（1）证明：由OM →=12(OA →+OB →)可知，x 0=12(x 1+x 2)=12，即x 1+x 2＝1，y 0=12(y 1+y 2)=12(12+log 2x 11−x 1+12+log 2x 21−x 2)=12(1+log 2x 1x2(1−x 1)(1−x 2))， 故y 0=12(1+log 2x 1x 2x 1x 2)=12为定值，即得证；（2）由x 2＝2x 1，y 0＞1，可得log 2x 11−x 1+log 22x 11−2x 1＞1， 则{2x 11−2x 1＞0x 11−x 1⋅2x 11−2x 1＞2，即{0＜x 1＜12x 12−3x 1+1＜0，解得3−√52＜x 1＜12，此时由x 11−x 1−2x 11−2x 1=−x 1(1−x 1)(1−2x 1)＜0，可得0＜x 11−x 1＜2x11−2x 1，故12+log 2x 11−x 1＜12+log 22x 11−2x 1，即y 1＜y 2．本题考查平面向量的综合运用以及对数函数的图象及性质，涉及了中点坐标公式的运用，作差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．19．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点E ，F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上． （1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域A 1B 1C 1D 1为花卉展览区，如图②所示，矩形A 1B 1C 1D 1的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点A 1，B 1分别在OE ，OF 上，点C 1，D 1在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形A 1B 1C 1D 1面积最大时，两矩形A 1B 1C 1D 1与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展区A 1B 1C 1D 1面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）（1）设∠EOF ＝2θ，利用直角三角形的边角关系求出BO 、OF ，再计算扇形的面积即可； （2）在图②中连接OC 1，设∠FOC 1＝α，OC 1＝r ，利用正弦定理求出B 1C 1，计算矩形A 1B 1C 1D 1的面积，求出面积取最大值时时对应的边长比，从而判断两矩形的长和宽之比相等，得出该同学的猜想是正确的． （1）设∠EOF ＝2θ，则∠BFO ＝θ，在Rt △OBF 中，BO =12AB ＝24，OF ＝BC ＝40，sin θ=OBOF =35，θ＝arcsin 35；可得扇形的面积为S 1=12•402•2arcsin 35=1600arcsin 35≈1030（平方米），即扇形花园的面积约为1030平方米；（2）在图②中，连接OC 1，设∠FOC 1＝α（0＜α＜θ），OC 1＝r ， 则在△OB 1C 1中， 由B 1C 1sinα=OC 1sinθ，可得B 1C 1=rsinαsinθ； 又C 1D 1＝2r sin （θ﹣α），sin θ=35，cos θ=45， 所以矩形A 1B 1C 1D 1的面积为 S 2＝B 1C 1•C 1D 1=rsinαsinθ•2r sin （θ﹣α）=10r 2sinα3（sin θcos α﹣cos θsin α）=r 23（6sin αcos α﹣8sin 2α）=r 23（3sin2α+4cos2α﹣4） =16003[5sin （2α+arcsin 45）﹣4]，当且仅当2α+arcsin 45=π2，即α=12（π2−arcsin 45）=θ2时，S 2取得最大值， 所以S 2的最大值为16003；所以花卉展览区A 1B 1C 1D 1面积的最大值为16003平方米．当矩形A 1B 1C 1D 1的面积最大时，α=θ2， 此时C 1D 1B 1C 1=2rsin(θ−α)rsinαsinθ=2sin θ=65，CD BC=4840=65，所以两矩形的长和宽之比相等，即两矩形的形状相同，该同学的猜想是正确的．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学建模与运算求解能力，是难题． 20．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为√63，且点A 是圆r ：(x −√2)2+y 2=r 2(r ＞0)的圆心，动直线l ：y ＝kx 与椭圆交于P ．Q 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS →=λOP →(λ∈R +)，且当λ取最小值时直线l 与圆相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆分别交于G ，H 两点，点G 在线段PQ 上，且|QG |＝|PH |，求r 的取值范围．（1）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标及直线AB 的方程，由题意可得a 的值，及O 到直线的距离距离，可得，a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设P 的坐标，由向量的关系求出S 的坐标，将S 的坐标代入直线AB 的方程可得λ的表达式，由三角函数的取值范围求出λ最小时r 的值；（3）设直线GH 的方程与圆联立，求出P ，Q 的坐标，求出弦长GH ，求出A 到直线的距离，及弦长GH 与A 到直线GH 的距离和半径之间的关系，求出弦长GH ，两式联立求出r 的表达式，换元可得r 2＝2−11+k2可得r 的范围．（1）由题意可知，a =√2，A （a ，0），B （0，b ）， 所以直线AB 的方程为：bx +ay ﹣ab ＝0， 所以原点到直线的距离d =√a 2+b =√63，所以可得b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）由（1）设P （√2cos α，sin α）（α∈[0，π2），由题意可得S （√2λcos α，λsin α）， 将S 坐标代入直线AB 的方程√2+y ＝1中，可得λ（cos α+sin α）＝1，所以λ=1cosα+sinα=1√2sin(α+π4)，所以当α=π4时λ取最小值√22，所以P （1，√22），且直线l 的方程为x −√2y =0，所以r=√23=√63；（3）由|QG|＝|PH|，可得|PQ|＝|GH|，将y＝kx代入椭圆C的方程可得：（1+2k2）x2＝2，即x＝±√21+2k2，故|PQ|=2⋅2√21+2k2，又A到直线l的距离=√2k|√1+k ，故|GH|＝2√r2−2k21+k2，所以√1+k2⋅2√21+2k2=2√r2−2k21+k2，可得r2=2k21+k2+2(1+k2)1+2k2=4k2+21+k2+2(1+k2)1+2k2−2，令z=1+2k21+k2=2−11+k2∈[1，2），则r2＝2（z+1z）﹣2∈[2，3），所以r的取值范围为[√2，√3）．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式，换元方法的应用，属于中档题．21．（18分）若数列{a n}与函数f（x）满足：①{a n}的任意两项均不相等，且f（x）的定义域为R；②数列{a n}的前n项的和S n＝f{a n}，对任意的n∈N*都成立，则称{a n}与f（x）具有“共生关系”．（1）若a n=2n(n∈N∗)试写出一个与数列{a n}具有“共生关系”的函数f（x）的解析式；（2）若f（x）＝ax+b与数列{a n}具有“共生关系”，求实数对（a，b）所构成的集合，并写出a n关于a，b，n的表达式：（3）若f（x）＝x2+cx+h，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n}，使得{a n}与f（x）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c，h）在射线x=12(y≤116)上”．（1）由a n =2n ，可知S n =2(1−2n)1−2=2n +1﹣2，由此能求出与数列{a n }具有“共生关系”函数f （x ）的解析式．（2）由题意得S n ＝aa n +b ，令n ＝1，得（1﹣a ）a 1＝b ，推导出a n+1=a a−1a n ，数列{a n }是首项为b 1−a ，公比为a a−1的等比数列，由此能求出结果．（3）先证明必要性：若{a n }是等差数列，且它与f （x ）具有“共生关系”，设a n ＝dn +m ，（d ≠0），则由S n =a n 2+ca n +ℎ，知d 2n 2+(m +d 2)n =d 2n 2+（2md +cd ）n +（m 2+cm +h ）恒成立，由此推导出点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上；再证明充分性：若点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上，则c =12，h ≤116，方程a 1=a 12+12a 1+ℎ等价于a 12−12a 1+ℎ=0，△=14−4ℎ＞0，且a 1=1+√1−16ℎ4，它是正数，满足S 1＝f （1），令a n +1﹣a n =12，则f （n +1）﹣f （n ）＝（a n+12+12a n+1）﹣（a n 2+12a n ），当n ≥2时，S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝f （1）+[f（2）﹣f （1）]+[f （3）﹣f （2）]+…+[f （n ）﹣f （n ﹣1）]＝f （n ），由此能证明：“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n }，使得{a n }与f （x ）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c ，h ）在射线x =12(y ≤116)上”． （1）解：由a n =2n ，可知S n =2(1−2n )1−2=2n +1﹣2，∴与数列{a n }具有“共生关系”函数f （x ）的解析式可以是f （x ）＝2x ﹣2．（2）解：由题意得S n ＝aa n +b ，令n ＝1，得a 1＝aa 1+b ，即（1﹣a ）a 1＝b ， ①若a ＝1，b ≠0，此式不成立，不合题意，若a ＝1，b ＝0，由S 2＝a 2，得a 2＝0，又S 3＝a 3，可得a 2＝0，与{a n }任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意．②若a ≠1，则a 1=b1−a ，若b ＝0，则由a 1＝S 1＝aa 1与a 1+a 2＝S 2＝aa 2，可得a 1＝a 2＝0，不合题意，若b ≠0，a ≠0，1，则S n ＝b ，由S n ＝aa n +b ，S n +1＝aa n +1+b ，可得a n +1＝S n +1﹣S n ＝aa n +1﹣aa n ，即a n+1=a a−1a n ，此时，数列{a n }是首项为b 1−a ，公比为a a−1的等比数列，又{a n }的任意两项均不相等，故a a−1≠±1，可知a ≠12，∴实数对（a ，b ）所构成的集合为{（a ，b ）|a ≠0，1，12，且b ≠0，其中a ，b ≠0，其中a ，b ∈R }，且a n =b a−1⋅(a a−1)n−1=ba n−1(a−1)n ． （3）证明：（必要性）若{a n }是等差数列，且它与f （x ）具有“共生关系”， 设a n ＝dn +m ，（d ≠0），则由S n =a n 2+ca n +ℎ，可知nm +n(n+1)d 2=（dn +m ）2+c （dn +m ）+h ，∴d 2n 2+(m +d 2)n =d 2n 2+（2md +cd ）n +（m 2+cm +h ）恒成立， ∴{ 12d =d 2m +d 2=2md +cd0=m 2+cm +ℎ，可得c ＝d =12，且m 2+12m +ℎ=0有实根， 即△=14−4ℎ≥0，可知h ≤116，∴点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上． （充分性）若点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上，则c =12，h ≤116， 又方程a 1=a 12+12a 1+ℎ等价于a 12−12a 1+ℎ=0，△=14−4ℎ＞0， 且a 1=1±√1−16ℎ4，取a 1=1+√1−16ℎ4，它是正数，满足S 1＝f （1）， 令a n +1﹣a n =12，则f （n +1）﹣f （n ）＝（a n+12+12a n+1）﹣（a n 2+12a n ）＝（a n +1﹣a n ）（a n +1+a n +12）=12（2a n +1）＝a n +1，∴当n ≥2时，S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝f （1）+[f （2）﹣f （1）]+[f （3）﹣f （2）]+…+[f （n ）﹣f （n ﹣1）]＝f （n ），这里的无穷数列{a n }是首项为1+√1−16ℎ4，公差为12的无穷数列，其每一项都是正数， ∴存在每项都是正数的无穷等差数列{a n }，使得{a n }与f （n ）具有“共生关系”． 故“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n }，使得{a n }与f （x ）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c ，h ）在射线x =12(y ≤116)上”．本题考查函数解析式的求法，考查两函数具有共生关系的充要条件的证明，考查运算求解能力、推理论证能力，二查化归与转化思想，是难题．。
2020年中考二模数学试卷(含答案)
2020年中考数学二模试卷一．选择题（共12小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．D．2．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60﹣220nm，平均直径为100nm（纳米）．1米＝109纳米，100nm可以表示为（）米．A．0.1×10﹣6B．10×10﹣8C．1×10﹣7D．1×10113．如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．a5+a5＝a10B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3bC．（mn）﹣3＝mn﹣3D．a6÷a2＝a45．若点A（m﹣4，1﹣2m）在第三象限，那么m的值满足（）A．＜m＜4B．m＞C．m＜4D．m＞46．下列说法中，正确的是（）A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查的方式B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨C．通过抛掷1枚质地均匀的硬币，确定谁先发球的比赛规则是公平的D．掷一枚骰子，点数为3的面朝上是确定事件7．如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠3＝180°C．∠2+∠4＜180°D．∠3+∠5＝180°8．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．D．9．如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为（）A．B．C．D．1800米10．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．6B．8C．14D．1611．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝abx2+（a+b）x（）A．有最小值，且最小值是B．有最大值，且最大值是﹣C．有最大值，且最大值是D．有最小值，且最小值是﹣12．如图，若抛物线y＝﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y＝（x＞0）的图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．使分式有意义的x的取值范围．14．不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．15．若△ABC∽△DEF，且相似比为3：1，△ABC的面积为54，则△DEF的面积为．16．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若∠BCD＝22.5°，AB＝2cm，则圆O的半径为．17．如图，直线y＝kx与双曲线y＝交于A、B两点，BC⊥y轴于点C，则△ABC的面积为．18．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：①△AC1C为等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤＝中，正确的结论的序号为．三．解答题（共8小题）19．计算：（﹣）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣|+tan45°20．先化简再求值：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣5x（x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣，y＝﹣1．21．为响应“书香学校，书香班级”的建设号召，平顶山市某中学积极行动，学校图书角的新书、好书不断增加．下面是随机抽查该校若干名同学捐书情况统计图：请根据下列统计图中的信息，解答下列问题（1）此次随机调查同学所捐图书数的中位数是，众数是；（2）在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度？（3）若该校有在校生1600名学生，估计该校捐4本书的学生约有多少名？22．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．23．湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？24．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）25．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3型闭函数”．（1）①已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k型闭函数”，则k的值为；②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，则a的值为；（2）反比例函数y＝（k＞0，．a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b＝，请求a2+b2的值；（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0，）．（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：B．2．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60﹣220nm，平均直径为100nm（纳米）．1米＝109纳米，100nm可以表示为（）米．A．0.1×10﹣6B．10×10﹣8C．1×10﹣7D．1×1011【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：100nm＝100×10﹣9m＝1×10﹣7m．故选：C．3．如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，故选：D．4．下列运算正确的是（）A．a5+a5＝a10B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3bC．（mn）﹣3＝mn﹣3D．a6÷a2＝a4【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方，同底数幂的除法即可作出判断．【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故选项错误；B、﹣3（a﹣b）＝﹣3a+3b，故选项错误；C、（mn）﹣3＝m﹣3n﹣3，则选项错误；D、正确．故选：D．5．若点A（m﹣4，1﹣2m）在第三象限，那么m的值满足（）A．＜m＜4B．m＞C．m＜4D．m＞4【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：∵点A（m﹣4，l﹣2m）在第三象限，∴，解不等式①得，m＜4，解不等式②得，m＞，所以，m的取值范围是＜m＜4．故选：A．6．下列说法中，正确的是（）A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查的方式B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨C．通过抛掷1枚质地均匀的硬币，确定谁先发球的比赛规则是公平的D．掷一枚骰子，点数为3的面朝上是确定事件【分析】根据普查和抽样调查的意义可判断出A的正误；根据概率的意义可判断出B、C、的正误；根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件，从而判定D的正误．【解答】解：A、对载人航天器零部件的检查，应采用全面调查的方式，故错误；B、某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的可能降水，故错误；C、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，可以用到实际生活，通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的．故正确；D、掷一枚骰子，点数3朝上是随机事件，故错误；故选：C．7．如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠3＝180°C．∠2+∠4＜180°D．∠3+∠5＝180°【分析】根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、∵OC与OD不平行，∴∠1＝∠3不成立，故本选项错误；B、∵OC与OD不平行，∴∠2+∠3＝180°不成立，故本选项错误；C、∵AB∥CD，∴∠2+∠4＝180°，故本选项错误；D、∵AB∥CD，∴∠3+∠5＝180°，故本选项正确．故选：D．8．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．D．【分析】根据切线长定理知P A＝PB，而∠P＝60°，所以△P AB是等边三角形，由此求得弦AB的长．【解答】解：∵P A、PB都是⊙O的切线，∴P A＝PB，又∵∠P＝60°，∴△P AB是等边三角形，即AB＝P A＝8，故选：B．9．如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为（）A．B．C．D．1800米【分析】此题可利用俯角的余弦函数求得缆车线路AC的长，AC＝．【解答】解：由于A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则AC＝＝600（米）．故选：B．10．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．6B．8C．14D．16【分析】由根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5∴原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+10＝14故选：C．11．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝abx2+（a+b）x（）A．有最小值，且最小值是B．有最大值，且最大值是﹣C．有最大值，且最大值是D．有最小值，且最小值是﹣【分析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特点求出其最值即可．【解答】解：因为M，N两点关于y轴对称，所以设点M的坐标为（a，b），则N点的坐标为（﹣a，b），又因为点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，所以，整理得，故二次函数y＝abx2+（a+b）x为y＝x2+3x，所以二次项系数为＞0，故函数有最小值，最小值为y＝＝﹣．故选：D．12．如图，若抛物线y＝﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y＝（x＞0）的图象是（）A．B．C．D．【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k＝8，即可得出答案．【解答】解：抛物线y＝﹣x2+3，当y＝0时，x＝±；当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣2，1），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，1）；共有8个，∴k＝8；故选：C．二．填空题（共6小题）13．使分式有意义的x的取值范围x≠3．【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．【解答】解：根据题意，得x﹣3≠0，解得x≠3，故答案为：x≠3．14．不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：由于共有8个球，其中蓝球有5个，则从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是，故答案为：．15．若△ABC∽△DEF，且相似比为3：1，△ABC的面积为54，则△DEF的面积为6．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，∴＝32，即＝9，解得，△DEF的面积＝6，故答案为：6．16．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若∠BCD＝22.5°，AB＝2cm，则圆O的半径为．【分析】连接OB，根据垂径定理以及勾股定理即可求出OB的长度．【解答】解：连接OB，∵OC＝OB，∠BCD＝22.5°，∴∠EOB＝45°，∵CD⊥AB，CD是直径，∴由垂径定理可知：EB＝AB＝1，∴OE＝EB＝1，∴由勾股定理可知：OB＝，故答案为：17．如图，直线y＝kx与双曲线y＝交于A、B两点，BC⊥y轴于点C，则△ABC的面积为3．【分析】根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△BOC＝S△AOC，再利用反比例函数k的几何意义得到S△BOC＝1.5，则易得S△ABC＝3．【解答】解：∵直线y＝kx与双曲线y＝交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴S△BOC＝S△AOC，而S△BOC＝×3＝1.5，∴S△ABC＝2S△BOC＝3．故答案为：3．18．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：①△AC1C为等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤＝中，正确的结论的序号为①②④⑤．【分析】首先根据旋转的性质得出AC1＝AC，从而结论①可判断；再通过三角形内部角度及旋转角的计算对②③作出判断；通过∠ABD＝∠ACB1，∠AB1D＝∠BCD＝30°，判定△AB1D∽△ACB1；通过证明△ABD∽△B1CD，利用相似三角形的性质列式计算对⑤作出判断．【解答】解：由旋转的性质可知AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形，即①正确；∵∠ACB＝30°，∴∠C1＝∠ACB1＝30°，又∵B1AC1＝∠BAC＝45°，∴∠AB1C＝75°，∴∠CAB1＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴CA＝CB1；∴②正确；∵∠CAC1＝∠CAB1+∠B1AC1＝120°，∴旋转角α＝120°，故③错误；∵∠BAC＝45°，∴∠BAB1＝45°+75°＝120°，∵AB＝AB1，∴∠AB1B＝∠ABD＝30°，在△AB1D与△BCD中，∵∠ABD＝∠ACB1，∠AB1D＝∠BCD＝30°，∴△AB1D∽△ACB1，即④正确；在△ABD与△B1CD中，∵∠ABD＝∠ACB1，∠ADB＝∠CDB1，∴△ABD∽△B1CD，∴＝，如图，过点D作DM⊥B1C，设DM＝x，则B1M＝x，B1D＝x，DC＝2x，DC＝2x，CM＝x，∴AC＝B1C＝（+1）x，∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）x，∴＝＝＝，即⑤正确．故答案为：①②④⑤．三．解答题（共8小题）19．计算：（﹣）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣|+tan45°【分析】第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项去绝对值，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，最后合并即可得出结论．【解答】解：（﹣）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣|+tan45°＝4+1+﹣1+1＝+5．20．先化简再求值：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣5x（x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣，y＝﹣1．【分析】原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则，以及完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝9x2﹣4y2﹣5x2+5xy﹣4x2+4xy﹣y2＝9xy﹣5y2，当x＝﹣，y＝﹣1时，原式＝3﹣5＝﹣2．21．为响应“书香学校，书香班级”的建设号召，平顶山市某中学积极行动，学校图书角的新书、好书不断增加．下面是随机抽查该校若干名同学捐书情况统计图：请根据下列统计图中的信息，解答下列问题（1）此次随机调查同学所捐图书数的中位数是4本，众数是2本；（2）在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度？（3）若该校有在校生1600名学生，估计该校捐4本书的学生约有多少名？【分析】（1）根据捐2本的学生所占的百分比和人数可以求得本次调查的学生数，从而可以得到中位数和众数；（2）根据统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度；（3）根据统计图中的数据可以计算出该校捐4本书的学生约有多少名．【解答】解：（1）本次调查的人数为：15÷30%＝50（人），捐书四本的学生有50﹣9﹣15﹣6﹣7＝13（人），则此次随机调查同学所捐图书数的中位数是4本，众数是2本，故答案为：4本，2本；（2）在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是：360°×＝108°；答：捐2本书的人数所占的扇形圆心角是108度．（3）1600×＝416（名），答：该校捐4本书的学生约有416名．22．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．【分析】（1）要求证：BF＝BC只要证明∠CFB＝∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE ＝∠BDC就可以；（2）已知AB＝4cm，AD＝3cm，就是已知BC＝BF＝3cm，CD＝4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD•CE＝BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF＝BF﹣BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝90°．∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．∴∠ECB＝∠CDB．∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，∴∠CFB＝∠BCF∴BF＝BC（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝＝5．又∵BD•CE＝BC•DC，∴CE＝．∴BE＝．∴EF＝BF﹣BE＝3﹣．∴CF＝cm．23．湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【分析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据题意得，2x+3×3x＝550，∴x＝50，经检验，符合题意，∴3x＝150元，即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温馨提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，根据题意得，，∴50≤y≤52，∵y为正整数，∴y为50，51，52，共3种方案；即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，根据题意，费用为50y+150（100﹣y）＝﹣100y+15000，当y＝52时，所需资金最少，最少是9800元．24．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）【分析】（1）连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠DAB＝∠C，然后根据圆周角定理和等量代换得到结论；（2）连接OD，如图，利用（1）中结论得到∠BED＝∠C＝50°，再利用圆周角定理得到∠BOD的度数，然后根据弧长公式计算的长度．【解答】（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC切⊙O于点A∴CA⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠C+∠ABD＝90°，而∠DAB+∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠C，∵∠DAB＝∠BED，∴∠C＝∠BED；（2）解：连接OD，如图，∵∠BED＝∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠BED＝100°，∴的长度＝＝π．25．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3型闭函数”．（1）①已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k型闭函数”，则k的值为2；②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，则a的值为﹣1；（2）反比例函数y＝（k＞0，．a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b＝，请求a2+b2的值；（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．【分析】（1）①直接利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；②分两种情况：利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；（2）先判断出函数的增减性，利用“k型闭函数”的定义得出ab＝1，即可得出结论；（3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；【解答】解：（1）①一次函数y＝2x﹣1，当1≤x≤5时，1≤y≤9，∴9﹣1＝k（5﹣1），∴k＝2，故答案为：2；②当α＞0时，∵1≤x≤5，∴a﹣1≤y≤5a﹣1，∵函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，∴（5a﹣1）﹣（a﹣1）＝5﹣1，∴a＝1；当a＜0时，（a﹣1）﹣（5a﹣1）＝5﹣1，∴a＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）∵反比例函数y＝，∵k＞0，∴y随x的增大而减小，当a≤x≤b且1＜a＜b是“1型闭函数”，∴＝k（b﹣a），∴ab＝1，∵a+b＝，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2020﹣2×1＝2018；（3）∵二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，∴当x＝﹣1时，y＝a2﹣4a﹣3，当x＝1时，y＝a2+8a﹣3，当x＝a时，y＝4a2+2a，①如图1，当a≤﹣1时，当x＝﹣1时，有y max＝a2﹣4a﹣3，当x＝1时，有y min＝a2+8a﹣3∴（a2﹣4a﹣3）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，∴k＝﹣6a，∴k≥6，②如图2，当﹣1＜a≤0时，当x＝a时，有y max＝4a2+2a，当x＝1时，有y min＝a2+8a﹣3∴（4a2+2a）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，∴k＝（a﹣1）2，∴≤k＜6；③如图3，当0＜a≤1时，当x＝a时，有y max＝4a2+2a，当x＝﹣1时，有y min＝a2﹣4a﹣3∴（4a2+2a）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，∴k＝（a+1）2，∴＜k≤6，④如图4，当a＞1时，当x＝1时，有y max＝a2+8a﹣3，当x＝﹣1时，有y min＝a2﹣4a﹣3∴（a2+8a﹣3）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，∴k＝﹣6a，∴k＞6，即：k的取值范围为k≥．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0，）．（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．【分析】（1）根据已知条件可以设抛物线解析式为y＝a（x+6）（x﹣1），然后把点B的坐标代入函数解析式求得系数a的值即可；利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m，m+），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG＝GD＝ED，GM＝OB＝，列方程即可得到结论；（3）i：根据已知条件得到ON＝OM′＝4，OB＝，由∠NOP＝∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到＝＝＝，于是得到结论；ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，＝＝，得到NP＝NB，于是得到（NA+NB）的最小值＝NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+6）（x﹣1），（a≠0）．将B（0，）代入，得＝a（x+6）（x﹣1），解得a＝﹣，∴该抛物线解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣1）或y＝﹣x2﹣x+．设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0）．将点A（﹣6，0），B（0，）代入，得，解得，则直线AB的解析式为：y＝x+；（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，∴D（m，m+），当DE为底时，如图1，作BG⊥DE于G，则EG＝GD＝ED，GM＝OB＝，∵DM+DG＝GM＝OB，∴m++（﹣m2﹣m+﹣m﹣）＝，解得：m1＝﹣4，m2＝0（不合题意，舍去），∴当m＝﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；（3）i：存在，如图2．∵ON＝OM′＝4，OB＝，∵∠NOP＝∠BON，∴当△NOP∽△BON时，＝＝＝，∴不变，即OP＝ON＝×4＝3，∴P（0，3）；ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由i知，＝＝，∴NP＝NB，∴（NA+NB）的最小值＝NA+NP，∴此时N，A，P三点共线，∴（NA+NB）的最小值＝＝3．。
上海市浦东新区2020年中考数学二模试卷含答案解析
上海市浦东新区2020年中考数学二模试卷(解析版)一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2020的相反数是（）A．B．﹣2020 C．﹣D．20202．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣14．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，156．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|=．8．不等式x﹣1＜2的解集是．9．分解因式：8﹣2x2=．10．计算：3（）+2（﹣2）=．11．方程的根是．12．已知函数f（x）=，那么f（）=．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为米．14．正八边形的中心角等于度．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2=．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2sin45°﹣20200++（）﹣1．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（12分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．24．（12分）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2020的相反数是（）A．B．﹣2020 C．﹣D．2020【考点】相反数．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：2020的相反数是﹣2020．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=3，c=2代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=3，c=2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选C．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣1【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质．【分析】分析四个选项中得函数解析式，根据系数的正负结合各函数的性质即可得出其增减性，由此即可得出结论．【解答】解：A、y=﹣中k=﹣1＜0，∴函数y=﹣的图象在第二、四象限内y随着x的增大而增大；B、y=x2﹣1中a=1＞0，∴函数y=x2﹣1的图象在第二、三象限内y随着x的增大而减小，在第一、四象限内y随着x的增大而增大；C、y=﹣中k=1＞0，∴函数y=的图象在第一、三象限内y随着x的增大而减小；D、y=﹣x﹣1中k=﹣1＜0，b=﹣1＜0，∴函数y=﹣x﹣1的图象在第二、三、四象限内y随着x的增大而减小．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是逐项分析四个选项的增减性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各函数的性质及各函数的图象是解题的关键．4．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况，∴这个两位数是素数的概率为：=．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15【考点】众数；折线统计图；中位数．【分析】根据中位数和众数的概念求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数；17℃出现的次最多，为众数．【解答】解：17℃出现了2次，最多，故众数为17℃；共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，第4个数为14，故中位数为14℃．故选C．【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．6．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形的重心．【分析】延长AM交BC于点D，根据△ABC是等边三角形可知AD⊥BC，设AM=2x，则DM=x，利用锐角三角函数的定义用x表示出AB的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：延长AM交BC于点D，∵△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC．设AM=2x，则DM=x，∴AD=3x，∴AB===2x．∵△ABC和△AMN都是等边三角形，∴△ABC∽△AMN，∴=（）2=（）2=．故选B．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|=．【考点】有理数的减法；绝对值．【分析】首先根据有理数的减法法则，求出﹣1的值是多少；然后根据一个负数的绝对值等于它的相反数，求出|﹣1|的值是多少即可．【解答】解：|﹣1|=|﹣|=．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a 是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．8．不等式x﹣1＜2的解集是x＜3．【考点】解一元一次不等式．【分析】解不等式x﹣1＜2，即可得到不等式x﹣1＜2的解集，本题得以解决．【解答】解：x﹣1＜2两边同时加1，得x﹣1+1＜2+1x＜3，故答案为：x＜3．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是会解一元一次不等式的方法．9．分解因式：8﹣2x2=2（2+x）（2﹣x）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可．【解答】解：原式=2（4﹣x2）=2（2+x）（2﹣x）．故答案为：2（2+x）（2﹣x）．【点评】本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键．10．计算：3（）+2（﹣2）=﹣﹣．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：3（）+2（﹣2）=3﹣3+2﹣4=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号法则是解此题的关键．11．方程的根是x=﹣4．【考点】无理方程．【分析】9的算术平方根是3，故5﹣x=9，x=﹣4．【解答】解：因为算术平方根的被开方数是非负数，根据题意可得，5﹣x=9，解得：x=﹣4．故本题答案为：x=﹣4．【点评】记准算术平方根的被开方数是非负数这一要求，是解决这类问题的关键．12．已知函数f（x）=，那么f（）=3．【考点】函数值．【分析】将x=代入计算即可．【解答】解：f（）====3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是求函数值，掌握二次根式的性质是解题的关键．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为18米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】直接利用坡角的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：∵传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，∴可得：BC=9m，则=，解得：AC=9，则AB===18（m）．故答案为：18．【点评】此题主要考查了坡角的定义，根据题意得出AC的长是解题关键．14．正八边形的中心角等于45度．【考点】正多边形和圆．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是720．【考点】条形统计图；用样本估计总体．【分析】用所有学生数乘以样本中课外阅读时间不少于6小时的人数所占的百分比即可．【解答】解：估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是：1200×=720（人），故答案为：720．【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中不少于6小时的人数所占的百分比．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为1或5．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由于⊙O1与⊙O2相切，则分两圆内切和外切讨论得到R+2=3或R﹣2=3，然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵⊙O1与⊙O2相切，∴R+2=3或R﹣2=3，∴R=1或R=5．故答案为1或5．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R ﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2=4．【考点】解二元一次方程组；有理数的混合运算．【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b 的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：根据题中的新定义得：，解得：，则1﹡2=1×2+2×1=2+2=4，故答案为：4【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AD=x，再根据折叠的性质得∠PDE=∠ADE=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，于是可判断点P在边AC上，所以PC=20﹣2x，然后利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则∠A=∠3，则可判断Rt△BCP∽Rt△ABC，利用相似比可计算出x．【解答】解：如图，设AD=x，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，∴AB=25，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠ACB=90°，∵△ADE沿DE翻折得到△PDE，∴∠PED=∠AED=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，∴CD=20﹣x，∵∠CPD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90°，∴∠2=∠B，∴PC=BC=15，∵CD2=CP2+PD2，即（20﹣x）2=152+x2，∴x=，∴AD=．故答案为：．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2020•浦东新区二模）计算：2sin45°﹣20200++（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣1+2+2=1+3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2020•浦东新区二模）解方程：．【考点】解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．【分析】本题的最简公分母是（x+2）（x﹣2）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+（x+2）2=8，x2﹣2x+x2+4x+4=8，整理得x2+x﹣2=0．解得x1=﹣2，x2=1．经检验，x2=1为原方程的根，x1=﹣2是增根（舍去）．∴原方程的根是x=1．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．21．（10分）（2020•浦东新区二模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．【考点】垂径定理．【分析】首先过点O作OD⊥AB于D，应用直角三角形的性质和三角函数的求法，求出AD 的长度是多少；然后应用垂径定理，求出弦AB的长是多少即可．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于D，，∵OA2+OC2=AC2，∴AC2=42+32=25，∴AC=5．在Rt△AOC中，cos∠OAC==，在Rt△ADO中，cos∠OAD=，∴==，∴AD=×4=．∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2×=．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，直角三角形的性质和三角函数的求法，要熟练掌握．22．（10分）（2020•浦东新区二模）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【考点】一次函数的应用．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）直接利用每吨的成本×生产吨数=总成本为210万元，进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）设函数解析式为：y=kx+b，将（0，10），（40，6）分别代入y=kx+b 得：，解得：，所以y=﹣x+10（0≤x≤40）；（2）由（﹣x+10）x=210，解得：x1=30，x2=70，由于0≤x≤40，所以x=30，答：该产品的生产数量是30吨．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确利用待定系数法求出一次函数解析式是解题关键．23．（12分）（2020•浦东新区二模）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；（2）由CD∥AE、DF=AF可得CD=AE，进而有BE=2AE，根据△EAC∽△ECB得，即：=，可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECA=∠D，∴∠ECA=∠B，∵∠E=∠E，∴△EAC∽△ECB；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，即：CD∥AE∴，∵DF=AF∴CD=AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AE=AB，∴BE=2AE，∵△EAC∽△ECB，∴，∴，即：=，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似形的对应边成比例和平行四边形的性质是关键．24．（12分）（2020•浦东新区二模）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）把B（3，6）代入y=ax2﹣4ax+2，求出a的值，得到二次函数的解析式，进而求出点A的坐标；（2）先求出抛物线的对称轴，根据对称性得出C点坐标，求出BC=2，AB=5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，再求出CH=，AH=，根据正切函数定义即可求出∠CAB 的正切值；（3）由AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7），设P（x，0）根据PB=PB1，分B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）两种情况利用勾股定理求得x值．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象过点B（3，6），∴6=9a﹣12a+2，解得a=﹣，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2，∵二次函数y=﹣x2+x+2的图象与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣2）2+，∴对称轴为直线x=2，∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），∴BC=2，AB==5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=，BH=，AH=，∴tan∠CAB==；（3）由题意，AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）．设P（x，0）．①如果点B1（0，7），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+72，解得x=﹣，即P（﹣，0）；②如果点B1′（0，﹣3），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+32，解得x=6，即P（6，0）；综上所述，所求点P的坐标为（﹣，0）或（6，0）．【点评】本题主要考查待定系数求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等，求二次函数解析式是基础，构建直角三角形求三角函数值是基本做法，通过勾股定理得出点坐标间联系是关键．25．（14分）（2020•浦东新区二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质求出DE和BG，求出EF；（2）作DH⊥AC于H，根据相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；（3）根据点G在边BC上和点G在边AB上两种情况，根据相似三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD=5，∵DEFG为矩形，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，即=，解得，DE=，∵△ADE∽△FGB，∴=，则BG=，∴EF=DG=AB﹣AD﹣BG=；（2）如图2，作DH⊥AC于H，∴DH∥BC，又AD=DB，∴DH=BC=3，∵DH⊥AC，∠C=90°，∠DEF=90°，∴△DHE∽△ECF，∴==，∴EC=2DH=6，EH=x﹣6，∴DE2=32+（x﹣6）2=x2﹣6x+45，∴y=DE•EF=2DE2=x2﹣12x+90，（3）如图3，当点G在边BC上时，∵，DE=3，∴EF=，∴AC=9，如图4，当点G在边AB上时，设AD=DB=a，DE=2b，EF=3b，∵△ADE∽△FGB，∴=，即=，整理得，a2﹣3ab﹣4b2=0，解得，a=4b，a=﹣b（舍去），∴AD=2DE，∵△ADE∽△ACB，∴AC=2BC=12，综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．【点评】本题的是矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的求法以及三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．。
2020-2021学年上海市中考数学二模试卷及答案解析A
上海市中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=04．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．8．用科学记数法表示：3402000= ．9．化简分式：= ．10．不等式组的解集是．11．方程x+=0的解是．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐．（填“减小”或“增大”）13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价万元．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= ．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？．（填“红”或“黄”）17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．20．解方程组：．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．上海市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】立方根．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选B【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【考点】根的判别式；无理方程；分式方程的解．【专题】计算题．【分析】根据二次很式的性质可对A进行判断；根据判别式的意义对B、D进行判断；通过解分式方程对C进行判断．【解答】解：A、方程=﹣2没有实数解，所以A选项错误；B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程和无理方程．4．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】三角形的重心．【专题】计算题．【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得=2，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得=，然后利用比例的性质计算BC的长．【解答】解：如图，连结AG并延长交BC于F，如图，∵点G为△ABC的重心，∴=2，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，∴BC=6．故选B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．5．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元【考点】众数；中位数．【分析】根据题意先计算出本周销售套餐12元和18元的份数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案．【解答】解：12元的份数有500×20%=100（份），18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），∵本周销售套餐共计500份，∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，∴中位数是15元；18元出现的次数最多，则众数是18元；故选A．【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD 的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可．【解答】解：如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p=（a≠0，p为正整数）【解答】解：2﹣2==，故答案为．【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，易于掌握．8．用科学记数法表示：3402000= 3.402×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．【解答】解：3402000=3.402×106．故答案为：3.402×106．【点评】此题考查科学记数法，用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．9．化简分式：= ．【考点】约分．【专题】计算题．【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即可．【解答】解：原式==．故答案为．【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．10．不等式组的解集是x≥3 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】根据不等式的性质求出不等式①和②的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是x≥3．故答案为x≥3．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．11．方程x+=0的解是0 ．【考点】无理方程．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0∴（x﹣1）x=0∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．（填“减小”或“增大”）【考点】反比例函数的性质．【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小；【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．反比例函数图象的性质：（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【考点】概率公式．【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，∴随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价9.9 万元．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），则现售价为9.9万元．故答案为：9.9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= 3 ．【考点】*平面向量．【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可求得BC的长，又由=，=，可得|﹣|=||=BC．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC=3，∴AB=BC=3，∵=，=，∴﹣=﹣=，∴|﹣|=||=BC=3．故答案为：3．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？黄．（填“红”或“黄”）【考点】方差．【分析】先根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即可得出答案．【解答】解：红颜色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黄颜色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，＞S2黄，∵S2红∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；故答案为：黄．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是3或27 ．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性质求出答案．【解答】解：当圆心在三角形内部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=9，S△=×6×9=27，ABC当圆心在三角形外部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=1，=×6×1=3，S△ABC故答案为：3或27．【点评】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．【考点】相似三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．【解答】解：△BED与△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，则AC=x，BD=x，=．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质和翻折变换的知识，掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【考点】二次根式的混合运算；分数指数幂；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+=2﹣+﹣1+1+=2+．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分数指数幂．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组即可．【解答】解：，由①得，x=±2y，由②得，x+y=±2，则，，，解得，，，，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程根据平方差公式和完全平方公式进行变形化为两个二元一次方程是解题的关键．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．【考点】勾股定理．【分析】（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC的长，在Rt△ABE 中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，BE=AD 即可得出结论．【解答】解：（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a．在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6，∴tan∠ECD===．（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6．∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式y A=2.5x ；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式y B=200+0.9x ；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=2000+0.9×500=2450，因为y A＞y B，所以选择B运输队．【解答】解：（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，∴每公里收费为2.5元，=2.5x．∴yA故答案为：y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．故答案为：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=200+0.9×500=650，＞y B，∴yA∴选择B运输队．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出函数解析式．23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）通过AAS证得△AEB≌△AFD，则其对应边相等：AB=AD，所以“邻边相等的平行四边形是菱形”；（2）欲证明AF2=AG•DF，需要通过相似三角形△GAD∽△AFD的对应边成比例得到AD=AF，则AF2=AG•DF；（3）根据菱形的性质和平行线分线段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相关线段的长度代入来求AH的长度即可．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，∴∠AEB=∠AFD．在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（AAS）∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG，∴∠BAE=∠G，∴∠G=∠DAF．又∵∠ADF=∠GDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA：DF=DG：DA，∴DA2=DG•DF．∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，∴DG=AG．又∵AD=AF，∴AF2=AG•DF；（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，∴AH：HG=EH：AH．∵HE=4，EG=12，∴AH：16=4：AH，∴AH=8．【点评】本题考查了相似综合题．此题综合性比较强，其中涉及到了菱形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题时，需要弄清楚相似三角形的对应边与对应角，以防弄错．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；二次函数图象及其性质；二次函数的应用．【分析】（1）由二次函数对称轴为直线x=2，根据A坐标确定出二次函数与x轴的另一个交点坐标，设出二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把C坐标代入求出a的值，确定出二次函数解析式，进而确定出C与D坐标即可；（2）连接AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，连接DE，如图1所示，利用勾股定理求出AB，BC，CD与BD的长，根据直线CD与直线AB斜率相等，得到DC与AB平行，继而得到四边形ABCD 为直角梯形，若DE平分四边形ABCD的面积，可得直角梯形面积等于三角形ADE面积的2倍，求出AE的长即可；（3）在二次函数的图象上存在点P，能够使∠PCA=∠BAC，如图2所示，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，根据直线AB解析式设出G坐标（x，x+6），利用两点间的距离公式求出x的值，确定出G坐标，利用待定系数法求出直线CG解析式，与二次函数解析式联立求出P坐标；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，即DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等，得到P 与D重合时，满足题意，确定出此时P的坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=2，∴二次函数图象经过（2，0），设二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把B（0，6）代入得：6=﹣12a，即a=﹣，∴二次函数解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2）=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，则C（﹣2，8），D（﹣4，6）；（2）如图1所示，由题意得：AB=6，BC=CD=2，BD=4，∵BD2=CD2+BC2，∴∠DCB=90°，∵直线AB的解析式为y=x+6，直线DC解析式为y=x+10，∴DC∥AB，∴四边形ABCD为直角梯形，，即×2×（2+6）=2××2×AE，若S梯形ABCD=2S△ADE解得：AE=4；（3）如图2，在二次函数的图象上存在点P，使∠PCA=∠BAC，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直线AB解析式为y=x+6，设G（x，x+6），∴=，解得：x=﹣，经检验是原方程的根且符合题意，∴G（﹣，），设直线CG解析式为y=kx+b，把C与G坐标代入得：，解得：，∴直线CG解析式为y=7x+22，联立得：，解得：或（经检验不合题意，舍去），∴P坐标为（﹣16，﹣90）；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，此时P与D重合，即P（﹣4，6），综上，满足题意P的坐标为（﹣16，﹣90）或（﹣4，6）．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，直角梯形的判定，直线与二次函数的交点，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）作AH⊥BC于点H，根据直线CD与⊙B相切，得到CD⊥AB，从而得到cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定义得到BD：BC=CH：CA，从而得到BD：4=2：6，求得BD 的长即可求得圆的半径；（2）作PK⊥BC于点K，求得两圆的圆心距，然后根据两圆的半径和圆心距的大小关系得到位置关系即可；（3）设EF与PB交于点G，BG=m，在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2求得m的值，然后根据EG2﹣BG2=BE2求得EG的长即可求得EF的长．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H，∵AB=AC=6，BC=4，∴BH=2．∵直线CD与⊙B相切，∴CD⊥AB，∵∠DBC=∠ACH，∴cos∠DBC=cos∠ACH，∴BD：BC=CH：CA，∴BD：4=2：6，∴BD=．（2）如图1，作PK⊥BC于点K，∴PK∥AH．∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，∴BH=2，∴AH=4．∵以AC为直径作⊙P，∴AP=PC，∴PK=2，CK=BC=1，∴BK=3，∴在Rt△PBK中，PB===，∴当0＜x＜﹣3时，⊙B与⊙P外离，当x=﹣3时，⊙B与⊙P外切，当﹣3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交；（3）如图2，点E即为BC边的中点H，∴PE=3．设EF与PB交于点G，BG=m，∴在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2，∴32﹣（﹣m）2=22﹣m2，∴m=．∵EG2﹣BG2=BE2，∴EG2﹣（）2=22，∴EG=，∴EF=．【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还涉及到了勾股定理、两圆的位置关系等知识，知识点较多，难度较大，特别是最后一题中两次运用勾股定理求得EG的长更是解决本题的关键．。
2020年上海市黄浦区中考数学二模试卷
中考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列正整数中，属于素数的是（）A. 2B. 4C. 6D. 82.下列方程没有实数根的是（）A. x2=0B. x2+x=0C. x2+x+1=0D. x2+x-1=03.一次函数y=-2x+1的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（）A. a＜bB. a=bC. a＞bD. 无法判断5.已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（）A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切6.在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，0），B（2，0），C（-1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A. （6，0）B. （4，0）C. （4．-2）D. （4，-3）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：6a4÷2a2=______．8.分解因式：4x2-1=______．9.不等式组的整数解是______．10.已知函数f（x）=，那么f（-）=______．11.某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是______．12.木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是______．13.如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是______厘米．14.正五边形的一个内角的度数是______ ．15.如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是______．16.如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设=，=，那么用，表示为______．17.已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是______18.已知⊙O的直径AB=4，⊙D与半径为1的⊙C外切，且⊙C与⊙D均与直径AB相切、与⊙O内切，那么⊙D的半径是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：+|-|--3．20.解方程组：．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标．22.如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度约为多少米？（精确到整数）（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：≈1.41，=1.73）23.已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA=4，AB=6，求边BC的长．24.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（-4，0）和B（2，6），其顶点为D．（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．25.在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当=时，求值；（3）当cos∠D=，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF 的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是2．故选：A．根据素数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案．此题主要考查了有理数，正确把握素数的定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A．此方程判别式△=02-4×1×0=0，故方程有两个相等的实数根；B．此方程判别式△=12-4×1×0=1＞0，故方程有两个不相等的实数根；C．此方程判别式△=12-4×1×1=-3＜0，故方程没有实数根；D．此方程判别式△=02-4×1×（-1）=5＞0，故方程有两个不相等的实数根；故选：C．分别计算出每个方程判别式的值，再进一步判断即可得出答案．本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3.【答案】C【解析】解：∵一次函数y=-2x+1中k=-2＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．先根据一次函数y=-2x+1中k=-2，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．4.【答案】A【解析】解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54，所以中位数a=54，新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化，所以平均数b＞54，则b＞a，故选：A．根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与54的大小关系，据此可得答案．此题考查了中位数和平均数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．5.【答案】B【解析】解：由题意可知：r1=2，r2=4，圆心距d=2，∴d=r2-r1，∴两圆相内切，故选：B．根据圆与圆的位置关系即可求出答案．本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关系来判断，本题属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：（4，-3）．故选：D．直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．7.【答案】3a2【解析】解：6a4÷2a2=3a2．故答案为：3a2．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8.【答案】（2x+1）（2x-1）【解析】解：4x2-1=（2x+1）（2x-1）．故答案为：（2x+1）（2x-1）．直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．9.【答案】x=1【解析】解：，解①得x＞，解②得x＜2．综上可得＜x＜2，∵x为整数，∴x=1．故答案为：x=1．首先解不等式组中的每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集，进一步得到不等式组的整数解．此题考查的是一元一次不等式组的解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．10.【答案】【解析】解：当x=-时，f（-）====．故答案为：．把x=3代入函数关系式，计算求值即可．本题考查了求函数值．题目比较简单，已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．11.【答案】25人【解析】解：∵该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比为1-（25%+70%）=5%，∴该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是500×5%=25（人），故答案为：25人．先根据三部分对应的百分比之和为1求出通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比，再乘以总人数即可得．本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．12.【答案】【解析】解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能结果，其中两次都摸到黄球的只有1种情况，所以两次都摸到黄球的概率为，故答案为：．根据题意画出树状图，据此列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】4【解析】解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x-1）厘米，由题意得，2x（x-1）-x2=8，整理得，x2-2x-8=0，解得，x1=-2（舍去），x2=4，故答案为：4．设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．本题考查的是一元二次方程的应用，读懂题目的意思、根据题目给出的条件找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．14.【答案】108°【解析】解：∵正多边形的内角和公式为：（n-2）×180°，∴正五边形的内角和是：（5-2）×180°=540°，则每个内角是：540÷5=108°．先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．本题主要考查多边形的内角和计算公式，以及正多边形的每个内角都相等等知识点．15.【答案】5：7【解析】解：设梯形的上底为a，则下底为2a，∴梯形的中位线==a，∵梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，∴这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比==，故答案为：5：7．设梯形的上底为a，用a表示出下底，根据梯形中位线的概念用a表示出梯形中位线的长，根据梯形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是梯形的中位线，掌握梯形中位线的概念、梯形的面积公式是解题的关键．16.【答案】-+【解析】解：∵M是AB的中点，∴AM=AB，∴==，∵=+，∴=-+，故答案为-+，利用三角形法则可知：=+，只要求出即可解决问题．本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】【解析】解：如图，∵点G是等边△ABC的重心，∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，∴AG=2GN，设AB=3a，则AN=×3a=a，∵△DEF与△ABC关于点G成中心对称，∴△DEF≌△ABC，AG=DG，EF∥BC，∴∠AQH=∠ABC=∠AHQ=∠ACB=60°，∴△AQH是等边三角形，∴AQ=HQ=AH=AB=a，∴AP=a，∴它们重叠部分为边长=QH的正六边形，∴S1=6×a2，S2=×（3a）2，∴==，故答案为：．如图，根据点G是等边△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG=DG，EF∥BC，推出△AQH是等边三角形，得到AQ=HQ=AH，求得它们重叠部分为边长=QH的正六边形，设AB=3a，则QH=a，根据等边三角形的面积健康得到结论．本题考查了三角形的重心，等边三角形的性质，中心对称，等边三角形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．18.【答案】或1【解析】解：当⊙D与⊙C在直径AB的同侧时，作DH⊥OC于H，DN⊥OB于N，连接CD，连接OD并延长交⊙O于G，设⊙D的半径为r，则OD=2-r，CD=1+r，∵⊙O的直径AB=4，⊙C的半径为1，⊙C与⊙O内切，∴⊙C与⊙O内切于点O，∴CO⊥AB，∵CO⊥AB，DH⊥OC，DN⊥OB，∴四边形HOND为矩形，∴OH=DN=r，DH=ON=，∴CH=1-r，在Rt△CDH中，CH2+DH2=CD2，即（1-r）2+（2-r）2-r2=（1+r）2，解得，r=，当⊙D与⊙C在直径AB的两侧时，⊙C与⊙D的半径相等，都是1，故答案为：或1．分⊙D与⊙C在直径AB的同侧、⊙D与⊙C在直径AB的两侧两种情况，根据圆心距与两圆半径的数量关系、勾股定理列方程计算，得到答案．本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关系来判断．=2+---1-=-1．【解析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了分数指数幂的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：由①得：y=3-x…③，把③代入②得：x2+3x（3-x）+（3-x）2=5，整理得：x2-3x-4=0，解这个方程得，x1=4，x2=-1，把x的值分别代入③，得y1=-1，y2=4．∴原方程组的解为，．【解析】由①得：y=3-x，代入②并整理得：x2-3x-4=0，解这个一元二次方程并代入求值即可．考查了高次方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．21.【答案】解：∵点A坐标（2，3），∴AH=3，∵=2，∴BH=1，AB=2，∴点B（2，1），设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵点B在反比例函数的图象上，∴k=2×1=2，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD=2，∵AB⊥x轴，∴CD⊥x轴，∴点D纵坐标2，∴点D坐标（1，2）．【解析】（1）先求出点B坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；（2）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD=2，可求点D坐标．本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．22.【答案】解：（1）如图2，作AH⊥MN于H，吊舱每分钟转过的角度==15°，∴3分钟转过的角度为45°，在Rt△OAH中，OH=OA•cos∠AOH=50×=25，答：该游客离地面高度约为25米；（2）如图2，线段CD距离地面85米，则OE=85-60=25，在Rt△OEC中，∠OEC=90°，OE=25，OC=50，∴∠OCE=30°，∴∠COE=60°，∴∠COD=120°，∴距离地面不低于85米的时间为：=8（分）．【解析】（1）作AH⊥MN于H，求出吊舱每分钟转过的角度，得到∠AOH，根据余弦的定义计算，得到答案；（2）求出OE的长度，根据正弦的定义求出∠OCE=30°，得到∠COD=120°，根据题意计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用，正确求出吊舱每分钟转过的角度是解题的关键．23.【答案】解：（1）连接OB、OC，∵OA=OB=OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA=∠OCA=∠BAO=∠CAO，在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB=AC即△ABC是等腰三角形；（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB=AC，∴AH⊥BC，BH=CH，设OH=b，BH=CH=a，∵BH2+OH2=OB2，BH2+AH2=AB2，OA=4，AB=6，∴，解得，，∴BC=2a=3．【解析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA=∠OCA=∠BAO=∠CAO，再证明△OAB≌△OAC 得AB=AC，问题得证；（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH=CH，设OH=b，BH=CH=a，根据OA=4，AB=6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组．24.【答案】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y=x2+2x；（2）对于y=x2+2x，顶点D（-2，-2），则AD==2，同理AB=6，BD=4，故BD2=AB2+AD2，∴△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积=AB×AD=6×2=12；（3）在△ABD中，tan∠ABD==，∵△OCH与△ABD相似，∴tan∠COH=tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH=或3，设点C（m，m2+2m），则tan∠COH===或3，解得：m=-10或-（不合题意的值已舍去），故点H的坐标为（-10，30）或（-，）．【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）BD2=AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积=AB×AD，即可求解；（3）△OCH与△ABD相似，tan∠COH=tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH===或3，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似等，综合性比较强，难度适中．25.【答案】解：（1）连接AC、BD，∵菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F是边AB中点，∴AF=AE=AB，EF∥BD，∵FG⊥EF，EH⊥EF．∴GF∥EH∥AC，∴GF=HE=AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵FG⊥EF，∴∠EFG=90°，∴四边形EFGH是矩形；（2）连接EG，∵菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠BGE=∠DEG，∵FG∥EH，∴∠FGE=∠HEG，∴∠BGF=∠DEH，又∵菱形ABCD中，∠B=∠D，∴△BGF∽△DEH，∴=∵=，∴BG=BC，DE=AD=BC，∴==；（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，∵四边形EFGH是矩形，∴GF=EH，∵由（2）可知，△BGF∽△DEH，∴此时△BGF≌△DEH，又∵菱形ABCD边长为2，∴BG=DE=1，∴BG=CG=1，∴cos∠B=cos∠EAN=cos∠D=，∴BM=AN=，∴MG=NE=．设AF=x，则MF=2--x=-x，当四边形EFGH是矩形时，∠GFE=90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型）．①若△GMF∽△FNE，则=，∴=，解得x1=，x2=1（点F不与AB中点重合，舍去）；②若△GMF∽△ENF，则=，∴=1，解得x=．综上，AF的长为或．【解析】（1）连接AC、BD，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得GF∥EH，GF=EH，从而可知四边形EFGH是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论；（2）连接EG，由菱形的性质及FG∥EH可得∠BGF=∠DEH，及∠B=∠D，从而判定△BGF∽△DEH，结合=及菱形的性质可得答案；（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，根据cos∠D=及菱形的边长可求得BM=AN=，MG=NE=．设AF=x，则MF=-x，当四边形EFGH是矩形时，∠GFE=90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型），分两种情况列式计算即可：①△GMF∽△FNE，②△GMF∽△ENF．本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定、菱形的性质、三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．。
上海市浦东新区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
【答案】30° 【解析】 【分析】 根据平行线的性质，得出∠BCD=∠B=50°，再根据∠BCD 是△CDE 的外角，即可得出∠E． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠BCD=∠B=50°， 又∵∠BCD 是△CDE 的外角， ∴∠E=∠BCD-∠D=50°-20°=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握基本性质是解题的关 键．
14.已知向量 a 与单位向量 e 的方向相反，| a |=3，那么向量 a 用单位向量 e 表示为_______．
【答案】-3 e
【解析】
【分析】
由向量 a 与单位向量 e 的方向相反，且长度为 3，根据向量的定义，即可求得答案．
【详解】解：∵向量 a 与单位向量 e 的方向相反，| a |=3，
故选：．
【点睛】此题综合运用了点和圆的位置关系以及两圆的位置关系，同时考查了勾股定理，
掌握基本概念和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7.函数
y
x
2 1
的定义域是______．
【答案】x≠1．
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不为 0；分析原函数式可得关系式 x-1≠0，解可得自变量 x 的
2.下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是（ ）
A. 6
B. 9
C. 1 3
【答案】C
【解析】
【分析】
各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
【详解】解：A、 6 与 3 不是同类二次根式，
D. 18
B、 9 3 与 3 不是同类二次根式，
C、 1 3 与 3 是同类二次根式， 33
2020年上海市中考数学二模试卷及解析
2020年上海市二模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为( )A. 324×105B. 32.4×106C. 3.24×107D. 0.32×1082. 如果关于x 的方程x −m +2=0(m 为常数)的解是x =−1，那么m 的值是( )A. m =3B. m =−3C. m =1D. m =−13. 将抛物线y =x 2−2x −1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是( )A. y =x 2−2xB. y =x 2−2x −2C. y =x 2−x −1D. y =x 2−3x −14. 现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是175cm ，方差分别是S 甲2、S 乙2，如果S 甲2>S 乙2，那么两个队中队员的身高较整齐的是( )A. 甲队B. 乙队C. 两队一样整齐D. 不能确定5. 已知|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=3，而且b ⃗ 和a ⃗ 的方向相反，那么下列结论中正确的是( ) A. a ⃗ =3b ⃗ B. a ⃗ =−3b ⃗ C. b ⃗ =3a ⃗ D. b ⃗ =−3a ⃗6. 对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 ( )A. 正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B. 正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C. 正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D. 正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补二、填空题（本大题共12小题，共48分） 7. 计算：a 6÷a 3=______．8. 分解因式：2a 2−4a =______．9. 已知关于x 的方程x 2+3x −m =0有两个相等的实数根，则m 的值为______． 10. 不等式组{x +1≥0x −1<1的解集是______．11. 方程√2x −1=1的根是______． 12. 已知反比例函数y =2k+1x的图象经过点(2,−1)，那么k 的值是______．13. 不透明的袋中装有8个小球，这些小球除了有红白两种颜色外其它都一样，其中2个小球为红色，6个小球为白色，随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为______．14. 在一次有12人参加的测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、4、3、2、2，那么这组数据的众数是______分．15. 在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3，BC =3√3，以点A 为圆心作圆A ，要使B 、C两点中的一点在圆A 外，另一点在圆A 内，那么圆A 的半径长r 的取值范围是______． 16. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 的线段EF 与AD 、BC 分别交于点E 、F ，如果AB =4，BC =5，OE =32，那么四边形EFCD 的周长为______．17. 各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick,1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S =a +12b −1，其中a 表示多边表内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是______．18. 如图，点M 的坐标为(3,2)，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线y =−x 平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值可以是______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19. 计算：(−2018)0+(12)−2−12+tan60∘+√(3−π)2．四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 解方程：16x 2−4=x+2x−2−1x+2．21. 如图已知：△ABC 中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点，BC =11，AD =12，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上． (1)求BD 的长度； (2)求cos ∠EDC 的值．22.某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元．(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写出选择哪种消费方式更合算．23.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，△EBC沿直线EC翻折，使B点落在矩形ABCD内部的点P处，联结AP并延长AP交CD于点F，联结BP交CE于点Q．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)如果PA=PE，求证：△APB≌△EPC．24.在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y=mx2−2x+n(m、n是常数)经过点A(−2,3)、B(−3,0)，与y轴的交点为点C．(1)求此抛物线的表达式；(2)点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；(3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．25.在圆O中，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一点(与点A、B不重合)，点M是弦BC的中点．(1)如图1，如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；(2)如图2，如果AM⊥OC于点E，求sin∠ABC的值；(3)如图3，如果AB：BC=5：4，点D为弦BC上一动点，过点D作DF⊥OC，交半径OC于点H，与射线BO交于圆内点F.探究一：如果设BD=x，FO=y，求y关于x的函数解析式及其定义域；探究二：如果以点O为圆心，OF为半径的圆经过点D，直接写出此时BD的长度；请你完成上述两个探究．答案和解析1.【答案】C【解析】解：32400000=3.24×107元．故选：C．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：把x=−1，代入方程关于x的方程x−m+2=0(m为常数)得：−1−m+2=0，解得：m=1，故选：C．理解一元一次的解和解一元一次方程的概念是解此题的关键．本题考查了一元一次方程两个概念，重点是理解一元一次方程的解和会解一元一次方程．3.【答案】A【解析】解：∵将抛物线y=x2−2x−1向上平移1个单位，∴平移后抛物线的表达式y=x2−2x−1+1，即y=x2−2x．故选：A．根据向上平移纵坐标加求得结论即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．4.【答案】B【解析】【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定，故比较方差后可以作出判断．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2>S乙2，∴两个队中队员的身高较整齐的是：乙队．故选：B．5.【答案】D【解析】解：∵|a |=1,|b⃗|=3，而且b⃗ 和a⃗的方向相反，∴b⃗=−3a，故选：D．根据平面向量的性质即可解决问题．本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】B【解析】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误；B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．故选：B．利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．7.【答案】a3【解析】解：a6÷a3=a6−3=a3．故应填a3．根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可．本题主要考查同底数幂的除法运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．8.【答案】2a(a−2)【解析】解：2a2−4a=2a(a−2)．故答案为：2a(a−2)．观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．本题考查了因式分解的基本方法一---提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．9.【答案】−94【解析】解：∵关于x的方程x2+3x−m=0有两个相等的实数根，∴△=32−4×1×(−m)=0，解得：m=−94，故答案为：−94．根据方程有两个相等的实数根得出△=0，求出m的值即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac的关系是解答此题的关键．10.【答案】−1≤x<2【解析】解：{x+1≥0 ①x−1<1 ②由①得：x≥−1，由②得：x<2，∴不等式组的解集为−1≤x<2．故答案为−1≤x<2．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．11.【答案】1【解析】解：两边平方得2x−1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．本题思路是两边平方后去根号，解方程．平方时可能产生增根，要验根．12.【答案】k=−32【解析】解：∵反比例函数y=2k+1x的图象经过点(2,−1)，∴−1=2 k+12∴k=−32；故填k=−32．根据点的坐标与函数解析式的关系，将点的坐标代入，可以得到−1=2 k+12，然后解方程，便可以得到k的值．本题侧重考查利用待定系数法求函数的解析式的方法，可以结合代入法进行解答13.【答案】14【解析】【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．用红色小球的个数除以球的总个数即可得．【解答】解：∵袋子中共有8个小球，其中红色小球有2个，∴随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为26+2=28=14，故答案为：14．14.【答案】95【解析】解：∵95分出现了4次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是95分；故答案为：95．根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．此题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．15.【答案】3<r<6【解析】解：∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=3√3，∴AB=6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r>3，点B在圆A外，则r<6，因而圆A半径r的取值范围为3<r<6．故答案为3<r<6；熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内”即可求解，本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内．16.【答案】12【解析】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE=∠COF，∴△OAE≌△OCF(AAS)，∴OF=OE=1.5，CF=AE，∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE=ED+AE+CD+OE+OF=AD+CD+OE+OF=4+5+1.5+1.5=12．故答案为：12．根据平行四边形的性质知，AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE和∠COF是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到OF=OE=1.5，CF=AE，所于是得到结论．本题利用了平行四边形的性质，由已知条件先证出△OAE≌△OCF，再全等三角形的性质，转化边的关系后再求解．17.【答案】6【解析】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，∴a=4，b=6，∴格点多边形的面积S=a+12b−1=4+12×6−1=6．故答案为：6．分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S=a+12b−1，即可得出格点多边形的面积．本题考查格点多边形面积的计算，解题的关键是根据图形正确统计出a，b的值．18.【答案】2或3(答一个即可)【解析】解：设直线l：y=−x+b．如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．由直线l：y=−x+b可知∠PDO=∠OPD=45°，∴∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E(1,0)，F(0,−1)．∵M(3,2)，F(0,−1)，∴线段MF中点坐标为(32,1 2 ).直线y=−x+b过点(32,12)，则=−32+b，解得：b=2，∴t=2．∵M(3,2)，E(1,0)，∴线段ME中点坐标为(2,1)．直线y=−x+b过点(2,1)，则1=−2+b，解得：b=3，∴t=3．故点M关于l的对称点，当t=2时，落在y轴上，当t=3时，落在x轴上．故答案为：2或3(答一个即可)．找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．考查了一次函数的图象与几何变换．注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．19.【答案】解：原式=1+4−2+√3π−3=π+√3．【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：方程两边同乘以(x+2)(x−2)得：16=(x+2)2−(x−2)，整理得：x2+3x−10=0，解此方程得：x1=−5，x2=2，经检验x1=−5是原方程的解，x2=2是增根(舍去)，所以原方程的解是：x=−5．【解析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．21.【答案】解：(1)∵四边形DFGH为顶点在△ABD边长的正方形，且边长为4，∴GF//BD，GF=DF=4，∴GFBD =AFAD，∵AD=12，∴AF=8，则4BD =812，解得：BD=6；(2)∵BC=11，BD=6，∴CD=5，在直角△ADC中，AC2=AD2+DC2，∴AC=13，∵E是边AC的中点，∴ED=EC，∴∠EDC=∠ACD，∴cos∠EDC=cos∠ACD=513．【解析】(1)由四边形DFGH为边长为4的正方形得GFBD =AFAD，将相关线段的长度代入计算可得；(2)先求出CD、AC的长，再由E是边AC的中点知ED=EC，据此得∠EDC=∠ACD，再根据余弦函数的定义可得答案．本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质、勾股定理、三角函数的应用及直角三角形的性质等．22.【答案】解：(1)由题意可得，选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为：y=10x+150，选择普通票消费时，y与x之间的函数关系式为：y=20x；(2)当10x+150=20x时，得x=15，当10x+150=600时，得x=45，答：当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算．【解析】(1)根据题意可以直接写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；(2)根据函数图象和(1)中的函数解析式可以分别求得普通票消费和银卡消费相等的情况，银卡消费和金卡消费相等的情况，再根据图象即可解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．23.【答案】证明：(1)由折叠得到EC垂直平分BP，设EC与BP交于Q，∴BQ=EQ∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴EQ为△ABP的中位线，∴AF//EC，∵AE//FC，∴四边形AECF为平行四边形；(2)∵AF//EC，∴∠APB=∠EQB=90°，由翻折性质∠EPC=∠EBC=90°，∠PEC=∠BEC，∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP=EP，∴△AEP为等边三角形，∠BAP=∠AEP=60°，∠CEP=∠CEB=180°−60°2=60°，在△ABP和△EPC中，{∠BAP=∠CEP ∠APB=∠EPC AP=EP，∴△ABP≌△EPC(AAS)．【解析】(1)由折叠的性质得到BE=PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE= EB=PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；(2)根据三角形AEP 为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP =EB ，利用AAS 即可得证．此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24.【答案】解：(1)依题意得：{4m +4+n =39m +6+n =0， 解得：{m =−1n =3， ∴抛物线的表达式是y =−x 2−2x +3．(2)∵抛物线y =−x 2−2x +3与y 轴交点为点C ，∴点C 的坐标是(0,3)，又点B 的坐标是(−3,0)，∴OC =OB =3，∠CBO =45°，∴∠DBO =30°或60°．在直角△BOD 中，DO =BO ⋅tan ∠DBO ，∴DO =√3或3√3，∴CD =3−√3或3√3−3．(3)由抛物线y =−x 2−2x +3得：对称轴是直线x =−1，根据题意：设P(−1,t)，又点C 的坐标是(0,3)，点B 的坐标是(−3,0)，∴BC 2=18，PB 2=(−1+3)2+t 2=4+t 2，PC 2=(−1)2+(t −3)2=t 2−6t +10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2−6t +10，解之得：t =−2，②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2−6t +10=4+t 2，解之得：t =4，③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2−6t +10=18，解之得：t 1=3+√172，t 2=3−√172．综上所述P 的坐标为(−1,−2)或(−1,4)或(−1,3+√172)或(−1,3−√172)．【解析】(1)将点A 和点B 坐标代入解析式求解可得；(2)先求出点C 坐标，从而得出OC =OB =3，∠CBO =45°，据此知∠DBO =30°或60°，依据DO =BO ⋅tan ∠DBO 求出得DO =√3或3√3，从而得出答案；(3)设P(−1,t)，知BC 2=18，PB 2=4+t 2，PC 2=t 2−6t +10，再分点B 、点C 和点P 为直角顶点三种情况分别求解可得．本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．25.【答案】解：(1)过点O 作ON//BC 交AM 于点N ，如图1∴AOAB =ONBM，ONMC=OECE，∵AO=BO=12AB∴AOAB=ONBM=12∵点M是弦BC的中点∴BM=MC∴OECE =ONBM，∴OE：CE=1：2；(2)联结OM，如图2∵点M是弦BC的中点，OM经过圆心O ∴OM⊥BC，∠OMC=90°，∵AM⊥OC，∴∠MEO=90°∴∠OMC=∠MEO=90°又∠MOC=∠EOM ∴△MOC∽△EOM；∴OMOE =OCOM，∵OE：CE=1：2∴OM=√33OC，∵OB=OC∴∠ABC=∠OCM在直角△MOC中，sin∠OCM=OMOC =√33∴sin∠ABC=√33；(3)探究一：如图3，过点D作DL⊥DF交BO于点L，取BC中点M，连接OM∵DF⊥OC，∴DL//OC，∴∠LDB=∠C=∠B ∴BL=DL，∵AB=10，AB：BC=5：4，∴BC=8，OC=5，∵BM=CM=4，∴cos∠OCM=MCOC=CHCD=45∵DL//OC，∴BLOB=BDBC设BD=x，则CD=8−x，∴BL=DL=58x，CH=45(8−x)，OH=OC−CH=5−45(8−x)，∵OH//DL，∴OHLD =OFFL，∴45x−7558=yy+5−58y；∴y关于x的函数解析式是y=207x−5定义域是74≤x<72，探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，∴OF=OD，∵DF⊥OC，∴OC垂直平分DF，FO=OL，∴y=5−58x，∴207x−5=5−58x，解得：x=11219，∴BD=11219．【解析】(1)如图1，过点O作ON//BC交AM于点N，根据三角形的中位线的性质得到ON=12BM，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；(2)如图1，连接OM，根据垂径定理得到OM⊥BC，根据余角的性质得到∠OME=∠MCE，根据相似三角形的性质得到ME2=OE⋅CE，设OE=x，则CE=2x，ME=√2x，解直角三角形即可得到结论；(3)探究一：如图2，过点D作DL⊥DF交BO于点L，根据平行线的性质得到∠LDB=∠C=∠B，根据等腰三角形的判定定理得到BL=DL，设BD=x，则CD=8−x，BL=DL=58x，CH=45(8−x)，OH=OC−CH=5−45(8−x)，根据平行线成线段成比例定理得到y=20x−357(其中74≤x<72)；探究二：根据题意得到OF=OD，根据等腰三角形的性质得到DF⊥OC，根据直角三角形的性质得到FO=OL，列方程即可得到结论．本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．。