数学活动 镶嵌
镶嵌(数学八年级上P26)
镶嵌（八年级上P26）1.平面图形的镶嵌(密铺)概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形实行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌(密铺)。
2.理解平面图形的密铺：(1)要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。
(2)单一多边形密铺：任意三角形(6个)、四边形(4个)、正六边形(3个)能够密铺；(3)单一正n边形密铺的条件：假设360°除以正n边形的一个内角等于整数，则能够单独用它密铺；就是说：正多边形的一个内角度数能整除360°。
(4)多种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：a. n个正多边形中的一个内角的倍数的和是360°；b. n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍。
典型例题为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形能够是()A.正三角形B.正五边形C.正六角形D.正三角形或正八边形答案：D解析:分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴正三角形能够；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m+120n=360°，m=4-4/3n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴正八边形能够．应选D．。
人教版八年级数学活动第11章------平面图形的镶嵌
活动一、用同一种正多边形 镶嵌平面
分别用同种正三角形、正方形、正 六边形、正五边形试一试镶嵌平面， 你都能做到吗？
同种型号的正三角形的镶嵌
同种型号的正方形的镶嵌
同种型号的正六边形的镶嵌
同种型号的正五边形能镶嵌平面吗？为什么？
思考：同种型号的正多边形 能密铺的条件？
活动二：同一种“任意三角形”镶嵌平面
活动三：同一种“任意四边形”镶嵌平面
通过活动，你有什么结论？
考题展示
1、下列同种型号的多边形不能 进行平面镶嵌的是（ ） A、三角形 B、正方形 C、正五边形 D、六边形
2、用边长相等的正三角形和正 方形能否进行平面镶嵌？
小结：（说一说）
1 、通过今天的数学实践活动你有什么 收获和启示？
2、你还有哪些困惑和通过网络认识一 下：用几种多边形镶嵌平面； 还可以了解一下用同种“不规则” 图形镶嵌平面的图片。
两种图形的镶嵌
几种图形的镶嵌
“不规则图形”的镶嵌
课外应用
☆ 生活中离不开图形！我们可以利 用平面图形的镶嵌认识、设计图形！
★ 你能用图形知识为班旗的设计或 环保时装的设计贡献你的智慧吗？如 果你有设计思路，可以交上来给数学 老师或班主任了，在下节课前与大家 分享一下！
八年级数学上
人教版八年级上册
学习目标
1 、通过卡片制作锻炼学生作图能 力和图感。 2 、通过活动探究多边形镶嵌平面 的规律！培养同学“做数学”的意 识和习惯。
3、通过小组活动培养合作意识。
§11数学活动--平面图形的镶嵌
一、阅读P26页，交流：什么叫做平面图形 的镶嵌？ 1、用一些不重叠摆放的多边形把平面的 一部分完全覆盖叫做用多边形覆盖平面 （或平面镶嵌），也叫平面图形的密铺。 2、用同一种平面图形覆盖平面也叫同种 图形的平面镶嵌，或同种图形的密铺。
数学人教版八年级上册第11章数学活动平面镶嵌(教案)
总之，今天的课堂让我收获颇丰，既看到了学生的进步，也发现了教学中需要改进的地方。在今后的教学工作中，我将不断反思、总结，努力提升自己的教学水平，为同学们提供更优质的教学服务。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平面镶嵌的种类和判断方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平面镶嵌相关的实际问题，如：如何用正三角形、正方形和正六边形进行镶嵌。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。学生将使用纸质图形进行实际镶嵌，观察不同图形的镶嵌效果。
-难点二：计算进行平面镶嵌时所需图形的数量。学生需要理解每个顶点处内角的和以及多边形边数与镶嵌图形数量的关系。
-难点三：设计具有美感的镶嵌图案。学生需要运用几何图形的对称性、周期性等美学原则，创造出美观的镶嵌图案。
举例：
-难点一：以正五边形为例，解释为什么不能单独进行平面镶嵌，因为其内角和不为360°，需要结合其他图形一起镶嵌。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我注意到同学们对平面镶嵌的概念和种类表现出浓厚的兴趣。在导入新课环节，通过提问日常生活中遇到的镶嵌实例，学生们迅速进入了学习状态，这让我感到很高兴。然而，我也发现了一些需要改进的地方。
首先，在新课讲授环节，虽然我尽量用简洁明了的语言解释平面镶嵌的概念，但仍有部分同学在理解上存在困难。我意识到，对于这部分同学，可能需要更多具体的例子和直观的演示来帮助他们理解。在今后的教学中，我会尝试运用更多实物模型或互动式教学手段，以提高学生的理解程度。
数学活动1 镶嵌
用三种或多种正多边形进 行镶嵌应满足什么条件 ？
当围绕一点拼在一起的几种正多 边形的内角加在一起恰好组成一 个周角时，这几种正多边形就能 镶嵌.
请你创造美
这是某公园的呈正 六边形的花坛，现 要在其周围用正多 边形铺地，请你设 计出一种铺法，并 画出草图？
归纳:
1、拼接在同一个点的各个角的和 等于360度 2、任意三角形一定可以镶嵌. 3、任意四边形一定可以镶嵌 4、正六边形可以镶嵌. 注意:只用正五边形、正八边形一种图 形不能镶嵌.
资料：用正多边形进行平面镶嵌只有 以下这17组解。 有书记载说明这17组解是1924年一 个叫波尔亚的人给出的。实际上早在 此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰 已经一个不少地制出了这些图样，真 是令人叹为观止。
（4）用正六边形进行镶嵌的图案
理一理
正n边形 拼图 每个内角度数 多边形个数 结果
实
n=3 n=4
600
900 1200 1080
6
能拼好 0 60 ×6=360
0
验
4
3 3
能拼好 0 Байду номын сангаас0 ×4=360
0
结
n=6 n=5
能拼好 0 120 ×3=360
0
不能拼好 有缺口
果
108
0
×3＜360
0
7.4 镶嵌
中间空缺 处应补上 那种图形？
用一些不重叠摆放 的多边形把平面的 一部分完全覆盖， 在几何里叫做平面 镶嵌.
利用镶嵌 可以得到 一些绚丽 多彩的图 案
镶嵌平面图案需要的条件:
拼接在同一 个点的各个 角的和恰好 等于360度
（1）用正三角形能否镶嵌？
结论：用正三角形可以镶嵌
平面镶嵌数学活动课
四边形
包括正方形、长方形、平 行四边形等，易于密铺， 常用于地板、墙面等装饰 。
五边形及以上
随着边数的增加，形状更 加多样化，但密铺难度增 加。
多边形在平面镶嵌中排列组合规律
单一多边形镶嵌
使用同一种多边形进行镶嵌，要求多 边形内角能被360°整除。
多种多边形组合镶嵌
不同种类的多边形通过共享顶点或边 进行组合，形成复杂的镶嵌图案。
平面镶嵌性质与定理
性质
在每个公共顶点处，各角的和是360°。
定理
只有正三角形、正方形和正六边形能够单一地进行平面镶嵌，其他多边形需要 与其他多边形组合才能进行平面镶嵌。
常见误区及易错点解析
误区一
认为所有多边形都可以单一地进 行平面镶嵌。实际上，只有正三 角形、正方形和正六边形能够单
一地进行平面镶嵌。
美观。
选择合适的变换方式
02
根据图案的特点，选择合适的变换方式（如平移、旋转等），
可以更快地实现图案的镶嵌。
分解复杂图案
03
将复杂的图案分解成若干个简单的部分，分别进行设计，然后
再组合在一起，可以降低设计难度。
案例分析：经典图案变换实现方法
案例分析一
正方形镶嵌。通过平移正方形，可以形成简单的正方形镶嵌图案。进一步地，可以通过旋 转正方形，形成更复杂的镶嵌图案。
品的层次感和立体感。
优秀作品欣赏与评价标准
优秀作品欣赏
欣赏国内外优秀的平面镶嵌作品，分 析其美学元素和创作技巧，提高审美 水平和创作能力。
评价标准
从构图、色彩、材质、空间感等方面 对平面镶嵌作品进行评价，注重作品 的创意性、美观性和实用性。
动手实践：创作符合美学原则镶嵌作品
数学活动：镶嵌
问题探究3：
如果允许用两种正多边形 组合起来镶嵌，由哪几种正多 边形组合起来能镶嵌成一个平 面？
我们一起探讨吧！
1.正三角形与正方形 2.正三角形与正六边形 3.正四方形与八边形 4.正三角形与正十二边形
图案
①
②
每个顶点处三角形3个，正方形2个。
图案（Ⅰ）
每个顶点处正三角形2个，正六边形2个
用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书 记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。 实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一 个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
通过这堂课的学习，你有什么收获和发现？
发现一：多边形能进行平面镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角 的度数和是360°。
发现二:用一种形状、大小完全相同的（三角形、四边形）也能进行 平面镶嵌。 发现三:同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种: 正三角形、 正方形、正六边形。
发现四：两种正多边形进行平面镶嵌的有： 1、正三角形、正方形；
2、正三角形、正六边形；3、正三角形、正十二边形；
4、正方形、正八边形… … 发现五：三种正多边形进行平面镶嵌的有： 1、正三角形、正方形、 正 六边形；2、正方形、正六边形、正十二边形… …
问题探究1：
今年，我校打算重新铺设教学楼大厅的 地面，采购员去建材商店选购地砖时，发现 可供选择的地砖形状有：正三角形、正方形、 正五边形、正六边形、正八边形，如果仅选 用一种多边形镶嵌，你有几种选择方式？请 您动手探索.
观察拼接
用多边形进行平面镶嵌的条件：
拼接在同一点的各个角 的度数和是360°
注意：相邻的多边形有公共边。
1、 正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60° 60 正六边形的平面镶嵌
人教版数学八年级上册 11.4 数学活动 -平面图形的镶嵌 课件(共45张PPT)
6 4. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( )个 4 三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放( )
个四边形. 5、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是
( C ).
A
B
C
D
六、升华知识 深化认识
说说你的 收获
通过这节课的学习你有哪些收获？ 你还有什么体会吗？
我们都来做个有心人，多 思考、多研究，把学过的数学 知识应用于生活，解决生活中 的实际问题，使我们的生活更 加美好！
❖
本 课 到 此 结 束
教学后记
90°
4. 正六边形
用边长相同的正五边形不能镶嵌
你正五能边说形的说内角道不理能 吗?
组成360°的角。
13 2
∠1+∠2+∠3=?
活动一实验结论：
1.能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点： 各角之和等于360º
2.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键
是看：这种正多边形的一个内角的倍数 是否是360°，在正多边形里，正三角 形的每个内角都是60°，正四边形的每 个内角都是90°，正六边形的每个内角 都是120°，这三种多边形的一个内角 的倍数都是360°，而其他的正多边的 每个内角的倍数都不是360°
某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）C
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，
不能镶嵌成平面的是（ ）B
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ②
B. ② ③
C. ① ③
D. ① ④
课堂练习
3、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单独
数学综合实践课《平面图形的镶嵌》教案
数学综合实践课《平面图形的镶嵌》教案一、教学目标：1. 让学生了解平面图形镶嵌的概念，学会用简单的几何图形进行镶嵌。
2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高空间想象能力。
3. 培养学生合作学习的精神，提高学生的动手操作能力。
二、教学内容：1. 平面图形镶嵌的定义及特点。
2. 常见几何图形的镶嵌方法。
3. 镶嵌图案的设计与创作。
三、教学重点与难点：1. 重点：让学生掌握平面图形镶嵌的方法，学会设计简单的镶嵌图案。
2. 难点：如何运用不同的几何图形进行创新性的镶嵌设计。
四、教学准备：1. 教师准备镶嵌图案的示例及素材。
2. 学生准备剪刀、彩纸、直尺、圆规等工具。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示一些生活中的镶嵌图案，引导学生关注镶嵌现象，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：介绍平面图形镶嵌的定义及特点，讲解常见几何图形的镶嵌方法。
3. 动手实践：学生分组进行镶嵌图案的设计与制作，教师巡回指导。
4. 作品展示：学生展示自己的镶嵌作品，分享创作过程中的心得体会。
5. 总结评价：教师对学生的作品进行评价，总结本节课的学习内容。
6. 拓展延伸：鼓励学生课后搜集更多的镶嵌图案，进行创新性的设计制作。
六、教学评价：1. 学生能理解平面图形镶嵌的概念，并能够运用不同的几何图形进行简单的镶嵌设计。
2. 学生能够通过实践活动，提高观察、分析、解决问题的能力，以及空间想象能力。
3. 学生在创作过程中能够展现出合作学习的精神，以及动手操作的能力。
七、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和解决问题。
2. 通过实践活动，让学生在操作中感知、理解和掌握平面图形镶嵌的方法。
3. 鼓励学生进行合作学习，培养学生的团队精神和沟通能力。
八、教学步骤：1. 引导学生观察生活中的镶嵌图案，引发学生对镶嵌现象的兴趣。
2. 讲解平面图形镶嵌的定义及特点，引导学生理解镶嵌的基本原理。
3. 教授常见几何图形的镶嵌方法，让学生掌握镶嵌的基本技巧。
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B 、3个正三角形和2个正方形可以进行镶嵌；
C、2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以 进行镶嵌；
D、2个正方形、1个正三角形和1个正六边形可以进行镶嵌.
只有选择正方形和正六边形时，不能镶嵌成一个平面图案，答案为A.
五边形三个内角的 和为324°
探究2：
你能设计出由两种正 多边形组合在一起的平面 镶嵌图案吗？
正六边形
正三角形
边长 相等
活动2：
用边长相等的正三角 形和正六边形进行平面镶 嵌，你能拼出几种不同的 图案？
正三角形与正方形
还有没有其他的两种多边形组合镶 嵌的形式呢？
+
+
如果允许用三种正多 边形组合起来镶嵌,由哪几 种正多边形能够做到呢？
能否镶嵌与
360
有关吗？
若不是整数倍，则不能进行平面镶嵌。 一个内角的度数
进行平面镶嵌的关键：
拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360 .
正多边形 能否 平面 镶嵌
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
正三角形
能
6
正四边形 能
4
正五边形 不能
正六边形
能
3
360°
下列拼图是镶嵌吗？
有缝隙
有重叠
第十一章 数学活动
平面镶嵌：
用一些不重叠摆放的多 边形把平面的一部分完全覆 盖，通常把这类问题叫做用 多边形覆盖平面（或平面镶 嵌）的问题.
探究1： 如果只允许选 择一种正多边形进 行平面镶嵌，有哪 几种正多边形能镶 嵌成一个平面图案？
自主探究、合作交流
探究1：用一种正多边形进行平面镶嵌 （1）用同一种正三角形可以吗？
正三角形 正方形
正六边形
正十二边形
正方形
正六边形
结论3：
如果只用一种多边形镶 嵌，肯定能镶嵌成一个平面 图案的有 ：
任意三角形
任意四边形
正六边形
课堂小结
多边形能覆盖平面 应 满足什么条件？
⑴拼接在同一个点的各个角 的和恰好等于360°；
⑵相邻的多边形有公共边.
练习一：
商店出售下列形状的地砖：①正方形；②正三 角形； ③正五边形；④正六边形。若只选择其 中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有 （C ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
A 正方形和正六边形 B 正三角形和正方形 C 正三角形和正六边形 D 正三角形、正方形和正六边形
分析：只有围绕一点拼在一起的几个多边形的角之和为 360, 才能进
行平面镶嵌.
3 60 2 90 360
4 60 1120 360
2 60 2 120 360
2 90 1 60 1120 360
正六边形
120
能
多
正八边形
135
不能
边
形
正十边形
144
不能
进 行 正十二边形
150
不能
平 你发现的规律：用一种正多边形进行平面镶嵌时0在求同出一正个多拼边接形点的一个内角，再判断 360 是不是求出的
嵌 的 规 律
正处多多的少边n几？形个每多个边内形角的的角正之整和数为倍，若是正整数倍，则可以进行平面镶嵌；
（2）用同一种正方形可以吗？
（3）用同一种正五边 形可以吗？
有缝隙！单独用正五边 形不能平面镶嵌
（4）用同一种正六边 形可以吗？
（5）用同一种正八边 形可以吗？
有重叠！单独用正八边 形不能平面镶嵌
归
名称 一个内角的度数
能否镶嵌
纳
正三角形
60
能
：
用
正四边形
90
能
同 一
正五边形
108
不能
种 正
360
(n
n 2)
180
2n n2
n
因为k为大于等于3的正整数，所以 解只有三组：
2n n2
3，解得
n 6 ，易得到它的整数
n 3,n 4,n 6 k 6,k 4,k 3
探究2：用两种或两种以上的正多边形进行平面镶嵌
（2011年十堰市）现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若 干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（ ）.
3、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的
是( C ).
A
B
C
D
请你用课上所学知识， 设计一幅镶嵌艺术画.
思考：用同一种正多边形进行平面镶嵌共有几种情况呢？能不能用数学 式子来论证一下呢？
设用同一种正n边形进行平面镶嵌时，在一个拼接点处有k个正n边形， 则有：
k
360 (n 2) 180
2
1
3
2
1
31
3
2
1
31
3
2
2
2
1
3
4 1
2 3
4 1
2 3
4 1
2
1
3
4
4
3
1
2
2 3
练习二
1、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单 独作镶嵌 （ 能 ）
2. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( 6 )
个三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放
( 4 )个四边形.