竖直面内的圆周运动规律 3
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
球—绳模型(学生版)--竖直面内三种圆周运动模型
竖直面内三种圆周运动模型精讲精练模型球-绳模型【知识点精讲】球-绳模型实例球与绳连接在竖直面内圆周运动球沿竖直面圆周内轨道运动图示最高点无支撑最高点无支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向向下或等于零重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上受力示意图力学特征mg+F N=mv2r临界特征F N=0，v min=gr过最高点条件v≥gr速度和弹力关系讨论分析①恰好过最高点时，v=gr，mg=mv2r，F N=0，绳、轨道对球无弹力②能过最高点时，v≥gr，F N+mg=mv2r，绳、轨道对球产生弹力F N③不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动【方法归纳】(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型物体过最高点的临界条件不同．(2)确定临界点：抓住球-绳模型中球恰好能过最高点时v=gR的临界条件．(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合=F向．(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．【针对性训练】1(2018•高考全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道P A在A 点相切。
BC为圆弧轨道的直径。
O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=35，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。
重力加速度大小为g。
求：(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；(2)小球到达A点时动量的大小；(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
2(12分)(2020新高考冲刺仿真模拟)某兴趣小组设计了一个玩具轨道模型如图甲所示，将一质量为m=0.5kg的玩具小车(可以视为质点)放在P点，用弹簧装置将其从静止弹出(弹性势能完全转化为小车初始动能)，使其沿着半径为r=1.0m的光滑圆形竖直轨道OAO′运动，玩具小车与水平面PB的阻力为其自身重力的0.5倍(g取10m/s2)，PB=16.0m，O为PB中点．B点右侧是一个高h=1.25m，宽L= 2.0m的壕沟．求：(1)要使小车恰好能越过圆形轨道的最高点A，小车在O点受到轨道弹力的大小；(2)要求小车能安全越过A点，并从B点平抛后越过壕沟，则弹簧的弹性势能至少为多少？(3)若在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能E pm=40J，以O点为坐标原点，OB为x轴，从O到B方向为正方向，在图乙坐标上画出小车能进入圆形轨道且不脱离轨道情况下，弹簧弹性势能E p与小车停止位置坐标x关系图．3(2024年5月四川宜宾质检)如图所示，在距地面上方h的光滑水平台面上，质量为m=4kg的物块左侧压缩一个轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。
竖直平面内的圆周运动及实例分析
竖直平面内的圆周运动及实例分析竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。
一、两类模型——轻绳类和轻杆类1．轻绳类。
运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。
由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。
所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度。
2．轻杆类。
运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。
所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小，；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度，才能运动到最高点。
过最高点的最小向心加速度。
过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向心加速度的表达式也相同，即。
质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力最低点的向心力，由机械能守恒，质点运动到最低点和最高点的向心力之差，向心加速度大小之差也等于。
高中物理重要方法典型模型突破11-模型专题(3) -竖直平面内圆周运动 (解析版)
专题十一模型专题（3）竖直面上的圆周运动【典型模型解读】1.竖直面内匀速圆周运动：注意匀速圆周运动的条件2.竖直平面内非匀速圆周运动的两类典型模型分析轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向指向圆心重力、弹力，弹力方向指向圆心或背离圆心受力示意图力学方程mg+F N=mrv2mg±F N=mrv2临界特征F N=0,v min=gr竖直向上的F N=mg,v=0过最高点条件v≥gr v≥0速度和弹力关系讨论分析①能过最高点时，v≥gr，F N+mg=mrv2，绳、轨道对球产生弹力F N②不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动①当v=0时，F N=mg，F N为支持力，沿半径背离圆心②当0<v<gr时，-F N+mg=mrv2，F N背离圆心，随v的增大而减小③当v=gr时，F N=0④当v>gr时，F N+mg=mrv2，F N指向圆心并随v的增大而增大【典例讲练突破】【例1】（2019高考江苏卷物理6）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（）A.运动周期为2πRω B.线速度的大小为ωRC.受摩天轮作用力的大小始终为mgD.所受合力的大小始终为m ω2R【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式2πTω=，解得：2πT ω=，故A 错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，v R ω=，故B 正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg ，故C 错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：2F m R ω=合，故D 正确。
【答案】BD【练1】在考驾驶证的科目二阶段，有一项测试叫半坡起步，这是一条类似于凸型桥面设计的坡道。
第四章 第3-3讲竖直面内的圆周运动
【典例透析2】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一 端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直 平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉， 球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高 度为d，手与球之间的绳长为 3 d ,重力加速度为g。忽略手的运
4
动半径和空气阻力。求：
(1)绳断时球的速度大小v1; (2)绳能承受的最大拉力； (3)改变绳长（绳承受的最大拉力不变），保持手的位置不动， 使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球 抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
【解析】(1)设绳断后球做平抛运动时间为t1，
竖直方向：
1 4
d
1 2
第3-3讲 竖直面内的圆周运动
【考点解读】 1.竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 2.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 3.竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问 题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点速 度不为零。 4.一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低 点的两种情形。
【规范解答】已知a、b绳长均为1 m，即：
Am Bm 1 m，AO 1 AB 0.8 m 2
在△AOm中，cos AO 0.8 0.8
Am 1
sinθ=0.6，θ=37° 小球做圆周运动的轨道半径为
r Om Amsin 1 0.6 m 0.6 m
b绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力FTa的合 力F为向心力，其受力分析如图所示： 由牛顿第二定律得：F=mgtanθ=mrω2 解得直杆和球的角速度为
【解析】（1）物块做平抛运动，竖直方向有
H 1 gt2 2
力学 竖直面内圆周运动问题的分析
竖直面内圆周运动问题的分析有三种典型的情况：（1） 绳（单轨，无支撑）：绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力。
这种情况下有mg Rmv mg F ≥=+2所以小球通过最高点的条件是gR v ≥，通过最高点的临界速度min vgR = 当临界v v <(实际上小球还没滑到最高点就脱离了轨道)。
（2）外轨（单轨，有支撑），只能给物体支持力，而不能有拉力。
有支撑的小球，但弹力只可能向上，如车过桥．在这种情况下有：gR v mg Rmv F mg ≤∴≤=-,2，否则车将离开桥面，做平抛运动． （3）杆（双轨，有支撑）：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图3所示。
①过最高点的临界条件：0≥v 。
②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即Rmv mg 2=，gR v ＝，杆或轨道内壁对小球没有力的作用。
当0<gR v <时,小球受到重力和杆对球的支持力（或轨道内壁下侧对球的向上的支持力），此二力的合力提供向心力；当gR v >时，小球受到重力和杆向下的拉力（或轨道内壁上侧对球竖直向下的压力），这二力的合力提供向心力。
因此，gR v ＝是小球在最高点受到杆的拉力还是支持力的分界速度，是受到轨道内壁下侧的弹力还是内壁上侧的弹力的分界速度。
【例7】(04甘肃理综)如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O 。
现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F （ ）A ．一定是拉力B ．一定是推力C ．一定等于0D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0【解析】本题是物体在竖直面内圆周运动的典型模型――轻杆模型（有支撑的情况），杆可以对物体有拉力，也可以有推力，对物体的弹力还可以为零，答案D 。
【答案】D【例8】(西城二模理综（物理部分）2007.5)如图4－36所示的是杂技演员表演的“水流星”．一根细长绳的一端，系着一个盛了水的容器．以绳的另一端为圆心，使容器在竖直平面内做半径为R 的圆周运动．N 为圆周的最高点，M 为圆周的最低点．若“水流星”通过最低点时的速度gR v 5=．则下列判断正确的是（ ）A ．“水流星”到最高点时的速度为零甲图3GFB ．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出C ．“水流星”通过最高点时，水对容器底没有压力D ．“水流星”通过最高点时，绳对容器有向下的拉力 解析：假设水能够通过最高点，则到达到最高点时的速度设为v 1，由机械能守恒定律得：22111222mv mv mgR =+，得1v =，而当容器恰好能上升到最高点时的临界条件1v ，此时水对容器的压力为0时，C 正确．【答案】C【例9】（07年潍坊理科综合考试物理试题）如图4－37所示，小物块位于半径为R 的半球形物体顶端，若给小物块一水平速度gR v o 2=，则物块 （ ）A ．立即做平抛运动B ．落地时水平位移为R 2C ．落地速度大小为D ．落地时速度方向与地面成45°角解析：物体恰好不受轨道的支持力的情况下（物体在最高点做圆周运动）的临界条件是，gR v o 2=A正确；由平抛运动的规律可得：R ＝212gt ，x =v 0t ，所以可得x =2R ，B 答案正确；落地时竖直分速度y v =，合速度v ==45°角，CD 正确．【答案】ACD ．。
5.7-3竖直平面内的圆周运动与临界问题
壁对小球有压力，什么时候内管壁
;
F1
对小球有支持力?什么时候内外管
V1
壁都没有压力？
G
临界速度： F 0,v0 gR
当v<v0，内壁对球有向上的支持力； 当v>v0，外壁对球有向下的压力。
第17页，共28页。
例4：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长为Ｌ ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平轴在竖直 平面内转动，g=10m/s2，求： （１）当小球在最高点的速度为多 大时，小球对杆的作用力为零？
第21页，共28页。
轻绳模型
轻杆模型
(1)过最高点时，v≥ gr， FN＋m g＝mvr2，绳、轨道对
球产生弹力 FN
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持力，沿半径背离圆心
(2)当 0<v< gr 时，－FN＋mg ＝mvr2，FN 背离圆心且随 v
讨论 (2)不能过最高点时 v< gr ，
（２）当小球在最高点的速度分别
为６m/s和1.5m/s时，杆对小球的 作用力的大小和方向
（３）小球在最高点的速度能否等 于零？
第18页，共28页。
例题5：如图所示，一质量为m
的小球，用长为L轻杆固定住，
使其在竖直面内作圆周运
N
动.(1)若过小球恰好能通过最
高点，则小球在最高点和最低
mg
点的速度分别是多少？小球的
竖直平面内做圆周运动。 试分析：
B
（1）当小球在最低点A的速度为 v2时，杆的受力与速度的关系怎
样？
（2）当小球在最高点B的速度为 v1时，杆的受力与速度的关系怎样？
A
第12页，共28页。
问题2：杆球模型：
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
竖直平面内的圆周运动模型
竖直平面内的圆周运动模型1.引言圆周运动一直是物理学的重要研究课题之一，它被广泛应用于各种机械和电子设备中。
而本文将聚焦于竖直平面内的圆周运动模型。
竖直平面内的圆周运动模型有哪些特点？如何用公式描述这种运动模型？这是本文将要介绍的内容。
2.竖直平面内的圆周运动模型特点竖直平面内的圆周运动模型是指，物体在竖直方向上运动时同时还在平面内做圆周运动。
它有如下几个特点：2.1 运动轨迹竖直平面内的圆周运动模型的轨迹形式是狭义螺旋线。
物体沿着这条曲线不断前进。
2.2 运动速度初始速度指向切线方向，所有速度的大小相等，运动速度与运动方向始终相切。
2.3 运动加速度圆周运动的加速度有两部分：径向加速度和切向加速度。
径向加速度的大小为：a_r= \frac{v^2}{r}切向加速度的大小为：a_t= \frac{dv}{dt}= \frac{d}{dt}(v\Deltat)=v\frac{d}{dt}\Delta t2.4 运动周期竖直平面内的圆周运动模型的运动周期与它的初速度和半径有关系。
如果初始速度为v_0，半径为r，则运动周期为：T= \frac{2\pi r}{v_0}3.公式描述竖直平面内的圆周运动模型可以用如下公式来描述：x= r \cos (\omega t)y= r \sin (\omega t)z= v_0 t其中，x和y分别表示物体在平面内的坐标；z表示物体在竖直方向的坐标；r表示圆的半径，\omega表示物体在平面内的角速度，角速度的大小为：\omega= \frac{v_0}{r}4.总结竖直平面内的圆周运动模型是一种特殊的、复杂的运动模型。
它的轨迹形式为狭义螺旋线，初始速度指向圆弧的切线方向，所有速度的大小相等，运动速度与运动方向始终相切。
圆周运动的加速度有两部分：径向加速度和切向加速度。
径向加速度的大小为v^2/r，切向加速度的大小为v\frac{d}{dt}\Delta t。
竖直平面内的圆周运动模型的周期与初始速度和半径有关系，其周期为T= \frac{2\pi r}{v_0}。
圆周运动总结知识要点
圆周运动问题是高考考查的热点，物体在竖直面内的圆周运动中临界条件的考查在高考中多有出现圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本单元的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。
另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。
（一）匀速圆周运动1. 定义：做圆周运动的质点，若在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
2. 运动学特征：v 大小不变，T 不变，ω不变，向a 大小不变；v 和向a 的方向时刻在变，匀速圆周运动是加速度不断改变的变速运动。
3. 动力学特征：合外力大小恒定，方向始终指向圆心。
（二）描述圆周运动的物理量 1. 线速度（1）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
（2）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向。
（3）大小：（s 是t 时间内通过的弧长）。
2. 角速度 （1）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。
（s /rad ），ϕ是连接质点（2）大小：和圆心的半径在t 时间内转过的角度。
3. 周期T ，频率f 做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
做匀速圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。
4. v 、ω、T 、f 的关系f 1T =f 2T 2π=π=ωω=π=r r T 2v5. 向心加速度（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。
（2）大小：=a 0222222v r T 4r f 4r r v ω=π=π=ω=（3）方向：总是指向圆心（三）向心力向F1. 作用效果：产生向心加速度，不断改变质点的速度方向，维持质点做圆周运动，但不改变速度的大小。
2. 大小：rm r mv F 22ω==向3. 来源：向心力是按效果命名的力，可以由某个力提供，也可以由几个力的合力提供或由某个力的分力提供，如同步卫星的向心力由万有引力提供，圆锥摆摆球所受向心力由重力和绳上的拉力的合力提供4. 匀速圆周运动中向心力就是合外力，而在非匀速圆周运动中，向心力是合外力沿半径方向的一个分力，合外力的另一个分力沿切线方向，用来改变线速度的大小。
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ω的范围为2.9 rad/s≤ω≤6.5rad/s.
3．如图 6 所示，质量为 m 的小球置于方 练习 形的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球 的直径．某同学拿着该盒子在竖直平 面内以 O 点为圆心做半径为 R 的 匀速圆周运动，已知重力加速度为 g，空气阻力不计．求： (1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？ 1 (2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的 做匀速圆周运动， 2 则当盒子运动到如图所示的位置(球心与 O 点位于同一水平 面上)时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别 为多少？
答案
(1)16 N
竖直向上
(2)44 N
竖直向下
即学即练2 在例3中若把细杆换成细绳，则在(1)、(2) 两种情况下小球能通过最高点吗？若能，此时细绳对 小球的拉力为多少？
答案 在(1)的情况下，细绳不能给球向上的力，即 球不能过最高点．在(2)的情况下，细绳和杆是一样 的，绳给球竖直向下的拉力为44 N.
2
在最高 点的FNv2图线
即学即练 1如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一 端有光滑的固定轴O．现给球一初速度，使球和杆 一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表 示球到达最高点时杆对小球的作用力则F（ ） A．一定是拉力 B．一定是推力 C．一定等于0 D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
提高练习 如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直， BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截 面半径r＜＜R．有一质量为m、半径比r略小的光 滑小球以水平初速度v0射入圆管，问： （1）若要使小球能从C端出来，初速度v0多大？ （2）在小球从C端出来的瞬间，对管壁压力有哪 几种典型情况？初速v0各应满足什么条件？
二 常见的两种模型比较 分析
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
均是没有支撑的小 球
均是有支撑的小球 由小球恰能做圆周即得v临 ＝0
过最高 v2 由mg＝m r 得v临＝ 点的临 gr 界条件
讨论 分析
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN 为支持力，沿半径背离心 (1)过最高点时，v≥ gr (2)当0<v< gr v 2 时， 2 v FN＋mg＝m 绳、轨 －FN＋mg＝m F N背 r r 道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时， 向圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝ gr 时，FN＝0 v< gr ，在到达最高 (4)当v> 时，FN＋mg＝ 点前小球已经脱离了 圆轨道 m v FN指向圆心并随v的 r 增大而增大
(3)小球运动到A点或B点时细线断裂，小球滑落到斜面 底边时到C点的距离若相等，则l和L应满足什么关系？
解析： 小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动， 1 则小球通过A点时细线的拉力为零，根据圆周运
2 vA 动和牛顿第二定律有：mgsin＝m l
2 小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律有：
处理临界问题的思维模式
1 准确判断临界状态：通过刚好，某个量的范围 ， 最多等词来判断。 2 确定临界条件
3 选择物理规律，在不同的物理过程中使用不同的 物理规律解决
提高练习 如图所示，细绳一端系着质量为M=0.6kg
的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔O 吊着质量m= 0.3 kg的物体，M的中点与圆孔距离为 0.2 m，已知M和水平面的最大静摩擦力为2 N．现 使此平面绕中心轴转动，问角速度ω 在什么范围内 m处于静止状态？（取g= 10 m/s2）
解析 对物体 A 由最低点到最高点过程，机械能守恒． 1 2 1 即2mv ＋mg· 2L＝2mv02 ① 假设细杆对 A 的弹力 F 竖直向下， 则 A 的受力图如图所示． v2 以 A 为研究对象，在最高点有 mg＋F＝m L v2 所以 F＝m( －g)． L
(1)当 v0＝ 21 m/s 时，由①式得 v＝1 m/s. 12 F＝2×( －10) N＝－16 N. 0.5 负值说明 F 的方向与假设的竖直向下的方向相反， 即杆 给 A 竖直向上的 16 N 的支撑力． (2)当 v0＝6 m/s 时，由①式得 v＝4 M/S. 42 F＝2×( －10) N＝44 N 0.5 正值说明杆对 A 施加的是竖直向下的 44 N 的拉力．
答案 (1)v0>
4 gR
(2)见解析
提高练习如图所示，在倾角为θ 的光滑斜面上，有一长 为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为 m 的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动 ，已知O点到斜面底边的距离为L，求：
(1)小球通过最高点A时的速度vA；
(2)小球通过最低点B时细线对小球的拉力；
解析
(1) v0> 4gR
(2)小球从 C 端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况： ①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知 vC 2 1 1 2 2＝mg· 识 mg＝m .由机械能守恒定律， mv0 2R＋ mvC，联立 R 2 2 解得 v0＝ 5Rg. vC 2 ②对下管壁有压力，此时应有 mg>m ，此时相应的入射速度 R v0 应满足 4Rg<v0< 5Rg. vC 2 ③对上管壁有压力，此时应有 mg<m R ，此时相应的入射速度 v0 应满足 v0> 5Rg.
解析
(1)设盒子的运动周期为T0.因为在最高点时盒子与
小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力 2π 2 提供向心力，根据牛顿运动定律得mg＝mR( ) T0 R 解之得T0＝2π g T0 (2)设此时盒子的运动周期为 ，则小球的向心加速度为a0 2 4π2 ＝ 2R T R T0 由第(1)问知T0＝2π g 且T＝ 2 由上述三式知a0＝4g 设小球受盒子右侧面的作用力为F，受上侧面的作用力为 FN，根据牛顿运动定律知
在水平方向上F＝ma0 即F＝4mg 在竖直方向上FN＋mg＝0 即FN＝－mg 因为F为正值、FN为负值，所以小球对盒子的右侧面 和下侧面有作用力，大小分别为4mg和mg.
答案
(1)2π
R g
(2)小球对盒子的右侧面和下侧面
有作用力，大小分别为 4mg 和 mg
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总结本节课的主要内容。 布置任务
1 2 1 2 mvA mg 2lsin＝ mvB 2 2 解得：vB＝ 5 glsin 小球在B点时根据圆周运动和牛顿第二定律有
2 vB T－mgsin＝m l
解得：vA＝ glsin
解得：T＝6mgsin
3 小球运动到A点或B点时细线断裂，小球在平行
底边方向做匀速运动，在垂直底边方向做初速为零 的匀加速运动( 类平抛运动 )细线在A点断裂： 1 2 L l ＋＝ at A ,x A v A t A ＝ 2 1 2 细线在B点断裂：L l －＝ at B ,xB＝vB t B 2 3 又x A＝xB，联立解得：L l . ＝ 2
提高练习 长 L＝0.5 m 质量可忽略的细杆，其一端可绕 O
点在竖直平面内转动，另一端固定着一个物体 A. A 的质 量为 m＝2 kg，当 A 通过最高点时，如图 2 所示，求在 下列两种情况下杆对小球的力： (1)A 在最低点的速率为 21 m/s； (2)A 在最低点的速度为 6 m/s.
第三讲：竖直面内圆周运动及其应用
学习目标：
1 知道竖直面内的圆周运动特点 2 掌握竖直面内的圆周运动的两种典型模型，会分 析其临界条件。
重点：两种模型在最高点的受力的圆周运动特点 1 速度，加速度，向心力均发生变化。 2 按速度大小是否发生变化分为：匀速圆周 运动 非匀速圆周运动。