安徽省黄山市2019届高三第二次质量检测数学(文)试卷

黄山市2019届高中毕业班第二次质量检测

数学（文科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在．试题卷．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．

． 4．参考公式：22

()()()()()

n ad bc K a b a c b d c d -=++++,其中n a b c d =+++

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 设集合{}

|2x A x y ==，|

03x B x x ?

?

=≥??-??

，则A C B =

A ．(,0)

[3,)-∞+∞ B. (,0][3,)-∞+∞ C. ()0,3

D.()

3,+∞

2. 已知复数z 满足1+34z i i =+（），则复数z 在复平面内表示的点所在的象限为 A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3.设0a >且1a ≠,则“1b a >>”是“log 1a b >”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4. 2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为

A ．7000

B ．7500

C ．8500

D ．9500

5. 已知双曲线19

162

2=-y x 的左焦点为1F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于B A 、两点，则l 斜率的取值范围为

A. 44(,)33-

B.

33(,)(,)44-∞-+∞ C ．33

(,)44

-

D ．44

(,)(,)33

-∞-+∞

6．已知向量,a b 满足||2,||2a b ==，且(2)a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为

A. 1

B.

D. 1-

7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，

⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，且4AB BC CD ===M AD ，为的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为

A ．

3

B ．

4

C ．

3

D ．

4

8. 已知B

x A x f ++=)sin()(?ω）

（2,0,0π

?ω<>>A

部分图象如图，则)(x f 的一个对称中心是

A.5 (

,1)6

π

－

B. (

,0)12

π

C.(,1)12π－

D. 5 (,0)6

π

9. 已知程序框图如图所示，若输入的2=a ，则输出的结果S 的值为 A.1009 B.1008 C.

22019 D.2

2017

10.已知数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且0n a >，

2*634()n n n S a a n N =+-∈,()()11

11n n n b a a +=

--，若对任意

的*N n ∈ ,n T k

>恒成立，则k 的最小值为

A. 1

3

B. 19

C.

112 D. 115

11.一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长 为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是

A.

3+

C.

2

D.2

1

32++

12.已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有

x e x f x f 2)

()

(=-，当0，若)1()12(+≥+a f a f e a ，则实数a 的取值范围是

A. 20,3??????

B. 2,03??-????

C. [0,)+∞

D. (,0]-∞ 第II 卷（非选择题 满分90分）

二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．

.） 13.已知椭圆C ：2

214

x y +=,以原点O 为圆心，椭圆C 的短轴长为直径作圆O ；以右顶点

A 为圆心，椭圆C 的长轴长为直径作圆A ，则圆O 与圆A 的公共弦长为 .

14.定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，若()()cos 1g x f x x =+，且

(ln 2)2g =-,则1

(ln )2

g = .

15.若整数．．y x 、满足不等式组??

?

??>+->-+≤≤0

2022

0y x y x x ，则x y z =的最小值为 ． 16.ABC ?满足s i n s i n a A b B =,2

2

2

234a b c ++=，则ABC ?面积的最大值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请在．．

答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．.） 17．（本小题满分12分）

已知数列1n n a ???

?-??

的前n 项和n S n =，*

N n ∈.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令2

12)

1()1(12--+=

+n n n a a n b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：对于任意的*

N n ∈，都有1n T <.

18．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，且AD BC ⊥，四边形11ABB A 为正方形.

（Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ；

（Ⅱ）若60BAC ∠=, 4BC =，求点1A 到平面1AB D 的距离.

19．（本小题满分12分）

2019年全国“两会”,即中华人民共和国 第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协 商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别

于2019年3月5日和3月3日在北京召开.为 了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽

取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查， 并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，

/岁

把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分

别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21．其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2:1. （Ⅰ）求图中,a b 的值；

（Ⅱ）现采用分层抽样在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名代表,从8人中任选2人,求2

人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少 ?

（Ⅲ）根据已知条件,完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断:能否有99.9%的把

握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”?

20．（本小题满分12分）

在ABC ?中,2AB =，且()sin (12cos )sin 12cos 0A B B A -+-=.以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求动点C 的轨迹E 的方程;

（Ⅱ）已知定点(4,0)P ,不垂直于AB 的动直线l 与轨迹E 相交于M N 、两点,若直线MP 、

NP 关于直线AB 对称,求PMN ?面积的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知函数()ln f x x x =+,直线l ：21y kx =-.

（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率)(x g k

=,若)(x g

在(,1)x m m ∈+ (0)m >上存在极值，求m 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存

在，说明理由；

（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.

考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，

请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4— 4：坐标系与参数方程

设极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，

曲线C 的参数方程为?

??=+=ααsin cos 1y x （α是参数），直线l 的极坐标方程为

m 31cos sin 3=+-θρθρ．

（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；

（Ⅱ）设点),1(m P ，若直线l 与曲线C 相交于B A 、两点，且PB

PA 8

=

，求m 的值﹒

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知x x x f ---=42)(.

（Ⅰ）关于x 的不等式a a x f 3)(2

-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若4)()(=+n f m f ，且n m <

，求n m +的取值范围.

黄山市2019届高中毕业班第二次质量检测

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1.A

2.A

3.B

4.C

5.B

6.D

7.C

8.A

9.C 10.B 11.D 12. B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.

2 14. 4 15. 12

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为n S n =……… ① ；当2≥n 时，11n S n -=-…… ②

由①-② 得11

n n

a =-，故1+=n a n ……………………………………………4分

又因为21=a 适合上式，所以1+=n a n （*N n ∈）. …………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,

2

222212)1(1

1)1(12)1()1(12+-=++=--+=

+n n n n n a a n b n n n , (8)

分

222222

2)1(11)1(11 (3121)

211

1

+-=???? ??+-++??? ??-+??? ??-=n n n

T n ……………10分

所以1n T <. ………………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）如图，连接1BA ，交1AB 于点E ，再连接DE ，由已知得，四边形11ABB A 为正

方形，E 为1AB 的中点，

∵D 是BC 的中点，∴1//DE A C ，又DE ?平面1AB D ，1AC ?平面1AB D ， ∴1//AC 平面1AB D . ……………………………………………………5分

（Ⅱ）∵在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ,且BC 为它们的交线，

又AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ,又∵1B D ?平面11BCC B , ∴1AD B D ⊥

，且1AD B D ==.

同理可得，过D 作DG AB ⊥，则DG ⊥面11ABB A

，且DG =…………9分

设1A 到平面1AB D 的距离为h ,由等体积法可得：

1111A AB D D AA B V V --=，即11111111

3232

AD DB h AA A B DG ????=????，

即44h h =?∴=

即点1A 到平面1AB D

. …………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得19(0.03)1040

21(0.02)1040b a ?

+?=????+?=

??

,解得0.03250.0175a b =??=? …………………2分

（Ⅱ）由题意得在[25,35)中抽取6人，记为,,,,,A B C D E F ，在[45,55)中抽取2人, 记为1,2.

则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下：

,,,,,1,2,AB AC AD AE AF A A ,,,,1,2,,,,1,2,,

BC BD BE BF B B CD CE CF C C DE ,1,2,,1,2,1,2,12DF D D EF E E F F (4)

分

记2人中至少有1个是“中老年人”的概率是P ，则13

28

P =

. ………………6分 （Ⅲ）2×2列联表如下： ………………………………………………………………8分

2

2

200(40355570)12.15710.8289510511090

K ?-?=≈>??? (10)

分

所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”. ………12分

20．（本小题满分12分）

解:(Ⅰ)由 ()sin (12cos )sin 12cos 0A B B A -+-=，得sin sin 2sin A B C +=,

根据正弦定理24AC BC AB AB +==>,所以轨迹E 是以,A B 为焦点的椭圆(除

x 轴上的点),

由于2,1,a c b ===则所以轨迹E 的方程为22

1(0)43

x y y +=≠; …5分 (Ⅱ)由题(4,0)P ，设l 的方程为(0)x ny m n =+≠,1122(,),(,),M x y N x y 将直线l 的方程代入E 的方程得:2

2

2

(34)63120n y mny m +++-=.

所以21212226312

,3434

mn m y y y y n n -+=-=++ ………………6分

又直线l 与轨迹E 相交于不同的两点,所以0?>,即2

2

340n m -+>， 直线MP NP 、关于x 轴对称,可以得到12120,044

MP NP y y

k k x x +=+=--即, 化简得12122(4)()0ny y m y y +-+=,

22231262(4)()03434

m mn n m n n -∴?+-?-=++,得1m =, (8)

分

那么直线l 过点B ,121222

69

,3434

n y y y y n n -+=-

=++,所以三角形PMN ?面积：

1212S BP y y =??-=

=……………10分设2

1,1n t t +=>则

,18S =,在(1,)t ∈+∞上单调递减， 9

(0,)2

S ∴∈. (12)

分

21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵ln ()(0)y x x g x x x x +=

=>，∴1ln ()0x

g x x

-'==，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<. ………………4分

（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点00(,)P x y ，

∴切线的斜率0

1

21k x =

+. ∴切线的方程为0000

1

(ln )(

1)()y x x x x x -+=+-，又∵切线过（0，-1）点， ∴0000

1

1(ln )(

1)(0)x x x x --+=+-. 解得01x =， ∴22k =， ∴1k =. ……………………………………8分 （Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-， 得 ln 1

2x x k x

++=

.

令ln 1()(0)2x x h x x x ++=>， ∴2

ln ()2x

h x x

-'=，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，

∴max ()(1)1h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，1ln 11

()222

x h x x +=

+→，

1(,]{1}2k ∴∈-∞?时，只有一个交点；1

(,1)2

k ∈时，有两个交点；

(1,)k ∈+∞时，没有交点. (12)

分

22.（本小题满分10分）选修4— 4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）由题可得，曲线C 的普通方程为1)1(2

2=+-y x . (2)

分

直线l 的直角坐标方程为m x y 313=

+-，即0313=+--m y x . ………3分

由于直线l 过点),1(m P ，倾斜角为 30，

故直线l 的参数方程???

????+=+=t m y t x 21231（t 是参数）. …………………………………5分

（注意：直线l 的参数方程的结果不是唯一的）

（Ⅱ）设B A 、两点对应的参数分别为21t t 、，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程 并化简得：011)2

1

()1231(2222=-++?=++-+m mt t t m t ……………7分

所以81221=-==m t t PB PA ……………………………………………9分

解得3±=m . ……………………………………………………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

解：（Ⅰ）??

?

??≤-=+--<<-=+--≥=-+-=)2( 242)42( 6242)4( 242)(x x x x x x x x x x x f ，所以2)(min -=x f ，…………3分

a a x f 3)(2-≥ 恒成立，则2)(3min 2-=≤-x f a a ，

解得21≤≤a . ………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）2)(max =x f ，2)(,2)(≤≤∴n f m f ，则4)()(≤+n f m f ， ……………8分

又4)()(=+n f m f ，所以2)()(==n f m f ，于是4≥>m n ，

故8>+n m . ………………………………………………………………10分