中考复习：概率
概率应用中考知识点总结
概率应用中考知识点总结一、基本概率概念首先，我们需要了解一些基本的概率概念。
概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，通常用一个介于0和1之间的数值来表示。
若一个随机事件的概率为0，表示该事件不可能发生；若概率为1，表示该事件必然发生；而概率介于0和1之间，表示该事件在一次试验中发生的可能性大小。
在实际应用中，概率可以用来描述掷硬币、抛骰子、购买彩票等随机事件的可能性。
二、概率题型归类概率题型大致分为几类，包括基本概率、排列组合和事件独立性等。
在考试中，常见的概率题型包括以下几种：1. 基本概率问题：如掷硬币、抛骰子、抽卡片等随机事件的概率计算；2. 排列组合问题：考察在一定条件下，不同的排列组合可能性；3. 事件独立性问题：考察两个或多个事件同时发生的概率；4. 条件概率问题：在一定条件下，某一事件发生的概率。
针对以上的题目类型，我们可以针对性地进行练习和复习，以提高解题效率。
三、基本概率计算在概率题型中，最基本的是基本概率计算。
基本概率是指在一次试验中，某一事件发生的可能性大小，通常用概率公式来计算。
例如，掷硬币的概率可以用P(A) = n(A)/n(S)来计算，其中n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示总的可能发生的次数。
当然在实际中，我们也可以使用频率来计算概率，即事件A发生的次数/总次数。
在考试中，我们需要对基本概率计算掌握得比较熟练，因为这类题型是概率题目中最基础的部分。
四、排列组合排列组合是数学中一个重要的概念，也经常出现在概率题型中。
排列是指在一个序列中，不同元素的排列情况；组合是指在一个元素集合中，不同元素的组合情况。
在概率题目中，排列组合通常用来求解在一定条件下，不同元素的排列组合可能性。
这需要我们对排列组合公式进行了解和掌握，然后灵活运用到不同的题目中。
五、事件独立性事件独立性是指在某一试验过程中，两个或多个事件相互独立的情况。
在概率题目中，我们经常需要计算两个或多个事件同时发生的概率。
中考数学专题复习16概率(原卷版)
概率复习考点攻略考点一 概率的定义与事件的分类1.概率：率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
即()p A P = . 概率各种情况出现的次数某一事件发生的次数=2．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1． 3．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．4．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间． 【例1】下列事件中是不可能事件．．．．．的是( ) A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．水中捞月D ．百步穿杨考点二 概率的计算1．公式法：P （A ）=mn，其中n 为所有事件的总数，m 为事件A 发生的总次数． 2．列举法（1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．（2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．【注意】当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
【例2】不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是______．【例3】如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．18考点三 利用频率估计概率1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P 附近，因此，用一个事件发生的频率mn来估计这一事件发生的概率． 2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．【例4】为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下． 身高/cm x 160x <160170x ≤<170180x ≤<180x ≥人数60260550130的概率是（ ） A ．0.32B ．0.55C ．0.68D ．0.87考点四 概率的应用概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策． 【例5】今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B 、D 两位患者的概率．【例6】某校为了解初中学生每天在校体育活动时间(单位:h)，随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题:（1）本次接受调查的初中学生人数为，图①中m的值为;（2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数;（3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1 h的学生人数.第一部分选择题一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1. 下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2=b2，那么a=bD．将花生油滴在水中，油会浮在水面上2.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A．13B．14C．16D．183.如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关4.小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．1100B．120C．1101D．21015.小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少出一个手指，两人出拳的手指之和为偶数时小李获胜，那么小李获胜的概率为（）A．1325B．1225C．425D ．126.投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（）A．B．C．D．7.如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是A．12B．13C．14D．168.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：组别（cm）x<160 160≤x<170 170≤x<180 x≥180人数 5 38 42 15 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.159.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．14B．12C．35D．3410.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环以上”的次数186882168327823“射中九环以上”的频率0.900.850.820.840.820.82（结果保留两位小数））A．0.90 B．0.82C．0.85D．0.84第二部分填空题二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11.在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为23，则a ______．12.表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为_____．(精确到0.1)13.同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_______________．14.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________2cm．15.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于．16.某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是_____．第三部分解答题三、解答题（本题有6小题，共46分）17. 一个不透明的布袋中有4个红球、5个白球、11个黄球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2）现从袋中取走若干个黄球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率不小于13，问至少需取走多少个黄球？18. 某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析.频数分布表组别销售数量(件)频数频率A20≤x<4030.06B40≤x<6070.14C60≤x<8013aD80≤x<100m0.46E100≤x<12040.08合计b1请根据以上信息，解决下列问题:(1)频数分布表中，a=，b=;(2)补全频数分布直方图;(3)如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数.19. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．20.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．21.我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：代号活动类型A经典诵读与写作B数学兴趣与培优C英语阅读与写作D艺体类E其他每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．（1）此次共调查了名学生．（2）将条形统计图补充完整．（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为．（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．22. 如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S 号，M 号，L 号，XL 号，XXL 号销售情况的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）求XL 号，XXL 号运动服装销量的百分比；（2）补全条形统计图；（3）按照M 号，XL 号运动服装的销量比，从M 号、XL 号运动服装中分别取出x 件、y 件，若再取2件XL 号运动服装，将它们放在一起，现从这()2x y ++件运动服装中，随机取出1件，取得M 号运动服装的概率为35，求x ，y 的值．。
中考数学复习《概率》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《概率》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 事件的分类【命题规律】1.事件的分类主要考查事件的判断，确定事件分为必然事件(概率为1)和不可能事件(概率为0)，随机事件发生概率介于 0和1 之间.2.考查形式：①下列事件是…事件的是；②下列说法正确的是；③…事件是….【命题预测】事件的分类是研究概率知识的基础，值得关注．1.在1，3，5，7，9中任取出两个数，组成一个奇数的两位数，这一事件是( )A . 不确定事件B . 不可能事件C . 可能性大的事件D . 必然事件1. D 【解析】在1，3，5，7，9中任取出两个数，组成一个奇数的两位数，是一定发生的事件，因而是必然事件，故选D.2.下列事件中，是必然事件是( )A . 两条线段可以组成一个三角形B . 400人中有两个人的生日在同一天C . 早上的太阳从西方升起D . 打开电视机，它正在播放动画片2. B3.下列说法中，正确的是( )A . 不可能事件发生的概率为0B . 随机事件发生的概率为12C . 概率很小的事件不可能发生D . 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次3. A正面朝上的次数不确定命题点2 一步概率计算【命题规律】1.主要考查概率计算公式P (A )＝mn (m 表示满足事件A 的可能结果数，n 表示所有可能结果数)的应用，只需一步便可解决.2.解决此类问题，首先找准所有可能发生的结果数，再找准事件A 发生的可能结果数，最后应用概率公式直接运算，注意事件A 的可能结果数要不重不漏，避免出错．【命题趋势】一步概率计算结合一些简单的游戏设计进行计算，是常考的基础概率计算． 4.某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是( )A . 110B . 19C . 13D . 124. A 【解析】随机选取一个数字，共有10种等可能结果，能打开密码锁的结果只有一种，所以一次就能打开密码锁的概率是110.5.已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其他都相同，若随机摸出一个，摸到红球的概率是14，则袋中球的总个数是( )A . 2B . 4C . 6D . 85. D 【解析】由概率的意义可知：袋中球的总数＝红球的个数÷摸到红球的概率，即袋中球的总个数是2÷14＝8(个)．6.如图，在3×3的方格中，A 、B 、C 、D 、E 、F 分别位于格点上，从C 、D 、E 、F 四点中任取一点，与点A 、B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是________．6. 34 【解析】由题意知，C ，D ，F 三点可与A ，B 构成等腰三角形，E 点不可以，则概率为34.第6题图 第7题图7.小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是________．7. 35 【解析】∵黑色地砖有2块，白色地砖有3块，且小球停在每块地砖上的可能性相同，∴小球停在白色地砖上的概率为35.8.从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________．8. 45 【解析】从五个图形中任取一个，则共有5种等可能的结果，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种，故其概率为45.命题点3 树状图或列表法计算概率【命题规律】1.这类题的考查与实际生活比较贴近，命题背景一般有：①摸球游戏(分两次摸球或从两个袋子中分别摸球)；②掷骰子游戏(两次求点数之和等)；③抽卡片游戏；④和其他知识相结合如物理电路图.2.试题解法有固定的模式：主要是利用画树状图或列表法将所有等可能结果不重不漏地列举出来，使所有等可能结果清晰呈现，进而根据题设条件选择满足要求的事件的可能结果，最后再运用概率公式求解即可．【命题趋势】用树状图或列表法计算概率主要考查两步以上概率计算的方法，是概率计算命题的一大趋势．9.一个盒子装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为( )A . 25B . 23C . 35D . 3109. C 【解析】画树状图分析如下：红1、红2、白1、白2、白3，由树状图可知，共有20种均等可能的结果，其中取到一红一白的结果有12种，所以P (一红一白)＝1220＝35.故选C. 10.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6.随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是( )A . 12B . 14C . 310D . 1610. B 【解析】列表如下：第一次第二次 积1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 661218243036共有36种等可能情况，其中积为奇数的有9种，所以P (积为奇数)＝936＝14.11.如图，随机地闭合开关S 1，S 2，S 3，S 4，S 5中的三个，能够使灯泡L 1，L 2同时发光的概率是________． 11. 15【解析】画树状图如解图：共有60种等可能结果，符合要求的结果是12种，故概率为1260＝15.12.从数－2，－12，0，4中任取一个数记为m ，再从余下的三个数中，任取一个数记为n ，若k ＝mn ，则正比例函数y ＝kx 的图象经过第三、第一象限的概率是________． 12. 16【解析】画树状图如下：第由树状图可知共有12种等可能的结果，其中k ＝mn 为正的有2种，当k ＝mn 是正数时，正比例函数y ＝kx 的图象经过第一、第三象限．∴P ＝212＝16.13.在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用表示)的评定结果．节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级． (1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果； (2)求选手A 晋级的概率．13. 解：(1)用树状图表示选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果，如解图：由树形图可知，选手A 一共能获得8种等可能的结果，这些结果的可能性相等． (2)由(1)中树状图可知，符合晋级要求的结果4种， ∴P(A 晋级)＝48＝12.14.A 、B 两组卡片共5张，A 中三张分别写有数字2、4、6，B 中两张分别写有3、5.它们除数字外没有任何区别．(1)随机地从A 中抽取一张，求抽到数字为2的概率；(2)随机地分别从A 、B 中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？14. 解：(1)P(抽到数字为2)＝13.(2)游戏规则不公平，理由如下．画树状图表示所有可能结果，如解图：由图知共有6种等可能结果，其中两数之积为3的倍数的有4种． ∴P(甲获胜)＝46＝23，P(乙获胜)＝26＝13∴游戏规则不公平．15.在四张编号为A ，B ，C ，D 的卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好，现从中随机抽取一张(不放回)，再从剩下的卡片中随机抽取一张．(1)请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果；(卡片用A ，B ，C ，D 表示) (2)我们知道，满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数a ，b ，c 称为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．15. 解：(1)列表法如下：A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD DDADBDC或画树状图如下：(2)在A 中，22＋32≠42；在B 中，32＋42＝52；在C 中，62＋82＝102；在D 中52＋122＝132，则A 中正整数不是勾股数，B ，C ，D 中的正整数是勾股数． ∴P(抽到的两张卡片上的数都是勾股数)＝612＝12.命题点4 统计与概率结合【命题规律】此类题将概率和统计结合，一般为2～3问，第1问通常考查统计知识，最后1问涉及列表或树状图法计算概率，有时还会涉及到游戏的公平性.【命题预测】统计与概率都是与日常生活结合紧密，联系实验生活，是全国命题趋势之一，值得关注． 16.为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意、一般、满意、非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中的信息，解决下列问题： (1)求此次调查中接受调查的人数； (2)求此次调查中结果为非常满意的人数； (3)兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率． 16. 解：(1)由图知，满意20人，占调查人数的40%.∴此次调查中接受调查的人数为：20÷40%＝50(人)． (2)∵非常满意的人数占调查人数的36%， ∴非常满意的人数为：50×36%＝18(人)． (3)画树状图如下：∴市民均来自甲区的概率为：212＝16.中考冲刺集训一、选择题1.在英文单词“parallel”(平行)中任意选择一个字母“a”的概率为( )A . 12B . 38C . 14D . 182.下列说法正确的是( )A . 为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查B . 为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查C . “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件D . “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件3.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6.若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x ，计算|x －4|，则其结果恰为2的概率是( )A . 16 B . 14 C . 13 D . 124.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5.随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是( )A . 310B . 320C . 720D . 7105.如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是( )A . 613 B . 513 C . 413 D . 313二、填空题6.有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记．掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是________．7.已知一包糖果共有五种颜色(糖果仅有颜色差别)，如图是这包糖果颜色分布百分比的统计图，在这包糖果中任取一粒糖果，则取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率是________．8.不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是________．9.已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，(23，32)，(－5，－15)，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．三、解答题10.已知反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝x ＋2的图象交于点A(－3，m)．(1)求反比例函数的解析式；(2)如果点M 的横、纵坐标都是不大于3的正整数，求点M 在反比例函数图象上的概率．11.一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数． (1)写出按上述规定得到所有可能的两位数；(2)从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率．12.甲、乙两人利用扑克牌玩“10点”游戏．游戏规则如下：①将牌面数字作为“点数”，如红桃6的“点数”就是6(牌面点数与牌的花色无关)；②两人摸牌结束时，将所摸牌的“点数”相加，若“点数”之和小于或等于10，此时“点数”之和就是“最终点数”；若“点数”之和大于10，则“最终点数”是0；③游戏结束前双方均不知道对方“点数”；④判定游戏结果的依据是：“最终点数”大的一方获胜，“最终点数”相等时不分胜负．现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是5，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分别是4，5，6，7.(1)若甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，则甲获胜的概率为________；(2)若甲先从桌上继续摸一张扑克牌，接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌，然后双方不再摸牌．请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果，再列表呈现．．．．甲、乙的“最终点数”，并求乙获胜的概率．13.今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如下尚不完整的统计图表.评估成绩n(分) 评定等级频数90≤n≤100 A 280≤n<90 B70≤n<80 C 15n<70 D 6根据以上信息解答下列问题：(1)求m 的值；(2)在扇形统计图中，求B 等级所在扇形的圆心角的大小；(结果用度、分、秒表示)(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A 等级的概率．答案与解析：1. C2. C3. C 【解析】任意抛掷一次，朝上的面的点数有6种等可能的结果，其中满足|x －4|＝2的有2和6两种，所以所求概率为26＝13.4. A 【解析】从这5张卡片中，随机抽取3张，不同的抽法有：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种，其中抽到的三个数字作为边长能构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，共3种，则P (能构成三角形)＝310.5. B 【解析】∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5种情况，如解图所示，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是513.第5题解图6. 13 【解析】抛一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面有1，2，3，4，5，6这6种均等的结果，其中是3的倍数只有3和6两个，∴P(3的倍数)＝26＝13.7. 12 【解析】棕色糖果占总数的百分比为1－(20%＋15%＋30%＋15%)＝20%.绿色糖果或棕色糖果占总数的百分比为30%＋20%＝50%，∴取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率＝50%，即12.8. 49 【解析】本题主要考查了古典概型中的概率问题．做此类型题目注意放回和不放回的区别，列表或画树状图都可解决此类问题．本题列表如下：红黄 黄由上表可知：4种，所以两次摸出球都是黄球的概率为49.9. 12 【解析】先将各点分别代入反比例函数解析式中，即y ＝1－1＝－1≠1，y ＝12≠2，y ＝123＝32，y ＝1－5＝－15，所以(23，32)，(－5，－15)这两个点在反比例函数y ＝1x 的图象上，因此，所求的概率为24＝12.10. 解：(1)把A(－3，m)代入y ＝x ＋2中，得m ＝－3＋2＝－1， ∴A(－3，－1)，把A(－3，－1)代入y ＝kx 中，得k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x .(2)由题意列表如下：由上可知，共有9与(3，1)两种结果， ∴点M 在反比例函数图象上的概率P ＝29.11. 解：(1)所有可能的两位数用列表法列举如下表：(2)7，即大于16且小于49的两位数共6种等可能结果：17，18，41，44，47，48，则所求概率P ＝616＝38.12. 解：(1)12.(2)画树状图如解图，第12题解图或列表如下：甲 乙4 5 6 7 4 (4，5) (4，6) (4，7) 5 (5，4) (5，6) (5，7) 6(6，4)(6，5)(6，7)7 (7，4) (7，5) (7，6)由树状图或列表法可以得出，所有可能出现的结果共有12种，他们的“最终点数”如下表所示：甲 9 9 9 10 10 10 0 0 0 0 0 0 乙109910910(7分)比较甲、乙两人的“最终点数”，可得P (乙获胜)＝512.13. 解：(1)由统计图表知，评定为C 等级的有15家，占总评估连锁店数的60%， 则m ＝15÷60%＝25.(2)由题意知B 等级的频数为25－(2＋15＋6)＝2， 则B 等级所在扇形的圆心角大小为 225×360°＝28.8°＝28°48′. (3)评估成绩不少于80分的为A 、B 两个等级的连锁店．A 等级有两家，分别用A 1、A 2表示；B 等级有两家，分别用B 1、B 2表示，画树状图如下：第13题解图由树状图可知，任选2家共有12种等可能的情况，其中至少有一家是A 等级的情况有10种． 所以，从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家，其中至少有一家是A 等级的概率是P ＝1012＝56.。
中考数学复习专题《概率》专项训练-附带答案
中考数学复习专题《概率》专项训练-附带答案一、选择题1．下列事件为必然事件的是（）A．三角形内角和是180°B．打开电视机，正在播放新闻C．明天下雨D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上2．九年级一班有25名男生和20名女生，从中随机抽取一名作为代表参加校演讲比赛．下列说法正确的是（）A．抽到男生和女生的可能性一样大B．抽到男生的可能性大C．抽到女生的可能性大D．抽到男生或女生的可能性大小不能确定3．将分别标有“大”、“美”、“明”、“德”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“明德”的概率是（）A．16B．18C．14D．5164．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12，下列说法正确的是（）.A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B．连续抛一枚均匀硬币10次，不可能正面都朝上C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的5．某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开，则一位参观者从入口1进入并从出口A离开的概率是（）A．12B．13C．14D．166．口袋中有白球和红球共10个，这些球除颜色外其它都相同．小明将口袋中的球搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，小明继续重复这一过程，共摸了100次，结果有40次是红球，请你估计下一次操作获到红球的概率是（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.67．有三张正面分别写有数字-2，1，3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后把这张放回去，洗匀后，再从三张卡片中随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点(a，b)在第一象限的概率为（）A．16B．13C．12D．498．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，向上的一面点数是1点的概率B．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率二、填空题9．从√2，0，π，3.14，17中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是.10．甲、乙、丙三个人相互传一个球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则经过两次传球后，球回到甲手中的概率是。
概率中考复习题及答案
概率中考复习题及答案一、选择题1. 随机变量X服从正态分布N(2, 4)，那么P(X > 2)的概率是：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.8答案：A2. 从10个产品中随机抽取3个，其中至少有1个次品的概率是：A. 0.6B. 0.4C. 0.7D. 0.3答案：B3. 抛一枚硬币三次，出现两次正面朝上的概率是：A. 0.25B. 0.375C. 0.5D. 0.75答案：B二、填空题1. 如果随机变量X服从二项分布B(5, 0.4)，那么P(X=3)的概率是________。
答案：0.40962. 某工厂生产的零件合格率为95%，则该工厂生产的100个零件中，不合格零件的期望个数是________。
答案：53. 从52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是________。
答案：0.25三、计算题1. 已知随机变量X服从泊松分布，其参数λ=3，求P(X=2)。
答案：P(X=2) = (e^-3 * 3^2) / 2! = 0.18942. 某次考试，学生A、B、C三人中至少有一人及格的概率是0.9，A、B、C三人都及格的概率是0.5，求A、B、C三人中恰好有两人及格的概率。
答案：P(恰好两人及格) = 0.9 - 0.5 - 2 * 0.5 * (1 - 0.5) = 0.43. 一袋中有10个红球和20个蓝球，随机抽取3个球，求至少抽到一个红球的概率。
答案：P(至少一个红球) = 1 - P(三个都是蓝球) = 1 - (20/30)* (19/29) * (18/28) = 0.8667四、解答题1. 某工厂生产一批零件，合格率为90%，从这批零件中随机抽取50个，求至少有45个合格的概率。
答案：设X为合格零件数，则X服从二项分布B(50, 0.9)，P(X≥45) = Σ[C(50, k) * 0.9^k * 0.1^(50-k)]，其中k从45到50。
通过计算可得P(X≥45) ≈ 0.9512。
中考数学复习满分突破(全国通用)：专题38 概率 (解析版)
【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选 D
【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
变式 1-2（2022·四川德阳·统考中考真题）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．明天太阳从东方升起
C．经过红绿灯路口，遇到红灯
D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
【答案】B
【分析】根据随机事件、必然事件的概念即可作答．
【详解】A．抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件；
B．太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件；
数与总情况数之比． 考查题型二 判断事件发生可能性的大小
典例 2（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，一张圆桌共有 3 个座位，甲、乙，丙 3 人随机坐到这 3 个座
位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A． 1 3
【答案】D
B．
Hale Waihona Puke 1 2C．2 3
D．1
【分析】由图可知，甲乙丙是彼此相邻的，所以甲的旁边是乙是必然事件，从而得出正确的选项．
包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为
（
），
其中 P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件)。 利用列举法求概率 １）直接列举法求概率
当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。 ２）列表法求概率 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常 采用列表法。 ３）树状图法求概率 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通 常采用树状图法求概率。 利用频率估计概率
概率的中考复习
概率初步的复习蓥华八一学校廖模杰教学目标：知识与技能：能熟练运用概念相关知识解决中考概率相关问题。
过程与方法：经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，发展从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并加以运用的能力。
情感与态度：引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机会的意识。
教学重点：概率相关概念的理解和概率的求解方法。
教学难点：对概率相关题意的分析和选取恰当的方法求概率。
教学过程：一：聚焦考点考点二：概率的概念概率的定义：表示一个事件A发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率，记为P(A)．等可能事件的概率：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝________．概率的意义：概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小．考点四：概率的应用(1)用概率分析事件发生的可能性概率在日常生活和科技方面有着广泛的应用，如福利彩票、体育彩票、有奖促销等．事件发生的可能性越大，概率就越大．(2)用概率设计游戏方案在设计游戏规则时要注意设计的方案应使双方获胜的概率相等；同时设计的方案要有科学性、实用性和可操作性等．二归纳探究探究一：生活中的确定事件和随机事件命题角度：判断具体事件是确定事件(必然事件，不可能事件)还是随机事件．例1 下列事件中是必然事件的是()A．明天太阳从西边升起B．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中D．抛出一枚硬币，落地后正面向上探究二：用列表法或树状图法求概率命题角度：1．概率的概念；2．用列举法求简单事件的概率；3．用列表法或树状图法求概率．例2 班级准备召开主题班会，现从由3名男生和2名女生所组成的班委中，随机选取两人担任主持人，求两名主持人恰为一男一女的概率．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程)探究三：概率的应用命题角度：用概率分析游戏方案．例3 如图1所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．(1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为__________；(2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．图1探究四：用频率估计概率 命题角度：用频率估计概率．例4 一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，4，5，x .甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这两个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：解答下列问题：(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x 的值可以取7吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x 的值不可以取7，请写出一个符合要求的x 值．探究五：概率与代数、函数和统计等知识的综合应用命题角度： 概率与代数、几何、函数、统计等学科内容的综合．例5 四张小卡片上分别写有数字1，2，3，4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀． (1)随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字3的概率；(2)随机地从盒子里抽取一张，将数字记为x ，不放回再抽取第二张，将数字记为y .请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点(x ，y )在函数y ＝ 2x 图像上的概率．三．课堂小结：1.概率的相关概念：2.概率的求解方法：四．中考真练：1．下列说法中正确的个数是（）①不可能事件发生的概率为0；②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大；③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值；④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率．A．1B．2C．3D．4-；B袋中有三个完全相同的小球， 2. 有A、B两个不透明的布袋，A袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字0和2-、0和1.小明从A袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为x，再从B袋中随机取出一个小球，记分别标有数字2录标有的数字为y，这样确定了点Q的坐标（x，y）.⑴写出点Q所有可能的坐标；⑵求点Q在x上的概率；⑶在平面直角坐标系xoy中，⊙O的半径是2，求过点Q能作⊙O切线的概率.。
中考数学复习专题18概率
概率一、单选题1. （2021贺州）下列事件中属于必然事件的是（）A. 任意画一个三角形，其内角和是180°B. 打开电视机，正在播放新闻联播C. 随机买一张电影票，座位号是奇数号D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上【答案】A【分析】根据必然事件的意义，结合具体的问题情境逐项进行判断即可．【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°；属于必然事件，故此选项符合题意；B、打开电视机，正在播放新闻联播；属于随机事件，故此选项不符合题意；C、随机买一张电影票，座位号是奇数号；属于随机事件，故此选项不符合题意；D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；属于随机事件，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．2．（2021·广西玉林市）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个白球B．至少有2个白球C．至少有1个黑球D．至少有2个黑球【答案】A【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：一个不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，A、3个球中至少有1个白球，是必然事件，故本选项符合题意；B、3个球中至少有2个白球，是随机事件，故本选项不符合题意；C、3个球中至少有1个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；D、3个球中至少有2个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（2021·湖北宜昌市）在六张卡片上分别写有6，227-，3.1415，π，0六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．16 【答案】C【分析】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可．【详解】解：在6，227-，3.1415，π，0π共2个， ∴从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是2163=，故选：C ． 【点睛】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键．4．（2021·浙江衢州市）一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（ ）A ．13B ．23C ．15D ．25【答案】D【分析】根据等可能事件的概率，共有5个小球，其中2个白球，抽到白球的概率为25． 【详解】解：∵布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，∴抽到每个球的可能性形同， ∵共有5个小球，其中2个白球，∴布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是25，故选：D ． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，关键在于熟悉等可能事件概率的求解．5．（2021·北京）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．【详解】解：由题意得：∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是2142P ==；故选C ． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．6．（2021·湖北随州市）如图，从一个大正方形中截去面积为23cm 和212cm 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．49B ．59C ．25D ．35【答案】A【分析】求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断．【详解】解：∵两个小正方形的面积为23cm 和212cm27=，∴阴影部分的面积为2731212--=，∴米粒落在图中阴影部分的概率为124=279，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了几何概率，熟练掌握正方形边长与面积的关系是解题关键．7．（2021·湖南）下列说法正确的是（ ）A ．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨B ．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯C ．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖D ．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上【答案】B【分析】根据概率的意义即可求出答案．【详解】解：A . “明天的降水概率为80%”，只能说明有很大机会下雨，而不能说明有80%的时间降雨，故A 错误；B . 经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，说法正确符合题意；C . “某彩票中奖概率是1%”，只能说明中奖的机会很小，故C 错误；D . 小明前几次的数学测试成绩与这次测试成绩并没有任何关系，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义．8．（2021·江苏扬州市）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）A ．3天内将下雨B ．打开电视，正在播新闻C ．买一张电影票，座位号是偶数号D ．没有水分，种子发芽【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A、3天内将下雨，是随机事件；B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选D．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．（2021·湖南长沙市）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（）A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．【答案】A【分析】先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：11,4,16,7,17是由110中的两个不相同的数字相加所得的数，4∴只能是1与3的和，即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，7162534=+=+=+，∴丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，1111029384756=+=+=+=+=+，∴甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，1661079=+=+，∴丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，∴戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9，故选：A．【点睛】本题考查随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键．10．（2021·湖南长沙市）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（）A．19B．16C．14D．13【分析】先画出树状图，从而可得投掷两次的所有可能的结果，再找出两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果，然后利用概率公式即可得．【详解】解：由题意，画树状图如下：由此可知，投掷两次的所有可能的结果共有36种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果有4种，则所求的概率为41369P==，故选：A．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．11．（2021·安徽）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（）A．14B．13C．38D．49【答案】D【分析】根据题意两条横线和两条竖线都可以组成矩形个数，再得出含点A矩形个数，进而利用概率公式求出即可．【详解】解：两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，则如图的三条横线和三条竖线组成可以9个矩形，其中含点A矩形4个，∴所选矩形含点A的概率是49故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题1．（2021·湖北宜昌市）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．【答案】白球【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案．【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，故答案为：白球．【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键．2. （2021贺州）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是________．【答案】1 3【解析】【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可．【详解】解：根据题意，画树状图如下：由树状图得：共有12种等可能结果，两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，∴两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为41 123．故答案为：1 3【点睛】本题考查了概率的计算问题，掌握利用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．3．（2021·湖南岳阳市）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为_______．【答案】3 5【分析】先分别确定从袋子中随机摸出一个小球的总结果数和摸出的是白球的结果数，再用概率公式求解即可．【详解】解：袋子中一共有5个球，从袋子中随机摸出一个小球，总的结果数是5个，其中，摸出的小球是白球的结果数为3个，因此，摸出的小球是白球的概率为35；故答案为：35．【点睛】本题考查了概率公式的实际应用，解决本题的关键是读懂题意和牢记概率公式等．4．（2021·上海）有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为______．【答案】3 8【分析】根据概率公式计算即可【详解】根据概率公式，得偶数的概率为38，故答案为：38．【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．5．（2021·江苏苏州市）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．【答案】2 9【分析】先判断黑色区域的面积，再利用概率公式计算即可【详解】解：因为正方形的两条对角线将正方形分成面积相等的四个三角形，即四个黑色三角形的面积等于一个小正方形的面积，所以黑色区域的面积为2个小正方形的面积，而共有9个小正方形则有小球停留在黑色区域的概率是29P=故答案为：29【点睛】本题考查概率的计算，正方形的性质、熟练掌握概率公式是关键6．（2021·浙江台州市）一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机模出一个小球，该小球是红色的概率为_____．【答案】2 3【分析】直接利用概率公式即可求解．【详解】解：()2 3P=摸出红球，故答案为：23．【点睛】本题考查求概率，掌握概率公式是解题的关键．7．（2021·浙江宁波市）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________．【答案】3 8【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．【详解】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果，所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为38，故答案为：38．【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．8．（2021·浙江金华市）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是____________．【答案】1 30【分析】直接利用概率公式求解．【详解】解：根据随机事件概率公式得；1张奖券中一等奖的概率为5115030=，故答案是：130．【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是：理解随机事件的概率等于事件可能出现的结果数除以所有的可能出现的结果数．9．（2021·浙江温州市）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球，9个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为______．【答案】5 21【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有21个小球，其中红球有5个， ∴摸出一个球是红球的概率是521，故答案为：521． 【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n =． 10．（2021·四川南充市）在2-，1-，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是________． 【答案】12【分析】先得出倒数等于本身的个数，再根据概率公式即可得出结论．【详解】解：∵在2-，1-，1，2这四个数中，倒数等于本身的数有1-，1， ∴随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是21=42；故答案为：12【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．11．（2021·四川资阳市）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为__________． 【答案】13【分析】结合题意，根据列举法求概率，即可得到答案．【详解】根据题意，将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起，随机抽取一本，共12种情况，其中抽中文学类共4种情况；∴抽中文学类的概率为：41=123 故答案为：13． 【点睛】本题考查了概率的知识；结果的关键是熟练掌握列举法求概率的性质，从而完成求解． 12．（2021·重庆）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片．卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是_______． 【答案】14【分析】画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积为负数的结果，再由概率公式即可求得答案．【详解】画树状图如图：共有16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有4个，∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率=41164．故答案为：14．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．13．（2021·浙江嘉兴市）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________．【答案】6【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6；而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种∴田忌能赢得比赛的概率为16故答案为：16【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（2021·四川泸州市）不透明袋子重病装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是_________．【答案】1 4【分析】用红球的数量除以球的总数量即可解题．【详解】解:根据题意，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是331==3+5+4124，故答案为：14．【点睛】本题考查简单概率公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．15．（2021·重庆）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是__________．【答案】4 9【分析】根据题意，通过列表法或画树状图的方法进行求解即可．【详解】列表如图所示：由上表可知，所有等可能的情况共有9种，其中两次摸出的球都是白球的情况共有４种，∴两次摸出的球都是白球的概率49P=，故答案为：49．【点睛】本题考查列表法或画树状图的方法求概率，熟练掌握这两种基本方法是解题关键．16．（2021·浙江）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是_____．【答案】1 50【分析】用一等奖、二等奖的数量除以奖券的总个数即可．【详解】解：∵有1000张奖券，设一等奖5个，二等奖15个，∴一张奖券中奖概率为5151100050+=，故只抽1张奖券恰好中奖的概率是150，故答案为：150．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．17．（2021·天津）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．【答案】37【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个， ∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是37，故答案为37． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n． 18．（2020·辽宁锦州市）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a 个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为23，则a =______． 【答案】8【分析】直接利用概率公式列出概率计算式，即可求出a 的值． 【详解】解：由题意可知从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为4aa +， ∴243a a =+，∴8a =，故答案为：8． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 三、解答题1．（2021·青海）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：a =______，b =______，c =______．（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是______，众数是______，中位数是______． （3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？（4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙丙丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果． 【答案】（1）20；0.18；0.20；（2）4.92，4，5；（3）132户；（4）16，所有等可能结果为（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙）（丁，丙）【分析】（1）根据题意，首先计算得被调查样本数，再根据频数和频率的性质计算，即可得到答案； （2）根据平均数、众数、中位数的性质计算，即可得到答案；（3）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案；（4）根据用树状图求概率的方法计算，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，被调查样本数为：4500.08= ∴500.420a =⨯=，90.1850b ==，100.2050c == 故答案为：20；0.18；0.20； （2）平均数是344205961077=4.9250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ， ∵用水量为4吨的共20户，数量最多，∴众数是4，∵用水量共50组数据，中间的两个数均为5，∴中位数是5 故答案为：4.92，4，5； （3）∵420933++=，∴3320013250⨯=（户）∴月平均用水量不超过5吨的约有132户； （4）画出树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙）（丁，丙），这些结果出现的可能性相等．其中恰好选到甲、丙两户的有2种． ∴P （恰好选到甲、丙两户）21126==． 【点睛】本题考查了调查统计和概率的知识；解题的关键是熟练掌握样本、中位数、平均数、众数、频数、频率、用样本评估总体、树状图求概率的性质，从而完成求解．2．（2021·四川资阳市）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A （实时关注）、B （关注较多）、C （关注较少）、D （不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；（2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．【答案】（1）27°，条形统计图见解析；（2）3 5【分析】（1）首先读图可知B类人数有150人，占75%，求出总人数，然后根据总人数求出A类的人数，补全条形统计图；再求出C类人数所占百分比，用百分比乘以360°即可求出C类扇形统计图的圆心角；（2）用画树状图法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出刚好抽到一名男士和一名女士的概率．【详解】（1）首先根据条形统计图和扇形统计图中的数据，知B类有150人，占比75%，所以总人数=15020075%（人）；A类人数为20015015530（人），补全条形统计图图下图；C类有15人，所占百分比=15100%=7.5%200，圆心角=百分数×360°=27°；（2）画树状图为：共有20种等可能的情况，而刚好抽到1名男士和1名女士的可能结果有12种，所以P（抽到一名女士和一名男士）123 205 ==．【点睛】本题考查学生的读图能力和求随机事件的概率，解题关键是必须认真观察、分析、研究统计图．3．（2021·四川广元市）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：（1）根据上面图表信息，回答下列问题：①填空：a=_________，b=_________，c=_________；②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为______；（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．。
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第37讲┃ 归类示例
当一次试验涉及多个因素(对象)时，常用“列表 法”或“树形图法”求出事件发生的等可能性，然后 找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概 率．
第37讲┃ 归类示例 ► 类型之三 概率的应用 命题角度： 用概率分析游戏方案． 例3 [2013·德州] 若一个三位数的十位数字比个 位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现 从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复 数字的三位数． (1)请画出树形图并写出所有可能得到的三位数； (2)甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成 的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这 个游戏公平吗？试说明理由．
而乙胜的概率为
第37讲┃ 归类示例
游戏的公平性是通过概率来判断的，在得分相等的 前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等， 则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将 概率乘相应得分，结果相等即公平，否则不公平．
第37讲┃ 归类示例
图37－1
[解析] 依题意，通过列表或画树 状图，求出所有可能的结果，进而利 用概率的意义求解．
第37讲┃ 归类示例
(2)用树状图列出所有可能的结果：
∵以点A、E、B、C为顶点及以点D、F、B、C为顶点 所画的四边形是平行四边形， 4 1 ∴P(所画的四边形是平行四边形)＝ ＝ . 12 3
当一次试验涉及3个或更多因素(例如从3个 口袋中取球)时，列举法就不方便了，可采 用树形图法表示出所有可能的结果，再根 m P(A) ＝ 据________ n 计讲┃ 考点聚焦
利用频 率估计 概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的概率m/n稳定于某个常数p，那 么这个常数p就叫做事件A的概率，记作 P(A)＝p(0≤P(A)≤1)
随机 事件
第37讲┃ 考点聚焦 考点2 概率的概念
定义
一般地，对于一个随机事件A，我们 把刻画其发生可能性大小的数值，称 为随机事件A发生的概率，记为P(A)
意义
概率从数量上刻画了一个随机事件发 生的可能性的大小
第37讲┃ 考点聚焦 考点3 概率的计算
如果在一次试验中，有n种可能的结果，并 列举法求 且它们发生的可能性都相等，事件A包含其 概率 中的m种结果，那么事件A发生的概率为 m P(A)＝ ________ n
第37讲┃ 考点聚焦 考点4 概率的应用
概率在日常生活和科技方面有着广泛的 用概率分析 应用，如福利彩票、体育彩票，有奖促 事件发生的 销等．事件发生的可能性越大，概率就 可能性 越____ 大 在设计游戏规则时应注意设计的方案要 用概率设计 使双方获胜的概率相等；同时设计的方 游戏方案 案要有科学性、实用性和可操作性等
第37讲┃ 归类示例
解：(1)画树形图得：
所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143， 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412， 413，421，423，431，432. (2)这个游戏不公平． ∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243， 341，342，共有8个， ∴甲胜的概率为 8 1 ＝ ， 24 3 16 2 ＝ ，∴这个游戏不公平． 24 3
概率
第37讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1事件的分类 定义 确 定 事 件 在一定条件下，有些事件发生与否可以事 先确定，这样的事件叫做确定事件 ________
必然事件 必然 确定事件中必然发生的事件叫做________ ， 事件 它发生的概率为1 不可 能 事件 确定事件中不可能发生的事件叫做 不可能事件 ________，它发生的概率为0 也可能不发生 在一定条件下，可能发生_____________ 的事件，称为随机事件，它发生的概率介 于0与1之间
第37讲┃ 归类示例
[解析] 事件A，一年最多有366天，所以367人中 必有2人的生日相同，是必然事件；事件B，抛掷 一枚均匀的骰子，朝上的面的点数为1、2、3、4 、5、6共6种情况，点数为偶数是随机事件．
第37讲┃ 归类示例 ► 类型之二 用列表法或树形图法求概率 命题角度： 1．用列举法求简单事件的概率； 2．用列表法或树形图法求概率． 例2 [2013·苏州]在3×3的方格纸中，点A、B、 C、D、E、F分别位于如图37－1所示的小正方形的顶 点上． (1)从A、D、E、F四点中任意取一点，以所取的这 1 一点及B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰 4 三角形的概率是________ ； (2)从A、D、E、F四点中先后任意取两个不同的点， 以所取的这两点及B、C为顶点画四边形，求所画四 边形是平行四边形的概率(用树状图或列表求解)．
第37讲┃ 归类示例
变式题 [2013·淮安]如图37－2，有牌面数字 都是2，3，4的两组牌．从每组牌中各随机摸出一 张，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两张 牌的牌面数字之和为6的概率．
图37－2 [解析] 画出树状图或列出表格，然后按照题目的要 求求出两次的两个数据的和，然后把符合条件的个数 除以总共出现的次数即可求出概率．
第37讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 生活中的确定事件与随机事件
命题角度： 判断具体事件是确定事件(必然事件，不可能事件)还是随机事件． 例1 [2013·泰州]有两个事件，事件A: 367人中至少有2人生日 相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数 ．下列说法正确的是( D ) A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件 C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
第37讲┃ 归类示例
解：方法一：画树状图如下：
∵共有九种情况，数字之和为 6的共有3种， 3 1 ∴随机摸出的两张牌的牌面数字之和为 6的概率为 ＝ . 9 3
第37讲┃ 归类示例
方法二：列表如下： 第二组 2 3 4 和第一组 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 ∵共有九种情况，数字之和为6的共有3种， 3 1 ∴摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率为： ＝ . 9 3