第九章 常微分方程3-4

2. 初值问题
y ' f ( x, y ) , y ( x0 ) y 0
与积分方程
y y0 f ( x, y)dx,
x0
x
等价。
y ' f ( x, y ) , y ( x0 ) y 0
y y0 f ( x, y)dx,
x0
x
y ' f ( x, y ) 由 , y ( x0 ) y0
x [ x0 h, x0 h].
(4)证明初值问题的解是唯一的。
假设问题有解 y ( x)外, 还有另一个解 y ( x), 其中x [ x0 h, x0 h]. | ( x) ( x) | L ( x) ( x) dx
x0 x
| ( x) ( x) | LA | x x0 |,
拉格朗日中值定理，对 ( x, y1 ), ( x, y2 ) D, f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) f y ( x, )( y1 y2 ),
( y1 , y2 ).
而 | f y | 在D内有界，即M 0, 使得 | f y | M , 所以 | f ( x, y1 ) ( x, y2 ) || f y ( x, )( y1 y2 ) | M | y1 y2 | .

x
x0
f ( x, y0 )dx M | x x0 | Mh b.
可见( x, y1 ( x)) R.
b h min(a, M ), M max{| f ( x, y) |, ( x, y) R}
(1)作皮卡序列.
将
x
y y0 f ( x, y)dx,
x0
y ' f ( x, y ) 在 [x0-h,x0+h] 上有唯一解. y ( x0 ) y0
b h min(a, M ), M max{| f ( x, y) |, ( x, y) R}
y
y0 b y0 b ( x0 , y0 )
y0 b
C
B
y0
y0 b
( y1 , y2 ).
注意
a. 对已经得到的初值
问题的解 y y ( x), x [ x0 h, x0 h], 通过延拓可以得到 更大范围的积分曲线.
O
y0 b y0 b
y ' f ( x, y ) , y ( x0 ) y 0
y
( x0 , y0 )
A
x0 a x0
b M
D
x0 a
O
x0 a
x1
x2
x
x0 a
定理证明的步骤：
(1)作皮卡序列；
yn ( x) ( x), x [ x0 h, x0 h]; (2)证明 lim n
(3)由 yn ( x) y0 x x 得 ( x) y0 x
x0
x
y1 ( x) y0 f ( x, y0 ) dx,
x
x [ x0 h, x0 h]
代入积分方程，得 y2 ( x) y0 f ( x, y1 ( x))dx,
x0
x [ x0 h, x0 h]
估计 | y2 ( x) y0 | 后发现 | y2 ( x) y0 |
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |, ( x, yi ) D, i 1,2.
若函数f ( x, y )在凸区域D内关于y有偏导数，且 | f y | 在D内有界，则f ( x, y )在D内关于y满足李氏条件。
证明： 因为f ( x, y )在凸区域D内关于y有偏导数，则由
考虑微分方程
y' f ( x, y), ( x, y) D.
若函数 f(x,y), fy(x,y) 在区域 D 上连续，则过 D 内任
一点 (x0,y0), 有且只有一条方程的通积分通过。
定理：设初值问题中的函数 f(x,y) 在闭矩形域
R {( x, y) || x x0 | a, | y y0 | b}
x0
x
求导得y ' f ( x, y ( x)), 且y ( x0 ) y0 f ( x, y )dx y0 .
x0
x0
满足初值问题，可见此时 y ( x) 也是初值问题的解。
x 3. 初值问题 y ' f ( x, y ) , 或 y y0 x f ( x, y)dx, 0 y ( x0 ) y 0
则f y ( x, y )在D内的任意一个闭矩形 R中也连续, 从而f y ( x, y )在R上有界. f ( x, y )关于y有偏导数, 则由 拉格朗日中值定理 , 对( x, y1 ), ( x, y2 ) R, f ( x, y1 ) ( x, y2 ) f y ( x, )( y1 y2 ) M | y1 y2 |,
x0
x
x
以此类推, 得到一串函数序列 y1 ( x) y0 f ( x, y0 ) dx,
x0
x [ x0 h, x0 h] x [ x0 h, x0 h]
y2 ( x) y0 f ( x, y1 ( x))dx,
x0
x
.......... ....... yn ( x) y0 f ( x, yn -1 ( x ))dx,
(4)证明初值问题的解是唯一的。
假设问题有解 y ( x)外, 还有另一个解 y ( x), 其中x [ x0 h, x0 h].
2 | x x | 0 | ( x ) ( x ) | L LA | x x0 | dx AL2 . x0 2 2 3 x | x x | | x x | 0 0 | ( x ) ( x ) | L AL2 dx AL3 . x0 2 6 x
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |, ( x, yi ) D, i 1,2.
若f y ( x, y )在区域D内连续, 则函数f ( x, y )在D 内的任意一个闭矩形R中关于y满足李氏条件.
证明： 因为f y ( x, y )在区域D内连续,
x1
x0 a
x2
x
x0 a
注意
b.由皮卡序列可找到 y=y(x) 的一串近似解。 c.若 f(x,y) 在区域 D 上连续，但不满足李氏 条件，这时过 D 内任一点，微分方程仍然 有解，但解可能不唯一。
§3.微分方程解的存在唯一性定理
1. 李普希茨条件（李氏条件）
若函数 f(x,y) 在区域 D 内满足
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |, ( x, yi ) D, i 1,2.
则称函数 f(x,y) 在区域 D 内对 y 满足李普 希茨条件，L 称为李氏常数。
0
x
x [ x0 h, x0 h]
两边取极限，得
( x) y0 f ( x, ( x))dx,
x0
x
可见(x)既是积分方程的解也是初值问题的解。
(4)证明初值问题的解是唯一的。
y y0 f ( x, y)dx,
x0
x
假设问题有解 y ( x)外, 还有另一个解 y ( x), 其中x [ x0 h, x0 h]. 则y ( x)和y ( x)都满足积分方程，即
x
x [ x0 h, x0 h].
2 | x x | 0 | ( x) ( x) | L LA | x x0 | dx AL2 . x0 2 2 3 x | x x | | x x | 0 0 | ( x) ( x) | L AL2 dx AL3 . x0 2 6

x
x0
[ f ( x, ( x)) f ( x, ( x))]dx
f ( x, y)满足李氏条件

x
x0
f ( x, ( x)) f ( x, ( x)) dx
x x0
L ( x) ( x) dx LA dx LA | x x0 |,
x0 x
( x), ( x)在[ x0 h, x0 h]上连续
( x) y0 f ( x, ( x))dx,
x0
x
( x) y0 f ( x, ( x))dx,
x0
x
| ( x) ( x) |

x
x0来自百度文库
[ f ( x, ( x)) f ( x, ( x))]dx
(4)证明初值问题的解是唯一的。
假设问题有解 y ( x)外, 还有另一个解 y ( x), 其中x [ x0 h, x0 h]. | ( x) ( x) |
上连续，且对 y 满足李氏条件，则初值问题在 区间 [x0-h,x0+h] 上有且只有一个解，其中常数
b h min(a, M ), M max{| f ( x, y) |, ( x, y) R}
推论:
考虑微分方程
y' f ( x, y), ( x, y) D.
若函数 f(x,y),fy(x,y) 在区域 D 上连续，则过 D 内任 一点 (x0,y0), 有且只有一条方程的通积分通过。
0
x
0
f ( x, yn1 ( x))dx,x [ x0 h, x0 h] f ( x, ( x))dx,
可见(x)既是积分方程的解也是初值问题的解。
(4)证明初值问题的解是唯一的。
b h min(a, M ), M max{| f ( x, y) |, ( x, y) R}

x
x0
f ( x, y1 ( x))dx M | x x0 | Mh b.
可见( x, y2 ( x)) R.
b h min(a, M ), M max{| f ( x, y) |, ( x, y) R}
(1)作皮卡序列.
y y0 f ( x, y)dx,
.......
n n n n | x x | L h n 0 | ( x ) ( x ) | AL A 0. n! n!
lim | ( x) ( x) | 0 当x [ x0 h, x0 h]时， ( x) ( x)。
n
推论:
x0 x
x [ x0 h, x0 h]
并且( x, yn ( x )) R, n 1,2,....
(2)证明
lim yn ( x) ( x),
n
x [ x0 h, x0 h];
(3)由 yn ( x) y0 x f ( x, yn1 ( x))dx,
x x0
两边积分得 y ' dx f ( x, y )dx
x0 x0 x x0
x
x
y ( x) y ( x0 ) f ( x, y )dx y ( x) y0 f ( x, y )dx.
若y ( x)是积分方程y y0 f ( x, y )dx的解, 则两边
(1)作皮卡序列.
将常数函数
y y0 f ( x, y)dx,
x0
x
y y0， x [ x0 h, x0 h] 代入积分方程，得 y1 ( x) y0 f ( x, y0 )dx,
x0 x
x [ x0 h, x0 h]
估计 | y1 ( x) y0 | 后发现 | y1 ( x) y0 |
有局部唯一解的充分条件： 定理：设初值问题中的函数 f(x,y) 在闭矩形域
R {( x, y) || x x0 | a, | y y0 | b}
上连续，且对 y 满足李氏条件，则初值问题在 区间 [x0-h,x0+h] 上有且只有一个解，其中常数
b h min(a, M ), M max{| f ( x, y) |, ( x, y) R}