随机过程--剩余寿命与年龄的极限分布
随机过程的极限定理
随机过程的极限定理随机过程是对随机现象进行数学建模的工具，它在概率论与统计学中扮演着重要的角色。
随机过程的极限定理是指当随机过程中的一些条件满足时，该随机过程在某种意义下趋于某个确定的极限。
1. 简介随机过程是一组随机变量的集合，它与时间或其它参数有关。
在随机过程中，每一个随机变量代表了随机现象在特定时刻的取值。
随机过程可以是离散的或连续的，在不同的时间段内呈现出不同的性质。
2. 极限定理的定义随机过程的极限定理描述了当随机过程被无限次重复时，其统计特征会趋于某个确定的极限。
极限定理分为强大数定律和中心极限定理两类。
2.1 强大数定律强大数定律是指当随机变量的个数趋于无穷大时，它们的均值会收敛至某个确定的常数。
强大数定律是随机过程的一种极限定理，它揭示了重复试验的结果与试验次数的关系。
2.2 中心极限定理中心极限定理是指当随机变量的个数趋于无穷大时，它们的和的分布会趋于正态分布。
中心极限定理是随机过程的另一种极限定理，它描述了随机现象在大样本条件下的行为。
3. 应用举例随机过程的极限定理在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些典型的应用举例：3.1 泊松过程的极限定理泊松过程是一种常见的随机过程，它用于描述单位时间内事件发生的次数。
泊松过程的极限定理揭示了当单位时间内事件发生的次数趋于无穷大时，事件发生的时间间隔服从指数分布。
3.2 马尔可夫链的极限定理马尔可夫链是一类具有无后效性的随机过程，它在模拟复杂的随机现象方面具有重要的应用。
马尔可夫链的极限定理描述了当一步一步地进行随机转移时，随机过程会逐渐收敛于一个稳定的分布。
4. 总结随机过程的极限定理是概率论与统计学中的重要理论基础，它揭示了随机现象在无限重复试验中的行为规律。
通过强大数定律和中心极限定理，我们可以更好地理解和分析随机过程的性质，为实际问题的建模与分析提供有力支持。
总之，随机过程的极限定理为我们研究随机现象提供了有效的方法和工具，它在概率论与统计学领域具有重要的理论和实践意义。
生命表理论
解2.4
e • 在常数死亡力下， t px t ，则
e e e t
p25
15
0.04t
p25
, 0 t 15
p t15 40
0.0415
0.06(t 15)
,t 15
.
• 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
0
25
e25:25 0 t p25dt
死亡效力
•
( 定义：
x)
的瞬时死亡率，简记
x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
• 死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0 xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
lx l0 S (x)
• l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期
望个数n：dx
特别：n=1时，记作d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表的构造
l0
t Lx
• 个新生生命在年龄x至xx+t t区间共存活年数：
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
例2.2
• 已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
应用随机过程-期末复习资料
第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。
例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。
令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。
为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。
例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。
以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。
例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。
乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。
定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ℑΩ上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。
E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。
例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10]例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为),0[∞+注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。
（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。
随机过程样本轨道的一些极限定理
复旦大学博士学位论文随机过程样本轨道的一些极限定理姓名：***申请学位级别：博士专业：概率论与数理统计指导教师：***2001.4.1摘要ｒ《Ｄ口８《‘／知＂２－ｌｊ、‘也是概率统计学科中极为重要的理论基础，随研究中的最重要的热门方向之一．Ｌ∈ｖ，连续挟定理和不可微模定理描述了Ｗｉｅｎｅｒ过程样本轨道精确的局部性质，ＣｓＳｒ９６．Ｒ∈ｖ∈ｓｚ建立了Ｗｉｅｎｅｒ过程样本轨道精确的整体性质（最大振动模等）．这些基本结果出现在２０世纪７０年代，都已被收录在ＣｓＳｒｇ／ｊ和Ｒｄｖ｛ｓｚ的著名的专著＜＜ＳｔｒｏｎｇＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｉｎＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ＞＞（１９８１）一书中．２０世纪８０年代后期，一些学者在将上述理论进一步完善的同时开始研究其它类型的Ｇａｕｓｓ过程的样本轨道的上述性质，其中的主要的成果都已被收录在林正炎和陆传荣的专著《强极限定理》（１９９２）及林正炎，陆传荣和张立新的专著《商斯过程的样本轨道性质》（２００１）中．在上述提及的各专著中，人们主要研究的是随机过程轨遭的上极限性质和下板狠性质，但相应的泛函型的极限性质以及与之相关的分形性质都因其难度大而较少被研究．泛函型的极限结果往往蕴涵了经典的“ｖ，连续模定理，最大撮动模定理等，因此这种类型的极限性质能更为精细地刻触随机过程的样本轨道性质．与之相关的分形性质除了更为精细的刻划随机过程的样本轨道性质外，同时能将极限性质与分形性质联系起来．因此对这些性质的研究都是非常有意义的．，…。
最近几年来，这些方面的研究有了一些新的进展，但一直来只限于Ｗｉｅｎｅｒ过程，本文的目的是深入地研究与Ｗｉｅｎｅｒ过程相关的其它若于类重要的量囱。
过程榉本轨遭的～些经典而精细的极限性质，致力于研究学者们普遍认为具有较大难度的泛函型极限性质及相关的分形性质．值得指出的是尽管我们研究的是特殊的过程靠事实上在第四章第二节中研究的是一般的Ｇａｕｓｓ过程）ｊ但其中的某些方法可以应用于研究一般的Ｇａｕｓｓ过程．全文分为五章．侄不同的章节用不同的方法讨论各种随机过程轨道的极限性质．厂、’’第一章．研究布朗局部时过程增量的泛函型极限性凰（周知，布朗局部时过程是非Ｇａｕｓｓ的，并且其增量是不平稳的不独立的，因此难以建立精细的关于增量的大偏差不等式，本章通过利用著名的布朗局部时过程的Ｌ∈ｖｙ表示定理解决了这些难点，得到了布阙局部时过程增量的一个精细的大偏差不等式，并利用此不等式得到了布朗局部时过程的泛函连续模和瑟函大增量定理．借助于局部时过程的强逼近，也得到了关于随机游动的泛函大增量定理．所得的结果加强了Ｈａｗｋｅｓ（１９７１）和Ｃｓｄｋｉ等（１９８３Ｊ的结果夕４第二章．研究坌夔壶朗运勤和ｍ重煎皇墅塑至曼坌的极限性蹿龟效布朗运动，ｍ重布朗运动积分以及第四章中要研究的Ｏｒｕｓｔｅｉｎ．Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程都是具有重要的物理背景的Ｇａｕｓｓ过程，一直来倍受国内外学者的关注，研究成果层出不穷．分敬布朗运动是布朗运动前推广，它也能表示成关于布朗运动的随机积分．ｍ重布朗运动积分是关于布朗运动的ｍ重的随机积分．第二章第一节，研究分数布朗运动泛函型对效律的分形性质．找到了一个集合和分致布朗运动的蓖函型对效律成立的时间点集相交非空的临界值，抬出这一临界值是由这～集合的ｐａｃｋｉｎｇ维数所决定的．前人只对Ｗｉｅｎｅｒ过程取得一些进展．本节中得到了如下关于分数布朗运动的一个不等式：／——＋—，．．．．，．．．．．．．．．．．．．一Ｐｌｓｕｐｌ（ｘ０＋ｈｚ）一ｘ（ｔ））Ａ／２ｈ２。
3.1寿命分布概述
含义：(x)在x+t前死亡的概率
3.1.3
剩余寿命T 的分布
s ( x t ) f T (t ) FT (t ) s ( x)
概率密度 生存函数
s( x t ) T ( x) t ) t p x 1 t q x Pr( s ( x)
含义：(x)在x+t岁时仍活着的概率
0
1
2
3
… …
q0
q1 q2
i
q3
q
i 0
1, qi 0
3.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s (0)
1,
x
lim s ( x) 0
b. 单调递减函数
生存函数与死力关系：
0 s ( x) e
y dy
x
2.1.5
t
死力
t
px , t qx , fT (t ) 与死力之间的关系
xs ds
0 p e t x
,
s( x t ) s( x t ) s( x t ) fT (t ) t p x x t s ( x) s ( x) s ( x t )
3.1
寿命分布
主要内容
寿命X的分布（分布函数和生存分布） 未来寿命（余命）的分布 死力（瞬时死亡率） 重点掌握： a. 各函数的符号表示及理解其涵义 b. 各种函数之间的关系
2.1.1
寿命X的分布函数
连续型死亡年龄
1. X: 死亡年龄（从生存到死亡的时间长度） 是一连续型随机变量
第1章随机过程简介
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第1章 随机过程简介
对于(duìyú)马尔可夫链，如果n时刻的k步转移概率满 足
即从i状态转到j状态的概率和时刻n无关，就称这类MC为时 齐马尔可夫链，或齐次马尔可夫链，有时也说它是具有平 稳转移概率的马尔可夫链。通常考虑状态空间是有限的齐 次马尔可夫链。
32
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第1章 随机过程简介
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第1章 随机过程简介
图1.3 电话交换站呼叫(hū jiào)计数
7
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第1章 随机过程简介
例1.4 纺纱机纺出长度为l的细纱(xìshā) 若对一个纺 纱机进行n次长时间测量，同时记录每一次纺纱机纺出细纱 (xìshā)长度的曲线，并以{X(u)， u∈［0，∞)}表示纺纱机 纺出细纱(xìshā)的长度，则X(u)是一个随机变量，如图1.4 所示。
k步转移(zhuǎnyí)概率矩阵记为P(k)。
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第1章 随机过程简介
本课程研究时间齐次马尔可夫过程(guòchéng)，简称时 齐马尔 可夫过程(guòchéng)。它满足
P{X(t)≤x|X(tn)=xn}=P{X(t－tn)≤x|X(0)=xn} 其中假定系统的行为不依赖于观测的时间，即马尔可夫过 程(guòchéng)中的条件分布函数不随观察起始时刻的变化而 变化，我们可以任选时间轴的起点。
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第1章 随机过程简介
设Xn=X(nΔt)表示时刻 nΔt时，系统(xìtǒng)内的顾客数， 即系统(xìtǒng)的状态。{Xn，n=0，1，2，…}是一随机过 程，状态空间I＝{0，1，2，3}，而且仿照例1.6、例1.7的分 析，可知它是一个齐次马尔可夫链。下面来计算此马尔可 夫链的一步转移概率。
随机过程公式复习资料
性质: E(E(X | Y )) = E( X ) , E(E(X | X )) = X
条件概率-连续:
密度函数
f X |Y = y (x | y) =
f (x, y) . fY (y)
∫x
分布函数: FX |Y =y (x | y) = P( X ≤ x | Y = y) = −∞ f X |Y =y (u | y)du
λ(λt) n−1 (n −1)!
e−λt I (t≥0)
等价分布: {N (t),t ≥ 0} 泊松过程 ⇔ {X n , n ≥ 1} 独立同参数 λ 指数分布
标记: S N (t) 为 t 时刻前最后一个事件发生时刻; S N (t)+1 为 t 时刻后第一个事件发生时刻.
剩余寿命W (t) = S N (t)+1 − t , 年龄V (t) = t − S N (t) 性质: 1. W (t) 与{X n , n ≥ 1} 同分布, P(W (t) ≤ x) = 1 − exp(−λx) , x ≥ 0 1 − exp(−λx) 2. V (t) 是“结尾”指数分布, P(V (t) ≤ x) = 1, x ≥ t
=
∞
n=0
∑ ∑ ∞
∞
2. 若 j → i ,
p (n) ji
=
∞;
j\ → i ,
p (n) ji
=0
n=1
n=1
∑∞
回转时间 µi =
nf
(ii
)
:
从 i 出发再(第一次)回到 i 的平均时间.
n=1
1.1. 正常返态 µi < ∞
1.2. 零常返态 µi = ∞
2. 非常返态 fii < 1
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由更新定理得： 1 ∞ lim ������������ (������) = lim ������(������(������) > ������) = ∫ [1 − F(t + y)]������������ t→∞ t→∞ ������ 0 1 ∞ = ∫ [1 − F(x)]������������ ������ ������ 同样可求得年龄������(������)的分布，注意到 {Y(t) > x, A(t) > y} ≡ {Y(t − y) > x + y} 所以
t→∞
lim ������{������(������) > ������, ������(������) > ������} = lim ������{������(������ − ������) > ������ + ������}
t→∞
1 ∞ = ∫ [1 − F(z)]������������ = lim ������{������(������) > ������} t→∞ ������ ������+������ 1 ∞ = lim ������{������(������) > 0, ������(������) > ������} = ∫ [1 − F(z)]������������ t→∞ ������ 0+������ 1 ∞ = ∫ [1 − F(z)]������������ ������ ������
太原工业学院
应用随机过程课程论文
题 目： 剩余寿命与年龄的极限分布
姓 学 系 专 届
名 号 别： 业： 别：
理学系 数学与应用数学 2012 届 连高社
指导教师：
二〇一五年六月
剩余寿命与年龄的极限分布
以������(������) = ������������(������) − ������ 表示时刻 t 的剩余寿命，即从 t 开始到下次 更新的时间，用������(������) = ������ − ������������(������) 表示 t 时刻的年龄，即 ������(������) = ������������(������) − ������ ������(������) = ������ − ������������(������) ---------剩余寿命 ---------年龄
可见年龄的极限分布与寿命的极限分布相同，事实上，当过程的 时间持续很长时，倒过来观察此过程，则原过程的年龄即为倒过来观 察的过程的寿命。
3
1
由全概率公式有 ������������ (������) = ������(������(������) > ������)=∫ P{Y(t) > y|������1 = ������} ������������(������) 0 这是一个更新方程，它的解为
∞ ∞
������������ (������) = 1 − F(t + y) + ∫ [1 − F(t + y − x)]������������(������)
求������(������)和������(������)的极限分布。
解：令 ������������ = ������{������(������) > ������} 对第一次更新的时刻������1 取条件，得 1, ������ > ������ + ������ P{Y(t) > y|������1 = ������} { 0, ������ < ������ ≤ ������ + ������ ������������ (������ − ������), 0 < ������ ≤ ������