数学与哲学

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哲学概念与数学概念的区别

哲学概念与数学概念的区别

哲学概念与数学概念的区别哲学概念与数学概念是两个不同的领域,虽然它们都是人类文明中的重要思维方式,但在概念本身和运用方法上存在一些明显的区别。

以下将从概念本身、思维方式和运用方法三个方面进行探讨,来阐述这两者之间的区别。

首先,概念本身方面的区别。

哲学概念主要涉及到人类的思维、存在、价值、真理等综合性的问题,探讨的是人的思想和现实的本质关系,关注个体和社会的全面发展。

哲学的概念具有一定的抽象性和多义性,其意义也常常是模糊的,因为哲学本身是在不断发展和演变的。

相比之下,数学概念是用来描述和研究数量、结构、关系和空间等抽象对象的规律和性质。

数学概念的定义通常更加精确,且有着确定的意义。

数学概念之间的关系也往往是明确的、可证明的。

所以,哲学概念更多地关注意义和理论,而数学概念更强调精确性和证明。

其次,思维方式方面的区别。

哲学是一种反思性的思维方式,更加关注问题本身的综合性和整体性,强调的是思考的过程和观点的合理性。

哲学思维强调综合、归纳、分析和批判的能力,通过思辨来探究问题的本质和解决问题的方法。

相比之下,数学思维更加注重逻辑性和形式化,强调的是推理和证明的严密性。

数学思维注重分析、抽象、归纳和演绎的能力,通过逻辑推理来发现规律和解决问题。

因此,哲学思维更加开放和富有创造性,而数学思维则更加严谨和系统化。

最后,运用方法方面的区别。

哲学的运用方法主要是通过思辨、议论、分析、探究等方式来探讨和解决人类思想和现实中的问题。

哲学通过阐述观点、搭建思维框架和分析问题的层面来进行论证和辩证。

而数学的运用方法则更加注重逻辑推理、证明和计算。

数学的研究方法包括利用公理、定义、定理和推导等方式来建立理论体系和解决数学问题。

综上所述,哲学概念与数学概念在概念本身、思维方式和运用方法三个方面存在着明显的区别。

哲学更多地关注于综合性、归纳性和演绎性,强调开放性和思辨性,探讨关于人类思想和现实的综合问题;而数学注重精确性、确定性和形式化,强调严谨性和推理性,研究数量、关系和结构等问题。

数学中的数学与哲学的交叉思考

数学中的数学与哲学的交叉思考

数学中的数学与哲学的交叉思考数学与哲学作为两个独立学科,虽然在学科内容上有所区分,但它们之间存在着密切的联系。

数学中的数学与哲学的交叉思考不仅可以深化对数学本质的理解,还能拓展对哲学思考的层次。

本文将从逻辑、证明与真理、抽象等角度探讨数学与哲学的交叉思考。

一、逻辑的交叉思考逻辑是数学和哲学共同关注的一个重要问题。

数学通过逻辑推理来建立起一套严密的推理体系,使得数学命题的成立和推导过程具备了严格的合理性。

而哲学则关注逻辑的起源、本质和逻辑体系的完备性。

在数学中,逻辑被广泛运用于证明过程中。

通过使用命题逻辑、谓词逻辑等工具,数学家能够从已知条件出发,依次运用逻辑规则进行推导,最终得到所要证明的结论。

这种逻辑推理的思维方式贯穿了数学的各个分支领域。

而在哲学中,逻辑的思考更为深入。

逻辑作为哲学的基础学科,关注着思维的规范和过程的合理性。

哲学家通过研究逻辑规律,试图了解人类思维的本质,并推导出生活、科学以及数学等方面的哲学原则。

二、证明与真理的交叉思考证明与真理是数学与哲学的共同追求。

数学中的证明是通过逻辑推理来验证数学命题的正确性,而哲学中的真理探究则涉及到更加广泛和复杂的问题。

在数学中,证明是数学家必备的能力之一。

数学家通过精确的推理和演绎,构建起数学理论的坚实基础。

证明不仅是数学成果的重要组成部分,也是深入理解数学本质的关键所在。

而在哲学中,真理的概念更加复杂和深奥。

哲学家一直致力于寻找真理的本质和确定真理的标准。

他们通过思辨和讨论,提出了不同的真理观,如经验主义、唯心主义、理性主义等。

这些真理观念也对数学的发展产生了重要影响。

三、抽象的交叉思考抽象是数学和哲学共有的思维方式和方法。

数学中的抽象主要表现为将具体的数学问题转化为一般性的问题进行研究,通过抽离数学对象的特定属性,探索它们的共性和普遍性。

而哲学中的抽象则涉及到对人类思维和存在等诸多问题的概括和思考。

在数学中,抽象是进行数学研究的重要手段。

数学与哲学

数学与哲学

数学与哲学的紧密联系
• 目的性 • • • •
哲学和数学都是去解释这个世界和探讨 这个世界 正如恩格斯所说:“数服从于一定规律,同样, 宇宙也是如此。于是,宇宙的规律性第一次被提 出来了。” 理性 这两个科目都是用理性在思考问题 逻辑性 两个都有严密的逻辑性 抽象性
事实上,哲学是一切其它学科的母 学科。
• 数学与哲学是紧密联系的两个学科,
是血肉相连的两个学科。 • 数学、哲学、数学哲学: 三者的关系从普遍、一般再到特殊。 数学哲学为数学指引方向和发展哲学 的内容。
参考文献
• http://wiki.lets• • 李俊清 西方哲学的数学情缘 长治学院学报
• 在最初的时候,人类获得的知识是有限的。
它们混在一起叫做哲学。 • 后来,随着社会生产力的发展,人类社会 的进步,人类知识的积累越来越多,再把 它们混在一起是不合适。 • 于是,开始分科治学。各种学科就哲学下 划分出去。
所以说,哲学和数学的联系是天 生的。
例证:
• 柏拉图学苑的门口刻着“不懂几何者 拉图学苑的门口刻着“
• 以上是从数学与社会的关系、数学与
其它学科的关系、数学与人的发展的 关系等几个方面来讨论数学的。它们 都从某一个侧面反映了数学的本质特 征,为我们全面认识数学的性质提供 了一个视角。数学是这样一个古老而 创新的学科,她有着十分深厚的内涵 和广泛的外延,以至于无法用一个简 单的定义来规定什么是数学。要从本 质上来了解什么是数学,我们需要明 白数学的起源。
理性是哲学的最大的特点
• 原始的人类对于这个世界十分的困惑
却无法解释,于是诉诸于神———— 却无法解释,于是诉诸于神———— 神及神学的产生。 • 后来,随着人心智的发展,人类开始 用理性的角度思考问题,去解释最基 本的问题————哲学。 本的问题————哲学。 • 柏拉图————哲学产生于诧异。 柏拉图————哲学产生于诧异。

数学学习中的数学与哲学的应用

数学学习中的数学与哲学的应用

数学学习中的数学与哲学的应用数学和哲学是两个看似截然不同的学科,一个着重于抽象逻辑推理,一个更关注人类思维和存在的本质问题。

然而,在数学学习中,我们可以发现数学与哲学之间存在着紧密的联系和应用。

本文将探讨在数学学习中,数学和哲学是如何相互交织的,并且如何应用于实际生活和其他学科领域。

一、逻辑思维与推理数学和哲学都依赖于逻辑思维和推理能力。

数学通过严密的逻辑推理构建起一套完整的理论体系,而哲学则通过思辨和推理来探索人类思维和存在的根本问题。

在数学学习中,我们需要运用逻辑思维和推理能力来解决问题、证明定理和推导结论。

这种能力的培养不仅有助于我们在数学领域中的学习和发展,也能提升我们在其他学科和现实生活中的思维能力。

二、抽象与概念数学与哲学都涉及到抽象和概念的研究。

数学通过将现实世界中的问题抽象为数学模型和符号,来进行研究和解决。

这种抽象能力使得数学能够在不同领域中应用,并帮助我们理解和分析复杂的问题。

哲学则通过对概念和观念的思考和深入挖掘,来探索人类思想和存在的本质。

在数学学习中,我们需要理解和掌握各种数学概念,并将其应用于解决实际问题。

这样的训练有助于我们培养抽象思维和概念形成的能力,提高我们对复杂问题的理解和分析能力。

三、数学原理与哲学思想数学原理中的一些概念和定理在某种程度上与哲学思想有关联。

例如,无穷大和无穷小的概念在数学中起到了重要的作用,而在哲学中也有类似的思考。

无穷大和无穷小的思想引发了人们对时间、空间和存在的思考,涉及到关于无穷与有限、无限与限制的理论。

这种数学和哲学之间的关系使得我们对数学原理的理解更加深入,并且让我们意识到数学与哲学之间的紧密联系。

四、哲学启发数学思维哲学的思考方式和思维方式对数学学习也有很大的启发作用。

哲学通过思辨和探索问题的本质,培养了我们追问问题并思考解决问题的能力。

在数学学习中,我们也需要进行问题的分析和解决,这就需要我们运用哲学思维来思考问题的本质和解决方法。

数学与哲学的联系与应用

数学与哲学的联系与应用

数学与哲学的联系与应用数学与哲学作为两个看似独立的学科,实际上却有着紧密的联系和相互影响。

数学以其逻辑性和抽象性而被认为是一门精确的科学,而哲学则追求对现实与存在的深层思考和探索。

然而,当我们深入探究数学和哲学的本质时,我们会发现它们之间有许多的共性和相通之处。

首先,数学和哲学都探讨了一系列的基本问题。

哲学关注于诸如人类存在的意义、知识的来源以及伦理道德的问题等,而数学则关注于数字、形状和结构等数学概念的本质。

在这种意义下,数学可以说是一种形式化的哲学,而哲学则为数学提供了深刻的思考框架,这样的交流和相互影响促进了两个领域的共同发展。

其次,数学的逻辑推理和哲学的思辨也存在着相通之处。

数学作为一门推理学,需要逻辑严密的推导过程来达到结论。

而哲学则在逻辑推演之外,更注重对思考的广度和深度的探究。

当数学的严密性与哲学的思辨力结合时,便能够产生一种更为全面的认知方式。

数学在此基础上可以被视为一种哲学方法的应用,而哲学则为数学提供了更大的意义和发展的动力。

此外,数学和哲学还在实践中相互影响和应用。

数学作为一门实用的学科,应用广泛存在于物理学、工程学等众多领域中。

然而,这些应用并非仅仅依靠数学的技巧和方法,而是需要对问题进行思辨和推理。

在这个过程中,哲学的思维方式和方法论起到了重要的作用。

哲学引导了人们去思考问题的本质和意义,从而为数学的应用提供了更多的新思路和创新。

最后,数学和哲学在形式化和抽象化方面也存在相似之处。

数学通过符号和公式的形式来表达和推演,而哲学则通过概念和观念的抽象化来表达人类的思考。

这种形式化和抽象化的特性使得数学和哲学都能够超越具体的应用领域,而成为一种普适的思维方式。

它们的普适性使得数学和哲学不仅仅局限于学术研究,而能够为人们的生活和社会发展提供积极的影响和指导。

综上所述,数学和哲学虽然是两个看似独立的学科,但它们之间有着紧密的联系与应用。

数学以其逻辑性和抽象性为哲学提供了思考和推演的基础,而哲学则为数学提供了更大的意义和发展的动力。

数学与哲学的关系

数学与哲学的关系

数学与哲学的关系数学是探讨数与形运动规律的学科,数学教学法是研究数学规律的,即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。

这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学,而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。

马克思主义哲学来源于实践,同时又对实践具有重要的指导意义。

它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括,同时又对具体学科有着重要的指导作用。

因此,数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中,以马克思主义哲学思想为武器,用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程,用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法,才能透彻明了地看待数学问题的思路,清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程,才能掌握好数学的思想和精神。

这就需要研究数学与哲学的联系,将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起,用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。

1、数学对哲学的作用美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型,为无限大、无限小提供了严格的理论依据,为微积分增添了直观的因素,从而创立了新的微积分理论——非标准分析。

在非标准分析中,构建非标准实数轴并引入单子概念,使非标准实数轴成为一个层次结构空间。

在该空间中,单子外部表现为不同数量层次之间质的差异;单子内部是无穷小量,其间只是量的差异,其比值是有限数量,其运算性质是同单子外普通实数是一样的,可重新作为微分运算的出发点。

因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。

而在这之前,人们在讨论质量互变规律中的量时,还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形,因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。

法国数学家托姆,在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上,运用微分映射的奇点理论,为这类客观现象建立了数学模型,用以预测和控制该类客观对象,这就是突变论的产生。

数学与哲学的交叉研究

数学与哲学的交叉研究

数学与哲学的交叉研究数学和哲学是两个看似迥然不同的领域,但实际上却存在着紧密的联系和交叉研究。

数学是一门严谨的学科,强调逻辑推理和形式化证明。

而哲学则更侧重于思考人类存在、认识和思维等基本问题。

然而,正是这两个领域的交互作用,推动了人类对现实世界的深入理解。

本文将探讨数学与哲学的交叉研究,以及它们在人类思维和知识建构中的重要性。

一、数学和哲学的共同基础数学和哲学都建立在严格的逻辑基础上。

数学家通过形式化的定义、公理和推理方法,构建了一套精确的数学体系。

这种逻辑思维在哲学中也发挥着重要作用。

哲学家借鉴数学思维的严密性,推动了对现实的深入探讨。

例如,柏拉图的观点中关于“理念”的存在,可以被看作是一种数学思维的延伸,它将真理和普遍性联系在一起,类似于数学中的公理和定理。

二、数学的哲学基础数学最基本的哲学问题是数学命题的真实性和存在性。

数学家通过逻辑推理和证明方法,探求数学命题的可靠性和逻辑一致性。

这个过程中,涉及到哲学中的经验主义、唯理主义和理性主义等不同哲学立场的讨论。

例如,康托尔提出的集合论与无穷的问题,引发了哲学家对于无穷概念的反思和解释,对于我们对于现实世界的认识和理解有着重要的启示。

三、哲学对数学的影响哲学对数学的发展和应用产生了深刻的影响。

数学中的公理化、形式化和证明等方法,都受到哲学思想的影响。

逻辑学、语义学等哲学分支为数学提供了重要的理论基础。

此外,哲学关于空间、时间、因果和现实世界等问题的讨论,也对数学理论的发展产生了影响。

例如,爱因斯坦的相对论与各种几何学的发展密切相关,这为理论物理学提供了重要的数学工具。

四、数学与哲学的互动领域数学和哲学的交叉研究的一个重要领域是逻辑学。

逻辑学研究命题、推理和证明等基本问题,是数学和哲学的共同基础。

逻辑学的发展对于数学证明方法的改进和推动起到了重要作用。

另一个重要的互动领域是科学哲学。

科学哲学探讨科学知识的产生、验证与理论构建的问题。

数学在科学中的应用和角色,以及数学模型构建与科学实证研究的相互联系,都是科学哲学的研究对象。

数学中的数学与哲学的关系

数学中的数学与哲学的关系

数学中的数学与哲学的关系数学与哲学作为两个学科领域,虽然在研究的对象和方法上存在差异,但它们之间却有着密切的联系和相互依存的关系。

数学与哲学的互动不仅拓展了两个学科的边界,而且在解决问题和思考的过程中互相借鉴,促进了科学与人文的融合。

本文将就数学与哲学的关系进行探讨。

一、数学中的哲学思考数学作为一门学科,始终伴随着哲学的思考。

数学所追求的是一种普遍性、确定性和推理性的真理,而这正是哲学所关注的核心概念。

数学所运用的逻辑推理和证明方法,本身就富含着哲学的思维方式。

而哲学所提出的思维方法和思维工具,又为数学的发展提供了理论支持和思想指导。

数学中的公理化体系和证明方法,即以公理为基础,通过逻辑推理和定义、定理、证明等方式建立起来的理论体系,与哲学中的逻辑思考以及哲学体系的构建有着相似之处。

数学家在研究和发展数学的过程中,也会不断地思考数学基础的哲学问题,如数学的基础是什么?数学中的概念和命题是如何建立和证明的?这些问题的探讨使得数学的发展与哲学的思考紧密相连。

二、哲学对数学的影响哲学对数学的影响主要体现在两个方面:一是在数学基础理论的构建中,哲学提供了思想方法和理论指导;二是在数学的应用领域,哲学为数学的实际应用提供了思考框架。

在数学基础理论的构建中,哲学为数学提供了思想方法和理论指导。

比如在数学的形式逻辑方面,哲学对于命题、谓词、推理和证明等概念的研究和思考为数学逻辑的建立提供了哲学基础。

另外,在集合论中,哲学家的思考和贡献也是不可忽视的。

哲学家康托尔提出了集合论的基本概念和公理系统,为数学中一系列的集合理论和拓扑学的发展奠定了基础。

在数学的应用领域,哲学为数学的实际应用提供了思考框架。

比如哲学中的思辨与推理方法为数学应用提供了思路和方法。

哲学中的伦理道德思考与决策理论为数学的应用于社会科学、经济学等领域提供了政策制定和决策支持。

三、数学对哲学的影响数学在对哲学的影响方面主要体现在思维方式和问题解决方法的启发。

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数学与哲学从1900年到1930年左右,数学的危机使许多数学家都卷入到一场大辩论当中。

他们看到这次危机涉及数学的根本,必须对数学的哲学基础加以严密的考察。

在这场大辩论中,原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论,以罗素为代表的逻辑主义,以布劳威尔为代表的直觉主义,以希尔伯特为代表的形式主义三大学派应运而生。

他们在争论过程中尽管言语尖刻,好象势不两立,其实他们各自的观点在争论过程中都吸收了对立面的看法而有很多变化。

1930年,哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点,哲学的争论冷淡了下去。

此后各派力量沿着自己的道路发展演化。

尽管争论的问题远未解决,但大部分数学家并不太关心哲学问题。

近年来数学哲学问题又激起人们的兴趣,因此我们有必要了解一下数学哲学的来龙去脉。

1、逻辑主义罗素在1903年出版的《数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。

他说:“纯粹数学是所有形如…p蕴涵q‟的所有命题类,其中p和q都包含数目相同的一个或多个变元的命题,且p和q除了逻辑常项之外,不包含任何常项。

所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的概念:蕴涵,一个项与它所属类的关系,如此这般的概念,关系的概念,以及象涉及上述形式一般命题概念的其他概念。

除此之外,数学使用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念,即真假的概念。

”这种看法是罗素自己最早发表的关于逻辑主义的论点。

这种看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。

戴德金在1872年出版了《连续性及无理数》一文,在这篇文章中,他把有理数做为已知,进而分析连续性这个概念。

为了要彻底解决这个问题,必须考虑有理数乃至自然数产生的问题。

他认为应该建立在逻辑基础上,但没有实行。

弗雷格在1884年《算术基础》中认为每个数是一个独立的对象。

他认为算术规则是分析判断,因此是先验的。

根据这点,算术只是逻辑进一步发展的形式,每个算术定理是一个逻辑规律。

把算术应用到自然现象上的解释只是对所观察到的事实的逻辑加工,计算就是推理。

数字规律无须实践检验即可应用于外在世界,而在外在世界、空间总体及其内容物,并没有概念、没有数。

因此,数字规律实际上不能应用于外在世界,这些规律并不是自然规律。

不过它们可以应用于对外在世界中的事物为真的判断上,这些判断即是自然规律。

它们反映的不是自然现象之间的关系,而是关于自然现象的判断之间的关系。

早在罗素发现悖论之前,他在写作《数学的原理》时就企图把数学还原为逻辑,由于发现悖论,这个计划遭到了困难。

他发现消除悖论的方法之后,又开始具体实现他的计划,这就是他和怀特海合著的《数学原理》。

既然罗素、怀特海的《数学原理》原来的目的是企图把数学建立在逻辑的基础上,因此,书一开始就提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理,由此推出逻辑规则以及数学定性。

不加定义的概念有基本命题、命题函数、断言、或、否(非);这里讲的命题是指陈述一件事实或描述一种关系的一个语句,如“张三是人”,“苹果是红的”等等,由这些概念可定义逻辑上最重要的概念“蕴涵”。

要想由逻辑推出数学,第一步是推出“数”来,这件事皮亚诺及弗雷格都做了。

罗素在消除悖论之后,成功地用“类”来定义1。

这个过程极为繁琐费力,一直到《数学原理》第一卷的363页才推出“1”的定义,而第二卷费了很大力气证明了n×m=m×n。

在《数学的原理》及《数学原理》中,罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题,它可以分析为三部分内容:1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。

简单来讲,即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。

2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译,则它就是逻辑真理。

3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题,就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。

这三方面不完全一样,罗素只是分别在各处用一条或两条表示过逻辑主义。

由于哥德尔的不完全定理,3是错的,但是还可以坚持1和2。

罗素认为逻辑主义的许多主要论点不是来自他本人,弗雷格就曾明确地表示过一些逻辑主义的观点。

但是,逻辑主义观点尽管受到批判,罗素本人还一直坚持。

在三十年代以后,还是有许多人发展逻辑主义。

逻辑主义从—开始就遭到批评,“因为如果数学只是一套逻辑演绎系统,那么它怎么可能反映广泛的自然现象呢?它又怎样能够有创造力呢?它又怎样能够产生新观念呢?”用维特根斯坦的话说,数学就是同语反复(重言式),结不出任何新知识。

罗素悖论的出现,使得这一派遭到的攻击更大。

彭加勒挖苦他们“逻辑主义的理论倒不是不毛之地,什么也不长,它滋长矛盾,这就更加让人受不了”。

罗素—怀特海用了几年时间写出了《数学原理》论证了自己的观点,仍不免遭到讥讽。

彭加勒挖苦他们费很大力气去定义1,说“这是一个可钦可佩的定义,它献给那些从来不知道1的人”,别人也说这一套完全是中世纪的教条。

更有人指出这种方法的人为性、烦琐性。

尤其是可化归公理,显然是硬加上的,没有任何自然之处。

尽管如此,逻辑主义总算还能自圆其说。

对逻辑主义致命打击的是哥德尔的不完全性定理,它证明了从逻辑并不能推出算术的正确性来,显然把数学全部化归为逻辑彻底失败了。

但是,罗素等人的历史功绩是不可磨灭的,他们为数学奠定了逻辑基础。

在一段时期内,《数学原理》是一部引导数学逻辑家的经典,至今它还有一定的意义。

逻辑主义也不是后继无人,英国的拉姆塞、美国的奎因都对逻辑主义作了进一步的发展。

2、直觉主义直觉主义有着长远的历史,它植根于数学的构造性当中。

古代数学大多是算,只是在欧几里得几何学中逻辑才起一定作用。

到了十七世纪解析几何和微积分发明之后,计算的倾向大大超过了逻辑倾向。

十七、十八世纪的创造,并不考虑逻辑的严格,而只是醉心于计算。

十九世纪初,三个力量出现了,一个是解五次代数方程碰钉子,需要考虑存在性定理。

一个是非欧几何不矛盾,是逻辑而不是直觉在起作用。

一个是数学分析不严格,产生荒谬的结果。

在新的矛盾面前出现一些非构造性结果,也考虑一些无穷的问题。

这时追求严密与追求实用构造两种倾向都有增长,不过一般数学家维持着微妙的平衡。

到了十九世纪末,集合论的出现激起这两方面的尖锐斗争。

于是出现极端的构造主义者,象克洛耐克否认无理数存在,否认连续函数,他认为任何东西部要有构造步骤或判断准则,但即使他本人的工作也不符合他自己的要求。

法国数学家彭加勒等人是半直觉主义者,有人称为法国经验主义者。

他们反对实无穷,反对实数集合,反对选择公理,主要因为他们认为根本不能进行无穷的构造。

现代直觉主义真正的奠基人是布劳威尔,他于1881年2月27日生于荷兰奥弗西。

1897年进入阿姆斯待丹大学学习,一直到1904年,他很快掌握了当时的数学并且发表关于几何第一个结果。

他多少受曼诺利的影响,关心当时的基础问题,在1907年博士论文中阐述自己对数学基础问题的观点。

布劳威尔是从哲学中得出自己观点的,基本的直觉是按照时间顺序出现的感觉,而这形成自然数的概念。

这倒不是新鲜的,他认为数学思维是头脑中的自由构造,与经验世界无关,只受基本数学直觉为基础的限制,在这方面他是不同于法国经验主义者的。

数学概念进入人脑是先于语言、逻辑和经验的,决定概念的正确性是直觉,而不是经验及逻辑。

这些充分暴露了他唯心主义和神秘主义的思想倾向。

布劳威尔认为数学直觉的世界和感觉的世界是互相对立的,日常的语言属于感觉世界,不属于数学。

数学独立于语言存在,而逻辑是从属于语言的,它不是揭露真理的工具,而是运用语言的手段。

正因为如此,数学中最主要的进展不是靠逻辑形式完美化而得到,而是靠基本理论本身的变革。

布劳威尔认为逻辑规律并不对数学有什么约束作用,数学是自由的,不一定遵守什么逻辑规则。

他认为经典逻辑是从有限集合的数学抽象出来,没有理由运用到无穷集合。

1908年,他反对把排中律运用于无穷集合上,因为有穷集合可以逐个检查,而无穷集合则办不到,因此存在不可断定真假的第三种情况,就是说有既不可证明,又非得要证明的命题。

1908年到1913年,布劳威尔主要从事拓扑学的研究,他运用单形逼近的方法证明了维数的拓扑不变性,这在数学上是个了不起的成就,是极重要的拓扑方法。

他在李群、几何等方面也有出色的工作,不过很快他又转向基础研究。

布劳威尔象康德和彭加勒一样,认为数学定理是先验综合真理。

他在1912年的阿姆斯特丹大学就职演说中,他承认由于非欧几何的发展,康德的空间学说不可信。

但他同弗雷格和罗素相反,仍然坚持康德的观点,算术是从对时间的直觉导出的。

由于现代数学是建立在算术基础上的,所以整个数学也是如此。

正是时间单位的序列产生序数的概念,而连续统[0,1]只是不可用新单位穷尽的居间性,他认为几何学也依赖于这种直觉。

他认为除了可数集合之外,没有其他集合,所以ω以上的超穷数都是胡说八道,象0与1之间所有实数的集合是毫无意义的。

这点他在1908年罗马召开的国际数学家大会上讲过,数学无穷集合只有一个基数,即可数无穷。

1909年他同希尔伯特通信,指出形式主义和直觉主义的争论焦点。

1912年说到这个问题之后,他一直到1917年才又开始这方面的论战。

从这时起到二十年代末他发表一系列的文章,开始建立一个不依靠排中律的集合论,接着又建立构造的测度论及函数论,这是他从消极的否定转变为积极的构造。

同时他试图使数学家相信排中律导出矛盾。

他运用了扇定理,这个定理及选择序列、散集等是他的直觉主义数学的独创。

三十年代初期由于哥德尔的工作,许多数学家开始重视直觉主义。

外尔早在1920年左右就表示效忠于直觉主义,从而激起希尔伯特的极大愤怒。

他吸收了直觉主义一些思想,开始用有限主义方法来完成证明论方案,企图一劳永逸地解决基础问题,不料没能成功,于是还得求助于无穷。

直觉主义仍然进行他们的事业,特别是海丁建立直觉逻辑系统,它包含古典逻辑系统。

后来更有人建立直觉主义集合论及直觉主义分析。

不过,仍然不能尽如人意。

1967年,美国数学家毕肖普出版《构造性分析》一书,开始了构造主义的时期。

他们不象以前直觉主义者那样偏激,而是积极采用构造的方法解决一个个具体问题。

不去单纯的否定或争论。

毕肖普自信会取得大多数人的支持,不过没有能实现,因为他们毕竟成就有限,难于同整个数学汪洋大海相比,可是十几年来构造主义还是取得一定进展,如《构造性泛函分析》等书问世,说明它还有一定的市场。

3、形式主义一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特,但是希尔伯特自己并不自命为形式主义者。

并且,希尔伯特的思想有一个发展变化的过程,我们简单地介绍一下。

希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家,他不仅是数学上一些分支的公认权威,而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都做出伟大贡献的全才。

更重要的是,他对于数学基础问题有着长时期的持久关注,他的思想在现代数学也占有统治地位。

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