课时跟踪检测 (二十五) 对数函数的概念

课时跟踪检测 （二十五） 对数函数的概念
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log 23
x 2
B ．y ＝log 15
x
C ．y ＝log (x ＋1)x
D ．y ＝log πx
答案：BD
2．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，若f (1)＝2，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C. 2
D ．2
解析：选C ∵f (1)＝log a (1＋1)＝2，∴a 2＝2，则a ＝2，故选C.
3．如果函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过点(4,2)，那么a 的值为( ) A.14 B ．12
C ．2
D ．4
解析：选C 因为f (x )＝log a x 图象经过点(4,2)，所以log a 4＝2，所以a 2＝4且a ＞0且a ≠1，解得a ＝2，故选C.
4．函数f (x )＝
x －4
lg x －1
的定义域是( )
A ．[4，＋∞)
B ．(10，＋∞)
C ．(4,10)∪(10，＋∞)
D ．[4,10)∪(10，＋∞)
解析：选D 要使函数f (x )＝x －4
lg x －1有意义，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4≥0，lg x －1≠0，x ＞0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥4，
x ≠10，
x ＞0，
即x ≥4且x ≠10，
所以函数的定义域为[4,10)∪(10，＋∞)．故选D.
5．(多选)设集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{y |y ＝lg x }，则下列关系中正确的是( ) A ．A ∪B ＝B B ．B ⊆A C ．A ∩B ＝A
D ．A ∩B ＝B
解析：选AC 由题意知A ＝{x |x ＞0}，B ＝{y |y ∈R }．所以A ⊆B .
6．已知函数f (x )＝log 3x ＋log 13
x ，则f (3)＝________.
解析：f (3)＝log 33＋log 1
3
3＝12－12
＝0. 答案：0
7．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________. 解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－4a －5＝0，a ＞0，
a ≠1，
解得a ＝5. 答案：5
8．函数g (x )＝ln (－x 2＋3x ＋4)
x －3
定义域为____________．
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋3x ＋4＞0，
x －3≠0，
解得－1＜x ＜4且x ≠3，所以函数g (x )＝
ln (－x 2＋3x ＋4)
x －3
定义域为(－1,3)∪(3,4)．
答案：(－1,3)∪(3,4)
9．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)．当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围．
解：∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a .
∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <3
2
.
又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <3
2，
∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭
⎫1，32. 10．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q
100
成正比，且当Q ＝900时，V ＝1.
(1)求出V 关于Q 的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数． 解：(1)设V ＝k ·log 3Q
100
，
∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900
100，
∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V ＝1
2log 3Q 100.
(2)令V ＝1.5，则1.5＝1
2log 3Q 100
，∴Q ＝2 700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位．
层级(二) 素养提升练
1．函数f (x )＝x ＋4＋log 2(6－2x )的定义域是( ) A ．{x |x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ＞－4}
D ．{x |－4≤x ＜3}
解析：选D 由题意，函数f (x )＝x ＋4＋log 2(6－2x )有意义，满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋4≥0，
6－2x ＞0，解
得－4≤x ＜3，即函数的定义域为{x |－4≤x ＜3}，故选D.
2．已知函数f (x )＝log 3x ，则方程f 2(x )＝2－log 9(3x )的解集是________． 解析：由已知得(log 3x )2＝2－log 9(3x )， ∴(log 3x )2＝2－12log 3(3x )＝2－1
2(log 33＋log 3x )，
即(log 3x )2＋12log 3x －3
2
＝0，令t ＝log 3x ，
则方程可化为t 2＋12t －32＝0，解得t ＝1或t ＝－3
2，
∴x ＝3或x ＝
39
， ∴方程f 2(x )＝2－log 9(3x )的解集是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫3，
39. 3．若函数f (x )＝log 2(ax 2＋3x ＋a )的定义域是R ，求实数a 的取值范围． 解：∵函数f (x )＝log 2(ax 2＋3x ＋a )的定义域是R ， ∴ax 2＋3x ＋a ＞0在R 上恒成立，
当a ＝0时，显然不适合，
当a ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
Δ＝9－4a 2
＜0，
解得a ＞3
2
，
综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫3
2，＋∞ 4．如图，已知过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点．
(1)试利用相似形的知识，证明O ，C ，D 三点在同一条直线上； (2)当BC ∥x 轴时，求A 点的坐标．
解：由于A ，B 是过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象的交点，故可设A (x 1，log 8x 1)，B (x 2，log 8x 2)，且log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2⇒log 2x 1x 1＝log 2x 2
x 2
.
(1)根据题意，C ，D 两点的坐标可以设为C (x 1，log 2x 1)，D (x 2，log 2x 2)． ∵log 2x 1x 1＝log 2x 2
x 2
，∴O ，C ，D 三点共线． (2)当BC ∥x 轴时，有log 8x 2＝log 2x 1，∴x 2＝x 31， ∴log 2x 1x 1＝log 2x 31x 31，即x 21＝3.又x 1＞0， ∴x 1＝3，log 8x 1＝1
2log 83，
∴点A 的坐标为⎝⎛⎭
⎫3，1
2log 83.。