北京市育英中学2020届高三3月月考数学试题 Word版含解析

北京市育英中学2020届高三3月月考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合2{|,}B y y x x A ==∈，则A B ⋂=（ ） A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. {}2C. {}1D. φ 【答案】C【解析】试题分析：因，故,选C. 考点：交集运算.2.设a,b 为实数，若复数1+21i i a bi =++，则 A. 31,22a b == B. 3,1a b == C. 13,22a b == D. 1,3a b ==【答案】A【解析】【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【详解】由121i i a bi +=++可得1+2i ＝（a ﹣b ）+（a +b ）i ，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =， 故选A ．【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题． 3.过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 无法确定【答案】C【解析】试题分析：AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则A,B 到准线的距离之和为12，即12121212x x p AB x x p ++=∴=++=考点：直线与抛物线相交问题4.已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//a b 的一个充分条件是（ ）A. //a α，//b αB. //a α，b β//，//αβC. a α⊥，b β⊥，//αβD. αβ⊥，a α⊥，b β// 【答案】C【解析】【分析】在A 中，a 与b 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质可得a ∥b ；在B 、D 中，均可得a 与b 相交、平行或异面；【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在A 中，//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，//a α，//b β，//αβ，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，由a α⊥，//αβ，则a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质可知//a b ，故C 正确； 在D 中，αβ⊥，a α⊥，//b β，则a 与b 相交、平行或异面，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5.已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a a b -的值是 ( ) A. 12 B. 12- C. 12或12- D. 14【答案】A【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ，则4=1+3d ，解得d =1，∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ，则4=q 4,解得q 2=2，∴b 2=q 2=2. 则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.6.一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( )A. 179元B. 199元C. 219元D. 239元【答案】C【解析】【分析】设购买的商品的标价为x 元，根据题意列出不等式即可得到答案.【详解】设购买的商品的标价为x 元，由题意，0.120x ⨯>，且0.1(100)0.18x x ⨯>-⨯，解得200225x <<.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数模型的选择问题，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题. 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. 13B. 23C. 1D. 43【答案】D 【解析】【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥的的体积公式，即可求解.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个如图所示的三棱锥1D ABE -，其底面ABE 的面积为12222S =⨯⨯=，高为2h =， 所以该三棱锥的体积为11422333V Sh ==⨯⨯=，故选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.8.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A. 2B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1，1=，所以223a b =，c e a ====3. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.9.已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212.AF F F ⊥若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A⋅u u u r u u u u r 的最大值为( )A. B. C. 94 D. 154【答案】B【解析】【分析】由已知可得点A ，1F ，2F 的坐标，再利用数量积运算法则和点P 的纵坐标的取值范围即可得出最大值．【详解】由椭圆C ：22143x y +=可得：24a =，23b =，()11.1,0c F ==∴-，()21,0F ．212AF F F ⊥Q ，31,2A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭． 设(),P x y ，则221.43x y +=又33y -≤≤， ()1233331,0,222F P F A x y y ⎛⎫∴⋅=+⋅=≤ ⎪⎝⎭u u u r u u u u r ． 12F P F A ∴⋅u u u r u u u u r 的最大值为33． 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题．10.在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===,点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( )A. 22B. 3C. 34D. 1【答案】C【解析】【分析】画出图形，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，将折线段转化为直线段距离最小，从而求出MP +PQ 的最小值.【详解】 如图1，显然当Q 是P 在底面ABCD 的射影时MP PQ +才可能最小，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，如图2所示，此时易得130CAC ∠=o ，AM =显然当,,M P Q三点共线时，MP PQ +取得最小值，此时min 13sin sin 6024MQ AM CAB =∠==o . 故选：C. 【点睛】本题考查立体几何翻折问题中的最值问题，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大.二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11.12x ⎛ ⎝展开式中的常数项为__________. 【答案】220-【解析】【分析】 写出12x ⎛- ⎝展开式的通项，令x 的指数为零，即得常数项. 【详解】12x ⎛ ⎝展开式中第1k +项为 41212311212((1),0,1,2,12k k k k k k k T C xC x k --+==-=L ， 令4120,93k k -==，所以常数项为931212220C C -=-=-. 故答案为:-220【点睛】本题考查二项展开式中特定的项，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.12.在ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =C ∠= ． 【答案】4π 【解析】 分析：直接利用正弦定理求∠C.63323,3sin 2,sin ,.2244sin 3C C C πππ=∴=∴=∴=或 因为AB ＜BC ，所以∠C ＜∠A=3π,所以4C π∠=.故答案为4π. 点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2) 解三角形如果出现多解，要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验.13.设()f x 是偶函数，对于任意的()0x x >都有()()222f x f x +=--，已知()14f -=，那么()3f -等于______.【答案】-8【解析】【分析】由已知得()()f x f x -=，()2(4)f x f x =--，进而得到()2(4)f x f x =-+，再令3x =-即可.【详解】因为()f x 是偶函数，所有()()f x f x -=①，又()()222f x f x +=--，所以()2(4)f x f x =--②，由①②可得()2(4)f x f x =-+，故()2(1)2(13)8f f f =-=---=-.故答案为：8-.【点睛】本题考查求抽象函数在某点的函数值，涉及到函数的奇偶性，是一道基础题. 14.已知函数()sin f x x ω=（0>ω），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω=__________，a 的最小值是__________．【答案】 (1). 2 (2).12π【解析】 根据图形知，函数的周期3113,241264T T ππππω=-=∴==（），又函数(y f x a =+的图象经过16（，），π 所以22206212a k k Z a k k Z a Q ，；，；πππππ⨯+=+∈∴=+∈> a ∴的的最小值是12π点睛：本题考查了三角函数y Asin x ωϕ=+（） 的图象与性质的应用问题，是基础题目．15.设()32,,x x a f x x x a⎧<=⎨≥⎩，若不存在实数b ，使得函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】[0,1]【解析】【分析】函数()()g x f x b =-零点个数等于()f x 与y b =交点个数，然后分0a <，0a =或1a =，01a <<，1a >四种情况讨论即可.【详解】函数()()g x f x b =-零点个数等于()f x 与y b =交点个数，当0a <时，如图1所示，存在实数b ，使得()f x 与y b =有两个不同的交点，不满足题意； 当0a =或1a =时，此时()f x 是单调递增函数，故满足题意；当01a <<时，如图2，不存在实数b ，使得()f x 与y b =有两个不同的交点，满足题意； 当1a >时，如图3，存在实数b ，使得()f x 与y b =有两个不同的交点，不满足题意； 综上，不存在实数b 使函数()()g x f x b =-有两个零点a 的取值范围为[0,1].故答案为：[0,1].【点睛】本题考查已知函数零点个数求参数的问题，在做此类题，一定要注意等价转化与数形结合的思想，本题是一道中档题.16.在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点()1,1的距离，记点P 的轨迹为C .给出下面四个结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线y x =对称；③点()()2,1a a R -∈在曲线C 上；④在第一象限内，曲线C 与x 轴的非负半轴、y 轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于12.其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②③④【解析】【分析】 根据动点P （x ，y ）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．【详解】动点P （x ，y ）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，所以||||x y +=即||10xy x y ++-=.若0xy >，则10xy x y ++-=，即(1)(1)2x y ++=，故211y x =-+， y 以(1,1)--为中心的双曲线的一支；若0xy <，则10xy x y --+=，即1)0(1)(x y -=-，故1(0)x y =<或1(0)y x =<，所以函数的图象如图所示所以曲线C 关于直线y x =对称，②正确；又22|1|110a a -⨯-+-=，所以点()()2,1a a R -∈在曲线C 上，③正确；在第一象限内，曲线C 与x 轴的非负半轴、y 轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于12AOB S ∆=，故④正确. 故答案为：②③④.【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查数形结合的数学思想方法，本题解题关键是正确作出函数图象，是一道中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程）17.已知函数3()cos (sin 3cos )f x x x x =+-，x ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，求α的最小值． 【答案】（Ⅰ）周期π，单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ．（Ⅱ）【解析】 【详解】（1），所以函数的最小正周期.由， 得，所以函数的单调递增区间为. （注：或者写成单调递增区间为.） （2）解：由题意，得， 因为函数为奇函数，且， 所以，即， 所以， 解得，验证知其符合题意. 又因为，所以的最小值为.考点：三角函数的图象和性质.18.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下 [)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,7070以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0314363（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率； （Ⅱ）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】17100；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 【解析】 【分析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人， 所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =． （Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，()124236C C 115C P X ===, ()214236C C 325C P X ===, ()304236C C 135C P X ===. 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=. 【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题． 19.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，E 为PC 中点，点F 在PB 上，且PB ⊥平面DEF ，连接BD ，BE ．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知2AD =，2CD =，求二面角F AD B --的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）1010． 【解析】【详解】（Ⅰ）因为PD ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以BC PD ⊥． 因为四边形ABCD 为矩形，所以BC DC ⊥．PD DC D ⋂=，所以BC ⊥面PDC ．DE ⊂面PDC ，DE BC ⊥，在PDC ∆中，PD DC =，E 为PC 中点，所以DE PC ⊥．PC BC C ⋂=，所以DE ⊥面PBC ．（Ⅱ）四面体DBEF 是鳖臑，其中2BED FED π∠=∠=， 2BEF BFD π∠=∠=．（Ⅲ）以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0D ，()2,0,0A ， ()2,0C ，(2P ，()2,0B ．设PF PB λ=u u u r u u u r，则()2222F λλλ．DF PB ⊥得0DF PB =u u u r u u u r g 解得14λ=．所以12322F ⎛ ⎝⎭．设平面FDA 的法向量(),,n x y z =r，{n DF n DA⊥⇒⊥u u u r r u u u r r 12320{24420x y z x ++==令1z =得0x =，3y =-． 平面FDA 的法向量()0,3,1n =-r，平面BDA 的法向量()0,0,2DP =u u u r，cos n r <，·21010102n DP DP n DP->===-u u u r r u u u r u u u r r ． 二面角F AD B --的余弦值为1010． 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于,A B 两点，且2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线,PA PB 与直线4x =分别交于,M N 两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点()2,0D ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）点不存在. 【解析】分析：（1）根据椭圆的几何性质知22b =，即1b =，再由离心率得32c e a ==，从而可得2a =，得椭圆方程；（2）假设点P 存在，并设00(,)P x y ，写出PA 的方程，求出M 点坐标，同理得N 点坐标，求出MN 的中点坐标，即圆心坐标，利用圆过点D 得一关于00,x y 的等式，把P 点坐标代入椭圆方程后也刚才的等式联立解得0x ，注意0x 的范围，即可知存在不存在． 详解：（1）由已知，得知，又因为离心率为，所以.因为，所以,所以椭圆的标准方程为.（2）假设存在.设由已知可得，所以的直线方程为，的直线方程为，令，分别可得，，所以，线段的中点，若以为直径的圆经过点D（2,0），则,因为点在椭圆上，所以，代入化简得，所以，而，矛盾，所以这样的点不存在.点睛：解析几何中存在性命题常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则不存在．21.已知函数()1xxf x e -=. （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的零点和极值；（3）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()1221e f x f x -≥-成立，求实数a 的最小值. 【答案】（1）210x y +-=；（2）零点1x =，极小值21e-；（3）1.【解析】 【详解】（1）因为， 所以'(0)2f =-． 因为，所以曲线在处的切线方程为.（2）令，解得，所以的零点为.由解得，则及的情况如下：2－ 0 +所以函数在时,取得极小值.（3）法一： 当时，. 当时，. 若，由（2）可知的最小值为，的最大值为，所以“对任意，有恒成立”等价于即， 解得. 所以的最小值为1.法二：当时，. 当时，.且由（2）可知，的最小值为， 若，令，则而，不符合要求，所以. 当时，,,所以，即满足要求，综上，的最小值为1.22.设数列{}n a 对任意*N n ∈都有()()()1122n n kn b a a p a a a +++=+++L （其中k 、b 、p 是常数） .（Ⅰ）当0k =，3b =，4p =-时，求12n a a a ++⋅⋅⋅+；（Ⅱ）当1k =，0b =，0p =时，若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当1k =，0b =，0p =时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212a a -=，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111112nS S S S <+++⋅⋅⋅+<.若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）312n -；（Ⅱ）23n a n =-；（Ⅱ）存在，1{2,4,6,8,10}a ∈【解析】 【分析】（Ⅰ）当0k =，3b =，4p =-时，由已知条件推导出113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=，由此得到数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，从而能求出12n a a a ++⋅⋅⋅+； （Ⅱ）当1k =，0b =，0p =，由已知条件推导出2120n n n na na na ++-+=，从而得到数列{}n a 是等差数列，由此求出23n a n =-；（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列{}n a 是等差数列，12(1)n a a n =+-，由此进行验证，求出数列{}n a 的首项1a 的所有取值.【详解】（Ⅰ）当0k =，3b =，4p =-时，13()4n a a +-=()122n a a a +++L ①，用1n +去换n 得113()4n a a ++-=()1212n a a a ++++L ②，②-①得，113()2n n n a a a ++-=，即13n n a a +=，在①中令1n =得11a =，故{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1113n n n a a q --==，从而1121(13)31133132n n n n a a a -++⋅⋅⋅+⨯--=+++==-L . （Ⅱ）当1k =，0b =，0p =时，1()n n a a +=()122n a a a +++L ③，用1n +去换n 得11(1)()n n a a +++=()1212n a a a ++++L ④，④-③得，11(1)0n n n a na a +--+=⑤，用1n +去换n 得211(1)0n n na n a a ++-++=⑥，⑥-⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即212n n n a a a +++=，故{}n a 是等差数列，因为33a =，915a =，所以公差93293a a d -==-， 故3(3)23n a a n d n =+-=-.（Ⅲ）由（Ⅱ）知{}n a 是等差数列，因212a a -=，所以12(1)n a a n =+-，假设存在这样的“封闭数列”，则对任意*,m n ∈N ，必存在*t N ∈，使得12(1)a m +-+12(1)a n +-=12(1)a t +-， 所以12(1)a t m n =--+，故1a 偶数，1{2,4,6,8,10}a ∈，又由已知，111112S <<， 所以1112a <<，此时1(1)n S n n a =+-；当1112a <<时，0n S ≠，111111()11n S a n n a =--+-，所以11123111111n a S S S S S =≤+++⋅⋅⋅+ 111111(1)1111a n a a =-<≤-+--， 故1{2,4,6,8,10}a ∈【点睛】本题考查数列的前n 项和的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列的首项的求法，解题时要认真审题，是一道中档题．。