余数定理
中国余数定理公式
中国余数定理公式中国余数定理，也称为孙子定理，是一种基于模运算的经典数学定理。
它能够将一个同余方程组转化为一个单同余方程，从而大大简化问题的求解。
这个定理在代数学、计算机科学、密码学等领域都有广泛的应用。
中国余数定理的原理假设给定两个正整数m1和m2，他们互质，对于任意两个整数a1、a2，下面的同余方程：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)都有一个解x在模m1m2下唯一确定。
特别的，当给定n个正整数m1、m2、...、mn，它们两两互质时，对于任意n个整数a1、a2、...、an，下面的同余方程组：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)都有一个解x在模M=m1m2...mn下唯一确定。
中国余数定理的应用场景1. 线性同余方程组的求解中国余数定理可以将多个线性同余方程组转化为一个单一的同余方程，从而简化了求解问题。
在密码学领域中，线性同余方程组的求解常常涉及多个密码学密钥的计算和变换。
2. 数论问题的求解中国余数定理在数论领域中有广泛的应用。
它可以用来求解大量数据的最小公倍数，检测质数的性质，以及判断两个数是否是互质的。
3. 数据加密和解密中国余数定理可以用来设计和实现许多加密算法和协议，例如RSA加密算法和离散对数算法。
这些算法和协议通常需要利用中国余数定理来处理数字的加密和解密过程。
4. 编程语言中的应用在计算机科学领域，中国余数定理被广泛应用于编程语言中。
Java语言中可以利用中国余数定理来计算大型整数的模运算，而C++语言中则可以利用中国余数定理解决多项式求值问题。
总结：中国余数定理是一种重要的数学定理，常常在代数学、计算机科学、密码学等领域中得到广泛应用。
它能够将一个同余方程组转化为一个单同余方程，从而大大简化问题的求解。
在实际应用中，中国余数定理被广泛用于线性同余方程组的求解、数论问题的求解、数据加密和解密、以及编程语言中的应用等方面。
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：354x x -+.【例23】 分解因式：326116x x x +++.【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。
数论.第4讲.余数问题(二).教师版
第四讲余数问题（二）知识点拨一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差，或这个差除以c的余数。
3.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
二、弃九法在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
三、中国剩余定理1.中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
小学思维数学讲义：余数性质(二)-带详解
余数性质（二）1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
五年级数学余数的性质
余数的性质知识结构一、 三大余数定理：（1） 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2） 余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3） 余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．例题精讲【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。
余数定理
定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
〔1〕7÷3=…1,5÷3=…2,这样〔7+5〕÷3的余数就等于1+2=3,所以余0.〔2〕8÷3=…2,5÷3=…2,2+2=4>3,4÷3…1,这样〔8+5〕÷3的余数就等于1.定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。
【例1】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，那么小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是〔〕。
解析：小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。
因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。
用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个余2 余4 余4 余3 余0 余1 余3 余42+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C.定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
〔1〕7÷3余1,5÷3余2,这样〔7×5〕÷3的余数就等于1×2=2,所以余2.〔2〕5÷3余2,8÷3余2,2×2=4>3,4÷3余1,这样〔5×8〕÷3的余数就是1.【例2】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，那么可能锯成41mm的钢管〔〕段。
五年级上册数学培优奥数讲义-第15讲余数定理
第15讲余数定理知识与方法余数在计算时有三个主要性质，也被称为三个定理，余数问题中非常重要的同余问题以及中国剩余定理，其实就是根据这三个性质来解决问题的，所以这三个性质非常重要。
余数主要有以下三个性质：（1）可加性：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和。
（2）可减性：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。
（3）可乘性：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
初级挑战1（1）23÷5＝4……（）（2）108÷4＝2716÷5＝3……（） 214÷4＝53……（）39÷5＝7……（） 322÷4＝80……（）（3）155÷3＝51……（）230÷3＝76……（）385÷3＝128……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理一：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
如果余数之和大于除数，那么可以继续除以这个除数得到余数。
答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的和，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的和。
能力探索11、快速计算：（234＋123＋732）÷3的余数。
2、甲数除以9，商12余3；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。
（甲数＋乙数＋丙数）÷9的余数是多少？答案：1、0 2、（3＋6＋5）÷9＝1……5，所以余数是5。
初级挑战2（1）129÷7＝18……3 （2）237÷5＝47……（） 71÷7＝10……1 200÷5＝4058÷7＝8……2 37÷5＝7……（）（3）93÷4＝23……（）30÷4＝7……（）63÷4＝15……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理二：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
余数定理
定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
〔1〕7÷3=…1,5÷3=…2,这样〔7+5〕÷3的余数就等于1+2=3,所以余0.〔2〕8÷3=…2,5÷3=…2,2+2=4>3,4÷3…1,这样〔8+5〕÷3的余数就等于1.定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。
【例1】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，那么小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是〔〕。
解析：小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。
因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。
用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个余2 余4 余4 余3 余0 余1 余3 余42+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C.定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
〔1〕7÷3余1,5÷3余2,这样〔7×5〕÷3的余数就等于1×2=2,所以余2.〔2〕5÷3余2,8÷3余2,2×2=4>3,4÷3余1,这样〔5×8〕÷3的余数就是1.【例2】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，那么可能锯成41mm的钢管〔〕段。
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定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
（1）7÷3=…1,5÷3=…2,这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3,所以余0.（2）8÷3=…2,5÷3=…2,2+2=4>3,4÷3…1,这样（8+5）÷3的余数就等于1.定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。
【例1】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。
A.29个B.33个C.36个D.38个解析：小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。
因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。
用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个余2 余4 余4 余3 余0 余1 余3 余42+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C.定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
（1）7÷3余1,5÷3余2,这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2,所以余2.（2）5÷3余2,8÷3余2,2×2=4>3,4÷3余1,这样（5×8）÷3的余数就是1.【例2】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（）段。
A.20B.31C.40D.52解析：设长度为41mm的钢管x段，19mm的钢管y段，可列方程41x+19y=1773,19y显然能被19整除，而1773÷19=93…6,因此41x÷19一定也余6,又41÷19余3,根据定理2,x÷19只能余2,选项中只有C选项满足此条件，应选C.三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)例题精讲模块二：三大余数定理的应用【例 1】有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，的约数有，所以这个数可能为。
【练习】1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【解析】(法1) ，，，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，所以这个数是．2、在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．3、(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则．根据题意可知，所以，即，得．所以是9的倍数，是8的倍数．此时，由知．由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，所以，，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54．当时，，而，所以，故此时最大为；当时，，由于，所以此时最小为．所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．【例 2】两位自然数与除以7都余1，并且，求．【解析】能被7整除，即能被7整除．所以只能有，那么可能为92和81，验算可得当时，满足题目要求，【练习】1、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的公约数，所求答案为17．2、在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【解析】因为, ，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．，所以所求的最大整数是98．【例 3】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2，，，，，，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为，所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【练习】1、在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为，，所以这样的数组共有下面4个：，，，．【例 4】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【解析】，，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，，，所以除数不是58．，，，，所以除数是【练习】1、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________【解析】n能整除．因为，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43．2、号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。
计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。
那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。
显然126运动员打5盘是最多的。
【例 5】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(元) ．【练习】1、(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【解析】两个顾客买的货物重量是的倍数．，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20 千克．【例 6】求的余数．【解析】因为，，，根据同余定理(三)，的余数等于的余数，而，，所以的余数为5．【练习】1、 (华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．除以17的余数分别为2，7和11，．2、求的最后两位数．【解析】即考虑除以100的余数．由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余1；又因为除以4余1，则除以4余1；即能被4 和25整除，而4与25互质，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余数即等于除以100的余数，而除以100余29，除以100余43，，所以除以100的余数等于除以100的余数，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后两位数为63．3、除以13所得余数是_____.【解析】我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。
4、求除以7的余数．【解析】法一：由于(143被7除余3)，所以(被7除所得余数与被7除所得余数相等)而，（729除以7的余数为1），所以．故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：于是余数以6为周期变化．所以．5、（2007年实验中学考题）除以7的余数是多少？【解析由于，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故除以7的余数是0；7、被除所得的余数是多少？【解析】 31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，时被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以被13除的余数与被13除的余数相同，余12，则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，时，被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数，即4，故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是．7、(2008年奥数网杯)已知，问：除以13所得的余数是多少？【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到；；；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余，200820082008除以13余，即200820082008是13的倍数．而除以3余1，所以除以13的余数与除以13的余数相同，为6.8、除以41的余数是多少？【解析】找规律：，，，，，……，所以77777是41的倍数，而，所以可以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7．9、除以10所得的余数为多少？【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字，为的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是的个位数即0，另外5个数为、、、、，它们和的个位数字是的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．【例 7】求所有的质数P ，使得与也是质数．【解析】如果，则，都是质数，所以5符合题意．如果P不等于5，那么P除以5的余数为1、2、3或者4，除以5的余数即等于、、或者除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况．如果除以5的余数为1，那么除以5的余数等于除以5的余数，为0，即此时被5整除，而大于5，所以此时不是质数；如果除以5的余数为4，同理可知不是质数，所以P不等于5，与至少有一个不是质数，所以只有满足条件．【练习】1、在图表的第二行中，恰好填上使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【解析】因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的可以改换为 ，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：2、 (2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式(其中)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的是多少？【解析】由于，，于是 ，从而(用代入上式检验)…(1)，对 进行讨论：如果，那么…(2)，又 的个位数字是6，所以的个位数字为4，可能为、、、，其中只有符合(2)，经检验只有符合题意．如果 ，那么 …(3)，又 的个位数字为2或7，则可能为 、、、、，其中只有 符合(3)，经检验， 不合题意． 如果，那么…(4)，则可能为、，其中没有符合(4)的 ．如果，那么，，，因此这时不可能符合题意．综上所述， 是本题唯一的解．【例 8】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为，，，则这个自然数是多少？【解析】根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为）．既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是的约数，又是的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．【练习】1、一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．【例 9】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于多少？【解析】根据题意，这三个数除以都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：由于，，要消去余数, , ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被整除．，，．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以等于17．【练习】1、一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、、，求这个自然数和的值.【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：，、，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是，故同余.将这三个数相减，得到、，所求的自然数一定是和的公约数，而，所以这个自然数是的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是时，除、、所得的余数分别为、、，时成立,所以这个自然数是，.。