第3章-导热的计算与分析-1
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
热学基础热传导与热平衡的分析与计算
热学基础热传导与热平衡的分析与计算热学是物理学的一个重要分支，它研究热量传递和热平衡等热现象。
本文将对热传导和热平衡进行详细的分析和计算。
一、热传导热传导是指热量通过物质的传递，常见的方式有导热、导热和辐射等。
导热是最常见的传热方式，它依赖于物质内部的分子热运动。
导热可以通过热传导方程来描述：q = -kA∆T/∆x其中，q表示单位时间内通过物体的热量，k是热导率，A是传热面积，∆T是温度差，∆x是传热距离。
根据热传导方程，我们可以计算物体的热传导率和传热功率。
二、热平衡热平衡是指两个物体之间的温度差为0，不再存在热量传递。
当两个物体之间达到热平衡时，它们的温度相等。
热平衡的条件可以通过热平衡方程来表达：q1 = q2其中，q1和q2分别代表两个物体的热量。
热平衡方程告诉我们，当两个物体之间的热量相等时，它们达到热平衡状态。
三、热传导与热平衡的计算在实际问题中，我们常常需要计算热传导和热平衡的相关参数。
下面以一个具体的例子来说明如何进行计算。
考虑一个铜棒，长度为L，横截面积为A，温度分布随传热方向x变化。
假设铜棒的热导率为k，铜棒上端温度为T1，下端温度为T2，我们希望计算出铜棒内各点的温度分布。
首先，根据热传导方程，我们可以得到铜棒内各点的温度分布：∆T/∆x = -q/kA其中，∆T是铜棒内两个相邻点的温度差，∆x是相邻点之间的距离。
假设我们已知铜棒上下端的温度，即T1和T2，我们可以利用以上方程进行计算。
首先，选择适当的步长∆x，将铜棒分为N个小段，假设第i段的温度为Ti。
根据以上方程，我们可以得到：(Ti+1 - Ti)/∆x = -q/(kA)其中，i取值从1到N-1。
根据热平衡方程，我们有：q = -kA(T2 - T1)/L将其带入上述方程，可以得到：Ti+1 - Ti = kA(T2 - T1)/(L∆x)根据以上方程，我们可以利用迭代的方法，从上端到下端，求解各段的温度。
四、总结通过上述分析和计算，我们可以详细了解热传导和热平衡的概念、原理和计算方法。
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
传热学第3章非稳态导热
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
§3-4 半无限大的物体
半无限大物体的概念
• 第一类边界条件： • 第二类边界条件： • 第三类边界条件：
•* - 31 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
问题的解：
•
误差函数 无量纲变量
• 第一类边界：
• 第二类边界：
• ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
• 3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
•* - 2 -
•第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
• 4、温度分布：
•t
• 开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
• 此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把
视为惰性时间。
•
当
时x处的温度可以认为等于t0。
•对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的 初始阶段，那在惰性时间以内。
•* - 35 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
即任一点的热流通量： 令 即得边界面上的热流通量
• 第三类边界：
•* - 32 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
• 误差函数：
• 无量纲 坐标
• 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关
•
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x 有多么
大，
•
该处总能感受到温度的化。？
•
(3) 但解释Fo, a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，
第3章-非稳态导热分析解法1
ΔΕ
ρ , c, V, t0
Байду номын сангаас
φc
h, t
建立数学模型－利用两种方法
根据导热微分方程的一般形式进行简化； 利用能量守恒 热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通
过表面与外界交换的热流量φc 。
方法一
椐非稳态有内热源的导热微分方程：
2 2 2 t t t t 2 2 2 c c x y z
边界条件：着重讨论第三类边界条件
t ( ) w h(tw t f ) n
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条件， 则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析解都被认为是满足特定问题
界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：
V Ah(t t )
物体被冷却，∴φ应为负值
dt cV Ah(t t ) d
适用于本问题的导 热微分方程式
在导热问题中，将边界的对流换热
(或辐射换热)折算成“计算源项”是 有条件的，即在所研究的方向上导热 体内部热阻忽略不计。
fo02时是非正规状况阶段各点温度变化速率不同编辑ppt65coscossinsinsincos与时间无关与时间无关只取决于边界条件只取决于边界条件以平板为例进行分析平板中心处平板中心处过余温度过余温度编辑ppt66平板从初始时刻到热平衡所传递的热量3一段时间间隔内所传导的热量计算式非稳态导热所能传递的最大热量若令q为0内所传递热量平均过余温度编辑ppt67热量计算式sin2sincossin3sincos2sincosexpcoscossinfobifo编辑ppt68三种几何形状物体的正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一为
传热学-第3章-稳态导热的计算与分析
15
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
d dt 0
dx dx
0 1 bt
分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布：
0
t
b 2
t2
m
tw2
tw1
x
0
t
w1
b 2
t 2 w1
式中：
m
0
1
tw1
tw2 2
b
为平壁平均温度下的导热系数
16
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
0
t
b 2
t2
m
tw2 tw1
x
0
t
w1
b 2
t 2w1
这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化时，
平壁内的温度分布是二次曲线方程，该二次曲线的凹凸性
主要由温度系数b的正负决定。
利用傅里叶定律分析表明：
——b>0时，温度分布曲线的开口向下；
——b<0时曲线开口向上
17
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁
需要用平壁算术平均温度下的导热系数λm代替
19
3.1.3 第一类边界条件下变物性、无内热源的平壁 ❖ 由于热流密度为常数，仍可采用对傅立叶定律分离变量
积分的分析方法得到平壁内的温度分布 ❖ 作为练习，请大家自行推导
20
3.1.4 第三类边界条件下的常物性、无内热源的平壁
❖ 当平壁左、右两侧面分别与温度为tf1和tf2（tf1>tf2） 的流体进行对流传热时，平壁两侧均处于第三类 边界条件
态 稳态的特征：物体内各位置处的温度不随时间变化，可
以去掉方程中的非稳态项
第3章 非稳态热传导-1
e 1 0.368 36.8% 0
即物体的过余温度达到初始过余温度的36.8%。这说明，时间常数反 映物体对周围环境温度变化响应的快慢，时间常数越小，物体的温度 变化越快，越迅速地接近周围流体的温度，如图3-2所示。
工程上，对于非稳态导热过程往往要求解决下列问题： （1）物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时 间，或经某一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值； （2）物体在非稳态导热过程中的温度分布，为求材料中的热应力和热 变形提供必要的资料； （3）物体在非稳态导热过程中的温升速率； （4）某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传 递的总热量。
物体内各点过余温度之间的偏差就小于5%，就可以使用集总参数法计算。
M是与物体形状有关的无量纲数： 对于无限大平板，M = 1； 对于无限长圆柱，M = 1/2； 对于球，M = 1/3。
cV cV 具有时间的量纲，令 式(3-3)指数部分中的 ，c称为时间 c hA hA 常数，单位是s。
图3-1 集总参数法 分析示意图
假设该问题满足 Bi 01 . 的条件，根据能量守恒，单位时间物体热 力学能的变化量应该等于物体表面与流体之间的对流传热量，即
dt cV hAt t d
引进过余温度 t t ，上式可改写为：
(3-1)
d cV hA d
求解非稳态导热过程中物体的温度场，通常可采用分析解法、数值解 法、图解法和热电模拟法。
§3.2 零维问题的分析解法
当 Bi 01 . 时，物体内部的导热热阻远小于其表面的对流传热热 阻，该导热热阻可以忽略不计，此时，物体内部各点的温度在任一时刻 都趋于均匀，物体的温度只是时间的函数，与坐标无关。
热传导与导热性：热传导过程与导热性质的计算与分析
热传导与导热性：热传导过程与导热性质的计算与分析热传导是物质中热能传递的过程，它是热能从高温区域向低温区域传播的方式。
导热性表示物质对热传导的能力，是衡量物质导热特性的重要性质之一。
研究热传导与导热性的计算与分析，可以帮助我们理解物质的热传输机制和优化热传导性能的方法。
首先，我们来了解热传导的过程。
热能的传递有三种方式：传导、对流和辐射。
在固体中，热能主要通过传导方式传递。
传导是因为物质中的原子或分子之间存在着热运动，当高温区域的原子或分子与低温区域的原子或分子发生碰撞时，会把热能传递给低温区域，这样就形成了热传导。
热传导的速率取决于温度差、物质本身的导热性以及物质的形状和尺寸。
导热性是衡量物质对热传导的能力的物理量，用热导率来表示。
热导率是物质单位面积、单位时间内热能流过的量，它是导热性的一个重要参数。
热导率可以通过实验测量得到，也可以通过计算来估算。
一般情况下，固体的热导率比液体小，而液体的热导率又比气体小。
因为在固体中，原子或分子之间更紧密，热能更容易传递。
另外，导热性还受到物质的结构和组分的影响，对于复杂的物质，导热性往往是非均匀的。
在实际应用中，我们经常需要计算物质的热传导过程和导热性质。
这涉及到了一些基本的计算方法和分析技巧。
首先，我们需要了解物质的热传导模型，选择合适的数学方程来描述热传导过程。
一般情况下，我们可以使用热传导方程来描述热传导的变化规律。
对于简单的情况，如一维热传导，我们可以使用傅立叶热传导定律来计算热传导速率和温度分布。
在计算过程中，我们还需要知道物质的热导率。
对于常见的物质，热导率的数值可以在参考手册和热物性数据库中找到。
如果没有准确的数值，我们可以使用经验公式或者估算方法来进行近似计算。
另外，在多相复合材料或多层结构中，我们需要考虑不同材料之间的界面热阻对热传导的影响。
在分析热传导过程和导热性质时，我们还可以进行一些定性和定量的分析。
例如，我们可以通过绘制温度-距离曲线来研究热传导速率的变化趋势。
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两种情况散热量之比为：
ql 0.1426 1.19或 ql 0.84
ql 0.11969
ql
结论：导热系数大的材料在外面，导热系数小 的材料放在里层对保温更有利。
例题3-6 电厂中有一直径为0.2m的过热蒸汽管道，钢
管壁厚为0.8mm ,钢材的热导率为λ1=45W/(m·K)，管 外包有厚度为δ=0.12m的保温层，保温材料导热系数 为λ2=0.1W/(m·K)，管内壁面温度为tw1=300℃，保温 层外壁面温度为tw3=50℃。试求单位管长的散热损失。
1 l n r2
1 l n r3
1 l n r4
21l r1 22l r2 23l r3
Q
tw1 tw4 1 3 1 l n ri1
2 l i1 i ri
单位管长的热流量
ql
Q l
1
tw1 tw4 3 1 l n ri1
2 i1 i ri
例3－5 某管道外经为2r，外壁温度为tw1，如外包
c t ( t ) ( t ) ( t ) Φ x x y y z z
3.1.1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两侧 保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态导 热问题。
平板可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型。
（2）利用前面已讲过的导热系数为常数计
算公式，只需要将换成平均温度下的平均 导热系数m。
如：随温度呈线性分布＝0＋bt，则
m
0
b
t1
t2 2
❖ 如果取直线关系时(λ=λ0+bt，λ0>0)，此时温度分布 曲线的性质与b的正负和数值有关。
q
t
dt dx
0
bt
t2
Δt
接导热，在不接触处存在
空隙。
t1
t
热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐 射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热
阻。
接触热阻是普遍存在 的，而目前对其研究又不 充分，往往采用一些实际 测定的经验数据。
通常，对于导热系数较小 的多层壁导热问题接触热 阻多不予考虑；但是对于 金属材料之间的接触热阻 就是不容忽视的问题。
两层厚度均为r（即2＝3＝r）、导热系数分别为 2和3（2/3=2）的保温材料，外层外表面温度
为tw2。如将两层保温材料的位置对调，其他条件 不变，保温情况变化如何？由此能得出什么结论？
解： 设两层保温层直径分别为d2、d3和d4，则 d3/d2=2，d4/d3=3/2。导热系数大的在里面：
例3-1 有一砖砌墙壁，厚为0.25m。已知内外壁面 的温度分别为25℃和30℃。试计算墙壁内的温度 分布和通过的热流密度。
解法一：导热微分方程式简化+定解条件→积分求 温度→傅立叶定律→热流密度
解法二：傅立叶定律积分→热流密度
解法一：一维稳态无内热源导热问题
控制方程：
d2t dx2
0
定解条件：
q
tw1 tw4
1 2 3
1259W/m2
1 2 3
tw2
tw1
q 1 1
700℃
tw3
tw2
q 2 2
289℃
硅藻土层的平均温度为 tw1 r1
tw1
tw2
tw
3
q
tw4
tw2 r2 tw3 r3 tw4
tw2 tw3 499℃ 2
0
tw1
(a)
边界条件与无内热源时相同:
hc
x=0, q dt 0
(b)
dx w
tf
x = ,
dt dx
x
hc
tw2 t f
(c)
0
x
对微分方程式(a)进行积分, 得
dt dx
&x
c1
(d)
将边界条件(b)代入：当x=0，q=0，可得：c1 = 0
)
17.4W/m2
例3-2 由三层材料组成的加热炉炉墙。第一层为耐火砖。 第二层为硅藻土绝热层，第三层为红砖，各层的厚度及
导 热 系 数 分 别 为 1 ＝ 240mm ， 1=1.04W/(mK) ， 2 ＝ 50mm, 2=0.15W/(mK)，3＝115mm, 3=0.63W/(mK)。
c t ( t ) Φ x x
d2t dx2
0
方程
定解条件：
x 0,
x ,
t tw1 t tw2
第一类 边界
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
d2t dx2
0
带入边界条件：
c1
tw2 tw1
c2 tw1
tw1
hc
t
&
2
x2
&
hc
& 2
2
t
f
tf
0
x
平壁内部温度具有最大值的位置可由下式求出:
dt
0
dx xxmax
&xmax 0
xmax 0
最大值tmax为：
tmax
&
hc
& 2 2
tf
q的变化规律？
变导热系数问题
（1）计算平均温度下的平均导热系数m；
第三章 导热的计算与分析
§3-1 一维稳态导热 §3-2 通过肋片的稳态导热 §3-3 对流边界条件下的一维非稳态导热 §3-4 集总参数分析法 §3-5 半无限大物体的非稳态导热 §3-6 井筒周围的非稳态导热
3.1 一维稳态导热
本节将针对一维、稳态、常物性情况，考察 平板和圆柱内的导热。 直角坐标系：
பைடு நூலகம்
ql
tw1 tw2
1 ln d3 1 ln d4
1
t
3t
ln 2＋ 1 ln 3 0.11969
22 d2 23 d3 2 23
23 2
导热系数大的在外面：
ql
1
tw1 t w2 ln 2 1
＝ 3t
ln 3 0.1426
23
2 23 2
0.2m
2 0.1W /(m K)
0.216 m
250 (0.272 103
线性
t
tw2 tw1
x
tw1
分布
dt
tw2
tw1
带入Fourier 定律
dx
r
R A
q
tw2 tw1
t
t
(A)
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2、多层平壁的导热
多层平壁：由几层不同材料组成
3
推广到n层壁的情况:
t1 r1
t2 r2 t3 r3
t4
q t1 tn1
n i
i1 i
3、接触热阻
在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间
是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在
工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之
间的接触都不可能是紧密的。 x
在这种情况下，两壁面 之间只有接触的地方才直
假设：tw1>tw2
tw1 r1
tw2 r
r2
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分
第二次积分
r
dt dr
c1
t c1 ln r c2
应用边界条件
tw1 c1 ln r1 c2; tw2 c1 ln r2 c2 获得两个系数
c1
tw2 ln(r2
tw1 r1 )
;
c2
W
恒定值
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：
R t ln(d2 / d1 )
2l
单位长度圆筒壁的热流量（亦称 为线热流密度）：
Φ ql l
tw1 tw2 1 ln r2
2 r1
tw1 tw2 Rl
W m
Rl
1
2
ln
r2 r1
单位长度圆筒壁的导热热阻，m·K/W
解：这是一个通过二层圆筒壁的稳态导热问题。根 据前面的计算式或者热阻串联关系，有
ql
tw1 tw3 1 ln d2 1
ln d3
21 d1 2 2 d2
(300 50)K
1
ln (0.2 2 0.008)m
1
ln (0.216 2 0.12)m
2 45W /(m K)
dt &x
(e)
dx
对式(e)再进行积分, 得
t
1 2
&x2
c2
(f)
将式(e)、（f）都带入（c）得
&
hc
1 2
&
2
c2
tf
(g)
t
这样可求出C2
& & 2 c2 hc 2 t f