四元数矩阵的特征值与特征多项式
引理 ｌ 【 】 ］ 设 Ａ＝Ａ ｌ ＋ Ａ ２ ， ∈Ｑ ” ， 其中Ａ １ ， Ａ ２∈ Ｃ 则Ａ ＝Ａ ｌ 一 Ａ ｌ 弓 Ｉ 理２ ［ 设Ａ ， Ｂ∈Ｑ ， 则Ａ 。 ＝Ｂ
Ｒ上 多项式 ．
为实 四元数体 ， 简称四元数体． Ｑ 表示 Ｑ上 所有 ｎ 阶矩阵（ 即ｎ 阶四元数矩阵） ， 设 Ａ＝（ ａ ）Ｅ
（ Ａ ， 一Ａ ） ＝０ ， 假设 Ａ ， 一Ａ对于 非奇异 ， 即（ ｊ Ｌ ， 一 Ａ ） 戈＝０只有零解 ， 也即Ａ无左特征值 ， 笔者下面考
虑 Ｑ上 的 ｎ阶可 逆 阵组成 的线 性群 ｅ Ｌ （ ｎ ， Ｑ） ，
令 ￡ ， Ａ ） ： ＝ （ Ａ ）＝ｔ Ａ ｌ — Ａ ０≤ｔ ≤１ ， ｌ
（ 或左 ）特征值 ． 而 称 为 Ａ 的属 于右 （ 或左 ）特 征 值 Ａ的特征 向量 ， 如果 Ａ既是 Ａ的右 特征 值 ， 又是 Ａ
个右特征值 甘Ａ为 Ａ的拟特征多项式 。 （ Ａ ）的 定理 ２ ［ ５ ３ 任何 阶四元数矩阵 Ａ至少有一个在
根．
的左特征值 ， 则称 为 Ａ的特征值．
Ａ ｌ＝ １．
穷多个右特征值的集合为［ Ａ ］ ． 但左特征值没有这 样 的性 质．
定义 ２ 设 Ａ ∈Ｑ ， 则称 Ｉ Ａ ， 一 Ｉ Ｉ 为 的 重 特 征 多项 式 ， 记 为 （ Ｊ ） Ｌ ） ， 即 （ Ａ＝ Ｉ Ｉ Ａ ， ＾一
Ａ Ｉ Ｉ ．
定义 ３ １ ３ １ 设Ａ Ｅ Ｑ “ ， 记 Ａ ＝Ａ ２ ＋Ａ ， 其中Ａ １ ，
Ａ ： Ｅ ， 则 称 ＝ （ Ｌ ＿ ） 为 Ａ 的 复 表 示 阵 ， 并
称Ａ Ｋ 的特 征 多项式 Ｉ Ａ ， ２ 一Ａ ｌ为 Ａ的拟 特征 多
项式 ， 记为 （ Ａ ） ， 即 。 （ Ａ） ＝ｌ Ａ ， ２ 一Ａ Ｉ．
２ ０ １ ４年 第 ２期
Ｎ ｏ ． ２，２ ０１ ４
九江学院学报 （ 自然科学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｍＭ ｏ ｆ ｊ ｉ ￣ｉ ａ ｎ ｓ Ｕ ｌ ｌ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ Ｅ ｄ ｉ ｉ ｔ ｏ ｎ ）
收稿 日期 ：２ ０ １ ４—１ —１ ３ 通讯作者 ：黄莉 。ｉ ｈ ｕ ａ ｎ ｇ ｌ ｉ ＠ｆ ｏ ｘ ｍｍ １ ．ｔ ｏ ｍ。
第 ２期
黄
莉 ：四元数矩 阵的特征值与特征多项式
・ ５ ７・
与ｇ ０ 同伦． 另一方面 可 以看作是 仃 ， （ ０ ， Ｑ ）
（ Ａ ｌ＋ Ａ ２ ， ） （ ｔ ｃ ｌ ＋ｃ ｔ ｄ）＝（ Ａ １ ｔ ｃ ｌ —Ａ ２ ２ ）＋（ ｌ ｔ ｃ ２
（ 总第 １ ０ ５期 ） （ Ｓ ｕ ｍ Ｎ ｏ ． １ ０ ５ ）
四元 数 矩 阵 的特 征 值 与特 征 多项 式
黄 莉
（ 武 汉商学院信 息工程 系 湖北武 汉 ４ ３ ０ ０ ５ ６ ）
摘要 ：本 文研 究 了四元 数矩 阵的右特 征值 、左 特征值 的存在 性 ，并． Ｅｒ Ｅ 较 了它们 之 间
中从 ３ 维球面 Ｓ 到 （ ｎ ， Ｑ ） 的映射 ， 而ｇ ０ 可看作
是仃 ， （ １ ７ ， ， Ｑ ） 中从 Ｓ ’ 到Ｇ Ｌ （ ｔ Ｉ ， Ｑ ） 的映射 ， 其中
４
＝
＋ Ａ ２ １ ） ＿ 『 ， （ ｔ ｃ １＋ ２ ， ） （ Ａ １＋Ｘ ｄ ）＝（ ０ ｆ １ Ａ ｌ— ２ Ａ ２ ）＋
注： ① 四元数矩阵 Ａ的右特征值不一定是左特
征值 ， 反之， 左特征值也不一定是右特征值．
Ｑ上的左特征值．
证明（ 笔者 用 拓扑 知识 来 反证 ）记 Ａ ｘ＝Ａ ｘ为
② 由Ａ ａ ＝０ ［ Ａ ＝ Ａ （ ａ ｑ ）＝（ Ａ ａ ） ｇ＝ ａ Ａ ｑ＝
ａ ｑ ｑ Ａ ｇ （ Ｖ 口Ｅ Ｑ ） 知若 Ａ为 Ａ的右特征值 ， 则任何 与 Ａ在 Ｑ上相似 的四元数 口 Ａ ｇ也为 Ａ的右特征 值， 故 Ａ的右特征值若存 在则有无穷 多个 ， 记这无
ｇ （ ｔ ， Ａ ）： ＝ｇ ｔ （ Ａ）＝Ａ Ｉ一
Ａ Ｉ＝ １ ．
０≤ ｔ ≤ｌ Ｉ
则厂 与 ｇ在 ｅ Ｌ （ ｎ ， Ｑ）上是 同伦 的 ， 并 且 （ Ａ） ＝一Ａ （ Ａ）＝Ａ ， 一Ａ ＝ｇ １ （ Ａ） ， ｇ ０ （ Ａ ）＝ａ ｌ ， 因此
基金项 目： ２ ０ １ ３年度武汉市属高校教学研究项 目 （ 编号 ２ ０ １ ３ １ ３ ２ ）成 果。
Ｑ 则Ａ ＝ （ 口 ） 为其共 轭 转置． ， （ Ａ Ｂ ） ＝Ａ Ｂ 。 ； （ ＿ Ａ ） ） 。 ＝ Ａ 。 ） 其中 ） 为 定理 １ ［ ４ １ 一个复数 Ａ 是四元数矩阵Ａ Ｅ Ｑ 的
一
定义ｌ ｌ ｌ 设 Ａ∈Ｑ ， 若存在 Ａ∈Ｑ及Ｏ≠ ∈ Ｑ ， 使得 Ａ ａ＝ａ Ａ （ 或Ａ ａ＝Ａ ） ， 则称 Ａ为Ａ的右
由于四元数乘法不满足交换律 ， 这使得 四元数 矩阵的特征值与特征多项式的定义及性质 比常规 矩 阵 复杂得 多．
设 Ｒ为 实数域 ， Ｃ为 复数 域 ， 记 Ｑ｛ ｇ ｌ ｇ Ｅ Ｒ＋Ｒ ＋可 ＋— Ｒ 后 ， ＝－ ｊ ｉ ＝ｋ ， ｉ ＝
Ｊ 。 ＝ｋ ＝一 １ ｌ
的差异 ，最后给出了在特殊情况下四元数矩阵右、左特征值统一的一个充分条件． 关键词：四元数矩阵，复表示阵，特征值 ，特征 多项式
中图分类 号 ：０ １ ５ １ ． ２ 文献 标识 码 ：Ａ 文 章编 号 ：１ ６ ７ ４ — ９ ５ ４ ５（ ２ ０ １ ４ ）０ ２ — ０ ０ ５ ６ 一（ ０ ３ ）
矩阵特征多项式的图论计算公式
矩阵特征多项式的图论计算公式
谭尚旺
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2009(025)002
【摘要】给出了赋权有向图邻接矩阵特征多项式的图论计算公式,从而得到了一般矩阵特征多项式的图论计算方法,并且研究了赋权有向图邻接矩阵特征多项式和谱半径的一些性质.
【总页数】8页(P209-216)
【作者】谭尚旺
【作者单位】中国石油大学应用数学系,山东,东营,257061
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.用特征多项式系数计算矩阵方幂的迹 [J], 张卓
2.四元数矩阵的特征值与特征多项式 [J], 黄莉
3.几类图的推广的拉普拉斯矩阵的特征多项式 [J], 梁静;赵海兴;张科;刘远超;;;;
4.与矩阵A相关矩阵的特征多项式 [J], 奚传智;刘书海
5.四元数矩阵的特征值与特征多项式 [J], 黄莉
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
四元数循环矩阵的特征值
（） ７
证 由 （ ２）式 及 Ｋ ｏ ｅｋ ｒ 法 的 性 质 ，得 ： ｒｐ ｃ ｅ 乘
（ ０ （ ， ） Ｉ Ｂ
＝
） ＝Ｚ（ Ｉ
） ０ ） 一［ ０ ＝∑（Ｂ，） （ ） ， ， ０
）
∑Ｂ ￣ ｉ （ ７ ．‘ ‘ ） ｄｇ∑Ｂ， ‘ ，． ‘ ‘ ） ｐ ｄｇ，ｐ，，ｐ ｎ ＝ｉ （ ∑Ｂ …， 日 １ 一 一一 ａ … 一 ．∑Ｂ 一一
Ｘ。足 ＝（ ｋ ．，） ｐ１ － ） （） １ ．０ （ ） １ 。 ， 一，． ． －（ ） ｑ
证 设 ， ＋ｙ， ， ∈Ｃ） ． ＝ Ｊ（ ｙ 。由复表示矩 阵 的性 质与上 引理 １ ，得
（ ０ —， ： ） ｄｇ （， （，， （） ， ）Ａ ｒ），０ ＝ｉ （ ｒ∑：）． ｒ ： （ （ ａ ￣ ） ｒ．∑ ） ． ．
引 言
对 于复 循 环矩 阵 的研 究 已有 不少 文献Ｉ 。然而 ， 目前 人们 对 四元数循 环矩 阵的 了解并 不 表 多 现 在我们 来讨论 这类 矩 阵的特征值 计算 及其对 角化 问题 。 设 Ｒ 是 实数域 ，Ｃ＝８ ０ 复数 域 ，Ｑ＝ｃ ） 四元 数体 （ ＝Ｊ （是 Ｏ是 ＝－ ， ＝－ ｉ ） １ ｊ 。用 示环 Ｋ上 ｍ×， 阵全体 。用 ， ｌ 矩 表示 Ｂ∈Ｑ一 的复 表示矩 阵 。［ ３ １
摘 要 ：文章给 出四元 数循环 矩 阵的左特 征值 与右特征 值 的一般表 达式 ，并给 出四元数循环
矩 阵 可 对 角化 的 一 个 充 要 条 件 。 关 键 词 ：四 元 数 ；循 环 矩 阵 ；左 （ ）特 征 值 右
中 图 分 类 号 ：Ｏ１ １２ ５． 文 献 标 识 码 ：Ａ
第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法
第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。
如果从原始矩阵出发，先求出特征多项式，再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。
但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定。
常用的方法是迭代法或变换法。
本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。
§1 乘幂法乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法，它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。
定理8·1 设矩阵A n ×n 有n 个线性无关的特征向量X i （i=1，2，…，n ）,其对应的特征值λi (i =1,2，…,n)满足|λ1|〉|λ2｜≧…≧｜λn ｜则对任何n 维非零初始向量Z 0,构造Z k = AZ k —1（k=1，11()lim()k j k k jZ Z λ→∞-= (8·1)其中（Z k )j 表示向量Z k 的第j 个分量。
证明 : 只就λi 是实数的情况证明如下. 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ，（i = 1，2,…,n 可用X i （i = 1，2，…,n)线性表示，即Z 0=α1X 1 + α2X 2 +用A 构造向量序列｛Z k }其中 21021010,,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2）由矩阵特征值定义知AX i =λi X i (i=1，2, …，n)，故0112211122211121k k k k k n nk k k n n nknki i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===+++=+++⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ (8。
3）同理有11111121k nk i k i i i Z X X λλααλ---=⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ (8.4） 将（8。
3)与（8。
4）所得Z k 及Z k —1的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1｜（i=1,2,…,n)得11()lim()k j k k jZ Z λ→∞-= 证毕定理8·1的证明过程实际上是给出了矩阵的按模最大特征值的计算方法：1) 先任取一非零向量Z 0,一般可取Z 0=（1,1,1)T ； 2) 按（8.2）式计算Z k =AZ k-1（k=1，2,…）; 3) 当K 足够大时，即可求出11()()k j k jZ Z λ-=，为了减少λ1对于所选的第j 个分量的依赖性,还可用各个分量比的平均值来代替，即111()()nk jjk jZ Z nλ=-=∑关于对应于λ1的特征向量的计算：由（8。
glm 四元数转换矩阵-概述说明以及解释
glm 四元数转换矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述四元数（Quaternion）是数学中的一种扩展复数，广泛应用于3D计算机图形学和空间几何运算等领域。
它由一个实部和三个虚部组成，具有一些独特的性质和优点。
在图形学中，四元数被用于表示和计算物体的旋转，相比其他表示旋转的方法，如欧拉角和旋转矩阵，四元数具有更简洁和高效的计算方式。
本文将首先介绍球面线性插值（Spherical Linear Interpolation, 简称SLERP）的概念及其在计算机图形学中的应用。
接下来，我们将详细探讨四元数的定义和性质，包括四元数的运算法则、单位四元数的特点等。
最后，我们将重点讲解四元数与旋转矩阵之间的相互转换关系，包括如何将一个旋转矩阵转换为对应的四元数表示，以及如何从四元数恢复出旋转矩阵。
通过深入理解四元数与旋转矩阵之间的转换关系，我们可以更好地理解和应用四元数在3D图形学中的作用。
对于计算机图形学从业者来说，这是一个非常重要的基础知识。
此外，我们还将展望四元数在虚拟现实、计算机动画等领域的应用前景，并提出相关讨论和建议。
通过阅读本文，读者将能够理解四元数转换矩阵的原理和算法，并能够应用于实际问题中。
无论是从事计算机图形学研究还是从事相关行业工作的人士，本文的内容都将对他们的工作产生积极的影响和帮助。
总结起来，本文旨在为读者提供一份系统而全面的关于glm四元数转换矩阵的学习材料，并希望能够激发更多人对这一领域的兴趣和研究。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成以下样式：2. 正文2.1 球面线性插值2.2 四元数的定义和性质2.3 四元数到旋转矩阵的转换在正文部分，我们将着重介绍GLM（OpenGL 数学库）中的四元数转换矩阵的相关知识。
首先，我们将会详细讨论球面线性插值算法的原理和应用，以便更好地理解四元数和矩阵之间的转换关系。
接下来，我们将会介绍四元数的定义和性质。
四元数是一种复数的扩展形式，具有独特的性质和运算规则。
矩阵多项式的特征值
矩阵多项式的特征值矩阵多项式的特征值是在线性代数中的一个重要的概念，它与多项式的特征值是相关的，都在求解方程的解上有着重要的作用。
它和线性代数中的特征向量关系密切，它们之间的关系可以利用矩阵多项式特征值理论来描述。
本文将介绍矩阵多项式特征值的定义，它的性质，特征值分解与特征向量，以及矩阵多项式特征值的应用。
首先，矩阵多项式的特征值是一个n×n矩阵A的一个根，它是将矩阵A的n阶多项式的系数表示成0的根。
只要找到一个根，就能判断矩阵A的特征值。
一般来说，当多项式为二次多项式时，这种特征值的定义与传统的特征值定义一致。
矩阵多项式的特征值具有重要的性质：如果一个n×n矩阵A的特征值为λ，那么方程 det(A-λI)=0立；反之，如果det (A-λI)=0立，那么λ就是A的一个特征值。
矩阵多项式特征值分解是一种把矩阵多项式特征值理论应用到线性方程组上的方法，即把矩阵A拆分成两个矩阵：一个特征值矩阵D，其中D的对角元素等于A的特征值；另一个特征向量矩阵V，其中V中的列向量就是A的特征向量。
矩阵多项式特征值分解把矩阵A表示成VDV-1的形式，即可以把矩阵A表示为特征向量的外积。
有了矩阵多项式特征值理论，就可以利用它来求解线性方程组。
通常，如果方程组本身就是一个多项式方程，就可以使用矩阵多项式特征值分解来求解它。
这种方法同样适用于非多项式方程组，因为它可以将非多项式方程组转化为多项式方程组。
此外，矩阵多项式特征值还被用于解决求解矩阵的秩，最小二乘法求解多项式的拟合等问题。
特征值分解还可以用于相似变换，从而方便地求解以及矩阵的迹、特征值等问题。
综上所述，矩阵多项式特征值是一个重要的概念，它在线性代数中有着重要的应用，尤其是求解线性方程组的解，它是多项式方程组的解，也可以把非多项式方程组转化为多项式方程组来求解，还可以用于求解其他线性代数问题，因此矩阵多项式特征值理论对线性代数的研究具有重要的意义。
4方阵的特征值和特征向量的计算
3
4 5
8.168
8.157 8.157
19.60
19.57 19.57
43.92
43.88 43.88 10
0.1860
0.1859 0.1859
0.4463
0.4460 0.4460
1
1 1
三、 反幂法 反幂法用来求矩阵A的按模最小特征值及其相应的特征向量。 设A是非奇异矩阵，其特征值的次序为
6
注3 当|λ 1|>1时，迭代向量{vk}的各个分量将随着|λ 1|k变 得很大而使计算机“上溢”。当|λ 1|<1时，迭代向量{vk}的 各个分量将随着|λ 1|k变得很小vk 成为零向量。
为克服这两个弊端，常将向量序列规范化处理，就得到了 改进的乘幂法。 二、改进的乘幂法
设 v 为非零向量，将其规范化得到向量
| 1 || 2 |
| n1 || n |
相应的特征向量为
则A-1的特征值满足
x1 , x2 ,
1 | n | 1 | n1 |
, xn
1 | 1 |
只要求出A-1的按模最大的特征值，也就求出了A的按模最小的 特征值，及其相应的特征向量。 任取初始非零向量向量v0，构造向量序列
6 2 4 例4.2 求矩阵 A 3 9 15 4 16 36 按模最大的特征值和相应的特征向量 解 计算结果见下表
k 0
1 2
vk
1 12.00 8.357 1 27.00 19.98 1 56.00 44.57 1 0.2143 0.1875
uk
1 0.4821 0.4483 1 1 1
vk Avk 1 =
=A v0
3
产生的向量序列
四元数的矩阵表示方法
四元数的矩阵表示方法摘要：一、四元数的定义与性质1.四元数的概念2.四元数的运算规则3.四元数的模与单位四元数二、矩阵与矩阵运算1.矩阵的概念2.矩阵的运算律3.逆矩阵与行列式三、四元数的矩阵表示1.四元数与矩阵的关联2.四元数的矩阵表示方法3.四元数矩阵的性质与应用四、四元数矩阵的求解与优化1.线性方程组与四元数矩阵2.最优解与凸优化问题3.数值计算方法与收敛性分析五、实例与应用1.控制工程中的应用2.信号处理中的应用3.通信工程中的应用正文：一、四元数的定义与性质1.四元数的概念四元数是一种扩展了复数的概念，可以表示为一个实数和三个虚数的组合。
设q = a + bi + cj + dk，其中a、b、c、d为实数，i、j、k为三个虚数单位，满足以下关系：i = j = k = ijk = -12.四元数的运算规则四元数的运算遵循以下规则：(1) 标量乘法：q1 * q2 = (a1 * a2 - b1 * b2) + (a1 * b2 + a2 * b1)i + (b1 * c2 - a1 * c2)j + (a1 * d2 + a2 * d1)k(2) 四元数乘法：q1 * q2 = (a1 * a2 + b1 * b2) + (a1 * b2 + b1 * a2)i + (b1 * c2 - a1 * c2)j + (a1 * d2 - b1 * d1)k(3) 四元数与实数的乘法：q * r = (a * r - b * i) + (c * r - d * i)j + (b * r + a * i)k(4) 四元数的共轭：conj(q) = a - bi - cj - dk(5) 四元数的模：|q| = √(a + b + c + d)3.四元数的单位四元数单位四元数是一个模为1的四元数，满足i = j = k = ijk = -1。
单位四元数可以用欧拉公式表示：q = cosθ * i + sinθ * j + t * k，其中θ为角度，t为参数二、矩阵与矩阵运算1.矩阵的概念矩阵是一个二维数组，可以表示为A = [a_{ij}]，其中a_{ij}为矩阵A的第i 行第j列元素。
四元数的特征值分解
四元数的特征值分解四元数是一种扩展了复数的数学结构，它由一个实部和三个虚部组成。
在实际应用中，四元数常常被用来描述旋转、姿态等物理量。
而特征值分解则是一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为一组特征向量和特征值。
本文将介绍四元数的特征值分解方法。
一、四元数的定义四元数可以表示为$q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k$，其中$q_0,q_1,q_2,q_3$为实数，$i,j,k$为虚数，满足$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。
四元数的加法和乘法定义如下：加法：$q_1+q_2=(q_{10}+q_{20})+q_{11}i+q_{12}j+q_{13}k$乘法：$q_1q_2=(q_{10}q_{20}-q_{11}q_{21}-q_{12}q_{22}-q_{13}q_{23})+(q_{10}q_{21}+q_{20}q_{11}+q_{12}q_{23}-q_{13}q_{22})i+...$二、对于一个实数矩阵$A$，它的特征值分解可以表示为$A=Q\Lambda Q^{-1}$，其中$Q$为特征向量矩阵，$\Lambda$为特征值矩阵。
类似地，对于一个四元数矩阵$Q$，它的特征值分解可以表示为$Q=V\LambdaV^{-1}$，其中$V$为特征向量四元数矩阵，$\Lambda$为特征值四元数矩阵。
特征向量四元数矩阵$V$的定义如下：$V=\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \end{bmatrix}$其中$v_1,v_2,v_3,v_4$为四元数向量，满足$Qv_i=\lambda_iv_i$，其中$\lambda_i$为特征值四元数。
特征值四元数矩阵$\Lambda$的定义如下：$\Lambda=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_4 \end{bmatrix}$其中$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$为特征值四元数。
四元数矩阵特征值的估计定理
关键词 ： 实四元数矩 阵 ； 特征值 ； 不等式
中 图 分 类 号 ： ２ １６ Ｏ ４ ． 文 献 标 识码 ： Ａ
Ｅ ｔ ｔ ｎ Ｔ ｅ ｒｍ ｆＱｕ ｔｒ ｉｎ ＭａｒｘＥ ｇ ｎ ａｕ ｓ ｓｉ ｉ ｈ ｏ ｅ ｏ ａｅｎｏ ｔｉ ｉｅ ｖ ｌｅ ｍａ ｏ
ＣＨＥＮ ａ ｇ ｙ ｎ Ｘｉｎ — ｕ
摘
要： 四元 数 矩 阵 的研 究是 矩 阵 理论 和 工 程 应 用 中的 基 本 问题 之 一 ． 文 研 究 了 四 元 数 体 上 矩 阵 的 特 征 值 的 估 本
计 问题 ． 出 了 自共 轭 四 元数 矩 阵 特 征 值 的 最 小 最 大 值 定 理 ， 到 了 两 个 自共 轭 四 元 数 矩 阵 的 特 征 值 之 间 的 不 给 得
维普资讯
第 ６卷
第 ２期
南 京 工 程 学 院 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊｕｎｌｏ ｎｉｇＩｓ ｔｔ ｏ ｅｈ ｏｏｙ（ ａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔｎ） ｏ ｒａ ｆ ｊ ｎｔｕｅ ｆＴ ｃｎｌｇ Ｎ ｔｒ Ｓｉｎ ｅＥ ｉｏ Ｎａ ｎ ｉ ｌ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｌｑ ａｅ ｏ ｔ ｘ ｅｇ ｎ ａｕ ｓ ｉｅ ｕ ｌ ｙ ｙ ｗｏ ｄ ：ｒ ａ ｕ ｔ ｍｉｎ ｍａ ｒ ， ｉ ｅ ｖ ｌｅ ， ｎ ｑ ａｉ ｉ ｔ
１ 引言 与 符 号 约 定
近年 来 四元数 在众 多 的工 程 问题 中得 到广 泛 的运用 ， 在 量 子力 学 、 体力 学 、 算 机 图形 图像处 理 如 刚 计 和识 别 、 空间定 位 等方 面 的应 用 ］这些 实 际的应 用都 促使 人们 对 四元数 代数 问题 加 以研 究 ． ，
用 表示 实数 域 ， Ｃ表示 复数 域 ， 表示 实 四元数 体 ， ＝ （ （ 日 Ａ 口 ） １≤ ｉ ｎ １≤ ≤ ， ≤ ｎ 表 示 日 上全体 分别 记为 尺 和
数学专业本科毕业论文-矩阵特征多项式及特征值的一些应用
矩阵特征多项式及特征值的一些应用xxx（xxxx大学 xx xx xxxxx）摘要在高等代数中我们学习了许多与矩阵特征多项式及特征值相关的知识，并且可以利用特征多项式及特征值来解决许多问题，而这篇论文的核心思想就是总结它在解题中的具体运用. 这篇论文中借助矩阵特征多项式及特征值详细叙述了有关矩阵零化、矩阵指数、基解矩阵以及矩阵的对角化，其中矩阵的对角化包括相似对角形与合同对角形，同时说明了实对称矩阵相似与合同之间的关系，从而形成一个与之相关的知识系统并且能够在解题中熟练地加以运用.关键词矩阵零化；基解矩阵；合同；相似；对角化；若尔当标准形The Application of Characteristic Polynomial and Characteristic Value of Matrix when Solving Mathematical Problemsxxx（xxxxuniversity xxx xxxx）Abstract: We have studied so much knowledge about characteristic polynomial and eigenvalue of matrix in the advanced algebra teaching material that we can use such knowledge to save great numbers of mathematical problems. But how to use this knowledge when saving problems? Now, let us summarize its specific use about this knowledge, which are the core ideas of this paper. In this paper，with the help of characteristic polynomial and eigenvalue of matrix，a lot of knowledgeabout zeroize matrix, the matrix index, the base solution matrix and matrix diagonalization is described in detail. Diagonalization of matrix, which includes similar diagonal form and contract diagonal form, is a very important point. So we specially illustrate the relationship between similar diagonal form and contract diagonal form of real symmetric matrix. Of course, how to form a knowledge system which involves characteristic polynomial and characteristic value of matrixand can use these knowledge skillfully when solve problems is theultimate goal of this paper.Keywords: Zeroize matrix; The base solution matrix; Similar; Jordan normal forms.目录前言 11 概念引入 12 矩阵的零化 33 矩阵指数及基解矩阵 74 对角矩阵及矩阵的对角化 104.1 矩阵的相似对角形 104.2 实对称矩阵的合同对角形 134.3 实对称矩阵合同与相似之间的关系 174.4 矩阵的若尔当标准形 19参考文献 21致谢 22前言矩阵特征多项式及其特征值可谓是高等代数的骨干级内容，在理论和应用方面都具有重要意义，大多数重要的代数知识几乎都利用到了矩阵特征多项式及其特征值中的知识和方法.在本篇论文中，首先以高等代数教材上有关矩阵特征多项式及特征值的基本定义出发来引入，然后在论文的第一部分介绍了一个有关矩阵零化的定理，哈密顿—凯莱（Hamilton—Cayley）定理，然后从这个定理出发，得到它的两个推论，其中一个涉及到矩阵指数，以此为出发点，介绍了利用矩阵特征多项式及其特征值来求线性常微分方程组基解矩阵的基本方法.论文的第二部分的主要内容是利用矩阵特征多项式及其特征值来化矩阵为对角形矩阵，包括相似对角形矩阵和与实对称矩阵合同的对角形矩阵，然后有介绍了二者的区别和联系.在这一部分的最后，又简单地说明了并不是所有的矩阵都能对角化，但可以利用特征值来化为它的若尔当标准形.本论文的主要目的是把涉及到矩阵特征多项式及特征值的众多知识联系起来，形成一个系统，从而有利于更好地学习并利用它.1 概念引入矩阵的特征多项式与特征根矩阵是高等代数中非常基本的概念，有关它的定义和一些简单的性质在许多高等代数的教材中都有所叙述，在本文的开始，我们就来先了解一下矩阵及其简单性质，详见参考文献[1]和[2].定义1.1 设是域F上的一个n阶矩阵，是一个文字，矩阵的行列式叫矩阵A的特征多项式．在内的根叫做矩阵A的特征根．的特征多项式为，它有以下性质：（1）是的阶主子式之和，特别地;（2）若有个根（例如复数根），则是的次初等对称多项式，特别地;（3）若，则，其中为的特征多项式;（4）若为上三角阵，则为的特征值;（5）若为复数域，则当且仅当其特征值（复数值）均非零.设是矩阵A的特征根，而是一个非零的列向量，使,就是说，是齐次线性方程组的一个非零解．我们称是矩阵的属于特征根的特征向量.例1 设线性变换在一组基下的矩阵为求线性变换的特征根和相应的特征向量．解：矩阵A的特征多项式为所以矩阵A的特征值为（二重）和把特征值代入齐次方程组得到它的基础解系是，因此属于的两个线性无关的特征向量就是和而属于的全部特征向量就是，，取遍数域P中不全为零的全部数对.再用特征值代入，得到它的基础解系是因此，属于的一个线性无关的特征向量就是而属于特征值的全部特征向量就是，为数域中任意不等于零的数. ▍2 矩阵的零化有关矩阵零化，最重要的一个知识就是哈密顿—凯莱定理，它利用了矩阵的特征多项式把矩阵化成一个零矩阵，下面就作一个简单地叙述，可见参考文献[1].定理2.1 哈密顿—凯莱（Hamilton—Cayley）定理设是数域上的一个阶矩阵，是的特征多项式，则=证明：设是的伴随矩阵，由行列式的性质，有（1）因为矩阵的元素是的各个代数余子式，都是的多项式，其次数不超过，因此根据矩阵的运算性质，可以写成（2）其中，，，都是数字矩阵。