第3章-导热问题的分析与计算
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第3章-导热的计算与分析-1
两种情况散热量之比为：
ql 0.1426 1.19或 ql 0.84
ql 0.11969
ql
结论：导热系数大的材料在外面，导热系数小 的材料放在里层对保温更有利。
例题3-6 电厂中有一直径为0.2m的过热蒸汽管道，钢
管壁厚为0.8mm ,钢材的热导率为λ1=45W/(m·K)，管 外包有厚度为δ=0.12m的保温层，保温材料导热系数 为λ2=0.1W/(m·K)，管内壁面温度为tw1=300℃，保温 层外壁面温度为tw3=50℃。试求单位管长的散热损失。
1 l n r2
1 l n r3
1 l n r4
21l r1 22l r2 23l r3
Q
tw1 tw4 1 3 1 l n ri1
2 l i1 i ri
单位管长的热流量
ql
Q l
1
tw1 tw4 3 1 l n ri1
2 i1 i ri
例3－5 某管道外经为2r，外壁温度为tw1，如外包
c t ( t ) ( t ) ( t ) Φ x x y y z z
3.1.1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两侧 保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态导 热问题。
平板可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型。
（2）利用前面已讲过的导热系数为常数计
算公式，只需要将换成平均温度下的平均 导热系数m。
如：随温度呈线性分布＝0＋bt，则
m
0
b
t1
t2 2
❖ 如果取直线关系时(λ=λ0+bt，λ0>0)，此时温度分布 曲线的性质与b的正负和数值有关。
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
传热学第3章-非稳态导热分析解法
传热学第3章-⾮稳态导热分析解法第三章⾮稳态导热分析解法1、重点内容：①⾮稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应⽤；③⼀维及⼆维⾮稳态导热问题。
2、掌握内容：①确定瞬时温度场的⽅法；②确定在⼀时间间隔内物体所传导热量的计算⽅法。
3、了解内容：⽆限⼤物体⾮稳态导热的基本特点。
许多⼯程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某⼀极限值所需的时间。
如：机器启动、变动⼯况时，急剧的温度变化会使部件因热应⼒⽽破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制⼯件的热处理是⼀个典型的⾮稳态导热过程，掌握⼯件中温度变化的速率是控制⼯件热处理质量的重要因素；⾦属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中⼼温度。
§3—1 ⾮稳态导热的基本概念⼀、⾮稳态导热1、定义：物体的温度随时间⽽变化的导热过程称⾮稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间⽽变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间⽽作周期性变化1）物体的温度随时间⽽趋于恒定值如图3-1所⽰，设⼀平壁，初值温度t 0，令其左侧的表⾯温度突然升⾼到1t 并保持不变，⽽右侧仍与温度为0t 的空⽓接触，试分析物体的温度场的变化过程。
⾸先，物体与⾼温表⾯靠近部分的温度很快上升，⽽其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩⼤，到某⼀时间后，右侧表⾯温度也逐渐升⾼，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到⼀定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述⾮稳态导热过程中，存在着右侧⾯参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第⼀阶段（右侧⾯不参与换热）温度分布显现出部分为⾮稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较⼤，此阶段称⾮正规状况阶段。
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
传热学第3章非稳态导热
•* - 30 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
§3-4 半无限大的物体
半无限大物体的概念
• 第一类边界条件： • 第二类边界条件： • 第三类边界条件：
•* - 31 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
问题的解：
•
误差函数 无量纲变量
• 第一类边界：
• 第二类边界：
• ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
• 3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
•* - 2 -
•第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
• 4、温度分布：
•t
• 开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
• 此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把
视为惰性时间。
•
当
时x处的温度可以认为等于t0。
•对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的 初始阶段，那在惰性时间以内。
•* - 35 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
即任一点的热流通量： 令 即得边界面上的热流通量
• 第三类边界：
•* - 32 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
• 误差函数：
• 无量纲 坐标
• 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关
•
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x 有多么
大，
•
该处总能感受到温度的化。？
•
(3) 但解释Fo, a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
§3-4 半无限大的物体
半无限大物体的概念
• 第一类边界条件： • 第二类边界条件： • 第三类边界条件：
•* - 31 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
问题的解：
•
误差函数 无量纲变量
• 第一类边界：
• 第二类边界：
• ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
• 3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
•* - 2 -
•第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
• 4、温度分布：
•t
• 开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
• 此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把
视为惰性时间。
•
当
时x处的温度可以认为等于t0。
•对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的 初始阶段，那在惰性时间以内。
•* - 35 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
即任一点的热流通量： 令 即得边界面上的热流通量
• 第三类边界：
•* - 32 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
• 误差函数：
• 无量纲 坐标
• 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关
•
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x 有多么
大，
•
该处总能感受到温度的化。？
•
(3) 但解释Fo, a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，
第三章传热传质问题的分析与计算
u uw 1 u uw
y , t tw 1 t tw
扩散方程
y 0, CA CA,w 0 y , CA CA,w 1
CA, CA,w
CA, CA,w
这三个性质类似的物性系数中，任意两个系数 的比值均为无量纲量,即
普朗特准则 Pr
v
2u y 2
能量方程
u
t x
t y
a
2t y 2
扩散方程
u
C A x
C A y
D
2C A y 2
边界条件为：
动量方程 y 0, u 0
或
u
能量方程
y , u 1 或 u
y 0, t tw 0 t tw
u uw 0 u uw
h
dy
定义，阿克曼修正系数
C0
= (N AM Ac P,A+N B M h
BcP,B )
C0与假定传质方向（壁面向流体）一致为正
δ0
d 2t dy2
- C0
dt dy
=0
边界条件
y =0
y =δ0
t =t1
t =t2
得到流体在薄膜层内的温度分别为
exp(C0 y ) -1
t( y) =t1 +(t2 - t1)
dy
• 动量传递公式表明：动量通量密度正比 于动量浓度的变化率。
• 能量传递公式表明：能量通量密度正比 于能量浓度的变化率。
• 质量传递公式表明：组分A的质量通量密 度正比于组分A的质量浓度的变化率。
3.1.2 三传方程
连续性方程 u 0
y , t tw 1 t tw
扩散方程
y 0, CA CA,w 0 y , CA CA,w 1
CA, CA,w
CA, CA,w
这三个性质类似的物性系数中，任意两个系数 的比值均为无量纲量,即
普朗特准则 Pr
v
2u y 2
能量方程
u
t x
t y
a
2t y 2
扩散方程
u
C A x
C A y
D
2C A y 2
边界条件为：
动量方程 y 0, u 0
或
u
能量方程
y , u 1 或 u
y 0, t tw 0 t tw
u uw 0 u uw
h
dy
定义，阿克曼修正系数
C0
= (N AM Ac P,A+N B M h
BcP,B )
C0与假定传质方向（壁面向流体）一致为正
δ0
d 2t dy2
- C0
dt dy
=0
边界条件
y =0
y =δ0
t =t1
t =t2
得到流体在薄膜层内的温度分别为
exp(C0 y ) -1
t( y) =t1 +(t2 - t1)
dy
• 动量传递公式表明：动量通量密度正比 于动量浓度的变化率。
• 能量传递公式表明：能量通量密度正比 于能量浓度的变化率。
• 质量传递公式表明：组分A的质量通量密 度正比于组分A的质量浓度的变化率。
3.1.2 三传方程
连续性方程 u 0
传热学第三章稳态导热
传热学第三章稳态导热
11
根据热阻串联的叠加原则，通过三 层壁的热流密度计算式为：
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
W/m2
、
qA
1
tw1 tw4
2 3
W
1A 2A 3A
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
12
由
q
t
可得各层接触面上的温度分别为 ：
tw2
、tw1
q1 1
℃
tw3
பைடு நூலகம்
tw4
W/m2
可见，通过平壁稳态导热的热流密度 取决于导热系数、壁厚及两侧面的温差。
稳态下平壁内与热流相垂直的各截面 上的热流密度为常量。
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
6
通过整个平壁的热流量为：
AqAt
W
当λ=λ0(1+bt) 时，在温差(t1-t2 ) 下的导热量仍可用常物性导热计算式来 计算，只需用平均温度t=(t1+t2)/2 下的平 均导热系数计算即可。
rλ
rh2
传热学第三章稳态导热
返回 15
第二节 通过圆筒壁的导热
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热 二、第三类边界条件下的圆筒壁导热 三、临界热绝缘直径
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
16
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热
1.单层圆筒壁
已知：长圆筒壁 r1、r2、 l ；
λ=const
r=r1 ,t=tw1; r=r2 ,t=tw2 求： (1) Φ=？
第三章 稳态导热
§3-1 通过平壁的导热 §3-2 通过圆筒壁的导热 §3-3 通过球壁的导热 §3-4 接触热阻 §3-5 通过肋片的导热
3第三章 非稳态导热
Bi
n
2.一维非稳态导热的分析解
（2）总传热量
设从初始时刻至某一时刻τ所传递的热量为Q，则有：
分离变量积分并代入初始条件得：
hA
=e cV
0
思考：上述结果是对物体被冷却 的情况导出的，如果要用于被加 热的场合，该怎么办？
6.集总参数系统的分析解
hA hV cV A
A2 cV 2
h(V / A) a (V / A)2
BiV FoV
Bi hl l＝ 物体内部导热热阻 1 h 物体表面对流换热热阻
• 在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的 时间常数为1s。你怎么看待这个值？
cV
c hA
——根据定义式，时间常数中物性参数ρ、c、V、A可 以看作是常数，但表面传热系数h却是与具体过程 有关的量。
——说明书上的标明的时间常数需要具体分析，不能 盲目相信。
【内容小结】
• 集总参数系统的分析 • 时间常数的导出和意义 • 时间常数对测温系统的指导
一个集总参数系统，其体积
为V、表面积为A、密度为、 比热为c、初始温度为t0，突 然放入温度为tf (设t0> tf )、 对流换热系数为h的环境中，
求系统温度变化。
A h, tf
ΔE
Qc
ρ, c, V, t0
——表面对流换热对其过程有着重要影响，如何处理？
4. 微分方程
-
t n
ht
t
f
集总参数系统内部没有温差， 不能用第三类边界条件。
不断减小，在其它各截面上，其
截面温度开始升高之前通过该截
面的热流量是零，温度开始升高
A
之后，热流量才开始增加。
BC D 3
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石油工程传热学
变导热系数问题 求解导热问题的主要途径分两步： (1)求解导热微分方程，获得温度场； (2)根据 Fourier 定律和已获得的温度场计 算热流量；
对于稳态、无内热源、第一类边界条件 下的一维导热问题，可以不通过温度场 而直接获得热流量。
石油工程传热学
此时，一维Fourier定律：
2 2 2 2
b<0
tw2
d 2t b dt dx 2 0 bt dx
2
0
x
当b>0时，曲线上凸； 当b<0时，曲线下凹； 当b=0时，为直线 。
石油工程传热学
3.1.2 通过圆筒壁导热
1、单层圆筒壁的稳态导热 稳态导热 t
0
1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) 0 柱坐标系： r r r r z z
在这种情况下，两壁面 Δt t2 之间只有接触的地方才直 接导热，在不接触处存在 t t1 空隙。 热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐 射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热 阻。
石油工程传热学
接触热阻是普遍存在 的，而目前对其研究又不 充分，往往采用一些实际 测定的经验数据。 通常，对于导热系数较小 的多层壁导热问题接触热 阻多不予考虑；但是对于 金属材料之间的接触热阻 就是不容忽视的问题。
dx
2
q
0
(a)
边界条件与无内热源时相同:
x=0,
x=,
dt 0 dx w
hc (b)
tf
dt hc tw2 t f dx x
(c)
0
x
石油工程传热学
对微分方程式(a)进行积分, 得
dt x c1 dx
(d)
将边界条件(b)代入上式,当x=0，q=0，可求得积分 常数 c1 = 0 t
解：
已知 1＝0.24m, 1=1.04W/(mK)
2＝0.05m, 2=0.15W/(mK)
3＝0.115m, 3=0.63W/(mK) tw1=1000℃，tw4=60℃
石油工程传热学
1 2 3 1 2 3 1 tw 2 tw1 q 700℃ 1 2 tw3 tw 2 q 289℃ 2
dt Φ A dx
当＝(t)(随温度变化)时， dt Φ A (t ) dx
石油工程传热学
分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x无关( 稳态)，得 dt Φ (t ) A( x)
dx
x2
x1
(t ) t2 (t2 t1 ) dx t (t )dt 1 (t2 t1 ) t1 A t2 t1 t2 t1
这样可求出C2
2 c2 tf hc 2
于是，壁内的温度分布为
2 2 t x tf 2 hc 2
平壁内部温度具有最大值的位置可由下式求出:
dt 0 dx x xmax
xmax 0
xmax 0
最大值tmax为： tmax
2 tf hc 2
Q
tw1 tw 2 t t t t w 2 w3 w3 w 4 r r r 1 1 1 n 2 n 4 n 3 21l r1 22l r2 23l r3
tw1 tw 4 Q ri 1 1 3 1 n 2 l i 1 i ri
单位管长的热流量
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
石油工程传热学
2、多层平壁的导热
多层平壁：由几层不同材料组成
例：锅炉的炉墙 — 耐火砖层、 隔热砖层、保温层层、金属护 板组成 假设各层之间接触良好，可以 近似地认为接合面上各处的温 度相等
t1
t2 t3
q t4
石油工程传热学
q
t1 t 2
1
t 2 t3
dt x dx
(e)
tw1
hc
对式(e)再进行积分, 得
t 1 2 x c2 2
(f)
将式(e)、（f）都带入（c）得
1 2 hc c2 t f 2
tf
(g) 0
x
石油工程传热学
控制 方程
定解条件：
第一类 边界
x 0, t tw1 x , t tw 2
石油工程传热学
直接积分，得：
dt c1 t c1 x c2 dx
d t dx
2
2
0
t w2 t w1 c1 带入边界条件： c2 t w1
将系数带入第二次积分结果
tw 2 tw1 t tw1 ln(r r1 ) ln(r2 r1 )
显然，温度呈对数曲线分布
石油工程传热学
下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况
ln(r r1 ) 求导 t tw1 (tw1 tw 2 ) ln(r2 r1 )
热流 密度
t w1 t w 2 1 dt dr ln(r2 r1 ) r
r2
石油工程传热学
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分 第二次积分
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
应用边界条件
tw1 c1 ln r1 c2 ; tw2 c1 ln r2 c2
tw 2 tw1 c1 ; ln(r2 r1 )
获得两个系数
ln r1 c2 tw1 (tw 2 tw1 ) ln(r2 r1 )
第三章 导热问题的分析与计算
§3-1 一维稳态导热
§3-2 通过肋片的稳态导热
§3-3 对流边界条件下的一维非稳态导热 §3-4 集总参数分析法 §3-5 半无限大物体的非稳态导热 §3-6 井筒周围的非稳态导热
石油工程传热学
第三章
导热问题的分析与计算
第一部分
稳态导热
石油工程传热学
§3-1 一维稳态导热
a.单层壁导热
b.多层壁导热
c. 复合壁导热
石油工程传热学
1、单层平壁的导热 a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知； 无内热源
t 稳态导热 : 0 c 时间条件：
d 边界条件：第一类
类似于渗流力学中单相流体的平面平行流的渗流过程
石油工程传热学
根据上面的条件可得：
2 t t d t c ( ) Φ 0 2 x x dx
石油工程传热学
t w 2 t w1 t x t w1 带入Fourier 定律 t t d t w 2 w1 dx
线性 分布
r
R A
t w 2 t w1 t q t ( A )
本节将针对一维、稳态、常物性情况，考察 平板和圆柱内的导热。 直角坐标系：
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
石油工程传热学
3.1.1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两 侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态 导热问题。 平板可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型 。
t2
t1 (t )dt
t2 t1
t2
(t1 t2 )
x1
x2
dx A( x)
石油工程传热学
当随温度呈线性分布时，即＝0＋at，则
t1 t2 0 a 2
实际上，不论 如何变化，只要能计算出 平均导热系数，就可以利用前面讲过的所
有定导热系数公式，只是需要将 换成平
W
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：
石油工程传热学
单位长度圆筒壁的热流量（亦称 为线热流密度）：
tw1 tw 2 Φ tw1 tw 2 ql r2 1 l Rl ln 2 r1
W m
r2 Rl ln 单位长度圆筒壁的导热热阻，m· K/W 2 r1 1
1
2
t3 t 4
ห้องสมุดไป่ตู้t1
t2 t3
2
3
3
q
由和分比关系
q
t4
1
1
＋ 2
t1 t 4
2
＋
3
3
t1 r1 t2 r2 t3 r3 t4
推广到n层壁的情况:
q t1 t n 1
i i 1 i
n
石油工程传热学
3、接触热阻
在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间 是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在 工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之 间的接触都不可能是紧密的。 x
虽然是稳态情况， 但热流密度 q 与半 径 r 成反比！
恒定值
dt tw1 tw2 q dr r ln(r2 r1 )
W m
2
热流 量
2 l (tw1 tw 2 ) Φ 2 rlq ln(r2 r1 )
t ln(d 2 / d1 ) R 2l
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2、通过多层圆筒壁的导热 由不同材料构成的多层圆筒壁 带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结垢、 积灰的输送管道等 由不同材料制作的圆筒同心紧密结合而构成多层圆 筒壁 ，如果管子的壁厚远小于管子的长度，且管 壁内外边界条件均匀一致，那么在管子的径向方向 构成一维稳态导热问题。
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硅藻土层的平均温度为
q
tw1 tw 4
变导热系数问题 求解导热问题的主要途径分两步： (1)求解导热微分方程，获得温度场； (2)根据 Fourier 定律和已获得的温度场计 算热流量；
对于稳态、无内热源、第一类边界条件 下的一维导热问题，可以不通过温度场 而直接获得热流量。
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此时，一维Fourier定律：
2 2 2 2
b<0
tw2
d 2t b dt dx 2 0 bt dx
2
0
x
当b>0时，曲线上凸； 当b<0时，曲线下凹； 当b=0时，为直线 。
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3.1.2 通过圆筒壁导热
1、单层圆筒壁的稳态导热 稳态导热 t
0
1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) 0 柱坐标系： r r r r z z
在这种情况下，两壁面 Δt t2 之间只有接触的地方才直 接导热，在不接触处存在 t t1 空隙。 热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐 射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热 阻。
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接触热阻是普遍存在 的，而目前对其研究又不 充分，往往采用一些实际 测定的经验数据。 通常，对于导热系数较小 的多层壁导热问题接触热 阻多不予考虑；但是对于 金属材料之间的接触热阻 就是不容忽视的问题。
dx
2
q
0
(a)
边界条件与无内热源时相同:
x=0,
x=,
dt 0 dx w
hc (b)
tf
dt hc tw2 t f dx x
(c)
0
x
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对微分方程式(a)进行积分, 得
dt x c1 dx
(d)
将边界条件(b)代入上式,当x=0，q=0，可求得积分 常数 c1 = 0 t
解：
已知 1＝0.24m, 1=1.04W/(mK)
2＝0.05m, 2=0.15W/(mK)
3＝0.115m, 3=0.63W/(mK) tw1=1000℃，tw4=60℃
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1 2 3 1 2 3 1 tw 2 tw1 q 700℃ 1 2 tw3 tw 2 q 289℃ 2
dt Φ A dx
当＝(t)(随温度变化)时， dt Φ A (t ) dx
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分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x无关( 稳态)，得 dt Φ (t ) A( x)
dx
x2
x1
(t ) t2 (t2 t1 ) dx t (t )dt 1 (t2 t1 ) t1 A t2 t1 t2 t1
这样可求出C2
2 c2 tf hc 2
于是，壁内的温度分布为
2 2 t x tf 2 hc 2
平壁内部温度具有最大值的位置可由下式求出:
dt 0 dx x xmax
xmax 0
xmax 0
最大值tmax为： tmax
2 tf hc 2
Q
tw1 tw 2 t t t t w 2 w3 w3 w 4 r r r 1 1 1 n 2 n 4 n 3 21l r1 22l r2 23l r3
tw1 tw 4 Q ri 1 1 3 1 n 2 l i 1 i ri
单位管长的热流量
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
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2、多层平壁的导热
多层平壁：由几层不同材料组成
例：锅炉的炉墙 — 耐火砖层、 隔热砖层、保温层层、金属护 板组成 假设各层之间接触良好，可以 近似地认为接合面上各处的温 度相等
t1
t2 t3
q t4
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q
t1 t 2
1
t 2 t3
dt x dx
(e)
tw1
hc
对式(e)再进行积分, 得
t 1 2 x c2 2
(f)
将式(e)、（f）都带入（c）得
1 2 hc c2 t f 2
tf
(g) 0
x
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控制 方程
定解条件：
第一类 边界
x 0, t tw1 x , t tw 2
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直接积分，得：
dt c1 t c1 x c2 dx
d t dx
2
2
0
t w2 t w1 c1 带入边界条件： c2 t w1
将系数带入第二次积分结果
tw 2 tw1 t tw1 ln(r r1 ) ln(r2 r1 )
显然，温度呈对数曲线分布
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下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况
ln(r r1 ) 求导 t tw1 (tw1 tw 2 ) ln(r2 r1 )
热流 密度
t w1 t w 2 1 dt dr ln(r2 r1 ) r
r2
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对上述方程(a)积分两次:
第一次积分 第二次积分
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
应用边界条件
tw1 c1 ln r1 c2 ; tw2 c1 ln r2 c2
tw 2 tw1 c1 ; ln(r2 r1 )
获得两个系数
ln r1 c2 tw1 (tw 2 tw1 ) ln(r2 r1 )
第三章 导热问题的分析与计算
§3-1 一维稳态导热
§3-2 通过肋片的稳态导热
§3-3 对流边界条件下的一维非稳态导热 §3-4 集总参数分析法 §3-5 半无限大物体的非稳态导热 §3-6 井筒周围的非稳态导热
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第三章
导热问题的分析与计算
第一部分
稳态导热
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§3-1 一维稳态导热
a.单层壁导热
b.多层壁导热
c. 复合壁导热
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1、单层平壁的导热 a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知； 无内热源
t 稳态导热 : 0 c 时间条件：
d 边界条件：第一类
类似于渗流力学中单相流体的平面平行流的渗流过程
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根据上面的条件可得：
2 t t d t c ( ) Φ 0 2 x x dx
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t w 2 t w1 t x t w1 带入Fourier 定律 t t d t w 2 w1 dx
线性 分布
r
R A
t w 2 t w1 t q t ( A )
本节将针对一维、稳态、常物性情况，考察 平板和圆柱内的导热。 直角坐标系：
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
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3.1.1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两 侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态 导热问题。 平板可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型 。
t2
t1 (t )dt
t2 t1
t2
(t1 t2 )
x1
x2
dx A( x)
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当随温度呈线性分布时，即＝0＋at，则
t1 t2 0 a 2
实际上，不论 如何变化，只要能计算出 平均导热系数，就可以利用前面讲过的所
有定导热系数公式，只是需要将 换成平
W
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：
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单位长度圆筒壁的热流量（亦称 为线热流密度）：
tw1 tw 2 Φ tw1 tw 2 ql r2 1 l Rl ln 2 r1
W m
r2 Rl ln 单位长度圆筒壁的导热热阻，m· K/W 2 r1 1
1
2
t3 t 4
ห้องสมุดไป่ตู้t1
t2 t3
2
3
3
q
由和分比关系
q
t4
1
1
＋ 2
t1 t 4
2
＋
3
3
t1 r1 t2 r2 t3 r3 t4
推广到n层壁的情况:
q t1 t n 1
i i 1 i
n
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3、接触热阻
在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间 是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在 工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之 间的接触都不可能是紧密的。 x
虽然是稳态情况， 但热流密度 q 与半 径 r 成反比！
恒定值
dt tw1 tw2 q dr r ln(r2 r1 )
W m
2
热流 量
2 l (tw1 tw 2 ) Φ 2 rlq ln(r2 r1 )
t ln(d 2 / d1 ) R 2l
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2、通过多层圆筒壁的导热 由不同材料构成的多层圆筒壁 带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结垢、 积灰的输送管道等 由不同材料制作的圆筒同心紧密结合而构成多层圆 筒壁 ，如果管子的壁厚远小于管子的长度，且管 壁内外边界条件均匀一致，那么在管子的径向方向 构成一维稳态导热问题。
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硅藻土层的平均温度为
q
tw1 tw 4