第九章动力学微分方程(陆)
化学动力学-课件
Br(i) H2( j) HBr(k) H(l)
简单反应：只含有一个基元反应 复合反应：含有多个基元反应
9-2-2 反应速率 r 一、定义
SI制： v 1 1 dnB vB V dt
r 1 1 dnB vB V dt
vB --计量系数
V --体积
[V]
dcA dt
kAcA cB cE cF
E的生成速率方程： rE
dcE dt
kEcA cB cE cF
, , , 分级数 n
n-反应的总级数，n可为正整数、分数、零和负数
二、速率常数 k
k－反应的速率常数 kA－A的消耗速率常数 kE－E的生成速率常数
k＝f(T,p,介质,催化剂等)
特征4 特征5
9-3-3 n 级反应 1. 速率方程
rA
dcA dt
kAcAn
(1) 只有一种反应物：aA 产物
(2) 除 A 组分外，其它大大过量（30倍以上）
rA
dcA dt
kAcA cB cC
kA (cB cC )cA
kA' cA
假级数反应/准级数反应
k
' A
kA (cB cC )
kB | vB | k
k的物理意义：单位浓度下的反应速率
r 的量纲：[浓度]·[时间]-1
k 的量纲：随反应级数而变 三、积分形式（动力学方程）
c = f (t)
c~t 曲线－动力学曲线
四、理想气体反应的速率常数
r'
1 vBdຫໍສະໝຸດ B dtk p pBn理想气体： p cRT
r
1 vB
dcB dt
利用微分方程解决动力学问题
利用微分方程解决动力学问题微分方程是描述自然界中各种变化过程的重要工具，它在各个学科领域中都有广泛的应用。
动力学问题是其中之一，它研究物体在外力作用下的运动规律。
利用微分方程来解决动力学问题，可以有效地描述物体的运动特性，为工程设计和科学研究提供了有力支持。
本文将以解决动力学问题为主题，讨论利用微分方程来描述和求解物体的运动规律。
一、动力学问题的基本概念在解决动力学问题之前，我们首先要了解一些基本概念。
动力学研究的对象是物体在力的作用下的运动规律。
力可以分为两种类型：作用力和约束力。
作用力是直接作用于物体的力，如重力、电磁力等；约束力则是限制物体运动的力，如支持力、摩擦力等。
二、运动的描述为了描述物体的运动，我们需要引入一些基本概念。
位移是描述物体位置改变的概念，通常用矢量来表示。
速度则是位移随时间的变化率，是标量还是矢量取决于物体所处的运动状态。
加速度是速度随时间的变化率，也是标量还是矢量取决于物体所处的运动状态。
三、运动的微分方程表示动力学问题可以用微分方程来表示。
例如，当物体受到外力作用时，根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比。
即可以得到微分方程：\[m\frac{{d^2x(t)}}{{dt^2}} = F(t)\]其中，m为物体的质量，x(t)为物体的位移函数，F(t)为作用力函数。
四、常见动力学问题的解决方法解决动力学问题的一般方法是求解微分方程。
对于简单的情况，可以直接求解微分方程，得到位移函数或速度函数。
例如，当作用力F(t)是一个常量时，上述微分方程可以直接求解，得到物体的运动方程。
然而，在实际问题中，往往会遇到更加复杂的情况。
这时，我们可以利用数值方法来求解微分方程。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过迭代计算近似解，可以得到物体的运动规律。
五、实例分析为了更好地理解利用微分方程解决动力学问题的方法，我们以一个简单的实例来说明。
假设有一质点在水平面上运动，受到弹簧的拉力作用。
第九章质点在惯性与非惯性参考系中的动力学复习课程
方向相同。即
maF
第三定律——作用反作用定律：两物体之间的作用力和反 作用力大小相等，方向相反，并沿同一条直线分别作用在两 个物体上。
? 质点在惯性系中的运动微分方程
当物体受几个力作用时，右端应为这几个力的合力。
即
maF
或
m
d2r dt2
F
? 质点在惯性系中的运动微分方程
● 矢量形式 m r Fi(t,rr, )
求球的运动和杆对球的约束力。
解：本题先由已知的主动力mg求质点的运动规律，再根据 求得的运动求未知约束力，故同时包含第一类问题和第二类 问题。
质点运动轨迹是圆弧，故用自然轴系研究
sl, vdsl
dt 建立小球的运动微分方程：
m mg cos
讨论：（1）微幅摆动
i
m x F ix
i
●直角坐标形式
m y F iy
i
m z F iz
i
● 弧坐标形式
m s F iτ
i
m s2
F in
i
0 F i b
i
? 质点动力学两类问题应用举例
第一类问题：已知质点的运动, 求作用于质点的力；
第二类问题：已知作用于质点的力, 求质点的运动。
? 质点动力学两类问题应用举例
x
st
O
x
W
l0
x
m
W＝mgi
讨 论：
x
F＝－k( x+ st）
1）、物块垂直悬挂时，运动规律如何？
2）、物块垂直悬挂时，坐标原点选择 不同，对运动微分方程的影响。
? 质点动力学两类问题应用举例
例 题2
图示一单摆。设球的质量为m， 杆的质量不计，杆长为l。当杆 在铅垂位置时，球因受冲击，具
微分方程罗兆富等编第九章非线性偏微分方程Adomian分解法全篇
学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始
都可得到解
u
un
并且这样得到的解都是等价的并且都
收敛于精确解. n0
然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点：
具(1体)能而使言计之算, 量我达们最考小虑;算子形式的非线性微分方程 (2)具有L使xu解 L级yu数具Ru有加F (速u)收 敛g 的附加条件. (9.2.01)
y
),
Lx
4 x4
.
(9.2.04)
(9.2.01)
14
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un
0
Lx1g
Lx1
Ly
un
Lx1
R
un
Lx1
An
n0
n0
n0
n0
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
也就是
u0 0 Lx1g,
uun
0LxL1Lx1ygun1Lx1LLyx1uR(uLnx11R)uLxL1xA1nF1(,un)
t xt2dt 0
0
u(x,t) un (x,t)
n0
uu32.((..xx.,,.tt.)).......LL.ntt.11.0.AA.u12.n..(.x.,..t00.t)t00tddtxtt0013
xt
3
x
Lt 1
(
n0
An
)
xt ■
18
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例2. 求解非齐次偏微分方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
动力学方程的解法
动力学方程的解法动力学方程是描述物体或系统运动中的力学规律的方程。
解决动力学方程是研究物体运动行为的重要方法之一。
本文将介绍两种常见的解动力学方程的方法：分离变量法和拉普拉斯变换法。
分离变量法是一种基本的解微分方程的方法。
对于形如dy/dx =f(x)g(y)的一阶常微分方程，可以采用分离变量法求解。
假设f(x)和g(y)在给定区间内连续，并且g(y)不恒为0，则可以将dy/g(y) = f(x)dx两侧同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。
通过对方程两侧的积分，我们可以将原方程分离成两个独立的变量，并将其求解得到解析解。
举例来说，考虑一个简单的动力学方程：m*d²x/dt² = f(x)。
其中，m 是物体的质量，x是物体的位置，f(x)是描述作用在物体上的力的函数。
将动力学方程改写为d²x/dt² = (1/m)f(x)，我们可以使用分离变量法解决此方程。
假设物体从t=0时刻开始，在初始时刻t=0，物体的位置为x0，速度为v0。
我们可以将方程分离为d²x/f(x) = (1/m)dt，并对两侧进行积分，得到∫d²x/f(x) = (1/m)∫dt。
然后，我们可以通过对方程两侧的积分求解x(t)。
拉普拉斯变换法是另一种常用的解微分方程的方法。
对于线性时不变系统，可以使用拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，并通过求解代数方程得到解析解。
假设我们需要求解一个形如d²x/dt² +a*dx/dt + b*x = F(t)的二阶常系数线性微分方程，其中a和b是常数，F(t)是描述作用在物体上的外力函数。
应用拉普拉斯变换，我们可以将方程转化为(s²X(s) - s*x(0) - v(0)) + a(sX(s) - x(0)) + bX(s) = F(s)。
通过代数方法，我们可以求解得到X(s)，然后再应用拉普拉斯反变换，将X(s)转化为x(t)，得到方程的解析解。
第9章 质点动力学的基本方程
Northeastern University
§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
Northeastern University
§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
Northeastern University
第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
PAG 20
Northeastern University
第9章 常微分方程初值问题数值解法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
《常微分方程》中介绍的微分方程主要有:
(1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努利方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程 本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。
进一步: 令
y n1 y n
xn 1 xn
y n 1 y( x n 1 ) , y n y( x n )
f ( x , y( x ))dx h f ( x n , y n )
宽
9
高
实际上是矩形法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
(3)
用Taylor多项式近似并可估计误差
解决方法：有的可化为显格式，但有的不行 18
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
与Euler法结合，形成迭代算法 ，对n 0，2， 1，
( yn0 )1 yn hf x n , yn ( k 1) h ( yn1 yn f x n , yn f x n1 , ynk )1 2
7
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散 化. 一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy yx yx x x dx x y
n 1 n n 1 n
n
,
n
进一步: 令
yn1 y( xn1 ) , yn y( xn )
由 x0 , y0 出发取解曲线 y y x 的切线（存在！），则斜率
第九章 微分方程 4
而 y C2e 2 x 2(C1 C2 x )e 2 x .
4
2x 2x 而 y C2e 2(C1 C2 x )e .
y(0) C1 1 C1 1 由初始条件得: 解得 : C 2 2, y(0) 2C1 C 2 0,
d x 由牛顿第二定律得： 100 2 gx , dt 2 d x g 即 x 0, 2 100 dt
2
O
且满足： x(0) 20, x(0) 0,
x
g t 100
求得通解： x C1e
g t 100
C 2e
,
x
15
C1 10 x (0) 20 由初始条件 , 得: , x ( 0 ) 0 C 2 10
所求的特解为:
y (1 2 x )e 2 x .
( 3) y 2 y 2 y 0.
解： 特征方程： 2 2 0,
2
特征根为： 1， 2 1 i ,
方程通解： y e (C1 cos x C2 sin x ).
5
x
B. 二阶线性常系数非齐次微分方程的通解
bm ,b m 1 ,...,b1 , b0 . 比较两端同次幂系数 , 即可求出：
( ii ) 如果是特征方程： p q 0 的单根
2
则 2 p q 0, 2 p 0, Q( x )是m次的多项式 ,
可设 : Q( x ) x(bm x m bm 1 x m 1 ... b1 x b0 ),
2 2
3A 9 A 3 14 2 4 A 3B 0 B 4 故 y p ( x ) 3 x 4 x 3 , 2 A 2 B 3C 0, C 14 3 ,
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3cos0 2 0 0 arccos(2 / 3)
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
14
质点系的动力学问题：
求运动微分方程组（混合问题）
难！难！难！
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
15
§9-3 非惯性系中的质点运动微分方程
A
a
转轮
坐在车或转轮上观看，小球的运动显然不遵循牛顿定律。 问题：能否建立适用于非惯性系的运动微分方程？
"千克"标准是一个用铂（90％）铱（10％）合金制成的、 直径和高度均为39毫米的圆柱体形状的标准砝码。
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
5
§9-2 质点的运动微分方程
ma Fi
或
m
d2r dt 2
Fi
1 、在直角坐标轴上的投影
z
M
r
O
x
F F
i
y
d2 x m
dt 2
Fxi ,
解:
Fx
ma x
m
d2x dt 2
mbk 2
cos(kt)
mk 2 x
y
or
F
Fy
ma y
m
d2y dt 2
mck
2
sin(kt)
mk 2 y
F F i F j mk 2 ( xi yj ) mk 2r
x
y
有心力作用.
8
M x
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
9
例题 一质点以水平初速度v0在空中受重力和空气阻力作自由 落体运动,若空气阻力大小F=kv（k为常数）,方向与速度相反。
d2 y m
dt 2
Fyi ,
d2 z m
dt 2
Fzi
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
6
2、在自然轴上的投影
z
M
r
a
a
t
n
y
F
F i
由 a at ann, ab 0,
O
x
有
mat
Fti ,
m v2
Fni ,
0 Fbi
md 2s / dt 2 Fit mv 2 / Fin
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
7
3 、质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力.
第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
(未知量既有力也有加速度)
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
例题 一质点M在xy平面内运动，已知运动 轨迹为x=b cos(kt)，y=c sin(kt),b,c,k为常数。 试分析质点的受力。
M
g sin
r
v
r
d g sind
r
1 2
2
g cos
r
c
|t0 0, |t0 0 c g / r
2 2g (1 cos)
r
v r 2gr(1 cos)
代入方程1求FN
FN mg cos man mg cos 2mg / r(1 cos)r mg(3cos 2)
t
c
vy
mg k
kt
ce m
初始条件：
o
y
|t0
h
y0
m2g k2
y
mg
(
m
kt
em
t
m)
kk
k
x
初始条件：
vy
|t0 0 c
mg k
vy
mg k
kt
(e m
1)
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
例题 一小球在光滑圆弧面顶部以初速
度为零向下滑动。试求运动过程中小
球的速度和圆弧面的约束力，并确定
小球在：1 受力分析画示力图
2 运动分析，确定运动描述方法和坐标。
s r an r 2 at r
3 建立运动微分方程，求解。
man mg cos FN
ma t
mg sin
12
M mg
FN
a
n
a
t
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
13
第二个方程的解：
单位制和量纲
速度、尺度要求
基本量：长度（m），时间（s），质量（kg） 量 纲：长度[L]，时间[T]，质量[M]
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
4
1米的定义：1／299792458秒的时间间隔内光在真空中行程 的长度.
1秒的定义：铯133原子基态的两个超精细能阶间跃迁对应辐 射的9,192,631,770个周期的持续时间。这个定义提到的铯原 子必须在绝对零度时是静止的，而且在地面上的环境是零磁场。
o
x
★理论力学电子教案
第一个方程的解：
dv x dt
k m
v
x
dvx k dt
vx
m
ln vx
k m
t
c
kt
vx ce m
初始条件：
第9章 约束 质点动力学微分方程
kt
vx v0e m
kt
dx v0e m dt
x
x0
mv 0 k
kt
em
10
y
v O
F
h
mg
o
x
初始条件： x |t0 0 x0 v0m / k
★理论力学电子教案
y`
y o` x`
ox y
y`
A
o
o`
转轮
第9章 约束 质点动力学微分方程
16
1. 取定系oxy(惯性系)，
动系o`x`y`(非惯性系)；
a
2.oxy中
maa F
3.
加速度关系
aa
ae
ar
aC
mar F mae maC
4. 记
FIe mae , FIC maC
重力
P mg, g 9.8ms2
力的单位:牛[顿], 1N 1kg 1m s2
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,
沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
3
牛顿定律·惯性参考系
牛顿定律适用范围： 惯性参考系
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
1
第九章
质点动力学的基本方程
1、本章内容您大都学过. 2、是基本内容.
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
2
§9-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律
ma F Fi
vx |t0 v0 c v0
x
v0m
(1
kt
em
)
k
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
11
第二个方程的解：
dv y dt
k (mg mk
vy )
dy vydt
y
y0
mg k
( k m
kt
em
t)
y
v O
F
h
mg
dvy k dt
vy
mg k
m
ln(v
y
mg k
)
k m
试求质点的运动方程。
解： 1、受力分析，画示力图
y
v
O
2、建立质点运动微分方程，求解。
F
m d 2 x F kv
dt 2
ix
x
d2y
m F mg kv
dt 2
iy
y
h mg
初始条件：
y(t x(t
) )
|t |t
0 0
h, 0,
y(t ) |t0 0 x (t ) |t0 v0