较复杂的浓度问题
浓度三角
浓度三角同学们，在百分数应用题中一类非常重要的题型，那就是浓度的配比问题，这类题一般可以列方程解决，但是列方程比较麻烦，而且解方程也比较费时间，今天老师教大家一个好方法——也许有的同学之前接触过——浓度三角。
首先我们来看这样一道题，浓度为a的溶液A克，与浓度为b 的溶液B克，混合之后，浓度变为c，求两种溶液的用量之比A:B （a<c<b）题目比较简单，可以利用溶质不变列方程解决，Aa+Bb=(A+B)c。
通过移项可以知道A:B=（b-c）：（c-a）现在大家来看一下下面这两个图形细心的同学可能发现了只要将这三个浓度交叉相减，结果的比就是两种溶液的用量之比，这就是浓度三角（也有同学把它叫十字交叉，其实本质是一样滴）掌握了这种方法，我们就可以很快地解决浓度配比问题，现在我们来练习一下【例 1】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？分析题目，不难看出，只要知道两种溶液的用量之比就可以解决问题了那么我们就用刚刚学习的浓度三角运用浓度三角可以解决浓度配比问题外，还可以解决其他类似的问题，比如下面的题目【例 2】六年级两个班共有学生100人，其中女生占47%，一班女生占全班人数的35%，二班女生占全班人数的55%，两个班各有多少人？仔细分析题目，只要知道两个班的人数之比，问题就解决了，现在我们来大变活人将女生变成酒精，男生变成水，那么这两个班变成了什么呢？都变成浓度不同的酒精溶液，求人数之比实际上就是求两种溶液的用量之比，现在大家想到浓度三角了吗？你对奥数的“浓度三角”这一知识点掌握了吗？浓度问题是百分数应用题中较复杂的内容，涉及溶质、溶剂、溶液三方面的关系。
浓度三角形主要用于解决两种不同浓度糖水混合的问题。
浓度三角公式浓度=溶质/(溶剂+溶质)浓度指某物种在总量中所占的分量。
常用的浓度表示方法重量百分浓度：一般使用最常用。
体积百分浓度：常用于酒类表示。
六年级奥数应用题浓度问题
六年级奥数应用题浓度问题Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】一、 基本概念与关系 （1） 溶质 “干货”、“纯货”——被溶解的物质（2） 溶剂“溶质之外的物质”——用来溶解溶质的物质（3） 溶液溶液=溶质+溶剂——溶质与溶质的混合体 （4） 浓度——溶质的量占溶液的量的百分比 二、 基本方法（1） 寻找不变量，按基本关系或比例求解（2） 浓度三角（如右图所示）（3） 列方程或方程组求解（1） 重点：浓度问题中的基本关系，不变量的寻找，浓度三角（2） 难点：复杂问题中列表法、浓度三角以及方程与方程组的综合运用 重难点 知识框架浓度问题 =100%=100%+⨯⨯溶质溶质浓度溶液溶质溶液::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z z-y x-z乙溶液浓度y %浓度x %混合浓度z%例题精讲一、抓住不变量和浓度基本关系解决问题【例 1】某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少【巩固】一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克【例 2】浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖【巩固】浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水【例 3】买来蘑菇10千克，含水量为99％，晾晒一会儿后，含水量为98％，问蒸发掉多少水份【巩固】1000千克葡萄含水率为%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了千克.【例 4】将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________．【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%，第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为_______%.二、通过浓度三角解决浓度和实际生活中的配比问题【例 5】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克【巩固】将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克【例 6】瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几【巩固】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为15%，盐浓度为10%，乙溶液中的酒精浓度为45%，盐浓度为5%．现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍【例 7】甲瓶中酒精的浓度为70%，乙瓶中酒精的浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度是66%．如果两瓶酒精各用去5升后再混合，则混合后的浓度是66.25%．问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少升【巩固】纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%．如果每种酒精都多取20克，混合后纯酒精的含量变为45%．求甲、乙两种酒精原有多少克【例 8】甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%．如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%．第一次混合时，甲、乙两种酒精均取了多少升【巩固】甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为40%的硫酸溶液400千克．均取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样【例 9】某班有学生48人，女生占全班的％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40％，问转来几名女生【巩固】小明到商店买红、黑两种笔共66支．红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支【例 10】有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中14为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中15为酥糖．将两包糖混合后，水果糖占78%，那么奶糖与酥糖的比例是________.【巩固】某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价10%，买三件降价20%，最后结算，平均每件恰好按原定价的85%出售．那么买三件的顾客有多少人三、综合运用各种方法解决多溶液、多次配比问题【例 11】 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。
较复杂的浓度问题
较复杂的浓度问题例题1、从装满200克浓度为50%的盐水杯中倒出40克盐水后，然后再倒入清水将杯倒满。
搅拌后再倒出40克盐水，然后再倒入清水将杯倒满。
这样反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？例题2、甲种酒精的纯酒精含量为72%，乙种酒精的纯酒精含量为58%，两种酒精各取出一些混合后纯酒精的含量为62%。
如果两种酒精所取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精的含量就为63.25%。
问第一次混合时，甲乙两种酒精各取了多少升？例题3、有A、B、C三种盐水，按A与B的数量之比为2∶1混合，得到浓度为13％的盐水；按A与B的数量之比为1∶2混合，得到浓度为14％的盐水；按A、B、C的数量之比为1∶1∶3混合，得到浓度为10.2％的盐水，问盐水C的浓度是多少？例题4、AB两杯食盐水各有40克，浓度比是3∶2，在B中加入60克水，然后倒入A中多少克，再在AB中加入水，使他们均为100克，这时浓度比为7∶3。
例题5、甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。
把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。
求最后乙中盐水的浓度。
课堂练习：1、甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，这样，甲容器中的纯酒精含量为62.5%，乙容器中的纯酒精容量为25%，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？2、把浓度为20％、30％和50％的某溶液混合在一起，得到浓度为36％的溶液50升。
已知浓度为30％的溶液用量是浓度为20％的溶液用量的2倍，浓度为30％的溶液的用量是多少升？3、有甲、乙两个容器，分别装了若干纯酒精和水。
第一次将甲的21倒给乙，混合后再把乙的一半倒给甲。
这样再做一次后，甲中有22%的酒精溶液300克，问最初甲装多少克，乙装多少克。
六年级奥数应用题浓度问题
知识框架、基本概念与关系“溶质之外的物质” 用来溶解溶质的物质100% 溶液=溶质+溶剂——+溶质与溶质的混合体重难点（1）重点：浓度问题中的基本关系，不变量的寻找，浓度三角 （2）难点：复杂问题中列表法、浓度三角以及方程与方程组的综合运用浓度问题(1) 溶质 “干货”、“纯货” 被溶解的物质 (2) 溶剂(4) 浓度 、基本方法 混合浓度z% —溶质的量占溶液的量的百分比 甲溶液乙溶液 浓度x%浓度y% z-y : x-z(1) 寻找不变量，按基本关系或比例求解 (2) 浓度三角（如右图所示） 甲溶液质量:乙溶液质量 (3) 列方程或方程组求解(3) 溶液浓度=溶质100%=」质例题精讲一、抓住不变量和浓度基本关系解决问题【例1】某种溶液由40克食盐浓度15%勺溶液和60克食盐浓度10%勺溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？【巩固】一容器内有浓度为25%的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15%，问这个容器内原来含有糖多少千克？【例2】浓度为20%的糖水40克，要把它变成浓度为40%的糖水，需加多少克糖？【巩固】浓度为10%，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8 %的糖水？【例3】买来蘑菇10千克，含水量为99 %，晾晒一会儿后，含水量为98%，问蒸发掉多少水份？【巩固】1000千克葡萄含水率为96.5%，—周后含水率降为96%这些葡萄的质量减少了_______ 千克.【例4】将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是 _________ •【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为_________ %.二、通过浓度三角解决浓度和实际生活中的配比问题【例5】有浓度为20%的盐水300克，要配制成40%的盐水，需加入浓度为70% 的盐水多少克？【巩固】将75%的酒精溶液32克稀释成浓度为40%的稀酒精，需加入水多少克？【例6】瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入10（克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%.已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？【巩固】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为15%，盐浓度为10%，乙溶液中的酒精浓度为45%，盐浓度为5%.现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？【例7】甲瓶中酒精的浓度为70%，乙瓶中酒精的浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度是66% .如果两瓶酒精各用去5升后再混合，则混合后的浓度是66.25%.问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少升？【巩固】纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40% .如果每种酒精都多取20克，混合后纯酒精的含量变为45% .求甲、乙两种酒精原有多少克？【例8】甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62% .如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%.第一次混合时，甲、乙两种酒精均取了多少升？【巩固】甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为40%的硫酸溶液400千克.均取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？【例9】某班有学生48人，女生占全班的37.5 %，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40%，问转来几名女生？【巩固】小明到商店买红、黑两种笔共66支.红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元.由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支？1【例10】有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中-为奶糖；第二包糖由酥1糖和水果糖组成，其中-为酥糖.将两包糖混合后，水果糖占78%，那么5奶糖与酥糖的比例是_________ .【巩固】某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件.如果买一件按原定价，买两件降价10%，买三件降价20%，最后结算，平均每件恰好按原定价的85%出售.那么买三件的顾客有多少人？三、综合运用各种方法解决多溶液、多次配比问题【例11】甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。
【奥数难题】浓度问题-----五分钟学会
【奥数难题】浓度问题-----五分钟学会浓度问题是⼩学六年级⼩升初考试的常见题型，如何理解浓度问题，我们⼀起来看⼀看。
1、常规浓度问题（1）基本知识点：溶质:被溶解的物质溶剂:溶解别的物质的东西溶液:溶质和溶剂的混合物溶液质量(体积)=溶质质量(体积)+溶剂质量(体积)浓度=溶质质量(体积)÷溶液的质量(体积)×100%（2）记忆⽅法：溶质:男⽣(被欺负的同学)溶剂:⼥⽣（欺负男⽣的同学）溶液:班级班级⼈数=男⽣⼈数+⼥⽣⼈数浓度=男⽣⼈数÷全班⼈数×100%注:浓度问题本质上也是分百应⽤题（3）常规解法：抓住不变量①根据不变量列算式求解②若题⽬逻辑较为复杂可根据不变量列⽅程求解2、复杂混合类浓度问题（1）浓度⼗字： 浓度为x%的甲溶液和浓度为y%的⼄溶液要配成浓度为z%的溶液需要甲和⼄的总量之⽐等于对应的浓度差之⽐(假设甲的浓度⾼)如10%的甲溶液与5%的⼄溶液配成8%的溶液需要这两种溶液的总量⽐为________所以甲、⼄的总量之⽐为3%：2%=3:2注:多次混合问题有时候⽤⽅程效果更好【学以致⽤】1、当含盐为30%的60克盐⽔蒸发为含盐40%的盐⽔时，盐⽔重量是_________克。
2、⼀容器内有浓度为25％的糖⽔，若再加⼊20千克⽔，则糖⽔的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖__________千克。
3、⽤浓度为45%和5%的两种盐⽔配制成浓度为30%的盐⽔4千克，需要这两种盐⽔各多少千克？4、5%的盐⽔100克，加上10%和15%的盐⽔100克，变成9%的盐⽔200克，加了____________克10%的盐⽔。
【答案解析】1、当含盐为30%的60克盐⽔蒸发为含盐40%的盐⽔时，盐⽔重量是_________克。
【分析】本题难点在于发现溶质盐的重量不变初学者可以这样理解：男⽣占30%的班级有60⼈，当⾛了部分⼥⽣后男⽣所占⽐例变为40%，问此时班级有多少⼈？盐重量(男⽣⼈数)=60×30%=18克盐⽔重量(全班⼈数)=18÷40%=45克(量率对应)【答案】452、⼀容器内有浓度为25％的糖⽔，若再加⼊20千克⽔，则糖⽔的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖__________千克。
数学运算--浓度问题和十字交叉法
数学运算--浓度问题和十字交叉法数学运算--浓度问题和十字交叉法从本质上来说，浓度问题就是指溶液的浓度变化问题。
要解决浓度问题，我们首先要了解溶液、溶剂、溶质和浓度的关系。
溶液、溶剂、溶质和浓度的关系如下∶•溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量•浓度=溶质质量÷溶液质量•溶液质量=溶质质量÷浓度•溶质质量=溶液质量×浓度难度较低的溶液问题只要通过以上几个公式就可以列方程求解，而对于一些较复杂的浓度问题，就要通过“十字交叉法”来求解。
十字交叉法是进行二组分混合物平均量与组分量的计算中常用的一种简便方法。
凡是一般的二元一次方程组（Aa +Bb = c( A +B )关系式）的习题，均可用十字交叉法。
该法解题的关键是准确找出平均值。
其解题原理为：Aa＋Bb＝(A＋B)×c整理变形后可得 (a>c>b)其中c为平均值十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
我们可以通过一个例题来详细了解：【例1】甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲，乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲，乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？解：17% 2.4 400 2X ：23% 3.6 600 3左面列纵向做差，23-17=6，把6按照2：3来分，分成2.4和3.6，则求出x=20.6%。
【例2】浓度为70%的酒精浓液100克与浓度为20%的酒精浓液400克混合后得到的浓液的浓度是多少？（）A、30%B、32%C、40%D、45%【解析】A。
用十字交叉法解决：设混合后浓液的浓度为：X%溶液1：70 X-20 100X浓液2：20 70-X 400因此：X-20/70-X=100/400 推出X=30。
浓度问题(张成钢)
浓度问题（培优版）【思路导航】在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，就是浓度问题，我们知道，将糖溶入水中，就得到糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖与水合在一起叫溶液。
如果水的量不变，糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液）质量的比值决定的，这个比值就是糖水的含糖率（又叫浓度）。
常用的数量关系有：浓度= 溶质质量溶液质量×100%浓度=溶质质量溶质质量＋溶剂质量×100%溶质质量= 溶液质量×浓度当不同浓度的溶液混合后，不同浓度的溶质质量的总和等于新配成的溶液中的溶质质量。
利用这个等理关系可以解答较复杂的浓度问题。
（加浓与稀释问题）例1、有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%，需要加多少克糖？练一练：现在有浓度为20%的糖水300克，需要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？例2、要想得到浓度为8%的盐水，应往40千克浓度为20%的盐水中加入多少千克水（2005年小学数学奥林匹克试题）练一练：一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水，才能配成1.75%的农药800千克？（溶液混合配制问题）例3、现将含盐量分别为16%和40%的两种盐水混合成含盐32%的盐水312千克，需要含盐16%的盐水多少千克？练一练：130克含盐5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水，这要配成的共有多少克？金牌冲刺天天练铜牌练习：1、有含盐15%的盐水20千克，要使盐水的浓度提高为20%，需要加多少千克盐？2、在浓度为100千克浓度为5%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液就可以配制成25%的硫酸溶液？3、仓库运来含水量为90%的一种水果100千克。
一星期后再测，发现含水量降低到80%。
现在这批水果的质量是多少千克？银牌练习：甲、乙两种酒各含酒精75%和55%，要配制含酒精65%的酒3000克，甲乙两种酒精应当各准备多少克？两个杯中分别装有浓度为40%与10%的食盐水，倒在一起混合后食盐水的浓度为30%。
盐水浓度问题的巧妙解题方法
盐水浓度问题的巧妙解题方法盐水浓度问题是数学中一个经典的问题，解决这类问题需要巧妙的思考和一些基本的数学方法。
本文将介绍一种巧妙解题方法，通过逐步分析和解答问题，详细讲解解决盐水浓度问题的步骤和技巧。
一、问题描述我们来考虑如下问题：有一缸盐水，初始时其中的盐水浓度为c1 g/L。
现加入v1升浓度为c2 g/L的盐水后，缸中的盐水浓度变为多少？二、解题思路为了解决这个问题，我们需要明确一些关键概念和已知条件，然后采取一系列步骤逐步推导出结果。
1.关键概念在解决盐水浓度问题时，需要理解和掌握以下几个关键概念：- 盐水的质量：指的是盐水中溶解盐的总质量，使用单位是克(g)。
- 盐水的体积：指的是盐水所占据的空间大小，使用单位是升(L)。
- 盐水的浓度：是盐水中溶解盐的质量与盐水体积的比值，使用单位是克/升(g/L)。
- 盐水的溶解：将盐溶解于水中，形成盐水的过程。
2.已知条件在解题过程中，我们需要知道以下已知条件：- 缸中初始的盐水浓度c1- 添加的盐水体积v1- 添加的盐水浓度c23.解题步骤接下来，我们将用一系列步骤解决盐水浓度问题。
步骤一：计算初始盐水的质量首先，我们需要计算初始盐水的质量，可以通过盐水的浓度和体积以及已知条件进行计算。
初始盐水的质量= 初始盐水的体积× 初始盐水的浓度步骤二：计算添加盐水的质量接下来，我们需要计算添加的盐水的质量，可以通过添加的盐水的浓度和体积以及已知条件进行计算。
添加盐水的质量= 添加盐水的体积× 添加盐水的浓度步骤三：计算盐水总质量盐水总质量= 初始盐水的质量+ 添加盐水的质量步骤四：计算盐水总体积盐水总体积= 初始盐水的体积+ 添加盐水的体积步骤五：计算盐水总浓度盐水总浓度= 盐水总质量/ 盐水总体积步骤六：计算结果根据步骤五的计算，我们可以得到添加盐水后的盐水浓度。
三、举例说明为了更好地理解和应用上述解题思路，我们来举一个具体的例子。