定积分定义计算例题

定积分定义计算例题
定积分是高中数学中比较重要的一个概念，也是数学中的一个重要工具。

下面是一些定积分的定义和计算例题：
1. 定积分的定义：
定积分是指在一定区间内，曲线和坐标轴之间的面积。

表示为：$int_a^bf(x)dx$。

其中，$a$和$b$是积分区间的两个端点，$f(x)$是被积函数。

2. 定积分的计算方法：
(1) 划分区间：将积分区间分成若干个小区间。

(2) 求出每个小区间的面积：用等式
$S=frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)$求出每个小区间的面积。

(3) 将每个小区间的面积相加：
$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^nfrac{1}{2}(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x _i)$。

3. 计算例题：
例1：计算$int_0^{pi/2}sin x dx$。

解：因为$sin x$在区间$[0,pi/2]$上单调递增，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。

设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=ifrac{pi}{10}$，$x_{i+1}=(i+1)frac{pi}{10}$。

每个小区间的面积为：
$frac{1}{2}(sin x_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}$
将每个小区间的面积相加，得到：
$int_0^{pi/2}sin x dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}(sin
x_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}approx1$
例2：计算$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx$。

解：因为$frac{1}{1+x^2}$在区间$[0,1]$上单调递减，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。

设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=icdot0.1$，
$x_{i+1}=(i+1)cdot0.1$。

每个小区间的面积为：
$frac{1}{2}left(frac{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right) cdot0.1$
将每个小区间的面积相加，得到：
$int_0^1frac{1}{1+x^2}dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}left(fra c{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right)cdot0.1approx0.78$。

以上就是定积分的定义和计算例题的内容，希望能对大家有所帮助。