高考数学总复习全套讲义
高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑第1课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂=∅．3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ⋂=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8或2___．【范例解析】例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=，{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，求集合B .分析：先化简集合A ，由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1）{12}A x x =≤≤Q ，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=，R A C A R ⋃=，{0,2}可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.【反馈演练】1．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ⋂=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．3．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+. （1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围； （3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，Q P Q P ⋃=，Q P ∴⊆. ①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >．②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<． 综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞．（2）①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >；②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或．综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞．（3）由{03}P Q x x ⋂=≤<，则0a =．第2课命题及逻辑联结词【考点导读】1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①230x-=；②你是高三的学生吗？③315x->．+=；④536其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p，否命题可表若则，逆否命题可表示为q p若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题⌝⌝⌝⌝p q互为逆否命题．【范例解析】例1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1）平行四边形的对边相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）设,,,+=+.a b c d R∈，若,==，则a c b da b c d分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题. （2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）原命题：设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题； 逆命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题； 否命题：设,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+；假命题； 逆否命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +≠+，则a b ≠或c d ≠；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p 则q ”的形式，找出其条件p 和结论q ，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p 的否定即p ⌝时，要注意对p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假. （1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等. 分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程210-+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；x xp且q：方程210-+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；x x非p：方程210-+=的两实根的符号不同，真命题.x x点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()∃∈⌝”，特称命题“,()∃∈”的否定是x M p xx M p x∀∈”的否定是“,()x M p x“,()∀∈⌝” .x M p x解：（1）p⌝：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（2）p⌝：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3）p⌝：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（4）p⌝：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）p ⌝：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =； （2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >． 解：（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题； 否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题； 逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题； （2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题； 否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题； 逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．若b M ∈，则a M ∉若a b ≤，则221ab≤-第3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件； 若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件； 若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础练习】1.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件．若q p ⇒，则p 是q 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件． （2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件．（3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的___必要不充分__条件． 3.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >． 【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件；（2）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件； （4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.分析：从集合观点“小范围⇒大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.x y >⎧⎨>⎩结合不等式性质易得4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，反之不成立，若12x =，10y =，有4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，但2,2.x y >⎧⎨>⎩不成立，所以2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件.（2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，401x x -≥+的解集为(1,4]-，故(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2παβ==时，tan ,tan αβ均不存在；当tan tan αβ=时，取4πα=，54πβ=，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若⌝q 则⌝p ”的真假.【反馈演练】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分 条件．2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件．3．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则A B ⊆． 若A =∅，则240a -<，即22a -<<；若A ≠∅，则240,a x ⎧-≥≤≤解得522a -≤≤-． 充分不必要综上所述，522a -≤<．2012高中数学复习讲义第二章函数A【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
高中数学复习讲义
高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。
一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。
我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。
掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。
1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。
我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。
1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。
我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。
1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。
向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。
我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。
1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。
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工程學院基礎數學題庫第五章空間中的直線與平面第六章球面方程式第七章矩陣與行列式第五章 空間中的直線與平面5-1.空間中直線與平面的概念1.設ABCD 為正四面體，各面均為正三角形，其稜長為1，為M 的CD 中點， 求 AB 與CD 兩歪斜線間的距離？ 若∠AMB ＝θ，求cos θ＝？【a 22； 31】 【解】 a a a 22)2()23(22=- 餘弦定理a 2＝θcos 23232434322⨯⨯⨯-+a a a a ,cos θ＝312.四面體A-BCD 中,2,4======BD CD BC AD AC AB ， 求四面體A-BCD 之體積？【3112 】 【解】G 是△ABC 重心33232==DE DG 344)332(422=-=AG ，體積＝311234433131=⨯⨯=⨯∆⨯AG BCD3.如圖，OA 垂直平面E ，AB 垂直直線L ，已知OA ＝9，AB ＝12， BC ＝20，求OC ＝？【三垂線定理】【 25 】【解】2222129AB OA OB +=+=＝15,22222015BC OB OC +=+=＝25 4.空間中O 點在平面E 的垂足為A 點，OA ＝3，L 為平面E 之 直線，由A 作直線L 的垂線交於B 點，AB ＝2，C 為直線L 之 點，已知OC ＝7，求BC ＝？ 【三垂線定理】【 6 】【解】1323AB OA OB 2222=+=+=,)13(-7OB -OC BC 222==＝6 5.有一四面體OABC ，它的一個底面ABC 是邊長4的正三角形， 且知OA ＝OB ＝OC ＝a ，如果直線OA 與直線BC 間的公垂線段長 (亦即此兩直線間的距離)是3，則a ＝？(以最簡分數表示) 【38】 【解】4a OM 2-=,作AO MN ⊥於點N設ON ＝a －3，222OM MN ON =+2222)4a ()3()3a (-=+-，a ＝386.設ABCD 為四面體，底面為BCD ，側稜AB ＝4，AC ＝AD ＝5， 底邊BC ＝BD ＝5，CD ＝6，令平面ACD 與平面BCD 所定的兩面角 度量為銳角θ，求cos θ＝？【21 】【解】△ABM 為正三角形，θ＝60°，則cos60°＝21 7.長方體如圖,若3,3,2===AE AD AB ，若△ABD 與△BDE 所在平面之二面角為θ，則sin θ＝？A DE HF G【1713】 【解】133222=+=+=22AD AB BD過E 點作EM 垂直BD 於M 點，AM ＝1361332BD AD AB =⋅=⋅ tan θ＝2136133AM AE =⋅=，則sin θ＝17138.如圖正立方體ABCD-EFGH 的稜長等於2，K 為正方形ABCD 的中心， M,N 分別為線段BF ,EF 的中點，求△KMN 之面積為？A DKBME NCH6】【29.如圖，ABCD是邊長為2的正方形，P,Q分別為CDBC,的中點，若將正方形沿虛線向上摺起，使B,C,D三點重合，令此點為R，求四面體APQR的體積？1】【310.將ㄧ張四邊形的紙ABCD沿著對角線BD摺起，使得∠ABC＝45°，BC=＝22，∠A＝60°，若平面ABD與平面BCD 已知ADAB=＝4，CD的夾角為θ，則cosθ＝？【 33】5-2.空間坐標系與空間向量1.如下圖，正四角錐體的底面是正方形，其正方形邊長為4， 側稜長為6，求平面OAB 與平面OBC 之夾角θ，則cos θ＝？【 －81】【解】328,6244=⨯=⨯AP AP 24,328===AC CP AP 餘弦定理θ⨯⨯⨯-+=cos 3283282)328()328()24(222 解得81cos -=θ2.續上題，求平面OAB 與平面ABCD 之夾角α，則cos α＝？【42】 【解】平面OAB 與平面ABCD 之夾角＝平面OBC 與平面ABCD 之夾角 cos α＝42242==OP PM3.如下圖，正四角錐體的底面是正方形，其正方形邊長為1單位長， 側稜長亦為1單位長，求平面OAB 與平面OAD 之夾角θ，則cos θ＝？【 －31】4.已知一正四面體，其中三頂點坐標分別為(0，0，0)、(2，0，0) 及(1，1，2)，則另一頂點之坐標為？【 (1，35，－32)；(1，－1，2) 】【解】⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=++-=++4)2()1()1(4)2(4222222222z y x z y x z y xx ＝1，y 2＋z 2＝3，(y －1)2＋(z －2)2＝4 (z －2)(3z ＋2)＝0，z ＝2，－32，解得y ＝－1，355.令A(－1，6，0)、B(3，－1，－2)、C(4，4，5)為坐標空間中三點， 若D 為空間中一點且滿足DC DB DA 243+-＝0，則點D 的坐標為？ 【 (－7，30，8) 】6.如圖長方體的長、寬、高分別為3、4、5，今置頂點A 於空間坐標系， 原點(0，0，0)，置頂點B 於正z 軸上，求頂點C 之z 坐標？【225 】【解】由上圖得知(z －52)2＝z 2 ，解得z ＝225 7.設(2，2，0)、(－2，2，0)、(－2，－2，0)、(2，－2，0) 為一正立方體的四個頂點，則下列哪些點也是此正立方體的頂點？ (A) (2，0，2) (B) (0，2，2) (C) (2，2，4) (D) (2，2，22) (E ) (－2，0，－2) 【 (A)；(E) 】 【解】8.ABCD －EFGH 邊長等於1之正立方體，若P 點在正立方體內部且滿足AE AD AB AP 322143++=，求P 點至直線AB 之距離？【65】 【解】P )32,43,21(對xy 平面的投影Q )0,43,21(對直線AB 的投影R )0,43,1(222)320()4343()211(-+-+-=PR ＝659.如圖為一單位正立方體ABCDEFGH ，即稜長為1。
高考数学复习讲义共十一章
高考数学复习讲义共十一章SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高考复习数学讲义（共十一章）一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有无序性和互异性.2.对集合A B 、，A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.✍3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n .22-n ，12-n4.“交的补等于补的并，即()U U U C AB C A C B =”；“并的补等于补的交，即()U U U C A B C A C B =”. 5.判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ✍.8.充要条件二、函 数1. 指数式、对数式，mn a =1mn m na a -=，log a N a N =log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，.01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log log log c a c b b a=，.log log m n a a n b b m =. 2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：①1()()f a b f b a -=⇔=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，但11[()][()]f f x f f x --≠. ② 函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+.3.单调性和奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等. 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==.（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。
高三数学北师大版通用,理总复习讲义 复数
§１３．２复数１．复数的有关概念（１）复数的概念形如a＋b i （a，b∈R）的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数．（２）复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）．２．复平面当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．３．复数的几何意义（１）复数z＝a＋b i复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．（２）复数z＝a＋b i平面向量错误!.（３）复数z＝a＋b i的模或绝对值：|z|＝错误!.４．复数的运算（１）复数的加、减、乘、除运算法则设z１＝a＋b i，z２＝c＋d i （a，b，c，d∈R），则１加法：z１＋z２＝（a＋b i）＋（c＋d i）＝（a＋c）＋（b＋d）i；２减法：z１—z２＝（a＋b i）—（c＋d i）＝（a—c）＋（b—d）i；３乘法：z１·z２＝（a＋b i）·（c＋d i）＝（ac—bd）＋（ad＋bc）i；４除法：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i（c＋d i≠0）．（２）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z１、z２、z３∈C，有z１＋z２＝z２＋z１，（z１＋z２）＋z＝z１＋（z２＋z３）．３１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）方程x２＋x＋１＝0没有解．（×）（２）复数z＝a＋b i（a，b∈R）中，虚部为b i. （×）（３）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．（×）（４）原点是实轴与虚轴的交点．（√）（５）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．（√）２．（２0１２·北京）设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝0，且b＝0时，a＋b i不是纯虚数；若a＋b i是纯虚数，则a＝0．故“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．３．（２0１３·陕西）设z是复数，则下列命题中的假命题是（）Ａ．若z２≥0，则z是实数Ｂ．若z２<0，则z是虚数Ｃ．若z是虚数，则z２≥0Ｄ．若z是纯虚数，则z２<0答案C解析设z＝a＋b i（a，b∈R），z２＝a２—b２＋２ab i，由z２≥0，得错误!即错误!或错误!所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z２<0时，z一定是虚数，故B为真命题；由于i２＝—１<0，故C为假命题，D为真命题．４．（２0１３·四川）如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是（）Ａ．AＢ．BＣ．CＤ．D答案B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示错误!.选Ｂ．５．（２0１３·广东）若i（x＋y i）＝３＋４i，x，y∈R，则复数x＋y i的模是（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５答案D解析由题意知x＋y i＝错误!＝４—３i，所以|x＋y i|＝|４—３i|＝错误!＝５．题型一复数的概念例１（１）已知a∈R，复数z １＝２＋a i，z２＝１—２i，若错误!为纯虚数，则复数错误!的虚部为（）Ａ．１Ｂ．i Ｃ．错误!Ｄ．0（２）若z１＝（m２＋m＋１）＋（m２＋m—４）i（m∈R），z２＝３—２i，则“m＝１”是“z１＝z２”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件思维启迪（１）若z＝a＋b i（a，b∈R），则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．（２）直接根据复数相等的条件求解．答案（１）A （２）A解析（１）由错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i是纯虚数，得a＝１，此时错误!＝i，其虚部为１．（２）由错误!，解得m＝—２或m＝１，所以“m＝１”是“z１＝z２”的充分不必要条件．思维升华处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．（１）（２0１３·安徽）设i是虚数单位．若复数a—错误!（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）Ａ．—３Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．３（２）（２0１２·江西）若复数z＝１＋i（i为虚数单位），错误!是z的共轭复数，则z２＋错误!２的虚部为（）Ａ．0 Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．—２答案（１）D （２）A解析（１）a—错误!＝a—（３＋i）＝（a—３）—i，由a∈R，且a—错误!为纯虚数知a＝３．（２）利用复数运算法则求解．∵z＝１＋i，∴错误!＝１—i，z２＋错误!２＝（１＋i）２＋（１—i）２＝２i—２i＝0．题型二复数的运算例２计算：（１）错误!＝________；（２）（错误!）6＋错误!＝________.思维启迪复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算．答案（１）３—３i （２）—１＋i解析（１）错误!＝错误!＝错误!＝—错误!＝—３i（i＋１）＝３—３i.（２）原式＝[错误!]6＋错误!＝i6＋错误!＝—１＋i.思维升华（１）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．（２）记住以下结论，可提高运算速度，１（１±i）２＝±２i；２错误!＝i；３错误!＝—i；４错误!＝b—a i；５i４n＝１，i４n＋１＝i，i４n＋２＝—１，i４n＋３＝—i（n∈N）．（１）已知复数z＝错误!，错误!是z的共轭复数，则z·错误!＝________.（２）错误!＋（错误!）２0１４＝________.答案（１）错误!（２）0解析（１）方法一|z|＝错误!＝错误!，z·错误!＝|z|２＝错误!.方法二z＝错误!＝—错误!＋错误!，z·错误!＝错误!错误!＝错误!.（２）原式＝错误!＋[（错误!）２]１007＝i＋（错误!）１007＝i＋i１007＝i＋i４×２５１＋３＝i＋i３＝0．题型三复数的几何意义例３如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,３＋２i，—２＋４i，试求：（１）错误!、错误!所表示的复数；（２）对角线错误!所表示的复数；（３）求B点对应的复数．思维启迪结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．解（１）错误!＝—错误!，∴错误!所表示的复数为—３—２i.∵错误!＝错误!，∴错误!所表示的复数为—３—２i.（２）错误!＝错误!—错误!，∴错误!所表示的复数为（３＋２i）—（—２＋４i）＝５—２i.（３）错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!，∴错误!所表示的复数为（３＋２i）＋（—２＋４i）＝１＋6i，即B点对应的复数为１＋6i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z是复数，z＋２i、错误!均为实数（i为虚数单位），且复数（z＋a i）２在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解设z＝x＋y i（x、y∈R），∴z＋２i＝x＋（y＋２）i，由题意得y＝—２．∵错误!＝错误!＝错误!（x—２i）（２＋i）＝错误!（２x＋２）＋错误!（x—４）i，由题意得x＝４．∴z＝４—２i.∵（z＋a i）２＝（１２＋４a—a２）＋8（a—２）i，根据条件，可知错误!，解得２<a<6，∴实数a的取值范围是（２,6）．解决复数问题的实数化思想典例：（１２分）已知x，y为共轭复数，且（x＋y）２—３xy i＝４—6i，求x，y.思维启迪（１）x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；（２）利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．规范解答解设x＝a＋b i （a，b∈R），则y＝a—b i，x＋y＝２a，xy＝a２＋b２，[３分]代入原式，得（２a）２—３（a２＋b２）i＝４—6i，[５分]根据复数相等得错误!，[7分]解得错误!或错误!或错误!或错误!. [9分]故所求复数为错误!或错误!或错误!或错误!. [１２分]温馨提醒（１）复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．（２）本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．（３）本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．方法与技巧１．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．２．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．３．实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即错误!４．复数运算常用的性质：（１）１（１±i）２＝±２i；２错误!＝i，错误!＝—i；（２）设ω＝—错误!＋错误!i，则１|ω|＝１；２１＋ω＋ω２＝0；３错误!＝ω２.（３）i n＋i n＋１＋i n＋２＋i n＋３＝0（n∈N＋）．失误与防范１．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．２．对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．３．两个虚数不能比较大小．４．利用复数相等a＋b i＝c＋d i列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．５．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z１，z２∈C，z错误!＋z错误!＝0，就不能推出z１＝z２＝0；z２<0在复数范围内有可能成立．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．若复数z＝（x２—１）＋（x—１）i为纯虚数，则实数x的值为（）Ａ．—１Ｂ．0Ｃ．１Ｄ．—１或１答案A解析由复数z为纯虚数，得错误!，解得x＝—１，故选Ａ．２．在复平面内，向量错误!对应的复数是２＋i，向量错误!对应的复数是—１—３i，则向量错误!对应的复数是（）Ａ．１—２i Ｂ．—１＋２iＣ．３＋４i Ｄ．—３—４i答案D解析因为错误!＝错误!＋错误!＝—１—３i＋（—２—i）＝—３—４i.３．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数错误!的点是（）Ａ．EＢ．FＣ．GＤ．H答案D解析由题图知复数z＝３＋i，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝２—i.∴表示复数错误!的点为H.４．（２0１３·山东）复数z＝错误!（i为虚数单位），则|z|等于（）Ａ．２５Ｂ．错误!Ｃ．５Ｄ．错误!答案C解析z＝错误!＝—４—３i，所以|z|＝错误!＝５．５．复数错误!的共轭复数是（）Ａ．—错误!i Ｂ．错误!iＣ．—i Ｄ．i答案C解析方法一∵错误!＝错误!＝错误!＝i，∴错误!的共轭复数为—i.方法二∵错误!＝错误!＝错误!＝i.∴错误!的共轭复数为—i.二、填空题6．（２0１３·天津）i是虚数单位，复数（３＋i）（１—２i）＝________.答案５—５i解析（３＋i）（１—２i）＝３—５i—２i２＝５—５i.7．（２0１２·湖北）若错误!＝a＋b i（a，b为实数，i为虚数单位），则a＋b＝________.答案３解析利用复数相等的条件求出a，b的值．错误!＝错误!＝错误![（３—b）＋（３＋b）i]＝错误!＋错误!i.∴错误!解得错误!∴a＋b＝３．8．复数（３＋i）m—（２＋i）对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．答案m<错误!解析z＝（３m—２）＋（m—１）i，其对应点（３m—２，m—１），在第三象限内，故３m—２<0且m—１<0，∴m<错误!.三、解答题9．已知复数z１满足（z１—２）（１＋i）＝１—i（i为虚数单位），复数z２的虚部为２，且z１·z２是实数，求z２.解（z１—２）（１＋i）＝１—i⇒z１＝２—i.设z２＝a＋２i，a∈R，则z１·z２＝（２—i）（a＋２i）＝（２a＋２）＋（４—a）i.∵z１·z２∈R，∴a＝４．∴z２＝４＋２i.１0．复数z１＝错误!＋（１0—a２）i，z２＝错误!＋（２a—５）i，若错误!１＋z２是实数，求实数a的值．解错误!１＋z２＝错误!＋（a２—１0）i＋错误!＋（２a—５）i＝错误!＋[（a２—１0）＋（２a—５）]i＝错误!＋（a２＋２a—１５）i.∵错误!１＋z２是实数，∴a２＋２a—１５＝0，解得a＝—５或a＝３．又（a＋５）（a—１）≠0，∴a≠—５且a≠１，故a＝３．B组专项能力提升（时间：１５分钟）p１：|z|＝２; p２：z２＝２i；p３：z的共轭复数为１＋i; p４：z的虚部为—１．其中的真命题为（）Ａ．p２，p３Ｂ．p１，p２Ｃ．p２，p４Ｄ．p３，p４答案C解析利用复数的有关概念以及复数的运算求解．∵z＝错误!＝—１—i，∴|z|＝错误!＝错误!，∴p１是假命题；∵z２＝（—１—i）２＝２i，∴p２是真命题；∵错误!＝—１＋i，∴p３是假命题；∵z的虚部为—１，∴p４是真命题．其中的真命题共有２个：p２，p４.２．设f（n）＝错误!n＋错误!n（n∈N＋），则集合{f（n）}中元素的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．无数个答案C解析f（n）＝错误!n＋错误!n＝i n＋（—i）n，f（１）＝0，f（２）＝—２，f（３）＝0，f（４）＝２，f（５）＝0，…∴集合中共有３个元素．３．对任意复数z＝x＋y i（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）Ａ．|z—错误!|＝２yＢ．z２＝x２＋y２Ｃ．|z—错误!|≥２xＤ．|z|≤|x|＋|y|答案D解析∵错误!＝x—y i（x，y∈R），|z—错误!|＝|x＋y i—x＋y i|＝|２y i|＝|２y|，∴A不正确；对于B，z２＝x２—y２＋２xy i，故B不正确；∵|z—错误!|＝|２y|≥２x不一定成立，∴C不正确；对于D，|z|＝错误!≤|x|＋|y|，故D正确．４．设复数z满足i（z＋１）＝—３＋２i（i为虚数单位），则z的实部是________．答案１解析设z＝a＋b i（a、b∈R），由i（z＋１）＝—３＋２i，得—b＋（a＋１）i＝—３＋２i，∴a＋１＝２，∴a＝１．５．已知集合M＝{１，m,３＋（m２—５m—6）i}，N＝{—１,３}，若M∩N＝{３}，则实数m的值为________．答案３或6解析∵M∩N＝{３}，∴３∈M且—１∉M，∴m≠—１,３＋（m２—５m—6）i＝３或m＝３，∴m２—５m—6＝0且m≠—１或m＝３，解得m＝6或m＝３．6．（２0１２·上海改编）若１＋错误!i是关于x的实系数方程x２＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________.答案—２３解析利用实系数方程的根与系数的关系求解．∵实系数一元二次方程x２＋bx＋c＝0的一个虚根为１＋错误!i，∴其共轭复数１—错误!i也是方程的根．由根与系数的关系知，错误!∴b＝—２，c＝３．。
高三数学复习讲义
1、集合与简易逻辑 复数1、已知复数134i z =+,2i z m =+,若12z z +是纯虚数,则实数m = ．2、已知复数z 满足|22i |1z +-=,则|22i |z --的最小值 ．3、集合{}2153,A x x x x Z =+<-∈的子集的个数是 ．4、命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为 ．5、在命题“若m n >-,则22m n >”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是6、已知命题p ：“∀x ∈1,2,错误!x 2－ln x －a ≥0”是真命题,则实数a 的取值范围是________7、若函数fx ＝ln x －错误!ax 2－2xa ≠0存在单调递减区间,则实数a 的取值范围是________________．8、给出下列命题： ①“2πϕ=”是“()sin y x ϕ=+的图像关于y 轴对称”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数fx ＝|x －a |在区间2,＋∞上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线m ＋3x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ,b ,c 分别是△ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边,若a ＝1,b ＝错误!,则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中,真命题的序号是________例1、设集合{}260P x x x =--<,{}|23Q x a x a =≤≤+.1若P Q P ⋃=,求实数a 的取值范围；2若P Q ⋂=∅,求实数a 的取值范围；3若{}03P Q x x ⋂=≤<,求实数a 的值;例2、已知0a >,设命题p ：函数xy a =在R 上单调递减,q ：函数22,22,2x a x a y a x a -≥⎧=⎨<⎩且1y >恒成立,若p q ∧为假,p q ∨为真,求a 的取值范围;例3、已知函数()()20f x ax bx a =->1当b>0时,若对任意的x R ∈都有()1f x ≤,证明：a ≤2当1b >时,证明：对任意[]()0,1,1x f x ∈≤成立的充要条件是1b a -≤≤2、函数的概念 定义域与值域1、已知函数()y f x =的定义域为-1,1,值域为0,2,则函数(sin )y f x =的值域为2、函数122,(,2]x y x -=-∈-∞的值域为3、函数12y x x =--的值域为4、函数21x xe y e +=的值域是 5、函数12x y =的值域是6、“函数fx 在0,1上单调”是“函数fx 在0,1上有最大值”的 条件.选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”7、用表示min{,,}a b c 表示,,a b c 三个实数中的最小者,记()min{2,2,10}x f x x x =+-,(0)x ≥,则()f x 的最大值为例1.1已知f=lg x ,求fx 的解析式;2已知fx 是一次函数,且满足3fx+1-2fx-1=2x+17,求fx 的解析式;3定义在-1,1内的函数fx 满足2fx-f-x=lg x+1,求函数fx 的解析式.例2．已知1a ≥,函数9()441f x x x =+++[]0,1x ∈,32()3216g x x a x a =--+[]0,1x ∈． 1求()f x 和()g x 的值域；2若[]10,1x ∀∈,[]20,1x ∃∈,使得21()()g x f x =成立,试求a 的取值范围．例3、已知函数fx=是定义在R 上的奇函数,其值域为.1试求a ,b 的值.2函数y=gxx ∈R 满足:当x ∈0,3时,gx=fx ;gx+3=gx ln mm ≠1.①求函数gx 在x ∈3,9上的解析式;②若函数gx 在x ∈0,+∞上的值域是闭区间,试探求m 的取值范围,并说明理由.3、函数性质1．若()f x 是偶函数,则()____()f x f x 填“<”“>”“=”． 2．已知()f x 是定义在实数集R 上的奇函数,且当0x >时,2()log f x x =,则(2)f -= ,(0)f = ．3．函数21()log 1x f x x-=+的图像关于 对称． 4．设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x b =++b 为常数,则(1)f -= ．5．设函数()f x 定义在实数集上,它的图像关于直线1x =对称,且当1x ≥时,()31x f x =-,则13f ⎛⎫⎪⎝⎭,23f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭从小到大的排列为 ． 6．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上为增函数,且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()0f x >的解集为 ．7．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,若2(2)()f a f a ->,则实数a 的取值范围是 ．8．已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 ;例1．设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减,若(1)()f m f m -<,求实数m 的取值范围．例2．已知函数21()f x ax x=+,其中a R ∈．1讨论函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论；2若函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数,求a 的取值范围．例3．知函数f 错误!＝2x －错误!,x ∈0,1．.1 当a ＝－1时,求函数y ＝fx 的值域；2 若函数y ＝fx 在x ∈0,1上是减函数,求实数a 的取值范围．例4．设y ＝fx 是定义在R 上的奇函数, 且当x ≥0时, fx ＝2x －x 2..1 求当x<0时,fx 的解析式；2 请问是否存在这样的正数a 、b,当x ∈a,b 时,gx ＝fx,且gx 的值域为错误! 若存在,求出a 、b 的值；若不存在,请说明理由．4、二次函数 指数对数幂函数1．函数2121x x y -=+的值域为 ．2．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是奇函数,则实数a = ． 3．为了得到函数y ＝lg 错误!的图象,只需把函数y ＝lgx 的图象上所有的点__________________________________________．4.当0<x ≤错误!时,4x <log a x,则a 的取值范围是________．5．若关于x 的方程2360x x a -+=的一个根大于1,另一个根小于1,则实数a 的取值范围是 ．6. 如图,已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 为实数,a ≠0的图象过点Ct,2,且与x 轴交于A 、B 两点,若AC⊥BC ,则a ＝________．7．已知二次函数fx ＝ax 2－4x ＋c 的值域是0,＋∞,则错误!＋错误!的最小值是____________． 8．已知函数21,1()2, 1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩,若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则222a b c ++的取值范围是 ．二、例题精讲：例1．函数2()21f x x ax =-+在闭区间[]1,1-上的最小值记为()g a ．1求()g a 的解析式； 2求()g a 的最大值．例2．设函数()log a x b f x x b+=-0,0a b >>且1a ≠． 1求()f x 的定义域；2讨论()f x 的奇偶性；3判断()f x 的单调性并加以证明．例3．已知函数2()1f x x mx m =-+-．1若函数|()|y f x =在[]2,4上单调递增,求实数m 的取值范围；2是否存在整数,a b 其中,a b 是常数,且a b <,使得关于x 的不等式()a f x b ≤≤的解集为{}x a x b ≤≤若存在,求出,a b 的值；若不存在,请说明理由．例4．已知函数fx ＝x2＋mx ＋n 的图象过点1,3,且f －1＋x ＝f －1－x 对任意实数都成立,函数y ＝gx 与y ＝fx 的图象关于原点对称．1 求fx 与gx 的解析式；2 若Fx ＝gx －λfx 在－1,1上是增函数,求实数λ的取值范围;5、 函数图像、零点1．函数2log (),0()0, 0(1), 0x x f x x f x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的图像与直线y x =的交点个数是 ．2．已知函数()y f x =是R 上的奇函数,则函数(3)2y f x =-+的图像经过定点 ．3．若函数(21)y f x =+的图像有唯一的对称轴,其方程为0x =,则函数(21)y f x =-的图像的对称轴方程为 ．4．已知直线1y =与曲线2||y x x a =-+有四个交点,则a 的取值范围是 ．5．若方程227x x =-在区间(),1k k +k Z ∈上有解,则所有满足条件的k 值的和为 ．6．已知函数()y f x =是定义在[],a b 上的单调函数,若()()0f a f b <,则()f x 的零点个数至多为 ．7．函数2()32x f x x =+-的零点共有 个．8．已知函数()log a f x x x b =+-,当234a b <<<<时,函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+,则n = ．例1．已知函数()f x x m x =-x R ∈,且(4)0f =．1求实数m 的值；2作出函数()f x 的图像；3根据图像指出()f x 的单调区间； 4根据图像写出不等式()0f x >的解集．例2．已知,a b 是实数,函数()1f x ax b x =+-x R ∈．1若,(2,2)a b ∈-,且函数()f x 在(0,)+∞内存在最大值,试在平面直角坐标系aOb 内,求出动点(,)a b 运动区域的面积；2若0b >,且关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有2个,试求a b的取值范围．例3．设函数2()2x f x ax x =-+,其中a R ∈．1当2a =时,求函数()f x 的零点；2当0a >时,求证：函数()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点；3若函数()f x 有四个不同的零点,求a 的取值范围．。
高考数学知识点总复习pppt课件
• ak＋2＋(a＋1)2k＋1
• ＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a
＋1)2
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＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被 a2＋a＋1 整除．
即当 n＝k＋1 时命题也成立． 根据(1)(2)可知，对于任意 n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1 能被 a2 ＋a＋1 整除．
＋
1 2k＋1－1
－
1 2k＋1
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 1
＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 1
＝
k＋11＋1＋
k＋11＋2＋…
＋k＋11＋k＋
1 k＋1＋k＋1
＝右边，
13
• 所以当n＝k＋1时等式也成立．
• 综合(1)(2)知对一切n∈N* ，等式都成立．
• (2)(n归＝k纳＋1递推)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时 命题成立，推出当__________时命题也成 立．
3
• 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取 第一个值后面的所有正整数都成立．上述证 明方法叫做数学归纳法．
• 质疑探究：数学归纳法两个步骤有什么关系？
• 提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了 递推思想，第一步是递推的基础，第二步是 递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会 导致错误．
第十一章 复数、算法、推理与 证明
第5节 数学归纳法
1
• 1．了解数学归纳法的原理． • 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命
题．
2
• [要点梳理]
• 数学归纳法
• 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
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11.空间向量： 旧考纲对立体几何有A，B两种要求，
考生可以不掌握空间向量知识，新考纲 突出了空间向量的应用，要求能用向量 语言表述线面平行、垂直关系，能用向 量方法证明线面位置关系的一些定理， 解决空间三种角的计算问题.
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例（09年浙江卷理）如图，平面PAC⊥平 面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角 形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝ 16，PA＝PC＝10．
大小分别为2和4，则F3的大小为 （ ）
A. 6 B. 2
C.2 5 D.2 7
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9.解三角形：
新考纲要求能运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一些与测量和 几何计算有关的实际问题，强调解三 角形的实际应用.
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例（09年宁夏/海南卷）为了测量两山顶M， N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行 测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞 机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离， 请设计一个方案，包括：①指出需要测量的 数据（用字母表示，并在图中标出）；②用 文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，其图像
经过点( a, a)，则f(x)＝
A.log2 x B.log1 x
C.
1 2x
2
() D.x2
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3.圆的方程： 新考纲要求能根据给定的两个圆的方程
判定两圆的位置关系，提高了考查圆方程的 能力要求.
例（09年江苏卷）已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2 ＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. （1）若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长
高考数学总复习全套讲义
第1课古典概型【考点导读】 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.2.正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等.（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是事件（必然、随机、不可能）3．下列说法正确的是 .①任一事件的概率总在（0.1）内②不可能事件的概率不一定为0③必然事件的概率一定为1 ④以上均不对4.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是5. 从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为【范例解析】例1. 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（1）写出这个试验的基本事件；（2）求这个试验的基本事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?例2. 抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率；（2）出现两个4点的概率.【反馈演练】1.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为,中10环的概率约为.2.一栋楼房有4个单元，甲乙两人被分配住进该楼，则他们同住一单元的概率是 .3. 在第1,3,6,8,16路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6 路或第16路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于4.把三枚硬币一起抛出，出现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是5.有5根细木棒，长度分别为1,3 ,5 ,7 ,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是6. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字，（1）2个数字都是奇数的概率为（2）2个数字之和为偶数的概率为7. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为8. A、B、C、D、E排成一排，A在B的右边（A、B可以不相邻）的概率是9.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．第2课几何概型【考点导读】1．了解几何概型的基本特点.2．会进行简单的几何概率的计算.【基础练习】1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是2. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是4. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是.【范例解析】例1.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.【反馈演练】1. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是2．若x可以在13x+≤的条件下任意取值，则x是负数的概率是 .(2015)如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为( )（A）103（B）15（C）110（D）12019.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第一章 第一节集合的概念与运算 理
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
(高中数学)高考复习详细讲义(汇编)
（高中数学）高考复习详细讲义（汇编）第一板块：函数、导数一、 常见的基本初等函数1、b kx x f +=)(（一次函数）；2、)0()(2≠++=a c bx ax x f （二次函数）3、)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f （三次函数）；4、)0()(≠=k xkx f （反比例函数）；5、)0(||)(≠+=k b kx x f （V 形函数）；6、xk x x f +=)(（k ＞0）（对钩函数）；7、xkx x f +=)()0(<k ；8、a a x f x ()(=＞0且)1≠a （指数函数）9、a x x f a (log )(=＞0且)1≠a （对数函数）；10、αx x f =)(（幂函数）； 11、x x f sin )(=（正弦函数）；12、x x f cos )(=（余弦函数）；13、x x f tan )(=（正切函数）。
二、函数的性质（一）函数的单调性判定方法： 1、定义法：①I x x ∈21,且1x ＜2x ； ①②⇒③（证明单调性，主要用于抽象函数）②)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f ＞)(2x f ；②③⇒①（解抽象不等式、超越不等式） ③)(x f 在I ↗或)(x f 在I ↘。
①③⇒②（利用函数单调性求值域）⎩⎨⎧=--=单调递减在负，单调递增在正，I x f I x f x x x f x f k )()()()(2121；⎩⎨⎧=∆-∆+='=→∆单调递减在负，单调递增在正，I x f I x f x x f x x f x f k x )()()()(lim)(02、复合函数单调性遵循同增异减原则。
3、子母同性法（函数在母区间的单调性与子区间的单调性相同）。
4、运算法则法（增+增=增，减+减=减）。
5、移缩依旧法（平移变换与伸缩变换不影响函数的单调性）。
6、奇函数在其对称区间单调性相同，偶函数在其对称区间单调性相反，原函数与反函数的单调性一致）。