辽宁省葫芦岛一中2017_2018学年高二数学下学期3月期初考试试题理201803271341

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辽宁省葫芦岛一中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列命题中，是正确的全称命题的是（）A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0B．菱形的两条对角线相等C．存在实数x，使得D．对数函数在定义域上是单调函数2．设a，b，c为实数，“ac=b2”是“a，b，c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（4，7）C．（7，10） D．（4，10）4．已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是（）A．4 B．12 C．16 D．185．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．256．{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（）A．40 B．35 C．30 D．287．设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，+∞]8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）9．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．[，1）B．[，1] C．（，1）D．[，1）10．设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立．则实数k的最小值等于（）A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣411．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||=||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．12．过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+为定值，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2，则x=．14．设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为．15．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的渐近线方程为．16．P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin（α+β）=，则此椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．20．正数数列{a n}的前n项和为S n，已知对于任意的n∈Z+，均有S n与1正的等比中项等于a n与1的等差中项．（1）试求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F 分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣A的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列命题中，是正确的全称命题的是（）A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0B．菱形的两条对角线相等C．存在实数x，使得D．对数函数在定义域上是单调函数【考点】全称命题．【分析】通过配方判断出A是假命题；通过菱形及矩形对角线的性质判断出B是假命题；通过含存在量词判断出C不是全称命题；通过对数函数的单调性判断出D是真命题．【解答】解：对于A，任意的a，b∈R，a2+b2﹣2a﹣2b+2=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以A不正确对于B，菱形的对角线垂直，矩形的对角线相等，故B不正确对于C，此命题不是全称命题对于D，是全称命题且是真命题故选D2．设a，b，c为实数，“ac=b2”是“a，b，c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先证明必要性，由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；再证充分性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．【解答】解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac；若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．3．方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（4，7）C．（7，10） D．（4，10）【考点】椭圆的简单性质．【分析】直接由题意列关于k的不等式组得答案．【解答】解：∵=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得7＜k＜10．∴实数k的取值范围是（7，10）．故选：C．4．已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是（）A．4 B．12 C．16 D．18【考点】基本不等式．【分析】将x+y写成x+y乘以的形式，再展开，利用基本不等式，注意等号成立的条件．【解答】解：∵=1∴x+y=（）（x+y）=10++≥10+2=16当且仅当=时，取等号．则x+y的最小值是16．故选C．5．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．25【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可知：丨|PF1|﹣|PF2|丨=2a=8，|PF1|=9，解得|PF2|=17或|PF2|=1（舍去），则|PF2|=17．【解答】解：双曲线﹣=1，可得a=4，由双曲线的定义可得：丨|PF1|﹣|PF2|丨=2a=8，|PF1|=9，∴|PF2|=17或|PF2|=1（舍去），故选：B．6．{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（）A．40 B．35 C．30 D．28【考点】等差数列的前n项和．【分析】分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解【解答】解：由题意可得，解可得a1=1，d=∴=40故选A7．设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，+∞]【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部．目标函数=k，表示直线PQ的斜率，其中P（x，y）为区域内的动点，点Q的坐标为（﹣2，﹣1）．运动点P并加以观察，可得k的最小值和最大值，由此即可得到的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，其中A（2，2），B（0，），0（0，0）设P（x，y）为区域内的动点，定点Q的坐标为（﹣2，﹣1），则PQ的斜率k=，运动点P并加以观察，得直线PQ的倾斜角为锐角当P与原点0重合时，k达到最小值，k min==；当P与点B重合时，k达到最大值，k max==由此可得PQ的斜率k的取值范围是[，]，即目标函数的取值范围是[，]．故选：A8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）【考点】椭圆的应用．【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．9．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．[，1）B．[，1] C．（，1）D．[，1）【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0DF==当y=时，线段DF长度的最小值是当y=1时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y=1不能取；故选：A．10．设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立．则实数k的最小值等于（）A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣4【考点】函数恒成立问题．【分析】先分离出参数k，得k≥﹣（+）（a+b），然后利用基本不等式求得﹣（+）（a+b）的最大值即可．【解答】解：由++≥0，得k≥﹣（+）（a+b），∵﹣（+）（a+b）=﹣（2+）=﹣4，当且仅当a=b时取等号，∴k≥﹣4，即实数k的最小值等于﹣4，故选：D．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||=||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先利用||=||，推导出∠ABF=90°，再由射影定理得b2=ca，由此能求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵||=||，∴=0，∴∠ABF=90°，由射影定理得OB2=OF×OA，∴b2=ca，又∵c2=a2+b2，∴c2=a2+ca，∴a2+ca﹣c2=0，∴1+e﹣e2=0，解得e=或（舍），∴e=．故选B．12．过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+为定值，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为：x=my+a，与y2=8x联立得y2﹣8my﹣8a=0，利用韦达定理可求得+=，由它为定值可求得a的值．【解答】解：设直线AB的方程为：x=my+a，代入y2=8x得y2﹣8my﹣8a=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1•y2=﹣8a，AP2=+=+=（m2+1），同理，BP2=（m2+1），∴+=（+）=•=•=，∵+为定值，是与m无关的常数，∴a=4．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2，则x=2．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由条件（﹣）•（2）=﹣2，化简可得2（1﹣x）=﹣2，由此求得x的值．【解答】解：由题意向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2所以（﹣）•（2）=（0，0，1﹣x）•（2，4，2）=2（1﹣x）=﹣2，可得x=2，故答案为：2．14．设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，6），化目标函数z=ax+by为，由图可知，当直线过B时z有最大值，为4a+6b=12，即，则+=（+）（）=．当且仅当，即a=b=时上式等号成立．故答案为：．15．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，联立解得．由于4a＞2a，|F1F2|=2c＞2a．可知∠PF1F2是最小角，因此．由余弦定理可得：﹣2，化为=0，解得e=．再利用，解得即可．【解答】解：如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，联立解得．∵4a＞2a，|F1F2|=2c＞2a．∴∠PF1F2是最小角，因此．由余弦定理可得：﹣2，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c•cos30°，化为=0，∴，解得e=．∴，解得．∴渐近线方程为．故答案为：．16．P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin（α+β）=，则此椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先计算sin β，设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，再利用正弦定理求出n=，m=，利用余弦定理，即可得出结论．【解答】解：∵cos α=，sin （α+β）=，∴sin α=，cos （α+β）=±，∴sin β=sin [（α+β）﹣α]= •+ •=或•﹣•＜0（舍去），设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则由正弦定理可得，∴m=n ，∵m +n=2a ，∴n=，m=由余弦定理可得，整理可得，∵0＜e ＜1，∴e=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y=c x 在R 上单调递减；q ：函数f （x ）=x 2﹣2cx +1在（，+∞）上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】由函数y=c x 在R 上单调递减，知p ：0＜c ＜1，￢p ：c ＞1；由f （x ）=x 2﹣2cx +1在（，+∞）上为增函数，知q ：0＜c ≤，￢q ：c ＞且c ≠1．由“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，知p 真q 假，或p 假q 真，由此能求出实数c 的取值范围．【解答】解∵函数y=c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1．即p ：0＜c ＜1，∵c ＞0且c ≠1，∴￢p ：c ＞1．又∵f （x ）=x 2﹣2cx +1在（，+∞）上为增函数，∴c ≤．即q ：0＜c ≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[]综上所述，实数c的取值范围是{c|}．18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AB中点，连接OC，OA1，得出OC⊥AB，OA1⊥AB，运用AB⊥平面OCA1，即可证明．（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向建立坐标系，可向量的坐标，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA1，∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°∴OC⊥AB，OA1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OCA1，∵CA1⊂平面OCA1，∴AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），==（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞=﹣，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：﹣．20．正数数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对于任意的n ∈Z +，均有S n 与1正的等比中项等于a n 与1的等差中项．（1）试求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由条件等差中项、等比中项的定义，求得：a n +1﹣a n =2，可得数列{a n }为公差d=2的等差数列，再结合a 1=1，求得{a n }的通项公式．（2）先化简数列{b n }的通项公式，再利用裂项法求得它的前n 项和，可得结论．【解答】解：（1）由题意得：，故…①，又…②，②﹣①得：，整理得：（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）=0．由已知a n ＞0，∴a n +1+a n ＞0，故a n +1﹣a n ﹣2=0，即a n +1﹣a n =2，所以数列{a n }为公差d=2的等差数列．又由可得：a 1=1，∴a n =1+（n ﹣1）•2=2n ﹣1．（2）由题意可得，∴T n =b 1+b 2+…+b n = [1﹣+﹣+…+﹣= [1﹣]＜．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F 分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣A的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）作AB的中点H，连接EH，FH，先利用面面平行的判定定理证明出平面EFH ∥平面PBC，进而根据面面平行的性质证明出EF∥平面PBC．（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，连接EJ，做AD中点O，连接OP，先证明出∠EJI为二面角E﹣DF﹣A的平面角，进而求得JI和EJ，最后在直角三角形中求得cos∠EJI．（Ⅲ）先假设存在点G，建立空间直角坐标系，求得平面EFD的一个法向量，仅而表示出和，根据向量共线的性质建立等式对λ求解．【解答】（Ⅰ）作AB的中点H，连接EH，FH，∵在△PAB中，E，H为中点，∴EH∥PB，∵EH⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴EH∥平面PBC，同理可证明FH∥平面PBC，∵EH⊂平面EFH，FH⊂平面EFH，EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PBC，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PBC．（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，连接EJ，做AD中点O，连接OP，∵PA=PD，∴OP⊥AB，∵EI⊥AB，∴EI∥OP，∵E为中点，∴EI=OP=，AE=AB=，∵侧面PAD⊥底面ABCD，∴EI⊥底面ABCD，∵IJ⊥DB，∴EJ⊥DB，∴∠EJI为二面角E﹣DF﹣A的平面角，∵∠ADB=∠JIB，∠DJI=∠DAB=90°，∴△DJI ∽△ADB ，∴=，=，∴JI=∴EJ===，∴cos ∠EJI===．即二面角E ﹣DF ﹣A 的余弦值为．（Ⅲ）不存在．假设存在，连接AC ，BD ，交于点F ，EF 为平面EDF 和平面PAC 的交线，以O 为原点，OA ，OF ，OP 分别为xyz 轴建立空间直角坐标系．则A （1，0，0）， B （1，2，0），C （﹣1，2，0），D （﹣1，0，0），P （O ，O ，），E （，0，），F （0，1，0），设G （x 1，y 1，z 1），则=（x 1，1﹣y 1，z 1），设平面EFD 的一个法向量是n=（x 0，y 0，z 0），∵，即，令x 0=1，则n=（1，﹣1，﹣），∵因为GF ⊥面EDF ，∴=λ，∴x 1=λ，y 1﹣1=﹣λ，z 1=﹣λ，∵，共线， =（﹣1，2，﹣），=（x 1+1，y 1﹣2，z 1），∴==，∴==，无解，故在棱PC 上不存在一点G ，故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ．22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），，∴．∵△ADF为正三角形，∴．又∵，∴，∴p=2．∴C的方程为y2=4x．当D在焦点F的左侧时，．又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+=p﹣6，解得p=18，∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．∴C的方程为y2=4x．（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴k AD=﹣．由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）．点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即．联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16．2016年12月10日。

辽宁省葫芦岛市第一高级中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题文201805310152

2017-2018学年度第二学期期中考试高二年级数学(文科)试题满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，则=（）A. +B. ﹣+C. ﹣D. ﹣﹣2.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A. B. C. D.3.若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A. B.a2b2 C. D. a|c|＞b|c|4.设(x1,y1)，(x2,y2)，(x n,y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）A. x和y的相关系数在﹣1和0之间B. x和y的相关系数为直线l的斜率C. 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D. 所有样本点（x i,y i）（i=1，2，…，n）都在直线l上5.曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线斜率为（）A. eB. 2eC. 1D. 26为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为6，驸临界值表如下：K2K0.05 0.01 0.00P（）0.0015K 3.84 6.63 7.87 10.82- 1 -1 5 9 8则下列说法正确的是（）A. 有95%的把握认为“X和Y有关系”B. 有95%的把握认为“X和Y 无关”C. 有99%的把握认为“X和Y有关系”D. 有99.9%的把握认为“X和Y 有关系”7.若且满足，则的最大值是( )A. 2B.C. 3D.8.设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )A. 都大于2B. 至少有一个大于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于29.参数方程( 为参数)所表示的曲线是( )A. B. C. D.10.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过龙潭大峡谷、九门口长城、乌金塘水库三个景区时，甲说：我去过的景区比乙多，但没去过九门口长城；乙说：我没去过乌金塘水库；丙说：我们三人去过同一景区；由此可判断乙去过的城市为（）A. 龙潭大峡谷B. 乌金塘水库C.龙潭大峡谷和九门口长城D.龙潭大峡谷和乌金塘水库11.若关于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＞5的解集为R，则实数m的取值范围是（）A. （﹣3，7）B. （﹣∞，﹣7）∪（3，+∞）C. （﹣∞，﹣3）∪（7，+∞）D. （﹣7，3）12.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＞e x的解集为（）A. （﹣∞，0）B. （0，+∞）C. （1，+∞）D. （4，+∞）- 2 -第Ⅱ卷（非选择题，共 90分）二、填空题：本大题共 4个小题,每小题 5分，共 20分.13.在极坐标系中，以 A （0，2）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程为________． 14.不等式的解集________．15.观察下列式子：1312 ，根据以上13 2332 ,13233362 ,13233343102,式子可猜想： 13 23 33n 3 =________.16.已知函数 f （x ）= ，函数 g （x ）= -f （1﹣x ），则函数 y=f （x ）﹣g （x ）的零点的为____ 个三、解答题：本大题共 6小题，满分 70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对 100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表．且平均每天喝 500ml 以上为常喝，体重超过 50kg 为肥胖．已知在全部 100人中随机抽取 1人，抽到肥胖的学生的概率为 0.7．常喝不常喝合计肥胖 50不肥胖 20合计100K 2 K 0.05 0.02 P （）0.01 0.00 0.00150 5K3.84 05.026.637.87 10.82 14598（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有 95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．附：参考公式： K 2 =- 3 -18. （本小题满分12分）某化工厂为预测产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现收集了4组对照数据。

辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷(理科)Word版含解析

辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．计算=（）A．B．C．﹣ D．﹣3．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角5．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．56．函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=07．平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（）A．n+1 B．2n C． D．n2+n+18．曲线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离是（）A．B．2 C．D．19．等比数列{a n}中，a1=1，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a n），则f′（0）（）A．0 B．16 C．64 D．25610．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．11．f（x）为定义在R上的可导函数，且f′（x）＞f（x），对任意正数a，则下列式子成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．e a f（a）＜f（0）C．f（a）＞e a f（0）D．e a f（a）＞f（0）12．已知函数f（x）的导函数f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=，且f（1）=1，则函数f（x）的最大值为（）A．0 B．C．D．2e二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．设z=1+i（i是虚数单位），则=．14．由直线，曲线及x轴所围图形的面积为．15．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的最大值是．16．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]=2，[π]=3，[k]=k（k∈N*）．我们发现：[]+[]+[]=3；[]+[]+[]+[]+[]=10；[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21；…通过合情推理，写出一般性的结论：（用含n的式子表示）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4；（2）由（1）猜想a n的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．18．设函数f（x）=x3+ax2+bx（a∈R），已知曲线y=f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是y=4x+3．（Ⅰ）求a，b的值；并求出函数的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最值．19．（1）分别比较log23和log34，log34和log45的大小，归纳出一个一般性的结论，并证明你的结论；（2）已知a，b，x，y∈R，证明：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，并利用上述结论求（sin2x+cos2x）（+）的最小值（其中x∈R）．20．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e﹣1时，证明不等式e x ln（1+y）＞e y ln（1+x）请考生在第22、23题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的基本概念．【分析】将复数进行化简，根据复数的几何意义即可得到结论．【解答】解：z===，∴对应的点的坐标为（），位于第四象限，故选：D．2．计算=（）A． B． C．﹣D．﹣【考点】极限及其运算．【分析】由题意可知=═sin′（），根据导数的运算，即可求得答案．【解答】解：==sin′（）=cos=，故选：B．3．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，令导函数f′（x）＞0，从而求出其递增区间．【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）e x的，∴f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴函数f（x）的递增区间是（2，+∞），故选：A．4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，从而得出结论．【解答】解：用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应先假设“至少有两个钝角”，故选：B．5．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意故选：D．6．函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选B．7．平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（）A．n+1 B．2n C． D．n2+n+1【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多，确定f（n）﹣f（n﹣1）=n，累加，即可求得f（n）的表达式．【解答】解：由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f（k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）﹣f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得f（2）﹣f（1）=2，f（3）﹣f（2）=3，…，f（n）﹣f（n﹣1）=n，把这n﹣1个等式累加，得f（n）﹣f（1）=2+3+…+n=∴f（n）=2+=故选C．8．曲线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离是（）A． B．2 C． D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出和y=x+1平行的直线和y=lnx相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论．【解答】解：设与y=x+1平行的直线与y=lnx相切，则切线斜率k=1，∵y=lnx，∴，由，得x=1．当x=1时，y=ln1=0，即切点坐标为P（1，0），则点（1，0）到直线的距离就是线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离，∴点（1，0）到直线的距离为：d==，∴曲线y=lnx上的点到直线l：y=x+1的距离的最小值为．故选：A．9．等比数列{a n}中，a1=1，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a n），则f′（0）（）A．0 B．16 C．64 D．256【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用导数的乘法法则得到f′（x），求得f′（0），利用等比数列的性质得答案．【解答】解：函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′则f′（0）=a1•a2…a8==44=256．故选：D．10．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选B．11．f（x）为定义在R上的可导函数，且f′（x）＞f（x），对任意正数a，则下列式子成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．e a f（a）＜f（0）C．f（a）＞e a f（0）D．e a f（a）＞f（0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据选项令g（x）=，可以对其进行求导，根据已知条件f′（x）＞f（x），可以证明g（x）为增函数，可以推出g（a）＞g（0），再对选项进行判断．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，∴可以令g（x）=，∴g′（x）=，∵f′（x）＞f（x），e x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）为增函数，∵正数a＞0，∴g（a）＞g（0），∴＞=f（0），∴f（a）＞e a f（0），故选：C．12．已知函数f（x）的导函数f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=，且f（1）=1，则函数f（x）的最大值为（）A．0 B．C．D．2e【考点】导数的运算；函数的最值及其几何意义．【分析】由题意构造函数g（x）=x2f（x），可解得g（x）=1+lnx，f（x）=，利用导数判断函数f（x）的单调性，求得最大值即可．【解答】解：∵xf′（x）+2f（x）=，∴x2f′（x）+2xf（x）=，令g（x）=x2f（x），则g′（x）=x2f′（x）+2xf（x）=，∵f（1）=1，∴g（1）=1，∴g（x）=1+lnx，f（x）=，∴f′（x）=，∴x＜时，f′（x）=＞0，x＞时，f′（x）=＜0，∴当x=时，f（x）max=f（）==．故选C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．设z=1+i （i 是虚数单位），则= 1+i ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】将z=1+i 代入，利用复数代数形式的乘除运算，乘方运算化简可得．【解答】解：将z=1+i 代入得，故答案为1+i14．由直线，曲线及x 轴所围图形的面积为 2ln2 ．【考点】定积分的简单应用．【分析】利用定积分表示出图形的面积，求出原函数，即可求得结论．【解答】解：由题意，直线，曲线及x 轴所围图形的面积为=lnx=ln2﹣ln =2ln2 故答案为：2ln2．15．若f （x ）=﹣x 2+bln （x +2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b 的最大值是 ﹣1 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得不等式b ≤x 2+2x ，将问题转化为求g （x ）的最小值问题，从而问题得解．【解答】解：∵f′（x ）=﹣x +，令f′（x ）≤0，得b ≤x 2+2x ，令g （x ）=x 2+2x ，画出函数g （x ）的图象，如图示：，∴b≤﹣1，故答案为：﹣1．16．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]=2，[π]=3，[k]=k（k∈N*）．我们发现：[]+[]+[]=3；[]+[]+[]+[]+[]=10；[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21；…通过合情推理，写出一般性的结论：=n （2n+1）（n∈N*）（用含n的式子表示）．【考点】归纳推理．【分析】根据条件通过观察，可以得到一个一般性的结论=n（2n+1）（n∈N*）．【解答】解：根据[]+[]+[]=3；[]+[]+[]+[]+[]=10；[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21；…通过观察，发现，等式左边方括号内第一个数是完全平方数，以后依次增加1，最后一个是后一个完全平方数减1，而右边可以写成两个数的积的形式．我们可以得到一个一般性的结论：=n（2n+1）（n∈N*）．故答案为：=n（2n+1）（n∈N*）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4；（2）由（1）猜想a n的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【考点】数学归纳法；数列的概念及简单表示法．【分析】（1）根据已知中数列{a n}满足．令n=1，2，3可得a2，a3，a4；（2）由（1）猜想a n=n+1，利用数学归纳法可证得结论．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足．∴=3；=4；=5；（2）由（1）猜想a n=n+1，用数学归纳法证明如下：当n=1时，左边=a2=3，右边==22﹣2+1=3，满足条件；假设n=k时，满足条件，则，即k+2=（k+1）2﹣k（k+1）+1，则n=k+1时，左边=（k+1）+2=k+3，右边=（k+2）2﹣（k+1）（k+2）+1=k+2+1=k+3，满足条件，综上a n=n+1满足条件．18．设函数f（x）=x3+ax2+bx（a∈R），已知曲线y=f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是y=4x+3．（Ⅰ）求a，b的值；并求出函数的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求f′（x）=3x2+2ax+b，根据函数在切点处的导数等于切线的斜率和切点在切线上得出两个关于a，b的方程，即可求出a，b：a=b=1．这样便得到f′（x）=3x2﹣2x﹣1，这样找使f′（x）＞0，和f′（x）＜0的x的取值，从而求出增区间和减区间；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出的单调区间，即可判断f（x）取极值的情况，并且求出端点值，即可求出函数f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b；由已知条件得：；解得a=b=﹣1；∴f（x）=x3﹣x2﹣x，f′（x）=3x2﹣2x﹣1；令3x2﹣2x﹣1=0得：x=，或1；∴x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0；x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；∴函数f（x）的单调增区间是：（﹣∞，﹣]，[1，+∞）；单调减区间是：（﹣，1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）在[﹣1，﹣]上单调递增；在（﹣，1]上单调递减；∴f（﹣）=是f（x）的极大值，又f（﹣1）=﹣1，f（1）=﹣1；∴函数f（x）的最大值是，最小值是﹣1．19．（1）分别比较log23和log34，log34和log45的大小，归纳出一个一般性的结论，并证明你的结论；（2）已知a，b，x，y∈R，证明：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，并利用上述结论求（sin2x+cos2x）（+）的最小值（其中x∈R）．【考点】进行简单的合情推理．【分析】（1）作差（作商），即可比较证明大小；（2）作差比较即可证明；由不等式（a 2+b 2）（x 2+y 2）≥（ax +by ）2成立知，即可得出结论．【解答】解：（1）log 23﹣log 34==＞＞=0，所以log 23＞log 34 同理log 34＞log 45，一般性的结论：log n （n +1）＞log （n +1）（n +2）．（n ∈N +）=log （n +1）（n +2）log （n +1）n ＜＜1，∵log n （n +1）＞0，∴log n （n +1）＞log （n +1）（n +2）．（n ∈N +）；（2）∵（a 2+b 2）（x 2+y 2）﹣（ax +by ）2=a 2x 2+a 2y 2+b 2x 2+b 2y 2﹣（a 2x 2+2abxy +b 2y 2）=a 2y 2﹣2abxy +b 2x 2=（ay ﹣bx ）2≥0∴（a 2+b 2）（x 2+y 2）≥（ax +by ）2 由不等式（a 2+b 2）（x 2+y 2）≥（ax +by ）2成立知，∴（sin 2x +cos 2x ）（+）的最小值为9．20．已知函数f （x ）=lnx ﹣a （x ﹣1）（a ∈R ）．（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f （x ）＜0对任意x ∈（1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）因为a=﹣2时，f （x ）=inx +x ﹣1，f′（x ）=+1．所以切点为（1，0），k=f′（1）=2．所以a=﹣2时，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2x ﹣2．（II）（i）由f（x）=lnx﹣a（x﹣1），所以f′（x）=﹣，①当a≤0时，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=0，∴a≤0不合题意．②当a≥2即0≤1时，f′（x）=﹣＜0，在（1，+∞）上恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，∴a≥2满足题意．③若0＜a＜2即时，由f′（x）＞0，可得1＜x＜，由f′（x）＜0，可得x，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（）＞f（1）=0，∴0＜a＜2不合题意．综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．（ii）a≥2时，“比较e a﹣2与a e﹣2的大小”等价于“比较a﹣2与（e﹣2lna）的大小”设g（x）=x﹣2﹣（e﹣2）lnx，（x≥2）．则g′（x）=1﹣=＞0．∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，因为g（e）=0．当x∈[2，e）时，g（x）＜0，即x﹣2＜（e﹣2）lnx，所以e x﹣2＜x e﹣2．当x∈（e，+∞）时g（x）＞0，即x﹣2＞（e﹣2）lnx，∴e x﹣2＞x e﹣2．综上所述，当a∈[2，e）时，e a﹣2＜a e﹣2；当a=e时，e a﹣2=a e﹣2；当a∈（e，+∞）时，e a﹣2＞a e﹣2．21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e﹣1时，证明不等式e x ln（1+y）＞e y ln（1+x）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由f（x）=ax﹣1﹣lnx，求得f′（x）=．然后分a≤0与a＞0两种情况讨论，从而得到f′（x）的符号，可得f（x）在其定义域（0，+∞）内的单调性，最后综合可得答案；（2）函数f（x）在x=1处取得极值，由（1）的讨论可得a=1．将不等式f（x）≥bx﹣2化简整理得到1+﹣≥b，再构造函数g（x）=1+﹣，利用导数研究g（x）的单调性，得到[g（x）]min=1﹣]．由此即可得到实数b的取值范围；（3）设函数F（t）=，其中t＞e﹣1．利用导数研究F（x）的单调性，得到得F（t）是（e﹣1，+∞）上的增函数．从而得到当x＞y＞e﹣1时，F（x）＞F（y）即＞，变形整理即可得到不等式e x ln（1+y）＞e y ln（1+x）成立．【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣1﹣lnx，∴f′（x）=a﹣=，当a≤0时，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减；当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x≤，f'（x）＞0得x＞，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤0时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．（2）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴根据（1）的结论，可得a=1，∴f（x）≥bx﹣2，即x+1﹣lnx≥bx，两边都除以正数x，得1+﹣≥b，令g（x）=1+﹣，则g′（x）=﹣﹣=﹣（2﹣lnx），由g′（x）＞0得，x＞e2，∴g（x）在（0，e2）上递减，由g′（x）＜0得，0＜x＜e2，∴g（x）在（e2，+∞）上递增，∴g（x）min=g（e2）=1﹣，可得b ≤1﹣，实数b 的取值范围为（﹣∞，1﹣]．（3）令F （t ）=，其中t ＞e ﹣1可得F'（t ）==再设G （t ）=ln （1+t ）﹣，可得G'（t ）=+＞0在（e ﹣1，+∞）上恒成立∴G （t ）是（e ﹣1，+∞）上的增函数，可得G （t ）＞G （e ﹣1）=lne ﹣=1﹣＞0因此，F'（t ）=＞0在（e ﹣1，+∞）上恒成立，可得F （t ）=是（e﹣1，+∞）上的增函数．∵x ＞y ＞e ﹣1，∴F （x ）＞F （y ），可得＞∵ln （1+x ）＞0且ln （1+y ）＞0，∴不等式两边都乘以ln （1+x ）ln （1+y ），可得e x ln （1+y ）＞e y ln （1+x ）．即对任意x ＞y ＞e ﹣1，都有不等式e x ln （1+y ）＞e y ln （1+x ）成立．请考生在第22、23任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为，（t 为参数），在以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，A ，B 两点的极坐标分别为．（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最小值．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由圆C 的参数方程消去t 得到圆C 的普通方程，由直线l 的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ转化为直角坐标方程即可；（2）将A 与B 的极坐标化为直角坐标，并求出|AB |的长，根据P 在圆C 上，设出P 坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．【解答】解：（1）由，化简得：，消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），∴|AB|==2，设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），∴P点到直线l的距离为d==，∴d min==2，则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4．[选修4-5：不等式选讲]23．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x ﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。

辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高二数学下学期期中试卷理(含解析)

2017-2018学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）1．设复数z 满足iz=1+2i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．在用反证法证明“在△ABC 中，若∠C 是直角，则∠A 和∠B 都是锐角”的过程中，应该假设（）A ．∠A 和∠B 都不是锐角 B ．∠A 和∠B 不都是锐角C ．∠A 和∠B 都是钝角D ．∠A 和∠B 都是直角3．A ﹣C等于（）A ．0B ．﹣10C ．10D ．﹣404．已知a ，b ，c ∈R ，c ≠0，n ∈N *，下列使用类比推理恰当的是（） A ．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b” B ．“（ab ）n=a n b n”类比推出“（a+b ）n=a n+b n” C ．“（a+b ）•c=ac +bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc”D ．“（a+b ）•c=ac +bc”类比推出“=+”5．已知函数f （x ）=6﹣x 3，g （x ）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（） A ．f′（x ）=6﹣3x 2，g′（x ）=e xB ．f′（x ）=﹣3x 2，g′（x ）=e x﹣1 C ．f′（x ）=﹣3x 2，g′（x ）=e x D ．f′（x ）=6﹣3x 2，g′（x ）=e x ﹣16．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（） A ．24 B ．72 C ．144 D ．2887．函数f （x ）=lnx ﹣4x+1的递增区间为（）A ．（0，）B ．（0，4）C ．（﹣∞，）D ．（，+∞）8．已知函数f （x ）=cos （3x+），则f′（）等于（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣9．设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．（，] B．[，] C．[，π）D．[0，）∪[，π）10．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100 B．900 C．999 D．100011．若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣312．设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n 的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣5，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，则|z|= ．14．已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）= ．15．若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx= ．16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h．三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算定积分：（1）dx（2）4cosxdx．18．已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．19．已知函数f（x）=xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．20．设（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4（1）求a2的值（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值．21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？22．设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）1．设复数z满足iz=1+2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，再求出的坐标得答案．【解答】解：由iz=1+2i，得z=，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．2．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，故选：B．3．A﹣C等于（）A．0 B．﹣10 C．10 D．﹣40【考点】D4：排列及排列数公式；D5：组合及组合数公式．【分析】利用排列组合数的计算公式即可得出．【解答】解：原式=A﹣==10．故选：C．4．已知a，b，c∈R，c≠0，n∈N*，下列使用类比推理恰当的是（）A．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“（ab）n=a n b n”类比推出“（a+b）n=a n+b n”C．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc”D．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“=+”【考点】F3：类比推理．【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．【解答】解：对于A：“若a•5=b•5，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的，如（1+1）2=12+12对于C：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于D：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，故选：D．5．已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣1【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x，故选：C6．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A．24 B．72 C．144 D．288【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用捆绑法将甲、乙、丙三人看成一个整体，并考虑三人之间的顺序，②、将这个整体与其他三人全排列，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求甲、乙、丙三人站在一起，将3人看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A33=6种情况，②、将这个整体与其他三人全排列，有A44=24种不同顺序，则不同的排法种数为6×24=144种；故选：C．7．函数f（x）=lnx﹣4x+1的递增区间为（）A．（0，）B．（0，4）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣4x+1定义域是{x|x＞0}∵f'（x）=﹣4=当f'（x）＞0时，0＜x＜故选：A8．已知函数f（x）=cos（3x+），则f′（）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】63：导数的运算．【分析】利用复合函数的导数运算法则即可得出．【解答】解：f′（x）=﹣3sin（3x+），∴f′（）=﹣3sin（）=﹣，故选：D．9．设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．（，] B．[，] C．[，π）D．[0，）∪[，π）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解．【解答】解：由y=x﹣x2﹣lnx，得y′=1﹣x﹣（x＞0），∵1﹣x﹣=1﹣（x+），当且仅当x=1时上式“=”成立．∴y′≤﹣1，即曲线在点P点处的切线的斜率小于等于﹣1．则tanθ≤﹣1，又θ∈[0，π），∴θ∈（]．故选：A．10．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100 B．900 C．999 D．1000【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步计数原理可得共有9×10×10=900故选：B．11．若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣3【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值，求出a的值即可．【解答】解：函数的定义域为：x＞0；f′（x）=x+2﹣，令f′（x）＞0，解得：1＜x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）极小值=f（1）==，解得：a=﹣1，故选：B．12．设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n 的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣5，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标（），求出原函数的导函数，写出切线方程，把点（2，n）代入切线方程，整理得到．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，利用导数求其极大值为g（1）=5；极小值为g（2）=4．再由4＜﹣n＜5求得n的范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，设切点为（），则．∴过切点处的切线方程为，把点（2，n）代入得：．整理得：．若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则方程有三个不同根．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，则g′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），∴当x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）．∴当x=1时，g（x）有极大值为g（1）=5；当x=2时，g（x）有极小值为g（2）=4．由4＜﹣n＜5，得﹣5＜n＜﹣4．∴实数n的取值范围是（﹣5，﹣4）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，则|z|= 5 ．【考点】A8：复数求模．【分析】先求出z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，由此能求出|z|．【解答】解：∵复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，∴z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，∴|z|==5．故答案为：5．14．已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）= 2 ．【考点】63：导数的运算．【分析】根据函数的导数公式直接求导即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x+2x﹣e，则f′（1）=e+2﹣e=2，故答案为：215．若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx= ．【考点】67：定积分．【分析】将被积函数变形，两条定积分的可加性以及微积分基本定理求值．【解答】解：m为正整数，则x（x+sin2mx）dx=（x2+xsin2mx）dx=2+=2×+0=；故答案为：．16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为﹣5 ℃/h．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用导数法可求变化的快慢与变化率．【解答】解：由题意，f′（x）=2x﹣7，当x=1时，f′（1）=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．故答案为：﹣5三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算定积分：（1）dx（2）4cosxdx．【考点】67：定积分．【分析】利用微积分基本定理，分别求出被积函数的原函数，代入积分上限和下限求值．【解答】解：（1）dx=lnx|=ln2﹣ln1=ln2；（2）4cosxdx=4sinx|=4sin=2．18．已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据求导公式求出f（x）的导数即可；（2）求出切线的斜率f′（2），从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）f′（x）=4（2x﹣1）+5=8x+1；（2）f′（2）=17，故切线方程是：y﹣19=17（x﹣2），即17x﹣y﹣15=0．19．已知函数f（x）=xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值和最小值，从而求出f（x）在[0，1]上的值域即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=0得x=﹣1，令f′（x）＞0得x＞﹣1，∴f（x）的增区间为（﹣1，+∞）．令f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）．（2）当时x∈[0，1]，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上递增，∴f（x）min=f（0）=5，f（x）max=f（0）=e+5，∴f（x）在[0，1]上的值域为[5，e+5]．20．设（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4（1）求a2的值（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得：48（2x﹣1）2=2a+6a3x+12，令x=0，可得a2．2（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，分别令x=1，x=﹣1，可得：a0+a1+a2+a3+a4=1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，代入（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）即可得出．【解答】解：（1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得：48（2x﹣1）2=2a2+6a3x+12，令x=0，可得a2=24．（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，分别令x=1，x=﹣1，可得：a0+a1+a2+a3+a4=1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=34=81．21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）根据题意，分3步进行分析：①、在7人中选出4人，将其分到甲学校，②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，③、将剩下的1人分到丙学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行分析：①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，②、将分好的三组全排列，对应3个学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：①、在7人中选出4人，将其分到甲学校，有C74=35种选法；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，有C32=3种选法；③、将剩下的1人分到丙学校，有1种情况，则一共有35×3=105种分配方案；（2）根据题意，分2步进行分析：①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，有C74×C32×C11=105种分组方法，②、将分好的三组全排列，对应3个学校，有A33=6种情况，则一共有105×6=630种分配方案．22．设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用分段函数，当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，判断函数的单调性以及函数的极值，推出m的范围．（2）当x≤0时，求出函数的导函数f'（x）=a（x+1）e x，通过a＜0，求解函数的单调性以及极值，推出a＞0，利用函数的极值推出a的范围．【解答】解：（1）当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，令f'（x）=0时得；令f'（x）＞0得递增；令f'（x）＜0得0，f（x）递减，∴f（x）在处取得极小值，且极小值为，∵f（0）=0，f（2）=4，所以由数形结合可得0≤m≤4或．（2）当x≤0时，f'（x）=a（x+1）e x，a＜0，令f'（x）=0得x=﹣1；令f'（x）＞0得﹣1＜x≤0，f（x）递增；令f'（x）＜0得x＜﹣1，f（x）递减．∴f（x）在x=﹣1处取得极小值，且极小值为．∴a＞0，∴，因为当即时，，∴，∴．当即时，，∴，即a≥0，∴．综上，．。

辽宁省葫芦岛市第一高级中学2017-2018学年高二下学期期初摸底考试数学(文)试题 Word版含答案

2017-2018学年度下学期期初摸底考试高二数学试题(文)一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1.已知集合A={y|y=log 2x,x>1},B={y|2y-1<0},则A ∩B=( ) (A)(0,12) (B)(0,1) (C)(12,1) (D)(0,+∞)2.若函数y=ax-2在[2,+∞)上有意义,则实数a 的取值范围是( ) (A)a=1 (B)a>1 (C)a1 (D)a3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) (A)6 (B)3 (C)23(D)4.设实数在区间[-1,1]内任取两个数,则这两个数的平方和小于 1的概率是( )(A)38 (B)18 (C) 2 (D)45.若l 、m 、n 是互不相同的直线,,是不重合的平面,则下列中为真的是( )(A)若∥,l ,n ,则l ∥n (B)若,l ,则l(C) 若l,l ∥,则(D) 若l n,mn,则l ∥m6.设双曲线的渐近线方程是y=3x,则其离心率是( )(A) 10或103 (B)10 (C) 5 (D)5或527.已知cos(4+)=25,则sin2=( )(A)725 (B)-1725 (C)-725 (D)17258.已知半球的半径为2,则其内接圆柱的侧面积最大值是( ) (A)2(B)4(C)8(D)12俯视图正视图侧视图9.定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在[-2,0]上是减函数,若f(x+1)<f(2x),则实数x 的取值范围是( )(A)[-1,-13) (B)[-2,13) (C)(-13,1] (D)(1,2]10.在正项等比数列{a n }中,a 5a 4a 2a 1=16, 则a 1+a 5的最小值是（） (A)2 (B)3 (C)4 (D)811.为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系,甲乙二人各自独立地作了10次和15次试验,并且利用线性回归方法求得回归直线分别为l 1和l 2,已知甲乙得到的试验数据中,变量x 的平均值都是s,变量y 的平均值都是t,则下面说法正确的是( )(A)直线l 1和l 2必定重合 (B) 直线l 1和l 2一定有公共点(s,t) (C)直线l 1∥l 2 (D)直线l 1和l 2相交,但交点不一定是(s,t) 12.设f(x)=-x 2-2x+1,g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x+1x (x>0)3-(12)x(x 0),若函数y=g(f(x))-a 恰有四个不同的零点,则a 的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(52,+∞) (C)(2,52) (D)[2,52)二.(本大题共有4个小题,每小题5分,满分20分,把正确答案填在答题卡是的横线上)13.已知向量a →=(2,-7),b →=(-2,-4),若存在实数,使得(a →-b →)b →,则=______14.执行右图所示的程序框图,如果输入的a=1,b=2, 则输出a 的值是________ 15.已知实数x,y 满足约束条件x+y1,y-x1,y如果函数z=(a-1)x+ay 在点(-1,0)处取到最大值, 则实数a 的取值范围是______否a=a b16.设a,b R+,a+b-ab=0,若lnm2a+b的取值恒非正,则m的取值范围是_______三.解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤)17.(本小题满分10分)设函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,已知不等式f(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(2,+∞),(1)求a和b的值;(2)已知p:x R,ax2+bx+c0,q:x R,x2+23x-c=0.如果p(q)是真,p(q)是假,求c的取值范围.18.(本题满分12分)ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,且a,b,c成等差数列.(1)求B的最大值B;(2)在(1)之下,求f(x)=sin(2x+B0)+3cos(2x+B)在[0,]上的单调递减区间与最值.19.(本题满分12分)葫芦岛市有4个重要旅游景点:a是葫芦山庄,b是兴城古城,c是菊花岛,d是九门口,现有A,B,C,D四位游客来葫游玩.(1)假定他们每人只游览一个景点,且游览每个景点都是随机的.求四人游览同一景点的概率;(2)假定原计划A只游览a,B只游览b,C只游览c,D只游览d.①在(1)之下,求这四人恰有两人完成原计划的概率;②若每人只游览一个景点,每个景点只能一人游览,求这四人至少有一人完成原计划的概率.20.(本题满分12分)已知函数f(x)=3x,f(x)的反函数是f-1(x).(1)当x[1,9]时,记g(x)=[f-1(x)]2-f-1(x2)+2,试求g(x)的最大值;(2)若f-1(54)=a+3,且h(x)=4x-3ax的定义域为[-1,1],试判断h(x)的单调性;(3)若对任意x1[-1,1],存在x2[-1,1],使得f(x1)-m=h(x2),求m的取值范围.21.(本题满分12分)四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,侧面ABB1A1是菱形,DAB=DAA1.(1)求证:A1B AD(2)若AD=AB=2BC=4,A1AB=60,点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点O.求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.22.(本题满分12分)对于椭圆C,x28+y24=1,过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(非顶点点D在椭圆上,AD AB,直线BD与x轴,y轴分别交于M,N.(1)证明:①kAD kBD是定值; ②直线AM x轴;(2)求OMN的面积的最大值.2015-2016学年度下学期高二摸底考试数学学科试题文参考答案一.选择题答案: ACBDC;ADBAC;BD二.填空题答案:13.=65; 14.a=32; 15.(-∞,12]; 16.[-2,2]三.解答题17.解(1)由题知,-3,2是方程ax 2+(b-8)x-a-ab=0的两根且a<0 ……………2分故由韦达定理易得a=-3,b=5 ……………4分 (2)p 真时,10,25+12c 0 ，c -2512q 真时,20,12+4c0,∴c-3， ……………6分∵p(q)是真,p (q)是假,∴则p 真q 真或p 假q 假 ……………8分故c 的取值范围是[-3,-2512] …………10分18.解:(1)∵a,b,c 成等差数列∴2b=a+c,由正弦定理得,2sinB=sinA+sinC4sin B 2cos B 2=2sin A+C 2cos A-C2…………………………3分∵sin A+C 2=cos B 2>0,∴sin=12cos A-C2≤1(仅当A=C 时取等号)即0<sin B 2<12,∵0<B2<2,∴0<B3，即B 0=3………………………6分(也可用余弦定理及均值不等式求解)(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+23) …………………………8分令2k+2≤2x+23≤2k +32,解得k -12≤x k+512k Z注意到x [0,],∴所求单调递减区间是[0,512]和[1112,]………10分∵0x,∴23≤x+23≤53于是当x=1112时,f(x)max =2;当x=512时,f(x)min =-2 …………………12分19.解:(1)依题知这四人随意游览四个景点的所有可能种数是n=256种若四人游览同一景点,则只有4种可能故所求概率是p 1=4256=164………………4分(2)①依题知这四人随意游览四个景点的所有可能种数是n=256种若四人中只有两人完成原计划,则不同可能为6×9=54种故所求概率是P 2=54256=27128 ………………8分②若每个景点只能一人游览,则所有可能种数是n=24种至少有一人完成原计划的对立事件是这四人没有任何一人完成原计划而没有任何一人完成原计划的不同可能为9种故所求概率是P 2=1-924=1524 ………………12分20.解(1)由题知f -1(x)=log 3x (x>0)∴y=g(x)=log 32x-2log 3x+2,但⎩⎨⎧1x 91x 29,∴1x 3 …………………3分令t=log 3x,则t ∈[0,1],此时y=t 2-2t+2,易知当t=0时,y max =2,即f(x)max =2 …………………4分 (2)由f -1(54)=a+3知,a=log 32,∴h(x)=4x-2x,x [-1,1]设-1x 1<x 21,则x=x 2-x 1>0y=h(x 2)-h(x 1)=4x 2-2x 2+2x 1-4x 1=(4x 2-4x 1)-(2x 2-2x 1)=(2x 2-2x 1)[(2x 2+2x 1)-1] ……6分 ∵y=2x是[-1,1]上的增函数,∴2x 2-2x 1>0 又2x 2>12,2x 112,∴2x 2+2x 1>1,∴(2x 2+2x 1)-1>0 ∴y>0,∴h(x)是[-1,1]上的增函数 ……………………8分(3)设y=f(x)-m 的值域是M,y=h(x)的值域是N则M=[13-m,3-m],N=[h(-1),h(1)]=[-34,2] 依题意,MN. ………………10分∴⎩⎪⎨⎪⎧13-m -343-m 2,解得1m1312即m 的取值范围是[1,1312] ……………………12分21.证明:(1)连接AB 1,A 1D,BD,依题知,AB 1交A 1B 于点O,连OD由AA 1=AB,DAB=DAA 1知,AA 1D ≌ABD,∴A 1D=BD注意到O 是A 1B 的中点,∴DO A 1B又菱形中,AOA 1B,AO ∩DO=O,∴A 1B平面DAOAD 平面DAO,∴A 1B AD ……………6分(说明：本问可有多种证法,可酌情赋分)(2)四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的高即为平面ABCD 与平面A 1B 1C 1D 1间的距离于是转化为点A 1到平面ABCD 的距离,考虑三棱锥D －ABA 1 ……………7分∵∠A 1AB=60,侧面ABB 1A 1是菱形,DO ⊥平面ABB 1A 1O 是A 1B 的中点,∴在R t DOA 中,求得DO=2在R tDOB 中,DO=OB=2,求得DB=2 2于是在等腰ABD 中,AB=AD=4,DB=22,求得SABD=27 ……………10分S ABA 1=4 3设点A 1到平面ABCD 的距离为h,由V D-ABA 1=V A 1-ABD ,即 13×S ABA 1×DO= 13×S ABD ×h求得h=4721.故四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的高为472122.解:设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则B(-x 1,-y 1),∵A,D 在椭圆上， ∴x 228+y 224=1,x 128+y 124=1,两式相减得y 22-y 12x 22-x 12=-12, ∴k AD k BD =y 2-y 1x 2-x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=y 22-y 12x 22-x 12=-12是定值 ……………………3分∵ADAB,∴k AD k AB =-1,∴k BD =12k AB .设M(x 0,y 0),则k BD =k BM =y 1x 0+x 1,k AB =k OA =y 1x 1,∴y 1x 0+x 1=12y 1x 1, 易知,y 10, ∴x 1=x 0,即AMx 轴 ……………………6分(2)∵M(x 1,0),k BD =12k AB =y 12x 1,∴直线BD 的方程是y=y 12x 1(x-x 1),令x=0得,y N =-y 12,∴S=12|x 0||y N |=12|-y 12||x 1|=14|x 1y 1| …………9分由x 128+y 124=1得,1=x 128+y 124≥24|x 1y 1|ab ,|x 1y 1|22,当且仅当2|y 1|=|x 1|时取等号∴S22,即OMN 的面积的最大值是22…………12分以上答案仅供参考！！。

2017年葫芦岛市普通高中学高二数学试卷

2017年葫芦岛市普通高中学高二理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，其中是虚数单位，则实数=( )A.-2B.-1C.1D.22.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“时乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”若四位歌手的话只有一句是错的，则获奖的歌手是( )A.甲B.乙C.丙D.丁3.函数，已知在时取得极值，则值为( )A.2B.3C.4D.54.已知随机变量服从正态分布，则=( )A.0.954B.0.977C.0.488D.0.4775.一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( )A.12种B.15种C.17种D.19种6.已知，则( )A.中共有项，当时，B.中共有项，当时，C.中共有项，当时，D.中共有项，当时，7.曲线在点处的切线的倾斜角为( )A. B. C. D.8.下列结论中正确的是( )A.若两个变量的线性关系性越强，则相关系数的绝对值越接近于0B.回归直线至少经过样本数据中的一个点C.独立性检验得到的结论一定正确D.利用随机变量来判断“两个独立事件的关系”时，算出的值越大，判断“有关”的把握越大9.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高 160 165 170 175 180 体重 63 66 70 72 74 根据上表可得到回归直线方程，据此模型预报身高为172的高三男生的体重为( )A.70.09B.70.12C.70.55D.71.0510.设的展开式的常数项为，则直线与曲线围成的图形的面积为( )A. B. C.9 D.11.某高校从4名男大学生志愿者和3名女大学生志愿者中选3名派到3所学校支教(每所学校1名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都要有，则不同的选派方案共有( )A.210种B.180种C.150种D.120种12.定义二元函数，则的最小值为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设随机变量的概率分布列为1 2 3 4 则= .14.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件=“取到的2个数之和为偶数”，事件=“取到的2个数均为偶数”，则= .15.有一位同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率为 .16.若实数，满足，则= .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数比时10：1.(1)求展开式中各项二项式系数的和;(2)求展开式中含的项.18.某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”.现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：(1)由以上统计数据完成如下列联表，并判断是否有的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关?说明你的理由;(2)在期末分数段的5人中，从中随机选2人，记抽取到过关测试“过关”的人数为，求的分布列及数学期望.辽宁省实验中学分校高二月考数学理科试卷一.选择题：共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.1.复数的共轭复数是( )A. B. C. D.2.已知函数，则不等式的解集是( )A. B. C. D.3.直角坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，极坐标方程化为直角坐标方程为 ( )A. B.C. D.4.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和,则复数为实数的概率为 ( )A. B. C. D.5.某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，要安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为( )A. B. C. D.6.为了考察两个变量和之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为和，已知两个人在试验中发现对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是，那么下列说法正确的是 ( )A.和必定平行B.和有交点C.与必定重合D.与相交，但交点不一定是7.在的展开式中，含的项的系数是( )A.-15B.85C.-120D.2748.已知，则“”是“恒成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件形如45132这样的数称为“双凸数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“双凸数”的个数为( )A.20B.18C.16D.1110.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形(边长为个单位)的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为()，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有( )A.种B.种C.种D.种11.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=，其中A的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为.记，当程序运行一次时，的数学期望 ( )A. B. C. D.12.给出下列四个命题：①若，则;②若，则;③若正整数和满足：，则;④若，且，则;。

辽宁省葫芦岛市第一高级中学高二数学下学期期初考试试题理新人教A版

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，总计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p:∀x ∈R,x 2-3x+2=0.则 ⌝p 为( )(A)∀x ∈R,x 2-3x+2≠0 (B)∃x ∈R,x 2-3x+2=0(C)∀x ∈R,(x ≠1)∨(x ≠2) (D) ∃x ∈R,(x ≠1)∧(x ≠2)4.∆ABC 中,A>B 是cos2A<cos2B 成立的( )条件(A)必要不充分 (B)充分不必要 (C) 充要 (D)不充分不必要5.设f(x)=ax 2+(b-8)x-a-ab,若不等式f(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(2,+∞),则a+b=( )(A)-8 (B)-2 (C)8 (D) 26．在△ABC 中,内角A 、B 、C 满足:sin 2A+2sinAsinB+sin 2B=sin 2C,则∠C 等于( )(A)45° (B)135° (C)30° (D)150°7.若关于x 的不等式ax 2-2ax+1≤0无解,则实数a 的取值集合为( )(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]8.在数列{a n }中,它的前n 项和为S n =an 2+bn+3a-2(n ∈N *,其中a,b 是常数),若数列{a n }是等差数列,则它的公差是( )(A)43 (B)1 (C)23(D)与a 有关 9.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,若其上存在一点Q 使得∠F 1QF 2=120︒ 则其离心率的取值范围是( )(A)(0,1) (B)[12,1) (C) [22,1) (D)[32,1) 10.在等差数列{a n }和等比数列{b n }中,a 1=b 1=1,公差d>0,公比q>1,则集合{n|a n -b n =0,n ∈N +}中的元素最多为( )个(A)1 (B)2 (C)3 (D)411.已知函数f(x)=x 2-1,集合M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0}N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则集合M ∩N 所表示的平面区域的面积是( ).(A)2π (B)3π2 (C)π (D)π212.设A,B 是抛物线y 2=4x 上的点,且|AB|=8,则AB 中点M 的横坐标的最小值为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，总计20分.13.双曲线4x 2-y 2=1的渐近线方程是____________14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列,则{a n }的公比为_____15.在等式1=4 ∆+9中的∆与处各填上一个正整数,使这两个正数的和最小．．．: 16.在∆ABC 中,给出下列结论: (1)若a,b,c 成等差数列,则∠B 的最大值是π3; (2)若a,b,c 成等比数列,则∠B 的最大值是π3;(3)若A,B,C 成等比数列,则∠B 的最大值是π3. 其中正确的命题个数是_____________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设函数f(x)=1x+2 ,已知f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线y=x+1对称. (1)求g(x)的解析式;(2)解关于x 的不等式:f(x)-2a ≥0(其中a 是常数).20.(本小题满分12分)设椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,离心率e=22,且点M(-1,22)在椭圆上. (1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l 过椭圆的右焦点F 2,且与椭圆交于A,B 两点,求|AB|的最小值.21.(本小题满分12分)在数列{a n }中,a 1=15,a n +a n+1=65n+1(n ∈N +) (1)证明:{5n a n -1}是常数列;(2)设x n =(2n-1)⋅10n a n ,求{x n }的前n 项和T n .22.(本小题满分12分)设点F(1,0),M 点在x 轴上,点P 在y 轴上,且MN →=2MP→,PM ⊥PF,当点P 在y 轴上运动. (1)求点N 的轨迹C 的方程.(2)设Q 为直线x+1=0上的动点,过Q 作C 的两条切线l 1,l 2,切点分别为A 与B①证明:l 1⊥l 2;②证明:直线AB 过定点.2013-2014学年度下学期期初高二年级考试数学(理)学科试题参考答案一.选择题1、D ；2、C ；3、A ；4、C ；5、D ；6、B ；7、C ；8、A ；9、D ；10、B ；11、C ；12、B.二.填空题13、y=±2x; 14、13; 15、10与15; 16.(1)(2)(3) 三.解答题17.解:(Ⅰ)由正弦定理知(2b-c)cosA-acosC=0⇔2sinBcosA=sin(A+C)=sinB∵sinB>0,∴cosA=12,又0<A<π,∴A=60︒ ………………………4分(2)由题,C 1(0,2a,2a),C(0,2a,0),则BC →=(-2a,0,0),BD 1→=(-2a,-2a,2a) 设n 1→=(x,y,z)为平面BCD 1的法向量,则⎩⎨⎧n 1→⋅BD 1→=0n 1→⋅BC →=0,解得,n 1→=(0,1,1) ……………………8分同理可求得平面BC 1D 1的法向量为n 2→=(1,0,-1) cos<n 1→,n 2→>=-12,∴<n 1→,n 2→>=120︒,……………………10分设二面角C-BD 1-C 1的大小为α,则α=60︒.………………………12分19. 解. (1)设(x,y)为y=g(x)图象上任意一点 ∵f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线y=x+1对称∴x+1=1y-1+2,整理得y=x x-1,即g(x)=x x-1(x ≠1) ……………………6分(2)不等式f(x)-2a ≥0⇔(2a-1)x-2a x-1≤0 ①当a>12时,不等式的解集为(1,2a 2a-1] ……………………8分 ②当a=12时,不等式的解集为(1,+∞) ……………………9分 ③当a<12时,不等式的解集为(-∞,2a 2a-1]∪(1,+∞) ……………………11分综上所述,略 ……………………12分设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由韦达定理得y 1+y 2=-2m m 2+2,y 1y 2=-1m 2+2…………8分 ∴ |AB|2=(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]=8(1+m 2m 2+2)2, ………………………………10分. 令t=1+m 2m 2+2=1-1m 2+2,易知当m=0时,t min =12∴|AB|2min =2,即|AB|的最小值是 2 ………………………………12分.21. 解: (1)由a n +a n+1=65n+1(n ∈N +)得,5n+1a n+1+5⋅5n a n =6, 令b n =5n a n ,则b n+1+5b n =6,b 1=1 ……………………………3分 b n+1+5b n =6⇔b n+1-1=-5(b n -1),∵b 1-1=0,∴b n =1即{5n a n -1}是常数列 ……………………………6分(2)由(1)知,a n =(15)n , x n =(2n-1)⋅2n 令x n =(xn+y)2n -(xn+y-x)2n-1=2n-1(xn+y+x)=2n-1(4n-2)∴x=4,y+x=-2,y=-6于是{x n }的前n 项和T n =(4n-6)2n +6 ……………………………12分22. 解(1):依题知,P 是线段MN 的中点,设M(a,0)(a<0),P(0,b),N(x,y)则⎩⎨⎧x+a=0y=2b ,∵PM ⊥PF,∴PM →⋅PF →=0,即a+b 2=0,∴y 2=4x 为所求.…………………4分 (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),Q(-1,t)容易求得l 1的方程为y 1y=2(x 1+x); l 2的方程为y 2y=2(x 2+x)∴⎩⎨⎧ty 1=2(x 1-1)ty 2=2(x 2-1)⇒y 2y 1=x 2-1x 1-1,将x 1=y 124,x 2=y 224代入整理得y 1y 2=-4 …………………8分 ∴k 1k 2=4y 1y 2=-1,∴l 1⊥l 2; …………………10分设AB 所在直线方程为my=x+n,代入y 2=4x,消去x 整理得y 2-4my+4n=0,由韦达定理知,y 1y 2=4n∴4n=-4,n=-1,即AB 所在直线方程为my=x-1于是直线AB 过定点F(1,0) …………………12分。

2017-2018学年辽宁省葫芦岛市第一高级中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2018年辽宁省葫芦岛市第一高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．如果复数212bii-+（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于A．23C．23-D．2【答案】C【解析】略2．已知函数f（x）在x0处的导数为1，则等于（）A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1【答案】A【解析】分析：与极限的定义式比较，凑配出极限式的形式：．详解：，故选A．点睛：在极限式中分子分母中的增量是相同的，都是，因此有．3．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【答案】B【解析】解：因为用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，假设就是对结论否定，因此为三个内角都大于60°，选B4．已知复数，是z的共轭复数，则为( )A. B. C. D. 5【答案】C【解析】分析：利用复数模的性质直接求解．详解：∵，∴，故选C．点睛：复数的模为，模的性质：，．5．从6名学生中选4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若甲、乙两人不能从事A工作，则不同的选派方案共有（）A. 280B. 240C. 180D. 96【答案】B【解析】分析：先考虑甲、乙两人，甲、乙两人选中了1人或选中了2人或两人都没选，如选中则把他们先安排好，然后再安排其他人．详解：．故选B．点睛：本题属于有限制条件的排列问题，对特殊元素和特殊位置要优先安排，题中甲、乙两人是特殊元素，A是特殊位置，可先安排甲、乙两人，这时要用到分类加法原理，也可先安排A工作这个特殊位置，此时解法如下：．6．由直线x=﹣2，x=2，y=0及曲线y=x2﹣x所围成的平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：作出函数的图象及直线，，确定积分的上下限．详解：如图，．故选B．点睛：在用积分求曲边梯形面积时，要注意面积的与积分的关系：设在区间上，的图象在的上方，则由的图象及直线围成图形的面积为．7．假设n=k时成立,当n=k+1时,证明,左端增加的项数是A. 1项 B. k﹣1项 C. k项 D. 2k项【答案】D【解析】分析：分别写出和时所证的不等式，比较可知．详解：时，不等式为，时，不等式为，左边增加的项数为，故选D．点睛：本题考查数学归纳法，考查数学归纳法中最重要的一步，从归纳假设的到要证的之间的关系，其中增加的项数特别重要，如果写错了，要么不能证明，要么证明的过程不符合数学归纳法的思想，在解题时一定要注意．8．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝( )A. 32B. 1C. －243D. 1或－243【答案】B【解析】分析：利用二项式定理求出项的系数，从而结合已知求得参数，最后通过赋值法求得所有项的系数和．详解：由题意，∴．在中令得．故选B．点睛：二项展开式求系数的和的问题常常用到赋值法，设中，则，，奇数项系数和：，偶数项系数和：．9．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案有（）种A．144 B.72 C. 36 D.48【答案】C【解析】试题分析：分两步完成：第一步将4名调研员，按，2，1，1分成三组，其分法有21142122C C CA⋅⋅;第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有33A种,所以满足条件的分配方案有211342132236C C CAA⋅⋅⋅=种.【考点】排列组合.10．设的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的有理项的项数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】分析：的展开式中各项系数的绝对值之和，等于的展开式中各项系数和，从而在此式中令既得，二项式系数为，由求得，再借助展开式的通项公式可求解.详解：由题意，，∴，解得，则展开式的通项为（），易知时，为整数，对应项为有理项，时，对应项为无理项，∴有理项的项数为3．故选C．点睛：在（是变量）展开式中二项式系数和是，所有项系数和为，要注意它们的区别，同时在的展开式中各项系数的绝对值之和为（令），这也是的系数和．11．对于任意的实数[]1,x e ∈，总存在三个不同的实数[]1,4y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是（）A. 3163,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 3160,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 23163,e e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 23161,e e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】分析：题设中给出的二元方程可以化简为21ln yxy e a x -=+，因为对每一个x ，总有三个不同的y 使得等式成立，因此我们需要研究()[]ln ,1,xf x a x e x=+∈的值域和()[]21,1,4xg x x ex -=∈-的图像，两者均需以导数为工具来研究它们的单调性.详解：由题设有21ln yx y e a x-=+.令 ()[]ln ,1,xf x a x e x =+∈， ()[]21,1,4x g x x e x -=∈-. ()21ln 'xf x x -=，当()1,x e ∈时， ()'0f x >，()f x 在[]1,e 为单调增函数，所以()f x 的值域为1,a a e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.()()21'2x g x x x e -=-，当()1,0x ∈-时， ()'0g x <，当()0,2x ∈时， ()'0g x >，当()2,4x ∈时， ()'0g x <，所以当()1,0x ∈-时， ()g x 是减函数，当()0,2x ∈时， ()g x 是增函数，当()2,4x ∈时， ()g x 是减函数，所以()[]21,1,4yg y y ey -=∈-的图像如图所示.因为关于y 的方程21ln yxy e a x-=+，对任意的[]1,x e ∈总有三个不同的实数根，所以()()4{ 12a g a g e≥+≤ ，也就是3163a e e ≤≤，选A. 点睛：较为复杂函数的零点个数问题，均需以导数为工具研究函数的极值，从而刻画出函数的图像，最后数形结合考虑参数的取值范围.12．函数f （x ）在实数集R 上连续可导，且2f （x ）﹣f′（x ）＞0在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A.B.C. f （﹣2）＞e 3f （1）D. f （﹣2）＜e 3f （1）【答案】A【解析】分析：构造新函数，利用已知可确定的正负，从而确定的单调性．详解：设，则，∵，∴，即是减函数，∴，即，∴．故选A.点睛：在已知导函数与函数的不等式问题中，一般都要构造新函数，根据前面的系数或正负号一般可构造下列函数：，，，，，.二、填空题13．有下列四个命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a>b，则a＋i>b＋i；③若x，y∈R，则x＋y i＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④若实数a与复数a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的序号是______.【答案】③.【解析】分析：根据复数的概念解答即可.详解：①若，则，①错误；②两个复数一般不能比较大小，②错误；③根据复数相等的定义，③正确；④根据这个对应，没有纯虚数与实数集中的0对应，④错误.故答案为③.点睛：本题考查复数的概念，掌握复数概念与解题关键，本题属于基础题.14．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n级分形图．则n级分形图中共有_______条线段.【答案】3×2n－3(n∈N).【解析】分析：从第二级开始每级分形图是在前一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，可写出前几个中线段的个数，然后归纳出结论.详解：记第级分形图中线段个数为，则，，，，因此归纳结论为＝，故答案为.点睛：本题考查归纳推理，解题时一般可写出前面的几个特殊值，然后归纳出与项数有关的结论即可．本题是图形问题，可把图形与数对应，然后归纳出结论.15．小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为________.【答案】84【解析】根据题意，分3种情况讨论：①若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻,有122C 种情况，将小明与选出的家长看成一个整体,考虑其顺序有222A=种情况，当父母不相邻时,需要将爷爷奶奶进行全排列,将整体与另一个家长安排在空位中,有22 2312A A⨯=种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列,有336A=种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体,考虑父母的顺序,有222A=种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列,有336A=种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法.16．设，则二项式的展开式的常数项是_______.【答案】－160.【解析】分析：利用微积分基本定理计算出，再由二项展开式通项公式求得结论.详解：，展开式的通项公式为，令，则，∴常数项为，故答案为－160.点睛：求二项展开式中某个特定项，一般求出其通项公式，把它整理成的幂次，然后令对应指数为所求项的指数，解得，即可求出.三、解答题17．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.(1)求z的实部的取值范围；(2)设u＝，那么u是不是纯虚数？并说明理由．【答案】(1) .(2) u是纯虚数，理由见解析.【解析】分析：（1）设，代入，由是实数，得，从而求得，代入已知不等式可得；（2）同样求出，即可判断.详解：(1)设z＝a＋b i(a、b∈R，b≠0)，ω＝a＋b i＋＝＋i，∵ω是实数，∴b－＝0.又b≠0，∴a2＋b2＝1，ω＝2a.∵－1<ω<2，∴－<a<1，即z的实部的取值范围是.(2)u＝＝＝＝－i，∵－<a<1，b≠0，∴u是纯虚数．点睛：复数的分类：设，则为实数，为虚数，为纯虚数．18．已知函数f（x）=x3+bx2+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线程为6x﹣y+7=0．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调区间．【答案】(1) f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．(2) 单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）.【解析】分析：（1）求出导函数，题意说明，，，由此可求得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间.详解：（1）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，∴f（x）=x3+bx2+ax+2，f'（x）=3x2+2bx+a．∵点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0∴f'（x）|x=﹣1=3x2+2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①，还可以得到，f（﹣1）=y=1，即点M（﹣1，1）满足f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1②由①、②联立得b=a=﹣3 故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．（2）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令3x2﹣6x﹣3=0，即x2﹣2x﹣1=0.解得x1=1-,x2=1+.当x<1-,或x>1+时，f'（x）>0；当1-<x<1+时，f'（x）<0.故f（x）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）点睛：（1）过曲线上一点处的切线方程是；（2）不等式解集区间是函数的增区间，不等式的解集区间是的减区间.19．已知 (n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项．【答案】(1)1.(2) -.【解析】分析：由通项公式写出展开式中第五项和第三项的系数，由比值为10：1求得，（1）令可得各系数和；（2）由通项公式可得的项.详解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则有＝，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式T r＋1＝C()8－r(－)r＝C(－2)r x－2r.令－2r＝，得r＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.点睛：在二项展开式中求系数和通常用赋值法，如二项展开式为，则，，.20．已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，有f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)y＝－2.(2) [0,8]．【解析】分析：（1）求出导函数，可得切线斜率，切线方程为，化简即可；（2）若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1＜x 2，有f (x 1)＋2x 1＜f (x 2)＋2x 2恒成立，说明函数是上的增函数，从而在上恒成立，再利用二次函数的性质可得的范围.详解： (1)a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f (1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －3＋，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝0；所以在点(1，f (1))处的切线方程为 y ＝－2；(2)令g (x )＝f (x )＋2x ＝ax 2－ax ＋ln x ，(x ＞0)；由题意知g (x )在(0，＋∞)单调递增，所以g ′(x )＝2ax －a ＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2ax 2－ax ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立；令h (x )＝2ax 2－ax ＋1，(x ＞0)；则①若a ＝0，h (x )＝1≥0恒成立；②若a ＜0，二次函数h (x )≥0不恒成立，舍去；③若a ＞0，二次函数h (x )≥0恒成立，只需满足最小值h ()≥0，即－＋1≥0，解得0＜a ≤8；综上，a 的取值范围是[0,8]．点睛：在有关不等式的证明或恒成立、能成立问题中，常常要进行问题的等价转化，象本题不等式恒成立问题就转化为函数为增函数，从而可用导数来求解，又可转化为求函数的最值问题，这也是导数的拿手好戏，平常学习中要注意转化方法.21．已知函数f(x)=ax--4lnx 的两个极值点x 1,x 2满足x 1<x 2,且1<x 2<e ,其中e 是自然对数的底数;(1)当a=1时,求x 12+x 22的值;(2)求f(x 2)-f(x 1)的取值范围;【答案】(1)14.(2) .【解析】分析：（1）求出，极值点是的解，由韦达定理可求得；（2）求出，这样可得，，于是，，二元函数化为了一元函数，同时由刚才的韦达定理可得，因此就化为的一元函数且不含参数，，通过设，问题又转化为求函数的取值范围.详解：当时，，由题意知为方程的两个根，根据韦达定理得，于是.（2）因为，同（1）由韦达定理得，于是，因为，所以，由，整理得，代入得令，于是可得，故，所以在上单调递减，所以.点睛：与极值点有关的问题处理方法：由极值点是方程的解，求得的关系（其中还含有参数如），由此可把一个极值点和参数都用另一个极值点表示出来，代入待求式，此式可化为关于的一元函数，这样求的取值范围就变成求函数的值域，有时在不能转换时，可设（如，则有），问题也可转化为的函数，从而易求解．22．已知函数f1(x)＝x2，f2(x)＝a ln x(其中a>0)．(1)求函数f(x)＝f1(x)·f2(x)的极值；(2)若函数g(x)＝f1(x)－f2(x)＋(a－1)x在区间(，e)内有两个零点，求正实数a的取值范围；(3)求证：当x>0时，.(说明：e是自然对数的底数，e＝2.71828…)【答案】(1)函数f(x)的极小值为，无极大值．(2)．(3)见解析.【解析】分析：（1）求，求出方程的解，确定两侧的正负，得极值；（2）求出，确定出在上递减，在上递增，结合零点存在定理可知在上有两个零点的条件，得出的范围；（3）不等式可变形为，其中由（1）知的最小值为，下面只要求得的最大值，证明此最大值即可.详解：(1)∵f(x)＝f1(x)·f2(x)＝ax2·ln x，∴f′(x)＝ax ln x＋ax＝ax(2ln x＋1)(x>0，a>0)，由f′(x)>0，得x>e－，由f′(x)<0，得0<x<e－，故函数f(x)在(0，e－)上单调递减，在(e－，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的极小值为f(e－)＝－，无极大值．(2)函数g(x)＝x2－a ln x＋(a－1)x，则g′(x)＝x－＋(a－1)＝＝，令g′(x)＝0，∵a>0，解得x＝1，或x＝－a(舍去)，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在(0,1)上单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增．函数g(x)在区间(，e)内有两个零点，只需即∴故实数a的取值范围是(，)．(3)问题等价于x2ln x>－.由(1)知f(x)＝x2ln x的最小值为－.设h(x)＝－，h′(x)＝－，易知h(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．10分∴h(x)max＝h(2)＝－，∵－－(－)＝－－＝＝> 0，∴f(x)min>h(x)max，∴x2ln x>－，故当x>0时，ln x＋－>0.点睛：求的极值点，可由解得，但时，并不能保证一定是极值点，还要验证要两侧的正负，只有一正一负，才是极值点.。

辽宁省葫芦岛一中2016-2017学年高二下学期期中数学试

2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是（）A． B． C．D．3．一算法的程序框图如图1，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．54．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p的值为（）A．2B．2 C．4 D．25．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x3B．y=e x C．y=x2+1 D．y=ln|x|6．将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x7．设{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．B．C．D．n2+n8．已知函数f（x）=﹣x2+2x+3，若在区间上任取一个实数x0，则使f（x0）≥0成立的概率为（）A．B．C．D．19．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A．B．6πC．D．10．已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．2411．如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1、F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A．2B．C．2 D．112．已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=xlnx在x=e处的切线方程是．14．若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为．15．已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．函数，x∈，，（a ＞0），对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x2）=f（x1）成立，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．设等差数列 {a n}的前n项和为 S n，a5+a6=24，S11=143数列 {b n}的前n项和为T n满足（Ⅰ）求数列 {a n}的通项公式及数列的前n项和；（Ⅱ）是否存在非零实数λ，使得数列 {b n}为等比数列？并说明理由．18．高三某班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（2）试验结束后，第一次做试验的同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学B得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．19．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．20．已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C．（1）求圆C的方程；（2）过点（﹣1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点．设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OASB的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=，x≠0．其中e=2.71828…（1）设h（x）=f（x）+，求函数h（x）在[，2]上的值域；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．22．曲线C1的参数方程为：（t为参数），曲线C2的参数方程为：（φ为参数）．（1）求曲线C2的普通方程，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求曲线C1的极坐标系方程；（2）若点P为曲线C2上任意一点，求点P到曲线C1距离的最小值．23．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4} （Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中y=，得到x≥0，即N={x|x≥0}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}．故选：B．2．已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【考点】A8：复数求模．【分析】设复数z的虚部是为b，根据已知复数z的实部为1，且|z|=2，可得1+b2=4，由此解得 b的值，即为所求．【解答】解：设复数z的虚部是为b，∵已知复数z的实部为1，且|z|=2，故有 1+b2=4，解得 b=±，故选D．3．一算法的程序框图如图1，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2k，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．4．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p的值为（）A．2B．2C．4 D．2【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出双曲线的焦点坐标，然后求解抛物线的焦点坐标，即可求解p．【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，可得p=4．故选：C．5．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x3B．y=e x C．y=x2+1 D．y=ln|x|【考点】53：函数的零点与方程根的关系；3L：函数奇偶性的性质．【分析】依次对四个函数进行判断，从而解得．【解答】解：y=x3是奇函数，故排除A，y=e x是非奇非偶函数，故排除B，y=x2+1是偶函数但没有零点，故排除C，y=ln|x|是偶函数及零点为1与﹣1，故选：D．6．将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】首先根据函数的图象变换求出关系式y=cos2x+1，进一步利用诱导公式求出结果．【解答】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，得到：y=sin（2（x+）+）=cos2x函数图象再向上平移1个单位，得到：y=cos2x+1=2cos2x故选：A7．设{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．B．C．D．n2+n【考点】85：等差数列的前n项和；8G：等比数列的性质．【分析】设数列{a n}的公差为d，由题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得或d=0（舍去），由此可求出数列{a n}的前n项和．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则根据题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得或d=0（舍去），所以数列{a n}的前n项和．故选A．8．已知函数f（x）=﹣x2+2x+3，若在区间上任取一个实数x0，则使f（x0）≥0成立的概率为（）A．B．C．D．1【考点】CF：几何概型．【分析】由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答．【解答】解：已知区间长度为8，满足f（x0）≥0，f（x）=﹣x02+2x0+3≥0，解得﹣1≤x0≤3，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使f（x0）≥0成立的概率是=．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A．B．6πC．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高2．的圆锥的一半，分别计算两部分的体积，即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为V1=×22×π×1=2π，上部半圆锥的体积为V2=×π×22×2=．故几何体的体积为V=V1+V2==．故选C．10．已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．24【考点】7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．【分析】由，∠BAC=，利用数量积运算可得，即bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S△ABC==1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．可得，化为x+y=．再利用基本不等式==即可得出．【解答】解：∵，∠BAC=，∴，∴bc=4．∴S△ABC===1．∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．∴，化为x+y=．∴===18，当且仅当y=2x=时取等号．故的最小值为18．故选：B．11．如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1、F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A．2B．C．2 D．1【考点】KC：双曲线的简单性质；K4：椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式和解直角三角形的有关知识，化简计算即可得到．【解答】解：由椭圆的定义，可得，AF1+AF2=2a1，由双曲线的定义，可得，AF1﹣AF2=2a2，在直角△AF1F2中，∠AF1F2=30°，则AF2=F1F2=c，AF1=F1F2=c，则有2a1=（+1）c，2a2=（﹣1）c，则离心率e1==，e2==，即有==．故选B．12．已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058【考点】3T：函数的值．【分析】根据式子特点，判断当x1+x2=2时，f（x1）+f（x2）=﹣4，即可得到结论．【解答】解：若x1+x2=2时，即x2=2﹣x1时，有f（x1）+f（x2）=x1+sinπx1﹣3+2﹣x1+sin（2π﹣πx1）﹣3=2﹣6=﹣4，即恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，且f（1）=﹣2，则=2014 =2014×（﹣4）﹣2=﹣8058，故选：D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=xlnx在x=e处的切线方程是y=2x﹣e ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导函数，确定x=e处的切线的斜率，确定切点的坐标，利用点斜式可得结论．【解答】解：求导函数f′（x）=lnx+1，∴f′（e）=lne+1=2∵f（e）=elne=e∴曲线f（x）=xlnx在x=e处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e），即y=2x﹣e故答案为：y=2x﹣e．14．若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为．【考点】7F：基本不等式．【分析】由z=y﹣x便得到y=x+z，该式可表示在y轴上的截距为z且平行于y=x的直线，这样根据已知条件即可画出原不等式表示的平面区域，从而确定出直线kx﹣y+2=0的方程，从而求出k．【解答】解：z=y﹣x表示在y轴上截距为z且平行于y=x的直线；z取最小值﹣4时，得到直线y=x﹣4；画出直线x+y﹣2=0和y=x﹣4如下图：由题意知，直线z=y﹣x经过原不等式所表示的平面区域的最右端（4，0）点；从而可知原不等式表示的平面区域如上图阴影部分所示；∴直线kx﹣y+2=0表示在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2的直线；∴y=0时，x==4；∴．故答案为：．15．已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为12π．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】确定PC的中点O为球心，求出球的半径，利用球的表面积公式，即可求得结论．【解答】解：∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴PA⊥BC∵AB⊥BC，PA∩AB=A∴BC⊥面PAB∵PB⊂面PAB∴BC⊥PB取PC的中点O，则OP=OA=OB=OC，∴O为球心∵PA=2，∴PC=2∴球半径为r=∴该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=12π故答案为：12π．16．函数，x∈，，（a ＞0），对任意的x1∈，总存在x2∈，使得g（x2）=f（x1）成立，则a的取值范围为．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求a的取值范围．【解答】解：因为x1∈时，f（x1）∈；x2∈时，g（x2）∈．故有⇒3≤a≤4．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．设等差数列 {a n}的前n项和为 S n，a5+a6=24，S11=143数列 {b n}的前n项和为T n满足（Ⅰ）求数列 {a n}的通项公式及数列的前n项和；（Ⅱ）是否存在非零实数λ，使得数列 {b n}为等比数列？并说明理由．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）由S11=11a6=143，得a6=13，又a5+a6=24，解得a5=11，d=2，从而得到a n=2n+1，进而=，由此能求出数列的前n项和．（Ⅱ）由已知得4n=λT n﹣2，T n=，由此推导出不存在非零实数λ，使得数列{b n}为等比数列．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由S11=11a6=143，得a6=13，又a5+a6=24，解得a5=11，d=2，∴{a n}的通项公式是a n=a5+（n﹣5）×2=2n+1，n∈N*，∴==，∴数列的前n项和：S n=（）==．（Ⅱ）∵a1=3， =λT n﹣（a1﹣1），∴4n=λT n﹣2，T n=，当n=1时，，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣==，1∴b n+1=4b n，（n≥2），若{b n}是等比数列，则b2=4b1，而，b2=，∴b2=2b1与b2=4b1矛盾，故不存在非零实数λ，使得数列{b n}为等比数列．18．高三某班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（2）试验结束后，第一次做试验的同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学B得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BC：极差、方差与标准差．【分析】（1）设有x名男同学，列出方程求出男、女同学的人数分别为3、1，把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，由此利用列举法能求出选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．（2）分别求出平均数和方差，由此得到第二次同学B的实验更稳定．【解答】解：（1）设有x名男同学，则=，解得x=3，∴男、女同学的人数分别为3、1，把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a1），（a2，a3），（a2，b），（a3，a1），（a3，a2），（a3，b），（b，a1），（b，a2），（b，a3）共12种，其中有一名女同学的有6种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P==．==71，（2）==71，S12==4，==3.2．∴第二次同学B的实验更稳定．19．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，证明QM∥AD，利用直线与平面平行的判定定理证明QM∥面PAD．（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD，通过证明以及计算即可求点D到平面PAM 的距离．【解答】解：（1）当点Q为棱PB的中点时，QM∥面PAD，证明如下…取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以，在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…又QM⊄面PAD，AD⊂面PAD所以QM∥面PAD…（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．…在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，所以△PAC的面积，…设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD得…，又，所以，…解得，所以点D到平面PAM的距离为．…20．已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C．（1）求圆C的方程；（2）过点（﹣1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点．设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OASB的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用配方法求出圆心坐标和半径，根据点的对称性求出对称圆心的坐标即可．（2）根据向量关系以及对角线关系确定四边形为矩形，利用向量垂直的关系，转化为直线和圆相交的问题关系，利用消元法转化为根与系数之间的关系进行求解即可．【解答】解：（1）C1：x2+y2+6x=0的标准方程为（x+3）2+y2=9，则圆心为C1（﹣3，0）半径为3，设C（x，y），则，即，解得，即C （1，﹣2），则关于直线l 1：y=2x+1对称的圆为C 的方程为（x ﹣1）2+（y+2）2=9．（2）过点（﹣1，0）作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．设，则四边形OASB 是平行四边形， ∵四边形OASB 的对角线相等， ∴四边形OASB 是矩形，即OA ⊥OB ，∵直线过点（﹣1，0），是圆C 外的一点， ∴直线可设为斜率式y=k （x+1），∵OA ⊥OB ，∴=x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+k 2（x 1+1）（x 2+1）=0，即（1+k 2）x 1x 2+k 2（x 1+x 2）+k 2=0，将y=k （x+1），代入（x ﹣1）2+（y+2）2=9．得（x ﹣1）2+（kx+k+2）2=9．即（1+k 2）x 2+2（k 2+2k ﹣1）x+（k 2+4k ﹣4）=0则x 1x 2=，x 1+x 2=﹣，代入（1+k 2）x 1x 2+k 2（x 1+x 2）+k 2=0，得入（k 2+4k ﹣4）﹣2k 2••+k 2=0，即是（k 2+2k ﹣2）﹣k 2••=0，化简后2k ﹣1=1 k=1所以直线的方程是y=x+1．21．设函数f （x ）=，x ≠0．其中e=2.71828…（1）设h （x ）=f （x ）+，求函数h （x ）在[，2]上的值域；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式|f （x ）﹣1|＜a 成立．【考点】3R ：函数恒成立问题；34：函数的值域．【分析】（1）求出，令h′（x）=0，则x=1，由此利用导数性质能求出函数h（x）在[]上的值域．（2）|f（x）﹣1|=||=||，当x＞0时，令g（x）=e x﹣x﹣1，则|f（x）﹣1|=，原不等式转化为e x﹣（1+a）x﹣1＜0，令φ（x）=e x﹣（1+a）x﹣1，则φ′（x）=e x﹣（1+a），由此利用导数性质能证明对任意正数a，存在正数x=ln（a+1），使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．【解答】解：（1）∵f（x）=，x≠0．其中e=2.71828…∴h（x）=f（x）+=+，，令h′（x）=0，则x=1，当x∈[，1）时，h′（x）＜0，h（x）在[，1）上单调递减函数，当x∈（1，2]时，h′（x）＞0，h（x）在（1，2]上是单调递增函数，又h（）=2，h（2）=，h（2）﹣h（）==＞0，∴h（x）在[，2]上有最小值h（1）=e，有最大值h（2）=．∴函数h（x）在[]上的值域为．（2）|f（x）﹣1|=||=||，当x＞0时，令g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0，∴g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）﹣1|=，原不等式转化为＜a，即e x﹣（1+a）x﹣1＜0，令φ（x）=e x﹣（1+a）x﹣1，则φ′（x）=e x﹣（1+a），由φ′（x）=0，得e x=1+a，a＞0，解得x=ln（a+1），当0＜x＜ln（a+1）时，φ（x）取最小值φ=a﹣（a+1）ln（a+1），令S（a）=，a＞0，则=﹣＜0，故S（a）＜S（0），则=﹣＜0，∴S（a）＜S（0）=0，即φ=a﹣（1+a）ln（1+a）＜0，∴对任意正数a，存在正数x=ln（a+1），使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．22．曲线C1的参数方程为：（t为参数），曲线C2的参数方程为：（φ为参数）．（1）求曲线C2的普通方程，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求曲线C1的极坐标系方程；（2）若点P为曲线C2上任意一点，求点P到曲线C1距离的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由cos2φ+sin2φ=1，能求出曲线C2的普通方程，先求出曲线C1的直角坐标方程，由此能求出曲线C1的极坐标系方程．（2）设点P（），由此利用点P到曲线C1距离公式能求出点P到曲线C1距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C2的参数方程为：（φ为参数），∴曲线C2的普通方程为=1，∵曲线C1的参数方程为：（t为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为x﹣y+4=0，∴曲线C1的极坐标系方程为ρcosθ﹣ρsinθ+4=0．（2）∵点P为曲线C2上任意一点，∴设点P（），∴点P到曲线C1距离：d==|2sin （φ+150°）+4|，∴点P到曲线C1距离的最小值为d min=|﹣2+4|=．23．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．【考点】71：不等关系与不等式．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为42017年6月12日。

辽宁省葫芦岛一中2017_2018学年高一数学下学期3月期初考试试题

2017---2018学年度下学期高一期初考试数学试题第I 卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每题5分，共60分，每四个选项中，只有一项符合要求1．满足条件{}M ⊆3,2,1{}6,5,4,3,2,1的集合M 的个数是（） A. 8 B. 7 C. 6 D. 52．设l n m ,,为空间不重合的直线， ,,αβγ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（） ①l n l m //,//，则n m //； ②l n l m ⊥⊥,，则n m //；③若//,//,//m l m l αα则； ④若l ∥m ， l α⊂， m β⊂，则α∥β； ⑤若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则 ⑥//,//αγβγ，则//αβ A. 0 B. 1 C. 2 D. 33．已知集合{})4lg(2x y R x A -=∈=，{}0,3>==x y y B x时，则=B AA.{}12<<-x xB.{}21<<x xC. {}2>x x D.{}212><<-x x x 或 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 12B. 9C. 6D. 365．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在(0,)+∞上是减函数，又()()f x f x -=，则m =（）A. 0B. 1C. 2D. 36．已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时， ()22f x x x =-，则当0x <时，函数()f x 的解析式为（）A. ()()2f x x x =-+B. ()()2f x x x =-C. ()()2f x x x =--D. ()()2f x x x =+ 7．若存在]3,2[-∈x ，使不等式a x x ≥-22成立，则实数a 的取值范围是（） A.]1,(-∞ B.]8,(--∞ C.),1[+∞ D.),8[+∞-8．已知7.0log ,7.0,3337.0===c b a ，则c b a ,,的大小顺序为（） A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a b c << 9．函数)10)(1(log <<-=a x y a 的图像大致是（）A. B. C. D.10．xy 2=与x y 2log =的图象关于( )A. x 轴对称B. 直线x y =对称C. 原点对称D. y 轴对称11．对函数()f x ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫做函数)(x f 的下确界．现已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足(1)(1)f x f x -=+，当]1,0[∈x 时，23)(2+-=x x f ，则)(x f 的下确界为（）A.2B.1C.0D.1-12．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-+，且在[]1,2上是减函数，则（）A. )3()23()21(f f f <-<B. )21()23()3(f f f <-<C. )23()3()21(-<<f f fD. )23()21()3(-<<f f f第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．过圆222=+y x 上一点)1,1(作圆的切线，则切线方程为__________．14．已知直线01:;02:21=++=-+y mx l my x l ，若21l l ⊥，则=m __________． 15．若直线2y x =+与曲线2(0)y m x m =->恰有一个公共点，则实数m 的取值范围为________．16．如上图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是棱1CC AB 、的中点，P MB 1∆的顶点P 在棱1CC 与棱11D C 上运动，有以下四个命题：A ．平面P MB 11ND ⊥； B ．平面P MB 1⊥平面11A ND ；C ．∆P MB 1在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆P MB 1在侧面CD C D 11上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.三、解答题：本大题共6题，共70分。

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2017-2018 学年度下学期高二期初考试
高二数学（理科）
第Ⅰ卷（共 60分）
一选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若集合 A={x|x 2+5x+4＜0}，集合 B={x|x ＜﹣2}，则 A ∩（∁R B ）等于（） A ．（﹣2，﹣1） B ．[﹣2，4） C ．[﹣2，﹣1） D ．
（2）抛物线 y
2x 2 的焦点坐标是
1
1 1 1
A.
C.
D.
0, 0,
B.
0, 0,
8
4
4
8
1
a
，b (x ,1)， x 0，若 a 2b 与 2a b 共线，则 x 的值为（）
（3）已知向量
(8, x ) 2
A.4
B.8
C.0
D.2
（4）已知平面 α∩平面 β=m ，直线 l ⊂α，则“l⊥m”是“l⊥β”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件（5）已知函数 g (x ) log (x 3) 2(a 0,a 1) a 的图象经过定点 M ，若幂
函数f (x ) x 的图象过点 M ，则的值等于
A.
1 B.
1 2
C. 2
D. 3
（6）几何体的三视图如图，则该几何体的体积是
4
2 5
2
2
C ．
4 A ．
B ．
D ．
3
3 3
3
（7）设数列
a 的前 n 项和
n
1,
S
n 2 a 1 a
a
n
3
15
A. 124
B. 120
C. 128
D. 121
x
y
2
2
（8）双曲线
1(a ,b 0) 离心率为 3 ，左右焦点分别为 F , F , P 1 为双曲线右支上
2
2
2
a
b
一点，
的平分线为 l ，点 F 关于 l 的对称点为 Q ,
2
F
2Q
1
PF
F ，则双曲线方程为
2
1
（）
x
y
y
x
2 2
2
2
2
A.
y 1 B. x 2
1 C. x
1
D.
1 2
y 2
2
3
2 3 3
sin
cos 2
2
tan 2
，
(0, ) ，则
（9）已知
的值为（）
4
4
sin(
) 4
9 5 A.
B.
20
（10）在 ABC
中，
2 5
10 10 C.
D.
3
3
10
B
， BC 边上的高等于 1
BC ,则 cos A = （
）
4 3
3 10
10
10
3 10
A.
B.
C.
D.
10
10 10 10
（11）已知在矩形 ABCD 中， AB 5, BC 7 ，在其中任取一点 P ，满足 APB 90 的概
率为（
）
- 1 -
551
A．B．C．D．不确定
56562
x y
22
（12）设椭圆1(a b 0)与直线y x相交于，两点，若在椭圆上存在点，
a b
22
4
，则椭圆离心率为
（）使得直线，斜率之积为
9
A．
2
3
B．
5
3
C．
6
3
D．
22
3
二填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
（13）函数f(x)A sin(x )(A 0,0,
)的部分图象如图所示，则将f(x)的图象
2
向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式
6
为__ __.
（14）已知a 0,b 0，并
且
1
a
,
1
2
,
1
b
成等差数列，则a 9b的最小值为_ __.
（15）已知三棱锥D ABC中，AB BC 1，AD 2，BD 5，AC 2，
BC AD，则三棱锥的外接球的表面积为__________．
2a b
z
的（16）函数，且，，则
a
3b 取值范围是__________．
三解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（17）（本小题满分10分）
1
已知函数f
x
x
x x
（其中0），若f x的一条对称轴
离
3sin cos.cos
2
最近的对称中心的距离为
4
（I）求y f x的单调递增区间；
（II）在ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c 满足2b a cos C c cos A，且f
B 恰是f x的最大值，试判断ABC的形状.
（18）（本小题满分12分）
某高中有高一新生500名，分成水平相同的A,B两类教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从A,B两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试
（1）求该学校高一新生A,B两类学生各多少人？
（2）经过测试，得到以下三个数据图表：
图1：75分以上A,B两类参加测试学生成绩的茎叶图
图2：100名测试学生成绩的频率分布直方图
- 2 -
下图表格：100名学生成绩分布表：
①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图2）补充完整；
②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的类学生中随机抽取2人代表学校参加市
比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率
（19）（本小题满分12
分）已知数列
a的各项均为正数的等比数列，且a1a22,a3a432
n
（1）求数列
a的通项公式；
n
b b b b
（2）设数列（n∈N*），求设数列
b满足123...a1b的前n项和
n
n n1n
1352n
1 T.
n
（20）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，正方形ABEF所在的平面与正三角形ABC所在的平面互相垂直，
CD//BE，且BE2CD，M是ED的中点．
（1）求证：AD∥平面BFM；（2）
求二面角E BM F的余弦值．
- 3 -
（21）（本小题满分12分）已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线1:x y220
l相切.
（1）求直线l:4350被圆C所截得的弦AB的长；
2x y
（2）过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线，切点分别为M,N，求直线MN的方程；
（3）若与直线
l垂直的直线l不过点R(1,1)，且与圆C交于不同的两点P,Q.若PRQ为钝
1
角，求直线l的纵截距的取值范围．
（22）（本小题满分12分）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的
5
QF
PQ. 交点为P，与C的交点为Q，且
4
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.
- 4 -
答案
选择题：1C 2B 3A 4B 5B 6C 7D 8C 9A 10C 11A 12B
填空题：13 y sin(2x)14 16 15 16
6
解答题：17解：(Ⅰ)因为
21312
f(x)3sin x cos x cos x sin2x(2cos x1)
222
31
sin2x cos2x sin(2x)
226
2
f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为4所以T，所以2，所以1
f(x)sin(2x)
6
………………………………3分
2k2x2k
k x k
262得：6
3 解
[k,k](k Z)
所以函数f(x)单调增区间为
……………………5分
63
(Ⅱ)因为(2b a)cos C c cos A，由正弦定
理，得(2sin B sin A)cos C sin C cos A
2s in B cos C sin A cos C sin C cos A sin(A C)
因为sin(A C)sin(B)sin B0
2s in B cos C sin B，所以sin B(2cos C1)0
1
cos C C
0C，所以
3 2
所以……………………8分
0B B B
202427
3366
6 所以
y max
1 根据正弦函数的图象可以看出，f(B)无最小值,有最大值
，
2B B
A此时
所以ABC为等边三角62，即3,所以3
形…………………………10分
18解：（1）由题意知A类学生有（人）则B类学生有500－200=300 （人）. …2分
（2）①表一
- 5 -。